PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE LUAS TRAPESIUM DAN METODE SIMPSON BAB II
-
Upload
astomo-hasto -
Category
Documents
-
view
1.747 -
download
9
description
Transcript of PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE LUAS TRAPESIUM DAN METODE SIMPSON BAB II
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Model matematis dan tahapan matematis
Secara umum tahapan yang harus ditempuh dalam menyelesaikan masalah
matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:
2.1.1 Tahap pemodelan
Yaitu merumuskan masalah dalam istilah matematis, mendefinisikan
peubah dan persamaan yang terlibat dengan memeperhitungkan jenis
komputer yang dipakai.
2.1.2 Tahap algoritma atau analisis
Perumusan penyelesaian secara numerik dilanjutkan dengan rancang
bangun algoritma bersama dengan analisis kesalahan pendahuluan, untuk
pemecahan soal. Algoritma adalah salah satu metode yang digunakan untuk
penyelesaian soal. Algoritma adalah suatu rangkaian prosedur yang lengkap
dan tidak meyangsikan untuk menuju penyelesaian. Setelah menentukan
sebuah algoritma maka langkah selanjutnya harus mempertimbangkan
berapa besar derajat ketelitian yang diperlukan, memperkirakan besarnya
kesalahan pembulatan dan kesalahan diskretitasi ( discretitation error),
menentukan jumlah langkah yang tepat atau jumlah iterasi yang dibutuhkan,
mengadakan pengujian ketelitian yang mencukupi, dan memberikan
kelonggaran untuk aksi korektif dalam kasus-kasus non konvergensi.
4
2.1.3 Tahap pemrograman (programming)
Tahap ini akan mengubah algoritma menjadi sebuah diagram alir yang
memperlihatkan diagram blok dari suatu prosedur yang memeperlihatkan
rangkain intruksi pada suatu komputer. Kemudian dilanjutkan dengan
penulisan program(coding), pencarian dan perbaikan kesalahan serta
pengujian.
2.2 Metode komputasi untuk menaksir besarnya kesalahan
Berbagai metode yang banyak metode untuk memperkirakan kesalahan-
kesalahan dalam perhitungan yang mereka lakukan, adapun diantaranya metode
yang dimaksud adalah :
2.2.1 Metode presisi rangkap dua
Dalam hal ini kita cukup menyelesaikan soalnya dua- satu kali dalam
presisi tunggal dan satu kali dalam presisi rangkap. Dari selisih hasil dapat
diketahui dan dapat diperkirakan besarnya kesalahan pembulatan totalnya
(dengan asumsi bahwa semua kesalahan-kesalahan dianggap kurang
signifikan). Kemudian dapat diadakan asumsi bahwa akumulasi
pembualatan yang sama akan terjadi pada soal-soal yang sama yang akan
diselesaikan dengan kebiasaan yang sama.
2.2.2 Metode aritmetika interval (interval aritmathic)
Tiap bilangan disajikan dalam dua bilangan, nilai-nilai maksimum dan
minimum yang mungkin terdapat dalam soal tersebut. Nilai yang sebenarnya
5
yang harus didapat harus terkandung dalam ruang lingkup yang ditentukan
nilai maksimum dan minimum.
2.2.3 Metode angka-signifikan (signifcan –digits- aritmathic)
Silisih dua bilangan yang seperti halnya pada metode presisi rangkap
dua maka akan terdapat beberapa angka hilang. Pada metode ini akan dicari
angka-angka yang hilang itu, metode ini akan mengusahakan untuk
mempertahankan angka-angka yang hilang itu sehingga hasil yang didapat
tidak terlalu konservatif.
2.3 Metode Numerik dan nilai pendekatan
Metode Numerik adalah salah satu cabang ilmu matematika, cabang ilmu ini
mempelajari cara untuk menyelesaikan sebagian problem matematika seperti
penyelesaian integral dengan beberapa metode misalnya metode trapesium,
metode simpson 1/3 dan metode simpson 3/8.
Metode berarti cara atau jalan untuk mencari pemecahan dari suatu problem
agar lebih mudah untuk diselesaikan. Sedangkan numerik berasal dari kata
numeris yang berarti hasil atau nilai angka. Jadi metode numerik dapat diartikan
sebagai cara atau jalan untuk memecahkan/menyelesaikan problem matematika
untuk mendapatkan nilai pendekatan yang bisa dianggap sebagai suatu
penyelesaian yang baik dengan error sekecil mungkin.
Error adalah tingkat kesalahan dari perhitungan yang dilakukan, semakin
error itu kecil maka bisa dianggap sebagai hasil yang tepat, tetapi jika error itu
besar maka hasil yang didapat bukan merupakan hasil yang diinginkan.
6
Nilai pendekatan adalah manifestasi hasil dari sebuah perhitungan yang
telah kita lakukan, nilai dapat berarti sebuah harga atau value, sedangkan
pendekatan adalah keadaan dimana membuat objek itu seolah-olah seperti objek
yang sebenarnya.
Maka nilai pendekatan adalah nilai dari sebuah hasil perhitungan yang
mendekati hasil sebenarnya, sebenarnya nilai ini tidak tepat sama seperti nilai
yang sebenarnya hanya sebuah nilai yang mendekati nilai sebenarnya.
2.4 Integrasi Numerik
Integrasi numerik merupakan suatu proses mencari nilai hampiran integral
dari fungsi tertentu yang dibatasi titik variabel tertentu, dengan bentuk persaman
secara umum:
(2-1)
Dengan f(x) sebagai fungsi terhadap variabel x yang dihitung batas x=a
yang merupakan batas paling kiri sampai dengan batas x=b yang merupakan batas
paling kanan.
Integral tertentu merupakan suatu proses penjumlahan yang bisa juga
dikatakan luas dibawah kurva y=f(x), dari a ke b. Beberapa metode numerik untuk
persamaan integral didasarkan pada pengertian interprestasi aproksimasi untuk
memperoleh hasil yang mendekati hampiran penyelesaian integral tersebut.
Dasar penintegralan numerik menurut perumusan Newton-Cowtes
berdasarkan pada: (2-2)
7
Nilai hampiran integral dari suatu fungsi f(x) didasarkan pada polinomial.
Persamaan polinomial adalah persamaan aljabar yang hanya mengandung jumlah
dari variabel x berpangkat bilangan bulat (integer). Bentuk umum persamaan
polinomial order n adalah:
(2-3)
Nilai n merupakan jumlah titik data, yang dapat digunakan untuk
mengevaluasi koefisien
Fungsi f(x) bisa fungsi linier dan bisa juga fungsi kuadrat.
2.5 Metode Luas Trapesium
Persamaan 2-1 diatas dipakai untuk menghitung luas dibawah kurva dengan
batas x=a sampai x=b. Metode luas trapesium didasarkan pada ide nilai
pendekatan fungsi y=f(x) pada masing-masing subinterval dengan garis lurus
sedemikian sehingga bentuk area pada sumbu sub interval berupa trapesium.
Pendekatan luas trapesium merupakan metode pendekatan luas dibawah
kurva dengan menghampiri luasan tersebut dengan menggunakan sejumlah deret
trapesium yang terletak diantara subinterval-subinterval tersebut. Gambar diambil
atau dipecah menjadi beberapa subinterval membentuk trapesium sehingga
perhitungan integral dengan menggunakan subinterval yang banyak menghasikan
kesalahan yang lebih kecil dan semakin teliti hasil hampiran integral tersebut.
Rumus metode numerik untuk penyelesaian integral dengan pendekatan luas
trepesium adalah sebagai berikut:
8
(2.4)
Dengan selang a ke b dipecah menjadi n sub interval dengan lebar yang
sama h=(b-a)/n dan untuk k=1,2,3,……..n dan k=123....n dan a=x <…
<x < x =b.
2.6 Metode Simpson
Metode Simpson merupakan metode yang lebih teliti dibanding luas
trepesium. Bila proses diulang pada interval (a,b) menjadi 2n subinterval yang
berlebar sama h=(b-a)/2n dan dan untuk k=1,2,3,……..n dan
k=123...2n dan a=x <…<x < x =b.
Rumus Simpson untuk f(x) dengan 2n subinterval berlebar h:
(2.5)
2.7 Algoritma Metode Luas Trapesium dan Metode Simpson
Algoritma adalah sebuah alir program yang menunjukkan langkah demi
langkah dalam menyelesaikan sebuah persoalan.
Adapun algoritma Metode Luas Trapesium adalah :
1. Menentukan fungsi y=f(x) yang akan dihitung.
2. Masukkan masukan a,b dan n.
3. Lebar subinterval dapat dihitung dengan:
h=(b-a)/n
9
4. Jumlah awal=0
5. Hitung luas trapesium setiap subinterval dari k=1 sampai n-1 dengan
Selama k<n-1:
- x=a+h*k
- Jumlah=Jumlah+fungsi(x);
6. Jumlahkan luas trapesium dari setiap subinterval pertama sampai
dengan luas trapesium subinterval yang ke n dengan:
Jumlah=h*fungsi(a)+fungsi(b)+2*Jumlah)/2
Sedangkan untuk Metode Simpson algoritmanya adalah :
1. Menentukan fungsi y=f(x) yang akan dihitung.
2. Masukkan masukan a,b dan n.
3. Lebar subinterval dapat dihitung dengan:
h=(b-a)/2n
4. JumlahGenap=0
5. Hitung luas setiap subinterval dari k=1 sampai n-1 dengan
Selama k<n-1:
- x=a+h*2*k
- JumlahGenap=JumlahGenap+fungsi(x);
7. JumalahGanjil=0
8. Hitung luas setiap subinterval dari k=1 sampai n dengan
Selama k<n:
- x=a+h*(2*k-1));
- JumlahGanjil=JumlahGanjil+Fungsi(x);
10
9. Jumlahkan luas dari setiap subinterval pertama sampai dengan luas
subinterval yang ke n dengan:
Jumlah=h*fungsi(a)+fungsi(b)+2*JumlahGenap+4*JumlahGanjil/3
11