Pembelajaran M a t e m a t i k a “ Dia yang menjadikan ... · PDF filedengan menggunakan...

“ Dia yang menjadikan matahari dan bulan bercahaya,

serta mengaturnya pada beberapa tempat, supaya kamu

mengetahui bilangan tahun dan perhitunganya…”

(QS Yunus:5 )

M a t e m a t i k a ....

Pembelajaran

Pendahuluan Luas

Sifat :

- Luas daerah rata adalah bilangan riil tak negatif

- Lpersegipanjang=panjang x lebar (satuan sama)

- Daerah kongruen mempunyai luas yang sama

- Luas gabungan daerah yang hanya berimpit satu ruas garis = Luas kedua daerah

- Jk daerah 1 ada di daerah 2 maka Luas daerah daerah = Luas d2 kurang/samadg Luas d1

Beberapa jumlah khusus yang dibutuhkandalam penghitungan Luas

30

)196)(1(321

2

)1(321

6

)12)(1(321

2

)1(321

234444

1

4

23333

1

3

2222

1

2

1

nnnnnni

nnni

nnnni

nnni

n

i

n

i

n

i

n

i

Pendahuluan

Pilar-pilar jembatan membentuk partisi-partisi yang akan dijadikan

pijakan dalam menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.

Luas sebagai limit

X

Y

xy sin

Menentukan luas daerah dengan

limit jumlah dapat diilustrasikan

oleh gambar di samping.

Langkah :

1) Partisi

2) Aproksimasi,

3) Jumlahkan dan

4) Hitung limitnya.

Langkah menghitung luas daerah

dengan limit jumlah adalah:

1. Bagilah interval menjadi selang

yang sama panjang.

2. Partisilah daerah tersebut.

3. Masing-masing partisi buatlah

persegi panjang.

4. Perhatikan persegi panjang pada

interval [xi-1 , xi].

y

a

x

0

Li

x

xi

)(xfy

)( ixf

5. Tentukan luas persegi

panjang ke-i (Li)

6. Jumlahkah luas semua

persegi panjang

7. Hitung nilai limit jumlahnya

y

a

x

0

Li

x

xi

)(xfy

)( ixf

Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x

Jumlah luas persegi panjang :L f(xi) x

Limit jumlah : L = lim f(xi) x ( n ∞ )

Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x = 3

dengan menggunakan cara limit jumlah.

Contoh 1.

Langkah penyelesaian:

1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah

selang yang sama panjang; yaitu 3/n.

2. Partisi daerah tersebut menurut persegi

panjang luar.

3. Tentukan ukuran persegi panjang pada

interval [xi , xi+1] dan hitunglah luasnya.

x0 = 0

x1 = 3/n

x2 = (3/n) × 2 = 6/n

Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n

y

0

x

3

Li

3/n

21ix

2)( xxf

xi+1xix1 x2 x3

23i 1

27L i

n

nn

i

nix3

2)1(3321iL

Jawab

4. Jumlahkan luas semua partisi

1

0

2

31

27L

n

ii

n

222

3...21

27L n

n

)12)(1(6

127L

3 nnn

n

)2)(1(2

9L 11

nn

5. Tentukan limitnya

)2)(1(2

9L 11

limnn

n

9)02)(01(2

9L

Jadi luas daerah = 9 satuan

6

)12)(1(

1

2

nnn

n

k

k

0

x

3

Li

3/n

21ix

2)( xxf

xi+1xix1 x2

x3

y

Perhatikan gambar di

bawahMisalkan selang [a, b] dibagi menjadi n bagian

(lebar tidak harus sama) dengan lebar selang

ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada selang [xi-1, xi]

diambil titik sampel xk maka jumlah Riemann

dituliskan sebagai :

k

n

kk xxf Δ )(

1

y

a

x

0 b

xi-1 xixk

xi

Integral Tentu

Selanjutnya didefinisikan bahwa:k

n

kk

nxxfdxxf Δ )( lim )(

1

b

a

Bentuk b

a

)( dxxf

disebut dengan integral tertentu (Integral Riemann)

=

= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]

= 16 – 8 + 2 - 2 = 8

2

1

2 dx 46 xx 2123 22 xx

Hitunglah nilai dari

2

1

2 dx 46 xx

Contoh 2.

Jawab

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F

adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai

Teorema Dasar Kalkulus

)(F)(F )( abdxxf

b

a

bax)(F

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai

luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

y

x

0 a bx

y

a

x

0 b

b

a

dxxf )(

Jumlah Luas

Partisi

Berubah

Menjadi Integral

Tentukan limitnya

n

)(xf

n

iii xxf

1)(

)(xf

i

n

ii

n

b

a

xxfdxxfL 1

)()( lim

Kegiatan pokok dalam menghitung

luas daerah dengan integral tentu

adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah partisi

Li f(xi) xi

4. Jumlahkan luas partisi

L f(xi) xi

5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi

6. Nyatakan dalam integral

x

0

y)(xfy

a

xi

xi

)( ixfLi

a

dxxf0

)(L

Menghitung Luas dengan Integral

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3

Contoh 3.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya


3. Aproksimasi luasnya Li xi2 xi

4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim xi2 xi

6. Nyatakan dalam integral dan

hitung nilainya

y

0

x

3

2)( xxf

dxx3

0

2L

903

333

03

3L

x

Li

xi

xi

2ix

Menghitung Luas dengan Integral

Jawab


1. Gambar dan Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan

Aj -(4xj - xj2)xj

4. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan

A -(4xj - xj2)xj

5. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi

dan A = lim -(4xj - xj2)xj

6. Nyatakan dalam integral

y

0x54

24)( xxxf dxxx 4

0

2)4(L dxxx 5

4

2)4(A

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,

dan garis x = 5

Contoh 4.

Jawab

dxxx 4

0

2)4(L

dxxx 5

4

2)4(A

y

0x54

24)( xxxf

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

40

33122L xx

3643

312 320)4()4(2L

54

33122A xx

33123

312 )4()4(2)5()5(2A

364

3125 3250A

18A361

1832 daerah Luas361

364

13 daerah Luas

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada

selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi,

aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat

ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.



2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x

4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ] x

5. Ambil limitnya :

L = lim [ f(x) – g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

y

ba

dxxgxfb

a )()(L

)(xfy

)(xgy

0

xLi

x

x

)()( xgxf

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x

Contoh 5.

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0

diperoleh x = -2 dan x = 1


4. Aproksimasi luasnya

Li (2 - x - x2)x

4. Jumlahkan luasnya

L (2 - x - x2)x

5. Tentukan limit jumlah luasnya

L = lim (2 - x - x2)x


dxxx

1

2

2)2(L

0

x

1 2-1-2-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

Jawab

dxxx

1

2

2)2(L

0

x

1 2-1-2-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

1

23

3

22L

xxx

3

3)2(

2

2)2(

3

312

21 )2(2)1(2L

38

31

21 242L

38

31

21 242L

21

21 45L

Untuk kasus tertentu

pemartisian secara vertikal

menyebabkan ada dua bentuk

integral. Akibatnya diperlukan

waktu lebih lama untuk

menghitungnya.

)(xfy

y

a b

Lix

x

)()( xgxf

)(2 xf

Ai

0

x

)(xgy

Luas daerah = a

dxxf0

)(2 b

a

dxxgxf )()(

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan

diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah

tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari

sebelumnya.

)()( yfxxfy y

0

x

)()( ygxxgy

Luas daerah = d

c

dyyfyg )()(

Li y

c

d

)()( yfyg

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x

Contoh 6.

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y –

2) = 0

diperoleh y = - 3 dan y = 2


4. Aproksimasi luasnya

Li (6 - y - y2)y

4. Jumlahkan luasnya

L (6 - y - y2)y

5. Tentukan limitnya

L = lim (6 - y - y2)y


Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

0

6

Liy

y

2)6( yy

Jawab

Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

0

6

Li yy

2)6( yy

Luas daerah =

2

03

3

26

yy

y

Luas daerah = 03

3222)2(6

Luas daerah =

38112

Luas daerah = 325

Pembelajaran M a t e m a t i k a “ Dia yang menjadikan ... · PDF filedengan menggunakan...

Documents

Transcript of Pembelajaran M a t e m a t i k a “ Dia yang menjadikan ... · PDF filedengan menggunakan...