Pembahasan Soal Ujian Kalkulus

PEMBAHASAN SOAL UJIAN KALKULUS

TIPE SOAL : 2

1. Dengan menggunakan definisi, buktikan 1

lim 1x

x

Jawab:

Ambil sebarang 0, 0 , yakni sedemikian sehingga

Jika | 1|o x , maka | 1|x

Terbukti bahwa 1

lim 1x

x

2. Diberikan ( ) 2g x x , dengan menggunakan definisi turunan tentukan apakah 1

' 12

g ada atau

tidak ada.

Jawab:

Dalam kasus ini, domain dari ( )g x akan dibatasi di sekitar 1

12

x , sehingga fungsi ( ) 2g x x

di sekitar 1

12

x dapat dinyatakan sebagai

13,untuk 1 2

2( ) 2

12,untuk 1 1

2

x

g x x

x

Dari definisi turunan diperoleh ( ) ( )

'( ) limx c

g x g cg c

x c

, sehingga

11

2

1( ) 1

1 2' 1 lim

121

2

x

g x g

g

x

Akan diselidiki apakah 1

12

1( ) 1

2lim

11

2

x

g x g

x

ada.

11 1 11 122 2

1( ) 1

3 3 02lim lim lim 0

1 1 11 1 1

2 2 2

xx x

g x g

x x x

1 1 1

1 1 12 2 2

1( ) 1

2 3 12lim lim lim

1 1 11 1 1

2 2 2x x x

g x g

x x x

Karena 1 1

1 12 2

1 1( ) 1 ( ) 1

2 2lim lim

1 11 1

2 2x x

g x g g x g

x x

, maka 1

12

1( ) 1

2lim

11

2

x

g x g

x

tidak ada.

Sehingga disimpulkan bahwa 1

' 12

g

tidak ada.

Pembahasan Soal Ujian Kalkulus

3. Hitunglah 0

tan 3lim

sint

t

t

Jawab:

2sin3 sin cos 2 cos sin 2 sin cos 2 2cos sin

tan3cos3 cos3 cos3

t t t t t t t t tt

t t t

, sehingga

2 2

0 0 0

tan3 1 sin cos 2 2cos sin cos 2 2cos 1 2lim lim lim 3

sin cos sin cos 1t t t

t t t t t t t

t t t t

4. Misalkan h(x) = {

| |

Carilah a dan b , sehingga h kontinu dimana-mana.

Jawab:

Asumsikan bahwa ( )h x kontinu dimana-mana.

Oleh karena ( )h x kontinu dimana-mana, maka 0

lim ( ) (0)x

h x f

dan 1

lim ( ) (1)x

h x h

.

0

lim ( )x

h x

ada, berarti 0 0

lim ( ) lim ( )x x

h x h x

, sehingga 0 0

lim ( ) lim ( )x x

h x h x

1

lim ( )x

h x

ada, berarti1 1

lim ( ) lim ( )x x

h x h x

, sehingga 1 1

lim ( ) lim ( )x x

h x h x

0

0

lim ( ) (0)

lim ( ) (0)

0 .0

0

x

x

h x h

h x h

a b

b

1

1

lim ( ) (1)

lim ( ) (1)

1

karena 0, maka 1

x

x

h x h

h x h

xa b

x

b a

Jadi nilai a dan b agar h kontinu dimana-mana adalah 1a dan 0b .

5. Carilah 2 2( ( ( )) ( ))xD f g x g x untuk 1x , jika diketahui

(1) 2, '(1) 4, ''(1) 1, (1) 1, '(1) 3 dan ''(1) 5f f f g g g

Jawab:

2( ( ( )) ( )) '( ( )) '( ) 2 ( ) '( )xD f g x g x f g x g x g x g x

2 2

2 2

( ( ( )) ( )) ( '( ( )) '( ) 2 ( ) '( ))

''( ( )) '( ) '( ) '( ( )) ''( ) 2 '( ) '( ) 2 ( ) ''( )

( ( (1)) (1)) ''( (1)) '(1) '(1) '( (1)) ''(1) 2 '(1) '(1) 2 (1) ''(1)

''(1).3.3 '(1)

x x

x

D f g x g x D f g x g x g x g x

f g x g x g x f g x g x g x g x g x g x

D f g g f g g g f g g g g g g

f f

.5 2.3.3 2.1.5

( 1).9 4.5 18 10

9 20 28

17

6. Sebuah tangga sepanjang 8 meter bersandar pada dinding suatu bangunan. Jika bagian bawah

tangga tergelincir menjauhi dinding dengan kecepatan 50 centimeter per detik. Seberapa cepat

bagian atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 2 meter dari dinding?

Jawab:

Pembahasan Soal Ujian Kalkulus

8 meterdinding

lantai

2 2 28

0 2 2

x y

dx dyx y

dt dt

dy x dx

dt y dt

Karena x = 2, maka 2 28 2 60 2 15y , sehingga

2 15

.0,5302 15

dy

dt (tanda negatif berarti bergerak turun)

Jadi seberapa cepat bagian atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 2 meter

adalah 15

30 meter per detik.

7. Gunakan diferensial untuk menentukan nilai pendekatan dari 3 26,1

Jawab:

Dari rumus diferensial diperoleh ( ) ( ) ( ) '( )f x x f x dy f x f x x

Misalkan 3( )f x x , maka 3 2

1'( )

3f x

x .

33

3 2

1 0,926,1 (26,1) (27 0,9) (27) '(27)( 0,9) 27 ( 0,9) 3 2,967

273 27f f f f

Jadi nilai pendekatan dari 3 26,1 adalah 2,967

8. Buat sketsa grafik fungsi f yang memenuhi semua kondisi berikut:

1. Domani fungsi f =[-3, 5]

2. Fungsi f kontinu pada interval [-2, -1), [-1, 1], (1, 2] dan interval (2, 3)

3. ( 2) ( 1) (2) (4) 2f f f f

4. 1 4

lim ( ) lim ( ) 0x x

f x f x

5. 0

lim ( ) 1x

f x

6. '( ) 0f x pada (1,2), '( ) 0x f x pada ( 3, 2)x , dan '(3)f tidak ada.

Pembahasan Soal Ujian Kalkulus

PEMBAHASAN SOAL UJIAN KALKULUS

TIPE SOAL : 1

1. Dengan menggunakan definisi, buktikan 3

lim 3x

x

Jawab:

Ambil sebarang 0, 0 , yakni sedemikian sehingga

Jika | 3 |o x , maka | 3 |x

Terbukti bahwa 3

lim 3x

x

2. Diberikan ( ) 2g x x , dengan menggunakan definisi turunan tentukan apakah 1

'2

g ada atau

tidak ada.

Jawab:

Dalam kasus ini, domain dari ( )g x akan dibatasi di sekitar 1

2x , sehingga fungsi ( ) 2g x x

di sekitar 1

2x dapat dinyatakan sebagai

11,untuk 1

2( ) 2

10,untuk 0

2

x

g x x

x

Dari definisi turunan diperoleh ( ) ( )

'( ) limx c

g x g cg c

x c

, sehingga

1

2

1( )

1 2' lim

12

2

x

g x g

g

x

Akan diselidiki apakah 1

2

1( )

2lim

1

2

x

g x g

x

ada.

11 122 2

1( )

1 1 02lim lim lim 0

1 1 1

2 2 2

xx x

g x g

x x x

1 1 1

2 2 2

1( )

0 1 12lim lim lim

1 1 1

2 2 2x x x

g x g

x x x

Karena 1 1

2 2

1 1( ) ( )

2 2lim lim

1 1

2 2x x

g x g g x g

x x

, maka 1

2

1( )

2lim

1

2

x

g x g

x

tidak ada.

Sehingga disimpulkan bahwa 1

'2

g

tidak ada.

Pembahasan Soal Ujian Kalkulus

3. Hitunglah 0

tanlim

sin 4t

t

t

Jawab:

sin

tancos

tt

t , dan 2 3sin 4 2sin 2 cos2 4sin cos (1 2sin ) 4sin cos 8sin cost t t t t t t t t t

2 20 0 0

tan 1 sin 1 1 1lim lim lim

sin 4 cos sin (4cos 8sin cos ) cos (4cos 8sin cos ) 4t t t

t t

t t t t t t t t t t

4. Misalkan h(x) = {

| |

Carilah a dan b , sehingga h kontinu dimana-mana.

Jawab:

Asumsikan bahwa ( )h x kontinu dimana-mana.

Oleh karena ( )h x kontinu dimana-mana, maka 0

lim ( ) (0)x

h x h

dan 1

lim ( ) (1)x

h x h

.

0

lim ( )x

h x

ada, berarti 0 0

lim ( ) lim ( )x x

h x h x

, sehingga 0 0

lim ( ) lim ( )x x

h x h x

1

lim ( )x

h x

ada, berarti1 1

lim ( ) lim ( )x x

h x h x

, sehingga 1 1

lim ( ) lim ( )x x

h x h x

0

0

lim ( ) (0)

lim ( ) (0)

.0

1

x

x

h x h

h x h

xa b

x

b

1

1

lim ( ) (1)

lim ( ) (1)

1

karena 1, maka 2

x

x

h x h

h x h

a b

b a

Jadi nilai a dan b agar h kontinu dimana-mana adalah 2a dan 1b .

5. Carilah 2 2( ( ( )) ( ))xD f g x g x untuk 1x , jika diketahui

(1) 2, '(1) 5, ''(1) 1, (1) 1, '(1) 4 dan ''(1) 2f f f g g g

Jawab:

2( ( ( )) ( )) '( ( )) '( ) 2 ( ) '( )xD f g x g x f g x g x g x g x

2 2

2 2

( ( ( )) ( )) ( '( ( )) '( ) 2 ( ) '( ))

''( ( )) '( ) '( ) '( ( )) ''( ) 2 '( ) '( ) 2 ( ) ''( )

( ( (1)) (1)) ''( (1)) '(1) '(1) '( (1)) ''(1) 2 '(1) '(1) 2 (1) ''(1)

''(1).4.4 '(1)

x x

x

D f g x g x D f g x g x g x g x

f g x g x g x f g x g x g x g x g x g x

D f g g f g g g f g g g g g g

f f

.2 2.4.4 2.1.2

( 1).16 5.2 32 4

16 10 36

42

6. Sebuah tangga sepanjang 9 meter bersandar pada dinding suatu bangunan. Jika bagian bawah

tangga tergelincir menjauhi dinding dengan kecepatan 0,5 meter per detik. Seberapa cepat bagian

atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 3 meter dari dinding?

Jawab:

Pembahasan Soal Ujian Kalkulus

9 meterdinding

lantai

2 2 29

0 2 2

x y

dx dyx y

dt dt

dy x dx

dt y dt

Karena x = 3, maka 2 29 3 72 6 2y , sehingga

3 1 1

.0,5 286 2 4 2

dy

dt (tanda negatif berarti bergerak turun)

Jadi seberapa cepat bagian atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 2 meter

adalah 1

28

meter per detik.

7. Gunakan diferensial untuk menentukan nilai pendekatan dari 3 26,8

Jawab:

Dari rumus diferensial diperoleh ( ) ( ) ( ) '( )f x x f x dy f x f x x

Misalkan 3( )f x x , maka 3 2

1'( )

3f x

x .

33

3 2

1 0,226,8 (26,8) (27 0,2) (27) '(27)( 0,2) 27 ( 0,2) 3 2,993

273 27f f f f

Jadi nilai pendekatan dari 3 26,8 adalah 2,993

8. Buat sketsa grafik fungsi f yang memenuhi semua kondisi berikut:

1. Domani fungsi f =[-3, 5]

2. Fungsi f kontinu pada interval [-2, -1), [-1, 1], (1, 2] dan interval (2, 3)

3. ( 2) ( 1) (2) (4) 4f f f f

4. 1 4

lim ( ) lim ( ) 2x x

f x f x

5. 0

lim ( ) 3x

f x

6. '( ) 0f x pada (1,2), '( ) 0x f x pada ( 3, 2)x , dan '(3)f tidak ada.