Pembuktian dalam matematika

13

Click here to load reader

Transcript of Pembuktian dalam matematika

Page 1: Pembuktian dalam matematika

PEMBUKTIAN DALAM

MATEMATIKA

Prodi S.1 PGMI/SD STAI Al-Ihya Kuningan

Page 2: Pembuktian dalam matematika

Metode Pembuktian Matematika

• Pembuktian langsung

• Pembuktian tidak langsung

• Induksi matematika

Page 3: Pembuktian dalam matematika

Pembuktian Langsung

Pembuktian langsung dalam matematikadilakukan dengan menguraikan premis dengandilandasi oleh definisi, fakta, aksioma yang adauntuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi)

Page 4: Pembuktian dalam matematika

Contoh 1

Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, makan2 bilangan ganjil”.

Bukti:

Diketahui bahwa n bilangan ganjilKarena n bilangan ganjil, maka n = 2k+1, dengan k bilangan bulatn2 = (2k+1) 2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1Bentuk 2(2k2+2k) + 1 adalah bilangan ganjilJadi n2 bilangan ganjil

Page 5: Pembuktian dalam matematika

Pembuktian Tidak Langsung

Pembuktian tidak langsung atau pembuktiandengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :

Kontraposisi

Kontradiksi

Page 6: Pembuktian dalam matematika

Kontraposisi

• Pembuktian tidak langsung kontraposisidigunakan untuk membuktikan pernyataanimplikasi

• Untuk membuktikan pernyataan implikasi kitacukup membuktikan kontraposisi dari implikasipernyataan tersebut

• Secara simbolik :p → q ≡ ~q → ~p

artinya untuk membuktikan kebenaran p → q kita cukup membuktikan kebenaran ~q → ~p

Page 7: Pembuktian dalam matematika

Contoh :

Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Bukti:

Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akanmembuktikan kebenaran kontraposisinya.Misalnya :p = n2 bilangan ganjilq = n bilangan ganjil

Page 8: Pembuktian dalam matematika

Apakah p → q benar ?Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengansebagai n = 2k, k bilangan asli.Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2). Artinya n2 bilangan genap.Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjilBENAR, sehingga kontraposisi ~q →~p BENAR. Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n bilangan ganjil.

Page 9: Pembuktian dalam matematika

Kontradiksi

• Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksidilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atauteorema yang ada.

• Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterimadan akibatnya konklusi yang ada benarberdasarkan premis yang ada

Page 10: Pembuktian dalam matematika

Contoh :

Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jka n2

ganjil, maka n ganjil”.

Bukti:

Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilanganbulat ganjil, maka n bilangan bulat genap. Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat. Dengan demikian maka :n2 = (2k) 2

n2 = 4k2

n2 = bilangan bulat genap (~p)Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui pbenar, sedangdari lang-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itukontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harusdiingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

Page 11: Pembuktian dalam matematika

Induksi Matematika

Induksi matematika adalah salah satu metodeuntuk membuktikan suatu pernyataan tertentuyang berlaku untuk bilangan asli

Page 12: Pembuktian dalam matematika

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, maka P(n) benar untuk semua n.

Page 13: Pembuktian dalam matematika

Contoh :

Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan asli n”.

Bukti:

Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2,

(a). P(1) benar, sebab 1 = 1

(b). Apabila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2, maka 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1.

= k2 + 2k + 1

= (k + 1) 2

Sehingga P(k+1) benar