TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS DAN PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN

TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS DAN PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN3.1. Turunan Fungsi Kompleks

Turunan dari fungsi kompleks f pada titik z0 di tuliskan f(z0) di nyatakan dengan : f(z0)=

Atau dapat di

tuliskan :

f(z0)=

fungsi f(z) di sebut diferensial ( dapat di turunkan ) di z0 bila limit di atas ada.

Contoh soal:

Tentukan turunan dari fungsi berikut :

1. f(z) = c

Jawab :

f(z)=

2. f(z) = z2Jawab :

Atau gunakan sifat-sifat turunan :

f(z)=z2 maka f(z)= 2z2-1

f(z) = 2z

3. f(z) =

Jawab :

f(x) =

EMBED Equation.3

=

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 3.2. Persamaan Cauchy Riemann

A. Fungsi Analitik Suatu fungsi f(z) di katakan analitik di suatu domain D jika f(z) terdefinisi dan dapat di turunkan pada setiap titik dari D. Fungsi f(z) analitik pada z=z0 di D, jika f(z) analitik di dalam lingkungan dari z0. Jadi keanalitikan f(z) di z0 berarti bawa f(z) mempunyai turunan pada setiap titik di dalam suatu lingkaran dari z0 ( termasuk z0 sendiri)

B. Persamaan Cauchy Riemann

Andaikan suatu fungsi kompleks f(z) = u(x,y)+iv(x,y) mempunyai turunan pada titik z0 = (a,b) atau fungsi analitik, maka

f(z)=ux+ivx terhadap x

f(z)=vy-ivy terhadap y

Jadi :

Atau dapat di tulis :

SHAPE \* MERGEFORMAT

Contoh soal:

Tunjukkan bahwa f(z) = z2+5i z+3-i analitik !

Jawab :

Misal : z = x + iy

f(z) = (x+iy)2 + 5i (x+iy)+ 3 i

f(z) =

u

v

U (x,y)=x2 y2 5y + 3

dan

terpenuhi

V (x,y)=2xy + 5x -1

terpenuhi

dan

Jadi, f(z) analitik memenuhi persamaan Cauchy Riemann

C. Turunan Fungsi Elementer Turunan Eksponensial

(ez) = e

Fungsi Trigonometri dan hiperbolik

1. (cos z) = - sin z

2. (sin z)= coz z

3. (tan z)= sec2 z

4. (cosh z) = sinh z

5. (sinh z) = cosh z

6. (tanh z) = sech2 z

Contoh soal:

Diferensialkan fungsi-fungsi berikut :

1. sin maka; sin

2. sinh (z2) maka; (sinh z2)=2z cosh zD. Persamaan Laplace dan Fungsi Harmonik

Andaikan suatu fungsi kompleks yang analitik dalam domain D, maka memenihi persamaan Laplace jika :

Atau

Bila mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu dalam D. Maka fungsi kompleks tersebut merupakan fungsi harmonik.Contoh Soal :

1. Selidiki bahwa harmonik!

Jawab :

Persamaan Laplace :

fungsi harmonik.2. Selidiki apakah harmonik atau tidak? Kemudian tentukan !

Jawab :

Jadi merupakan fungsi harmonik. Persamaan Cauchy Riemann;

SOAL-SOAL LATIHAN1. Carilah dengan menggunakan definisi :

a.

b.

2. Tunjukkan keanalitikan dari persamaan berikut :

a.

b.

c.

3. Selidikilah apakah fungsi merupakan fungsi harmonik, lalu cari nya!

4. Tentukan fungsi analitik apabila diketahui :

a.

b.

5. deferensialkan fungsi berikut :a.

b.

Penyelesaian Soal Soal Latihan

1. a. f(z) = z2 + 3z

f(z +) = (z + (z +z)+3(z + )-(z2+3z)

= z2 + 2z+2+3z+3-z2-3z

= 2zz++3z

=

=

= 2z++3

= 2z+3b. f(z) = 2z 1

f(z + = 2(z +-1

= 2z + 2-1

=

=

=

= 02. a.

Misal :

u v

Jadi f(z) analitik memenuhi persamaan Cauchy Riemann

b. f(z) = 3z +4iz-5+i

maka :

f(z) = 3(x+iy)(x+iy)+4i(x+iy)-5+i

= 3(x

= 3x

= 3x

= (3x

u

v

3x

Jadi f(z) analitik memenuhi persamaan Cauchy Riemann

c. f(z) = z+3 - i

misal : z = x + iy

f(z) =

f(z) = (x

u(x,y) = x

Jadi, f(z) analitik karena memenuhi persamaan Cauchy Rieman.

3.

Maka:

f(u) = x

= 2

= 2 + ( - 2 )

= 0

Jadi, fungsi f(x) fungsi harmonic

Persamaan Cauchy Riemen

2x + 2y 3 =

v =

v = 2xy + y- 3y + jadi, f(z) = u + iv

= (x

4. a. u = x

Konjugat harus memenuhi dan ,

Sehingga;

Jadi,

v = 2xy + 1

= 2xy + x + c

Fungsi analitik : f(z) = u (x,y) + iv (x,y)

= x

= z

b. u = x

Konjugat harus memenuhi dan ,

Sehingga;

v = , h(y) = o

maka; v = 4x

fungsi analitik : f(z) = u (x,y) + iv(x,y)

f(z) =

= z+ ic

5. a.

Sin z = cos z

b.

Missal:

u = sin z v = cos z

u= cos z v= - sin z

maka:

=

EMBED Equation.3 = secz

EMBED Equation.3

= sec

sec

= sec

PERTANYAAN-PERTANYAAN SAAT DISKUSI1. Pertanyaan dari Riyani (2008121311)a. Tunjukkan keanalitikan dari persamaan f(z) = (1 + i )z2

Jawab :

Misal : z = x + iy

Misal :

Untuk

Jadi f(z) analitik karena memenuhi persamaan Cauchy Riemannb. Tentukan fungsi analitik f(z) = u(x,y) + v(x,y) apabila diketahui u = y2 - x2

Jawab :

Jadi f(u) merupakan fungsi harmonic

Persamaan Cauchy Riemann

2. Pertanyaan dari Siti Asiah (2008121372)

Diketahui f(z) = cos z. Tentukan turunan dari fungsi tersebut dengan menggunakan rumus

Jawab :

3. pertanyaan dari Nurlena (2008121310)

Carilah f(z) dengan menggunakan definisi :

a.

b.

Jawab :

a.

=

b.

4. Pertanyaan dari Rani Tartillah (2008121313)

Buktikan apakah merupakan fungsi harmonic?

Jawab :

harmonik

5. Pertanyaan dari Mita Parlia Sari

Tunjukan apakah analitik!

Jawab :

Misal :

Misal :

u = cos 2x

v = cos 2y

tidak analitik

6. Pertanyaan dari Indah Marta Kumala Dewi (2008121328)

Selidiki bahwa harmonic atau tidak dan tentukan f(z)!

Jawab :

Jadi f(u) bukan fungsi harmonic

Persamaan Cauchy Riemann

f(z) = u + iv

7. Pertanyaan dari Yaumil Agus Akhir(2008121301)

Buktikan apakah merupakan fungsi harmonic lalu cari f(z)nya!Jawab :

Jadi f(v) bukan merupakan fungsi harmonic Persamaan Cauchy Riemann 2

8. hhhh

ux = vy dan vx = -uy

EMBED Equation.3

Persamaan Cauchy Riemann

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PAGE 19

_1332021486.unknown

_1332027877.unknown

_1334965601.unknown

_1335051029.unknown

_1335052048.unknown

_1335052636.unknown

_1335052946.unknown

_1335053220.unknown

_1335053597.unknown

_1335054167.unknown

_1335053533.unknown

_1335053060.unknown

_1335052784.unknown

_1335052325.unknown

_1335052571.unknown

_1335052170.unknown

_1335051525.unknown

_1335051675.unknown

_1335051815.unknown

_1335051608.unknown

_1335051330.unknown

_1335051414.unknown

_1335051169.unknown

_1335049510.unknown

_1335050842.unknown

_1335050860.unknown

_1335050911.unknown

_1335050852.unknown

_1335050000.unknown

_1335050299.unknown

_1335049906.unknown

_1335048361.unknown

_1335048885.unknown

_1335049480.unknown

_1335048792.unknown

_1335048145.unknown

_1335048222.unknown

_1335048106.unknown

_1332029663.unknown

_1334962899.unknown

_1334964161.unknown

_1334965143.unknown

_1334965205.unknown

_1334964853.unknown

_1334963766.unknown

_1334963919.unknown

_1334963333.unknown

_1332041449.unknown

_1334962654.unknown

_1334962880.unknown

_1332041560.unknown

_1334960181.unknown

_1332029709.unknown

_1332029810.unknown

_1332029835.unknown

_1332029790.unknown

_1332029673.unknown

_1332029022.unknown

_1332029462.unknown

_1332029622.unknown

_1332029644.unknown

_1332029557.unknown

_1332029261.unknown

_1332029411.unknown

_1332029229.unknown

_1332028544.unknown

_1332028876.unknown

_1332028953.unknown

_1332028821.unknown

_1332028822.unknown

_1332028273.unknown

_1332028418.unknown

_1332027968.unknown

_1332025506.unknown

_1332026790.unknown

_1332027388.unknown

_1332027711.unknown

_1332027853.unknown

_1332027644.unknown

_1332027166.unknown

_1332027331.unknown

_1332027095.unknown

_1332025956.unknown

_1332026084.unknown

_1332026238.unknown

_1332025994.unknown

_1332025822.unknown

_1332025852.unknown

_1332025786.unknown

_1332023534.unknown

_1332025149.unknown

_1332025385.unknown

_1332025438.unknown

_1332025252.unknown

_1332023796.unknown

_1332024591.unknown

_1332023725.unknown

_1332021977.unknown

_1332023311.unknown

_1332023369.unknown

_1332023487.unknown

_1332022551.unknown

_1332021684.unknown

_1332021888.unknown

_1332021833.unknown

_1332021603.unknown

_1332016075.unknown

_1332018281.unknown

_1332019288.unknown

_1332020177.unknown

_1332021241.unknown

_1332021371.unknown

_1332020483.unknown

_1332020105.unknown

_1332020160.unknown

_1332019532.unknown

_1332018971.unknown

_1332019134.unknown

_1332019240.unknown

_1332019022.unknown

_1332018541.unknown

_1332018926.unknown

_1332018461.unknown

_1332017544.unknown

_1332017842.unknown

_1332018004.unknown

_1332018035.unknown

_1332017913.unknown

_1332017713.unknown

_1332017746.unknown

_1332017589.unknown

_1332016237.unknown

_1332017470.unknown

_1332017494.unknown

_1332017332.unknown

_1332016169.unknown

_1332016187.unknown

_1332016093.unknown

_1332012277.unknown

_1332015704.unknown

_1332015908.unknown

_1332015971.unknown

_1332016055.unknown

_1332015948.unknown

_1332015859.unknown

_1332015889.unknown

_1332015801.unknown

_1332012285.unknown

_1332012292.unknown

_1332012294.unknown

_1332012300.unknown

_1332014793.unknown

_1332012299.unknown

_1332012293.unknown

_1332012288.unknown

_1332012289.unknown

_1332012287.unknown

_1332012281.unknown

_1332012283.unknown

_1332012284.unknown

_1332012282.unknown

_1332012279.unknown

_1332012280.unknown

_1332012278.unknown

_1332012175.unknown

_1332012179.unknown

_1332012273.unknown

_1332012275.unknown

_1332012276.unknown

_1332012274.unknown

_1332012180.unknown

_1332012177.unknown

_1332012178.unknown

_1332012176.unknown

_1332012170.unknown

_1332012173.unknown

_1332012174.unknown

_1332012172.unknown

_1332012168.unknown

_1332012169.unknown

_1331957287.unknown

_1332012167.unknown

_1331957325.unknown

_1331957051.unknown