Pembuktian dalam matematika
Click here to load reader
-
Upload
sman-1-subang-kuningan -
Category
Education
-
view
9.233 -
download
2
Transcript of Pembuktian dalam matematika
![Page 1: Pembuktian dalam matematika](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022100507/5597a00d1a28ab9c098b4577/html5/thumbnails/1.jpg)
PEMBUKTIAN DALAM
MATEMATIKA
Prodi S.1 PGMI/SD STAI Al-Ihya Kuningan
![Page 2: Pembuktian dalam matematika](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022100507/5597a00d1a28ab9c098b4577/html5/thumbnails/2.jpg)
Metode Pembuktian Matematika
• Pembuktian langsung
• Pembuktian tidak langsung
• Induksi matematika
![Page 3: Pembuktian dalam matematika](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022100507/5597a00d1a28ab9c098b4577/html5/thumbnails/3.jpg)
Pembuktian Langsung
Pembuktian langsung dalam matematikadilakukan dengan menguraikan premis dengandilandasi oleh definisi, fakta, aksioma yang adauntuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi)
![Page 4: Pembuktian dalam matematika](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022100507/5597a00d1a28ab9c098b4577/html5/thumbnails/4.jpg)
Contoh 1
Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, makan2 bilangan ganjil”.
Bukti:
Diketahui bahwa n bilangan ganjilKarena n bilangan ganjil, maka n = 2k+1, dengan k bilangan bulatn2 = (2k+1) 2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1Bentuk 2(2k2+2k) + 1 adalah bilangan ganjilJadi n2 bilangan ganjil
![Page 5: Pembuktian dalam matematika](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022100507/5597a00d1a28ab9c098b4577/html5/thumbnails/5.jpg)
Pembuktian Tidak Langsung
Pembuktian tidak langsung atau pembuktiandengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :
Kontraposisi
Kontradiksi
![Page 6: Pembuktian dalam matematika](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022100507/5597a00d1a28ab9c098b4577/html5/thumbnails/6.jpg)
Kontraposisi
• Pembuktian tidak langsung kontraposisidigunakan untuk membuktikan pernyataanimplikasi
• Untuk membuktikan pernyataan implikasi kitacukup membuktikan kontraposisi dari implikasipernyataan tersebut
• Secara simbolik :p → q ≡ ~q → ~p
artinya untuk membuktikan kebenaran p → q kita cukup membuktikan kebenaran ~q → ~p
![Page 7: Pembuktian dalam matematika](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022100507/5597a00d1a28ab9c098b4577/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh :
Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.
Bukti:
Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akanmembuktikan kebenaran kontraposisinya.Misalnya :p = n2 bilangan ganjilq = n bilangan ganjil
![Page 8: Pembuktian dalam matematika](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022100507/5597a00d1a28ab9c098b4577/html5/thumbnails/8.jpg)
Apakah p → q benar ?Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengansebagai n = 2k, k bilangan asli.Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2). Artinya n2 bilangan genap.Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjilBENAR, sehingga kontraposisi ~q →~p BENAR. Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n bilangan ganjil.
![Page 9: Pembuktian dalam matematika](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022100507/5597a00d1a28ab9c098b4577/html5/thumbnails/9.jpg)
Kontradiksi
• Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksidilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atauteorema yang ada.
• Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterimadan akibatnya konklusi yang ada benarberdasarkan premis yang ada
![Page 10: Pembuktian dalam matematika](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022100507/5597a00d1a28ab9c098b4577/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh :
Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jka n2
ganjil, maka n ganjil”.
Bukti:
Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilanganbulat ganjil, maka n bilangan bulat genap. Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat. Dengan demikian maka :n2 = (2k) 2
n2 = 4k2
n2 = bilangan bulat genap (~p)Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui pbenar, sedangdari lang-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itukontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harusdiingkar yang berarti ~q salah atau q benar.
![Page 11: Pembuktian dalam matematika](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022100507/5597a00d1a28ab9c098b4577/html5/thumbnails/11.jpg)
Induksi Matematika
Induksi matematika adalah salah satu metodeuntuk membuktikan suatu pernyataan tertentuyang berlaku untuk bilangan asli
![Page 12: Pembuktian dalam matematika](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022100507/5597a00d1a28ab9c098b4577/html5/thumbnails/12.jpg)
Prinsip Induksi Matematika
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, maka P(n) benar untuk semua n.
![Page 13: Pembuktian dalam matematika](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022100507/5597a00d1a28ab9c098b4577/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh :
Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan asli n”.
Bukti:
Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2,
(a). P(1) benar, sebab 1 = 1
(b). Apabila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2, maka 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1.
= k2 + 2k + 1
= (k + 1) 2
Sehingga P(k+1) benar