PEMBUKTIAN DAN PENALARAN

DISUSUN OLEH:

Prodi Matematika 2A kelompok 2

SEKOLAH TINGGI ILMU KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP)

PGRI NGANJUK

2010/2011

1

KATA PENGANTAR

Alhamdulullilah kami ucapkan, karena berkah dan rahmatNya kami dapat menyelesaikan

penyusunan makalah ini sebagai salah satu pemenuhan tugas pada mata pelajaran

“Geometri” di semester II ini.

Kami berharap dengan adanya makalah ini dapat memberikan wawasan kepada para

pembacanya.

Tak lupa kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan

arahan dan motivasi sehingga penyusunan makalah ini dapat terselesaikan. Semoga Allah

senantiasa memberi rahmat serta hidayahNya kepada kita semua.

Kami menyadari bahwa makalah ini masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu, jika ada

kesalahan dalam penyampaian maupun penulisan, kami minta maaf

Nganjuk, April 2011

Penulis

2

DAFTAR ISI

Kata pengantar …………………………………………………………………………………………………………….. 2

Daftar Isi ………………………………………………………………………………………………………………………. 3

Pendahuluan ……………………………………………………………………………………………………………….. 4

Pembahasan

1. Bukti tak langsung ………………………………………………………………………………………. 5

2. Bukti tak langsung dan hubungan segitiga …………………………………………………. 7

3. Keantaraan dan Pemisah …………………………………………………………………………… 8

Latihan Soal dan Kunci Jawaban ………………………………………………………………………………… 9

Daftar Pustaka …………………………………………………………………………………………………………… 11

3

PENDAHULUAN

Geometri adalah ilmu (sains) yang tidak hanya mementingkan jawaban, tetapi juga

bagaimana dan mengapa anda menjawab itu. Untuk itu diperlukan adanya penalaran da

pembuktian. Penting untuk dipahami bahwa geometri merupakan sistem matematika yang

menggunakan penalaran deduktif (deduktif reasoning).

Penalaran yaitu suatu kegiatan, suatu proses aktivitas, berfikir untuk menarik kesimpulan/

membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasarkan pada beberapa pernyataan yang

kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya. Dengan kata lainbahwa

penalaran deduktif dapat diartikan : suatu proses penalaran yang menggunakan

pernyataan yang telah diketahui kebenarannya terlebih dahulu, untuk kemudian digunakan

dalam membuat kesimpulan dari suatu pernyataan baru.

Pembuktian yaitu kegiatan seseorang untuk meyakinkan sesuatu itu benar malalui langkah-

langkah logis.

Pembuktian dibagi menjadi 2 yaitu pembuktian tak langsung di dalam bab ini hanya akan

menekankan pada pembahasan pembuktian secara tidak langsung.

4

PEMBAHASAN

I. BUKTI TAK LANGSUNG

Bukti tak langsung yaitu suatu pembuktian yang menggunakan suatu pemisalan / suatu

pengandaian. Bukti tak langsung dikenal pula dengan pembuktian kontradiksi. Penggunaan

bukti tak langsung memang agak rumit. Akan tetapi, dengan adanya pembuktian tak

langsung dapat membantu kita manakala dihadapkan pada masalah pembuktian yang sulit

diambil penalarannya secara langsung.

Beberapa teorema yang sukar dibuktikan dengan dengan bukti langsung, dengan

menggunakan bukti tak langsung. Kesularan tersebut dapat diatasi.

Bukti tak langsung juga bermanfaat ketika informasi yang diketahui langka atau kita

mencoba menunjukkan bahwa sesuatu berbeda dari orang lain.

Contoh soal:

Diketahui : ΔABC siku-siku dengan garis berat . . Buktikan ΔABC adalah sama kaki

5

Bukti langsung

Pernyataan Alasan 1. ΔABC siku-siku dengan garis berat .

2. ∡ADC dan ∡ADB sudut siku-siku

3. ΔADC dan ΔADB segitiga siku-siku

4. ≅

5. DC = DB

6. =

7. ΔADC ≅ ΔADB

8. ≅

9. ΔABC sama kaki

1.diketahui

2. definisi ketegak lurusan

3. definisi segitiga siku-siku

4. sifat reflektif

5. definisi garis berat

6. definisi kongruensi segmen

7. langkah 4,6, dan KK

8. akibat kongruensi segitiga

9. definisi segitiga sama kaki

Bukti tak langsung

Pernyataan Alasan 1. ΔABC siku-siku dengan garis berat .

2. andai ΔABC tidak sama kaki

3.

4. sumbu

5. A berjarak sama dari B dan C

6 .

7. .

1. diketahui

2. pengandaian tak langsung

3. definisi segiga siku-siku

4. langkah 1 dan definisi garis bagi

5. definisi garis sumbu

6. definisi jarak sama

7. definisi segmen kongruen

Pernyataan terahkir kontradiksi dengan pernyataan 3 jika pengandaian benar. Jadi

pengandaian ΔABC tidak sama kaki adalah sama. Kunci pokok pembuktian tak langsung :

mengetahui kapan sifat-sifat atau aksioma itu digunakan.

6

II PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG DAN HUBUBNGAN SEGITIGA

Pembuktian tak langsung erat kaitannya dengan segitiga, terutama dengan segitiga siku-

siku. Gagasan bahwa segitiga siku-siku itu ada, bergantung pada pembuktian tak langsung.

Definisi segitiga siku-siku merupakan definisi sederhana tetapi penting. Sudut siku-siku

merupakan dasar trigonometri.

Contoh soal :

Diketahui : ΔABC siku-siku, ∡A siku-siku

Buktikan : garis berat berbeda dengan garis sumbu

Bukti :

Pernyataan Alasan 1. dalam ΔABC, garis berat

2. misal garis sumbu

3. ∡BDA sudut siku-siku

4. ∡A sudut siku-siku

1. diketahui

2. diandaikan

3. definisi garis sumbu]

4. diketahui

Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa dalam suatu segitiga siku-siku ada paling

banyak 1 sudut siku-siku. Jadi pengandaian salah, seharusnya garis berat dan sumbu

adalah ruang garis berbeda.

7

III KEANTARAAN DAN PEMISAH

A. KEANTARAAN

Definisi : keantaraan adalah suatu titik yang terletak ditengah antara 2 titik yang saling

berhubungan.

Misal :

Diketahui titik A berhubungan dengan titik B dan ditengah-tengah garis penghubung titik A

dan titik B terdapat satu titik keantaraan yaitu titik C.

Titik inilah yang disebut keantaraan AB, karena terletak diantara 2 titik yang saling

berhubungan.

B. PEMISAH

Definisi : pemisah adalah suatu garis yang membagi sudut dalam segitiga atau bisa juga

disebut dengan titik berat segitiga tang membagi sudut dalam segitiga menjadi 2 bagian

segitiga yang kongruen.

Misal :

8

A BC

A C

B

D

LATIHAN SOAL

1.

Buktikan bahwa X dan Z berlainan pihak oleh K yang memuat Y!

2. diketahui garis m bidang E dititik n. Buktikan bahwa bidang E memuat setiap garis yang

tegak lurus ke m di n!

.

3.Diketahui ΔPQR

Buktikan bahwa hanya ada satu sudut yang siku-siku pada

gambar di samping!

9

KUNCI JAWABAN

1. Jawab:

Y berada diantara X dan Z pada garis L. K dan L sebidang dan berpotongan di titik Y. dan Y

berada diantara X dan Z. Jadi X dan Z berada di setengah bidang yang sama yang dibentuk

oleh sembarang garis lain yang memuat Y

2. Bukti:

Andai L tegak lurus ke L di P, dan L tidak terletak dalam bidang E. karena m1 dan m dua

garis berpotongan. Keduanya membentuk bidang F. misalkan m2 berpotongan di bidang E

dan F. menurut definisi garis dan bidang tegak lurus, m2 tegak lurus ke m di n. adanya 2

garis dalam yang tegak lurus ke m di n bertentangan dengan teorema 5.1 yang berbunyi

bahwa dalam sebuah bidang, garis sumbu sebuah ruas garis adalah garis yang tegak lurus.

Ruas garis itu dititik tengahnya.

Karena itu pengandaian tadi salah, dan secara tidak langsung pernyataan yang dimaksud

(bidang E memuat setiap garis yang ke m di n terbukti.

3. Bukti:

Andai ∡P dan ∡Q sudut siku-siku, maka ada garis tegak lurus yang melalui R. hal ini

kontradiksi dengan teorema 5.3 bahwa tepat satu garis melalui R yang tegak lurus . Jadi

pengandaian ∡P dan ∡Q keduanya sudut siku-siku adalah salah. Seharusnya salah satu dari

∡P , ∡Q, atau ∡R yang siku-siku.

10

DAFTAR PUSTAKA

www.google.com (penalaran dan pembuktian segitiga)

Susanah dan Hartono. Geometri. Unesa University Press Anggota (KAP)

11