Pembuktian dalam matematika Presentation Transcript

PEMBUKTIAN DALAMMATEMATIKAProdi S.1 PGMI/SD STAI Al-Ihya Kuningan Metode Pembuktian Matematika• Pembuktian langsung• Pembuktian tidak langsung•

Induksi matematika Pembuktian LangsungPembuktian langsung dalam matematikadilakukan dengan

menguraikan premis dengandilandasi oleh definisi, fakta, aksioma yang adauntuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi)

Contoh 1 Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjil”.Bukti: Diketahui bahwa n bilangan ganjil Karena n bilangan ganjil, maka n = 2k+1, dengan k bilangan bulat n2 = (2k+1) 2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1 Bentuk 2(2k2+2k) + 1 adalah bilangan ganjil Jadi n2 bilangan ganjil

Pembuktian Tidak LangsungPembuktian tidak langsung atau pembuktiandengan kemustahilan (reductio ad absurdum)yang dibahas ada 2 cara yaitu :KontraposisiKontradiksi

Kontraposisi• Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi• Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut• Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p artinya untuk membuktikan kebenaran p → q kita cukup membuktikan kebenaran ~q → ~p

Contoh :Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka nbilangan ganjil”.Bukti: Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya. Misalnya : p = n2 bilangan ganjil q = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ?Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka nbilangan genap, sehingga n dinyatakan dengansebagai n = 2k, k bilangan asli.Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2).Artinya n2 bilangan genap.Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjilBENAR, sehingga kontraposisi ~q →~p BENAR.Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n bilangan ganjil.

Kontradiksi• Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada.• Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Contoh :Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jka n2ganjil, maka n ganjil”.Bukti:Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilanganbulat ganjil, maka n bilangan bulat genap. Dapat dimisalkan n =2k dengan k bilangan bulat. Dengan demikian maka :n2 = (2k) 2n2 = 4k2n2 = bilangan bulat genap (~p)Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui pbenar, sedangdari lang-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itukontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harusdiingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

Induksi Matematika Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli

Prinsip Induksi Matematika Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, maka P(n) benar untuk semua n.

Contoh :Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) =n2, untuk semua bilangan asli n”.Bukti:Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2,(a). P(1) benar, sebab 1 =

1(b). Apabila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2, maka 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1. = k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 Sehingga P(k+1) benar

Pembuktian Matematika

 Dalam logika matematika dikenal ada 2 pembuktian matematika,

1. Pembuktian langsung2. Pembuktian tidak langsung, dibagi atas pembuktian kontraposisi dan kontradiksi

     A.  PEMBUKTIAN LANGSUNG        Untuk menunjukan pernyataan (p=>q) benar dapat dilakukan dengan menggunakan premis  p untuk mendapatkan konklusi q. Metode pembuktian yang termasuk bukti langsung antara lain modus ponens, tollens, dan silogisme.

Contoh   : Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n adalah bilangan

ganjil, maka n2 adalah bilangan ganjil ! Jawab    :

Misalnya : p : n adalah bilangan bulat ganjil

               q  : n2 adalah bilangan bulat ganjil

Akan dibuktikan p => q benar.

Karena n ganjil, yaitu n = 2k +1, k € C

Maka  n2 = (2k + 1)2

              = 4k2 +4k +1

              = 2(2k2 + 2k) + 1

              = 2m + 1

Dengan m = 2k2 + 2k, yang berarti n2 adalah bilangan bulat ganjil

Jadi, terbukti p=>q benar.

B. PEMBUKTIAN TIDAK LANGSUNG

B1. PEMBUKTIAN KONTRAPOSISI

            Untuk membutikan ( p=>q ) benar, dapat dilakukan dengan memisalkan –q benar dan ditunjukan –p benar. Dari –q diperoleh –p benar sehingga (-q => -p) adalah benar.

Contoh          :            Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n2 adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil!

Jawab                        :Untuk membuktikan pernyataan diatas dapat dilakukan dengan pembuktian tak langsung dengan kontraposisi.Misalnya  p    : n2 adalah bilangan ganjil                 q     : n adalah bilangan ganjilkemudian misalnya –q benar yang berarti n adalah bilangan genap, yaitu n = 2ksehingga n2    = (2k)2

 = 4k2

 = 2(2k2) = 2m dengan m = 2k2

Yang berarti n2 adalah bilangan genap.Dengan demikian, -p : n2 adalah bilangan genap                                    -q : n adalah bilangan genapDan karena –q => -p adalah benar dan p => q ≡ -q => -pMaka terbukti p => q adalah benar.Jadi, terbukti bahwa jika n2 adalah bilangan ganjil, makan adalah bilangan ganjil.

B2. PEMBUKTIAN KONTRADIKSIUntuk membuktikan (p => q) benar, dapat dilakukan dengan mengandaikan –q

benar. Dari –q benar kita tunjukan suatu kontradiksi dengan p benar atau dengan pernyataan benar lainnya. Dengan demikian langkah seharusnya adalah q benar sehingga (p => q) benar .

Contoh          :Buktikan bahwa ”jika n2 adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil” dengan bukti tak langsung!

Jawab                        :Misalnya n adalah bilangan genap, yaitu n = 2k, k € B.Karena n = 2kMaka n2  = (2k)2 = 4k2 =2(2k2)                 = 2m dengan m = 2k2

Sehingga n2 adalah bilangan genap, kontradiksi dengan  n2 adalh bilangan ganjil.Jadi, terbukti bahwa jika n2 adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil.

Sumber  : Buku Mathematics Bilingual :)

7. Penarikan Kesimpulan

Dalam logika matematika kesimpulan ditarik dari beberapa pernyataan yang diasumsikan (premis). Ada beberapa prinsip dalam penarikan  kesimpulan yaitu:

1. Prinsip Modus Ponens.

Premis 1          : p  q

Premis 2          : p

Konklusi          :          q

Contoh :

Premis 1 : Jika nanti sore tidak hujan maka Ardi pergi ke rumah  Ika.

Premis 2 : Sore itu tidak hujan.

 

Konklusi : Ardi  pergi ke rumah Ika.

 

1. Prinsip Modus Tolens.

Premis 1          : p  q

Premis 2          :         -q

Konklusi          : -p

Contoh :

Premis 1          : Jika saya lulus maka saya pergi ke Bali.

Premis 2          : Saya tidak pergi ke Bali.

 

 

Konklusi          : Saya tidak lulus.

 

1. Prinsip Silogisme.

Premis 1          : p  q

Premis 2          : q r

Konklusi          : p  r

Contoh :

Premis 1          : Jika saya belajar maka nilaiku bagus.

Premis 2          : Jika nilaiku bagus maka saya naik kelas.

 

 

Konklusi          : Jika saya belajar maka saya naik kelas.

 

Latihan 10.

1. Tuliskan kesimpulan dari premis-premis berikut : 1. p1 : Jika Novita berangkat sekolah maka ia memakai seragam.

p2 : Novita tidak memakai seragam.

1. p1 : Jika Anisa sakit maka ia pergi ke dokter.

p2 : Anisa tidak pergi ke dokter.

1. p1 : Jika 2x = 8 maka x = 4.

p2 : Jika x = 4 maka x2 = 16.

1. p1 : Jika a = b maka a + 2 = b + 2.

p2 : a  +  2  b + 2.

1. Selidiki sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut dengan menggunakan table kebenaran :

1. p1 :  p  q

p2 : p

:           q

 

1. p1 :  p  q

p2 :           -q

:  -p

 

1. p1 :  p  q

p2 :  q  r

:  p  r

 

1. p1 :  p -q

p2 :          -q

:  p

 

1. p1 :  p -q

p2 :           -q

:  -p

 

 

1. p1 :  -p  q

p2 :  -p

:  q

 

1. Tulislah kesimpulan yang sah dari premis-premis berikut : 1. p : p -q

p: -q

: ……..

1. p : -q -p

p:  q  r

: ……..

1. p :  p  q

p:  q  -r

: ……..

1. p :  -p  q

p:  q  -r

p :  p

: ……..

 

1. Tulislah kesimpulan yang sah dari premis-premis berikut : 1. p : Anton anak yang tidak rajin belajar atau Anton anak pintar.

p: Anton anak yang tidak pintar

:  ……………………………………………..

 

1. p : Gadhis lulus ujian atau Gadhis melanjutkan sekolah.

p: Jika Gadhis melanjtukan sekolah maka Gadhis rajin belajar.

:  ……………………………………………..

 

1. p :  Jika saya tidak masuk maka Kartika sedih

p:  Jika Kartika sedih maka ia malas belajar

p :  Jika Kartika malas belajar maka Pak guru marah.

:  ……………………………………………….

 

1. p :  Jika semua masyarakat resah maka harga BBM naik

p:  Harga BBM tidak naik atau Harga sembako tidak naik

p :  Harga sembako naik.

:  ……………………………………………….

 

8. Penyusunan Bukti.

Adabeberapa pembuktian dalam matematika, yaitu :

 

1. Bukti Langsung.

Contoh      :

Buktikan bahwa ada bulan yang jumlah harinya 31 hari.

Bukti         : Bulan Januari terdapat 31 hari.

Jadi            :Adabulan yang jumlah harinya 31 hari.

 

1. Bukti tidak langsung.

Contoh      :

Buktikan bahwa setiap x bilangan Asli, x + 2  3.

Bukti         :

Misalkan ada x bilangan Asli , x + 2 < 3

x     <   3 – 2

x     <   1

Dari x < 1 adalah salah karena tidak ada bilangan Asli  yang kurang dari 1.

Jadi            : Setiap x bilangan Asli, x + 2  3.

 

1. Induksi Matematika.

Langkah-langkah dalam melakukan pembuktian dengan Induksi Matematika :

1. Buktikan rumus berlaku untuk n = 1.2. Misalkan rumus berlaku untuk n = k,

Buktikan rumus berlaku untuk n = k + 1.

Contoh      :

Buktikan bahwa  1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n2 untuk n bilangan Asli.

Bukti         :

1. n = 1,           2n – 1 = n2

2.1 – 1 = 12

1 = 1  (Rumus berlaku untuk n = 1)

2. n = k,        1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k- 1) = k2

n = k + 1,  1 + 3 + 5 + 7 + … + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)2

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k + 2 – 1) = (k + 1)2

                                 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k + 1) = (k + 1)2

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2

k2            + (2k + 1) = (k + 1)2

k2 + 2k + 1  =  (k + 1)2

(k + 1)2 = (k + 1)2

Terbukti.

 

 

 

 

 

Latihan 11.

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika.1. 1 + 2 + 3 + 4 + … + n =  n (n +  1).

2. 1 + 9 + 25 + 49 + … + (2n – 1)2 =   n (2n – 1)(2n + 1).

3.  =

4. Buktikan bahwa :

Bentuk n (n + 1)(n + 2) habis dibagi 6 untuk setiap n bilangan Asli.