PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF

MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG

oleh

MIRA AMALIA

M0113030

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2017

i

ABSTRAK

Mira Amalia. 2017. PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEARITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG. Fa-kultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

Aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep atauprinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah dengan menggunakan simbolatau huruf tertentu. Salah satu ruang lingkup dalam aljabar yang dinilai baruadalah aljabar maks-plus. Penelitian ini membahas tentang penerapan sistempersamaan linear iteratif maks-plus pada masalah lintasan terpanjang denganmetode PDM (Presedence Diagram Method).

Metode PDM merupakan metode untuk menentukan jalur kritis agar pe-nyelesaian proyek dapat terselesaikan secara tepat waktu. Lintasan terpanjangditentukan dengan memodifikasi perhitungan menggunakan metode PDM padaanalisis lintasan kritis jaringan proyek. Selanjutnya, memodelkan waktu tempuhperjalanan pada jaringan ke dalam suatu sistem persamaan linear (SPL) iteratifmaks-plus. Dari penyelesaian SPL iteratif maks-plus ini, dapat ditentukan waktuawal paling cepat dan waktu paling akhir untuk masing-masing titik. Titik-titikdengan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir yang sama akan mem-bentuk lintasan terpanjang dalam jaringan. Hasil dari pembahasan merupakankajian teoritis yang didasarkan literatur dan suatu perhitungan menggunakanprogram yang mengacu pada Rudhito. Hasil tersebut menunjukkan bahwa ja-ringan proyek dengan bobot waktu tempuh dapat dimodelkan sebagai graf bera-rah terbobot yang dinyatakan dengan matriks atas aljabar maks-plus. Penentuanwaktu tempuh minimal dilakukan melalui operasi star (∗) pada matriks bobotjaringannya.

Hasil dari pembahasan merupakan kajian teoritis yang didasarkan litera-tur dan suatu perhitungan menggunakan program yang mengacu pada Rudhito.Hasil tersebut menunjukkan bahwa jaringan proyek dengan bobot waktu tem-puh dapat dimodelkan sebagai graf berarah terbobot yang dinyatakan denganmatriks atas aljabar maks-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dilakukanmelalui operasi star (∗) pada matriks bobot jaringannya.

Kata Kunci : aljabar maks-plus, sistem persamaan linear, lintasan terpanjang

iv

ABSTRACT

Mira Amalia. 2017. APPLICATIONOFMAX-PLUS ITERATIVE LINEAREQUATIONS SYSTEM ON THE LONGEST PATH PROBLEM. Faculty of Ma-thematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

Algebra is a branch of mathematics that studies the concept or principle ofsimplification and problem solving using symbols or specific letters. One of thescores in algebra that is considered new is the max-plus algebra. This researchdiscusses about the system of max-plus linear equation and its application to thelongest path problem with PDM (Presedence Diagram Method).

PDM is a method to determine the critical path for the completion of theproject can be completed in a timely manner. This discussion is the result oftheoretical study based on literature and calculation using the program. Thelongest path is determined by modifying the calculation as in the PERT-CPMmethod with PDM method on the critical path analysis on the project network.Besides, it can be done by modeling travel time on the network into an iterativemax-plus system of linear equations (SLE). From this max-plus SLE solution, itcan be determined the earliest start time and latest time for each point. Pointswith the same earliest start time and latest time will form the longest path onthe network.

The result of this research shows that the network with travel time can bemodeled as a weighted directed graph expressed by the upper matrix max-plusalgebra. The determination of minimum travel time can be done through staroperation (∗) with network weight matrix.

Keywords : max-plus algebra, system of linear equations, longest path

v

MOTO

Sesungguhnya Allah tidak akan mengubah keadaan suatu kaum sampai mereka

mengubah keadaan diri mereka sendiri.

(QS. Ar-Ra’d: 11)

vi

PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk

ibu, bapak, dan kakak saya sebagai wujud atas doa, cinta, inspirasi, dan motivasi

yang sudah diberikan selama ini.

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang te-

lah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh

karena itu penulis mengucapkan terimakasih kepada

1. Drs. Siswanto, M.Si. sebagai Dosen Pembimbing I yang telah memberikan

bimbingan, motivasi, dan arahan dalam penulisan skripsi, pengembangan

model persediaan, serta penurunan model persediaan.

2. Bowo Winarno, S.Si, M.Kom. sebagai Dosen Pembimbing II yang telah

memberikan bimbingan, motivasi, dan arahan dalam penulisan skripsi.

3. Keluarga dan sahabat atas dukungan, motivasi, serta bantuan yang telah

diberikan.

Semoga skripsi ini bermanfaat.

Surakarta, Oktober 2017

Penulis

viii

Daftar Isi

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Teori Pendukung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Definisi dan Sifat-Sifat Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . 5

2.2.2 Matriks dan Vektor dalam Aljabar Maks-Plus . . . . . . . 7

ix

2.2.3 Sistem Persamaan Linear dalam Aljabar Maks-Plus . . . . 9

2.2.4 Teori Graf dalam Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . 11

2.2.5 Presedence Diagram Methode(PDM) . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

IIIMETODE PENELITIAN 16

IVHASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 17

4.1 Sistem Persamaan Linear Iteratif Maks-Plus dan Metode PDM . . 17

4.2 Penerapan Penjadwalan Proyek dengan Metode PDM . . . . . . . 21

4.2.1 Penerapan Proyek Secara Umum . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2.2 Penerapan Kegiatan Proyek Pembangunan Drainase di Se-

marang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

V PENUTUP 32

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

DAFTAR PUSTAKA 34

x

Daftar Tabel

4.1 Data dari lima kegiatan proyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Data dari kegiatan proyek pembangunan drainase . . . . . . . . . 27

xi

Daftar Gambar

4.1 Hubungan antar kegiatan dalam PDM . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Graf berarah kegiatan proyek drainase dalam PDM . . . . . . . . 27

xii

Daftar Notasi

(S,+,×) : himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan

dua operasi biner + dan ×

R : himpunan semua bilangan real

ε : −∞

Rε : R ∪ {ε}

⊕ : operasi maks

⊗ : operasi plus (+)

Rmaks : (Rε,⊕,⊗)

Rm×nε : {A = [aij]|aij ∈ Rε, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n}

Rn×nε : {A = [aij]|aij ∈ Rε, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n}

Rnε : {[x1, x2, . . . , xn]

T |xj ∈ ε, j = 1, 2, . . . , n}

≼m : relasi lebih kecil atau sama dengan

dalam aljabar maks-plus

aij : elemen A ∈ Rm×nε pada baris ke-i

dan kolom ke-j dengan i ∈ n dan j ∈ m

V : titik (vertices)

E : himpunan pasangan tak terurut titik-titik atau edges

A : himpunan pasangan terurut titik-titik atau busur

v : titik awal busur

w : titik akhir busur

(v, v) ∈ A : busur yang menyatakan loop

G = (V,A) : graf berarah dengan V = 1, 2, . . .

λ : nilai eigen maksimum

D : kurun waktu kegiatan

ES : waktu mulai paling awal kegiatan

LS : waktu mulai paling akhir kegiatan

EF : waktu selesai paling awal kegiatan

LF : waktu selesai paling akhir kegiatan

xiii

S : ujung awal atau mulai kegiatan

F : ujung akhir atau selesai kegiatan

ESj : waktu mulai paling awal dari kegiatan yang sedang ditinjau

ESi : waktu mulai paling awal kegiatan yang terdahulu

EFj : waktu selesai paling awal dari kegiatan yang sedang ditinjau

EFi : waktu selesai paling awal dari kegiatan terdahulu

Dj : kurun waktu kegiatan yang bersangkutan

LFi : waktu selesai paling akhir dari kegitan yang sedang ditinjau

LFj : waktu selesai paling akhir dari kegiatan terdahulu

LSj : waktu paling akhir dari kegiatan yang sedang ditinjau

LSi : waktu paling akhir dari kegiatan yang bersangkutan

xe : waktu awal paling cepat

xl : waktu paling akhir

xiv