111xsazazx1

Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut dan Sudut Ganda Tugas Mandiri part 2

Tugas ini disusun oleh Wuli oktiningrum untuk memenuhi tugas akhir mata kuliah Kajian Pengembangan Matematika Sekolah IV

Malang,01 Juni 2009

Kajian Pengembangan Matematika Sekolah IV

1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua SudutDalam segitiga siku-siku ABC berlaku:

Selanjutnya, perhatikanlah gambar di samping ini :Dari lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 1 satuan misalnya,AOB = ABOC = Bmaka AOC = A + BDengan mengingat kembali tentang koordinat Cartesius, maka:

a. koordinat titik A (1, 0)b. koordinat titik B (cos A, sin A)c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}d. koordinat titik D {cos (–B), sin (–B)} atau (cos B, –sin B)

karena AC = BD maka

{cos (A + B) – 1}2 + {sin (A + B) – 0}2 = {cos B – cos A}2 + {–sin B – sinA}2

cos2 (A + B) – 2 cos (A + B) + 1 + sin2 (A + B) = cos2 B – 2 cos B cos A + cos2A + sin2 B + 2 sin B sin A + sin2 A

2 – 2 cos (A + B) = 2 – 2 cos A cos B + 2 sin A sin B 2 cos (A + B) = 2 (cos A cos B – sin A sin B) cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

Rumus cosinus jumlah dua sudut:

Dengan cara yang sama, maka:cos (A – B) = cos (A + (–B))cos (A – B) = cos A cos (–B) – sin A sin (–B)cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Rumus cosinus selisih dua sudut:

Wuli Oktiningrum_106311400728 41

Kajian Pengembangan Matematika Sekolah IV

2. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua SudutPerhatikan rumus berikut ini :

=

Rumus sinus selisih dua sudut:

Dengan cara yang sama, maka: sin (A – B) = sin {A + (–B)}

= sin A cos (–B) + cos A sin (–B) = sin A cos B – cos A sin B

Rumus sinus selisih dua sudut:

3. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Wuli Oktiningrum_106311400728

Kajian Pengembangan Matematika Sekolah IV

Rumus tangen jumlah dua sudut:

Contoh soal

Jadi, nilai sin (A + B) adalah dan nilai dari sin (A - B) adalah

4. Penggunaan Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Sudut Gandaa. Menggunakan Rumus Sinus Sudut Ganda

Dengan menggunakan rumus sin (A + B), untuk A = B maka diperoleh:sin 2A = sin (A + B)

Wuli Oktiningrum_106311400728

42

Kajian Pengembangan Matematika Sekolah IV

= sin A cos A + cos A sin A= 2 sin A cos A

Rumus:

b. Rumus Cosinus Sudut GandaDengan menggunakan rumus cos (A + B), untuk A = B maka diperoleh:

cos 2A = cos (A + A) = cos A cos A – sin A sin A = cos2 A – sin2A ……………..(1)

Atau

cos 2A = cos2 A – sin2 A = cos2 A – (1 – cos2 A) = cos2 A – 1 + cos2 A = 2 cos2 A – 1 ……………..(2)

ataucos 2A = cos2 A – sin2 A = (1 – sin2 A) – sin2 A = 1 – 2 sin2 A …………(3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) didapat rumus sebagai berikut :

c. Rumus Tangen Sudut GandaDengan menggunakan rumus tan (A + B), untuk A = B diperoleh:

Contoh soal

Wuli Oktiningrum_106311400728

43

44

Kajian Pengembangan Matematika Sekolah IV

Jadi, nilai tan 2α adalah .

Wuli Oktiningrum_106311400728

Kajian Pengembangan Matematika Sekolah IV

Wuli Oktiningrum_106311400728

45