Pendahuluan

PendahuluanKalkulus 1 TK

Farah Kristiani danLivia Owen

Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik


Farah Kristiani dan Livia Owen

Universitas Katolik Parahyangan

August 22, 2011



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Aturan main

I Kehadiran : min 80 %

I Bobot penilaian : ART : UTS : UAS = 3 : 3.5 : 3.5atau 2 : 4 : 4 tergantung kondisi

I Ujian susulan : TIDAK ADA

I Keterlambatan untuk KITA : 15 menit

Buku

[1] Purcell, J., Calculus With Analytic Geometry, 7th

edition, Prentice Hall, New Jersey, 1992

[2] Martono, K., Teori Soal Jawab dan PembahasanKalkulus, edisi ketiga, Bandung, 1992

[3] Thomas, J.B., Finney, R.L., Calculus and AnalyticGeometry, 8th edition, Addison Wesley, New York, 1992



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Silabus

I Bab 1 Pendahuluan (2 minggu) : Purcell chapter 0

I Bab 2 Limit (2 minggu) : Purcell chapter 1

I Bab 3 Turunan (2 minggu) : Purcell chapter 2

I UTS Senin 3 Oktober 2011 pk 08.00-10.00

I Bab 4 Aplikasi turunan (2 minggu) : Purcell chapter 3

I Bab 5 Fungsi Transenden (2 minggu) : Purcell chapter6

I Bab 6 Fungsi 2 peubah dan turunannya (3 minggu) :Purcell chapter 12

I UAS Senin 5 Desember 2011 pk 08.00-10.00



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Sistem Bilangan Riil

1. N adalah bilangan asli. Yaitu bilangan yang terdiri daribilangan 1, 2, 3, 4, . . .

2. Z adalah bilangan bulat. Yaitu bilangan asli yangdilengkapi dengan bilangan nol dan lawan dari bilanganaslinya sehingga . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .

3. Q adalah bilangan rasional. Yaitu ratio dari duabilangan bulat. Dapat dituliskan dalam bentuk m

n ,dengan m dan n adalah bilangan bulat dengan n 6= 0.

4. R adalah bilangan real. Yaitu himpunan dari semuajenis bilangan baik rasional maupun irrasional(π,√

2, . . .).

Berdasarkan jenis anggotanya, dapat dilihat kaitan antarakeempat jenis bilangan tersebut adalah :

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Urutan pada garis bilangan real

x < y memberi arti bahwa nilai x terletak di sebelah kirinilai y pada garis bilangan real.Sifat urutan :

1. Transitif : jika x < y dan y < z maka x < z

2. Penambahan : x < y jikka x + z < y + z

3. Perkalian :

3.1 z > 0 dan x < y jikka xz < yz3.2 z < 0 dan x < y jikka xz > yz



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Penulisan interval

1. a < x < b =⇒ (a, b)

2. a ≤ x < b =⇒ [a, b)

3. a < x ≤ b =⇒ (a, b]

4. a ≤ x ≤ b =⇒ [a, b]

5. x > a =⇒ (a,+∞)

6. x < b =⇒ (−∞, b)

7. x ≤ b =⇒ (−∞, b]

8. x ≥ a =⇒ [a,+∞)

9. R =⇒ (−∞,+∞)



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Review Persamaan Kuadrat

ax2 + bx + c = 0 dapat dicari akar-akar dari persamaankuadrat di atas

x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a

dengan diskriminan → D = b2 − 4ac

Bila

D

> 0= 0< 0

akar-akarnya real bedaakar-akarnya real kembarakar-akarnya imajiner

Definit positif terjadi

jika D < 0 dan a > 0 dan definit negatif terjadi jika D < 0dan a < 0 .



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Review Persamaan Kuadrat

ax2 + bx + c = 0 dapat dicari akar-akar dari persamaankuadrat di atas

x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a

dengan diskriminan → D = b2 − 4ac Bila

D

> 0= 0< 0

akar-akarnya real bedaakar-akarnya real kembarakar-akarnya imajiner

Definit positif terjadi

jika D < 0 dan a > 0 dan definit negatif terjadi jika D < 0dan a < 0 .



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Theorem

Setiap polinom dapat difaktorkan menjadi bentuk linear ataukuadrat definit.

I x2 − y 2 = (x − y) (x + y)

I x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1

)I x3 + 1 = (x + 1)

(x2 − x + 1

)I x3 ± 1 = (x ± 1)

(x2 ∓ x ± 1

)I x4 − y 4 =

(x2 − y 2

) (x2 + y 2

)=

(x − y) (x + y)(x2 + y 2

)



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Theorem


I x2 − y 2 = (x − y) (x + y)

I x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1

)

I x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1

)I x3 ± 1 = (x ± 1)

(x2 ∓ x ± 1

)I x4 − y 4 =

(x2 − y 2

) (x2 + y 2

)=

(x − y) (x + y)(x2 + y 2

)



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Theorem


I x2 − y 2 = (x − y) (x + y)

I x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1

)I x3 + 1 = (x + 1)

(x2 − x + 1

)

I x3 ± 1 = (x ± 1)(x2 ∓ x ± 1

)I x4 − y 4 =

(x2 − y 2

) (x2 + y 2

)=

(x − y) (x + y)(x2 + y 2

)



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Theorem


I x2 − y 2 = (x − y) (x + y)

I x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1

)I x3 + 1 = (x + 1)

(x2 − x + 1

)I x3 ± 1 = (x ± 1)

(x2 ∓ x ± 1

)

I x4 − y 4 =(x2 − y 2

) (x2 + y 2

)=

(x − y) (x + y)(x2 + y 2

)



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Theorem


I x2 − y 2 = (x − y) (x + y)

I x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1

)I x3 + 1 = (x + 1)

(x2 − x + 1

)I x3 ± 1 = (x ± 1)

(x2 ∓ x ± 1

)I x4 − y 4 =

(x2 − y 2

) (x2 + y 2

)=

(x − y) (x + y)(x2 + y 2

)



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Langkah-langkah menyelesaikan ketaksamaanfungsi rasional

1. sederhanakan ketaksamaan, bentuk umum → untukbentuk polinom yang bukan linear ruas kanan harus nol

2. tentukan nilai batasnya (pembuat nol fungsi dan titiksingular)

3. uji tanda pada garis bilangan :

3.1 Tentukan tanda dari salah satu ruas dengan carasubstitusi

3.2 Tanda untuk ruas berikutnya : lihat bilangan pangkatdari faktor tersebut. Jika bilangan pangkatnya genapmaka tandanya tetap, jika bilangan pangkatnya ganjilmaka tandanya berubah

4. tentukan terbuka/tertutupnya

5. tentukan solusinya (Himpunan Penyelesaian)



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Contoh

1. 4x − 7 < 3x + 5Solusi :x < 12HP = (−∞, 12)

2. −6 < 2x + 3 < −1Solusi : HP =

(− 9/2,− 4/2

)3. x2 − 5x − 6 > 0

Solusi : HP = (−∞,−1) ∪ (6,+∞)



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Contoh

1. 4x − 7 < 3x + 5Solusi :x < 12HP = (−∞, 12)

2. −6 < 2x + 3 < −1Solusi : HP =

(− 9/2,− 4/2

)

3. x2 − 5x − 6 > 0Solusi : HP = (−∞,−1) ∪ (6,+∞)



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Contoh

1. 4x − 7 < 3x + 5Solusi :x < 12HP = (−∞, 12)

2. −6 < 2x + 3 < −1Solusi : HP =

(− 9/2,− 4/2

)3. x2 − 5x − 6 > 0

Solusi : HP = (−∞,−1) ∪ (6,+∞)



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Latihan

1. 7x − 1 ≤ 10x + 4

2. 10x + 1 > 8x + 5

3. −2 < 1− 5x ≤ 3

4. −3 < 1− 6x ≤ 4

5. 2 + 3x < 5x + 1 ≤ 16

6. 2x − 4 ≤ 6− 7x < 3x + 6

7. 2x2 − 6x + 1 ≤ −x2 + 5x + 5

8. 11x2 + 2x − 14 < 7x + 7x2 − 20

9. x+52x−1 ≤ 0

10. x+4x−3 ≤ 0



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Latihan

11 x−2x+4 < 2

12 2x−5x−2 ≤ 1

13 (2x − 3) (x − 1)2 (x − 3) ≥ 0

14 (x + 1) (x − 1)2 (x − 3) ≤ 0

15 x3 − x2 − x + 1 > 0

16 2x−1x+1 > 2x

x−1

17 x−1x+3 ≤

2x−12x+1

18 1 ≤ x2

x2−2≤ 2

19 2x2(x−1)3

(−x2+x−5)(2x+1)≤ 0

20 x+12−x ≥

xx+3

21 x2

x−2 ≥x−3x+1



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Nilai Mutlak

I Simbol |a| =

{a−a

, a ≥ 0, a < 0

Nyatakan bentuk berikut ke dalam bentuk yang tidakmemuat nilai mutlak!

1. |x − 1|2. |3− 2x |3. |2x − 5|4.∣∣x2 − 1

∣∣5.∣∣2x2 − x − 3

∣∣



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Sifat-sifat nilai mutlak

1. |x | ≥ 0

2. |xy | = |x | |y |

3.∣∣∣ xy ∣∣∣ = |x |

|y |

4. |x + y | ≤ |x |+ |y | (Ketaksamaan Segitiga)

5. |x − y | ≥ ||x | − |y ||6. |x | < |y | ⇔ x2 < y 2

7. |x | < a ⇐⇒ −a < x < a, a ≥ 0

8. |x | > a ⇐⇒ x < −a atau x > a, a ≥ 0

9.√

x2 = |x |



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Latihan nilai mutlak1. |x + 2| < 2

⇒ Solusi : (−4, 0)2. |x − 2| ≥ 5 ⇒ Solusi : (−∞,−3] ∪ [7,+∞)3. |2x − 1| ≤ 34.∣∣2 + 5

x

∣∣ > 15.∣∣ 3x − 1

∣∣ > 26. |3x + 1| < 2 |x − 6|7. 2 |x − 1| ≤ |3x − 2|8. 3 |x |+ 2 |x − 1| ≤ 79. x − 1 ≤ 2

|x |10. (2x − 1)2 − 5 |2x − 1|+ 4 < 011. (2x − 5)2 − 3 |2x − 5| > 1012. (x − 1)2 − 3 |x − 1|+ 8 < 613. |x + |x || < 214. |x − |x || ≤ 215. |x − 2| ≤ x |x |16. x |x | < x − 217. |2x − 3| ≥ x + |x |



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Latihan nilai mutlak1. |x + 2| < 2 ⇒ Solusi : (−4, 0)

2. |x − 2| ≥ 5 ⇒ Solusi : (−∞,−3] ∪ [7,+∞)3. |2x − 1| ≤ 34.∣∣2 + 5

x

∣∣ > 15.∣∣ 3x − 1

∣∣ > 26. |3x + 1| < 2 |x − 6|7. 2 |x − 1| ≤ |3x − 2|8. 3 |x |+ 2 |x − 1| ≤ 79. x − 1 ≤ 2




Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Latihan nilai mutlak1. |x + 2| < 2 ⇒ Solusi : (−4, 0)2. |x − 2| ≥ 5

⇒ Solusi : (−∞,−3] ∪ [7,+∞)3. |2x − 1| ≤ 34.∣∣2 + 5

x

∣∣ > 15.∣∣ 3x − 1

∣∣ > 26. |3x + 1| < 2 |x − 6|7. 2 |x − 1| ≤ |3x − 2|8. 3 |x |+ 2 |x − 1| ≤ 79. x − 1 ≤ 2




Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Latihan nilai mutlak1. |x + 2| < 2 ⇒ Solusi : (−4, 0)2. |x − 2| ≥ 5 ⇒ Solusi : (−∞,−3] ∪ [7,+∞)

3. |2x − 1| ≤ 34.∣∣2 + 5

x

∣∣ > 15.∣∣ 3x − 1

∣∣ > 26. |3x + 1| < 2 |x − 6|7. 2 |x − 1| ≤ |3x − 2|8. 3 |x |+ 2 |x − 1| ≤ 79. x − 1 ≤ 2




Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Latihan nilai mutlak1. |x + 2| < 2 ⇒ Solusi : (−4, 0)2. |x − 2| ≥ 5 ⇒ Solusi : (−∞,−3] ∪ [7,+∞)3. |2x − 1| ≤ 34.∣∣2 + 5

x

∣∣ > 15.∣∣ 3x − 1

∣∣ > 26. |3x + 1| < 2 |x − 6|7. 2 |x − 1| ≤ |3x − 2|8. 3 |x |+ 2 |x − 1| ≤ 79. x − 1 ≤ 2




Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Persamaan GarisBentuk umum persamaan garis :

y = mx + c

ax + by = c

dengan m gradien atau kemiringan garis tersebut.

Persamaan garis yang melalui dua titik yaitu A (x1, y1) dan

B (x2, y2) adalah

y − y1

y2 − y1=

x − x1

x2 − x1

Perhatikan bahwa

m =y2 − y1

x2 − x1

sehingga persamaan garis yang melalui A (x1, y1) danmempunyai gradien m adalah

y − y1 = m (x − x1)

Untuk garis-garis yang sejajar, berlaku m1 = m2, sedangkanuntuk garis-garis yang tegak lurus, berlaku m1m2 = −1.



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Persamaan GarisBentuk umum persamaan garis :

y = mx + c

ax + by = c

dengan m gradien atau kemiringan garis tersebut.Persamaan garis yang melalui dua titik yaitu A (x1, y1) dan

B (x2, y2) adalah

y − y1

y2 − y1=

x − x1

x2 − x1

Perhatikan bahwa

m =y2 − y1

x2 − x1

sehingga persamaan garis yang melalui A (x1, y1) danmempunyai gradien m adalah

y − y1 = m (x − x1)

Untuk garis-garis yang sejajar, berlaku m1 = m2, sedangkanuntuk garis-garis yang tegak lurus, berlaku m1m2 = −1.



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Persamaan Garis

1. Tentukan persamaan garis berikut ini :

1.1 melalui (2, 2) dan bergradien −11.2 memotong y di 5 dan bergradien 21.3 melalui (−2,−3) dan (5,−9)1.4 melalui (2,−3) dan (2, 5)

2. Tentukan persamaan garis yang melalui (3,−3) yang :

2.1 sejajar dengan garis y = 2x + 52.2 tegak lurus dengan garis 2x + 3y = 62.3 sejajar dengan garis yang melalui (−1, 2) dan (3,−1)2.4 tegak lurus dengan garis x = 82.5 sejajar dengan garis y = −8

3. Sebuah mobil seharga Rp 200 juta dan setiap tahunnyamengalami penurunan harga sebesar 8% dari hargamula-mulanya. Tentukan formula dari nilai mobiltersebut setelah t tahun dan gunakan untukmemperkirakan kapan mobil tersebut tidak mempunyainilai lagi!



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Grafik kuadrat dan kubik dasar

1. y = x2

2. y = −x2

3. x = y 2

4. x = −y 2

5. y =√

x

6. y = x3

7. y = −x3

8. x = y 3



Aturan

Sistem BilanganRiil

Ketaksamaan

Nilai Mutlak

Gambar Grafik

Latihan Gambar Grafik

1. y = −x2 + 1

2. y = x2 − 6x + 9

3. x = −y 2 + 1

4. f (x) =

1 , x ≤ 0x + 1 , 0 < x < 2x2 − 1 , x ≥ 2

Pendahuluan

Documents

Transcript of Pendahuluan