PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT … · D. 50 Jawab: B Rata-rata terbesar ... di atas median...

Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 1

PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN TAHUN 2018

PROVINSI SULAWESI SELATAN

01. Pada suatu data terdapat 25 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah

55. Median dari data adalah 30. Rata-rata terbesar yang mungkin dari data tersebut adalah….

A. 40

B. 42

C. 45

D. 50

Jawab: B

Rata-rata terbesar diperoleh jika jumlah semua bilangan pada data mencapai jumlah maksimal.

Karena banyaknya bilangan adalah ganjil, maka jumlah terbesar dicapai apabila semua bilangan

di atas median adalah nilai tertinggi dan bilangan yang tersisa sama dengan median, sehingga

rata-rata terbesar yang mungkin adalah:

�̅� =13 × 30 + 12 × 55

25=1050

25= 42

02. Rata-rata usia sepasang suami istri pada saat mereka menikah adalah 25 tahun. Rata-rata usia

keluarga pada saat anak pertama mereka lahir adalah 18 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat

anak kedua lahir adalah 15 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga dan keempat

lahir (kembar) adalah 12 tahun. Jika saat ini rata-rata usia enam orang ini adalah 16 tahun, maka

usia anak pertama adalah… tahun.

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

Jawab: C

• Misalkan anak pertama lahir 𝑥 tahun setelah menikah, maka:

𝟐 × (𝟐𝟓 + 𝒙) = 𝟏𝟖 × 𝟑 ⟺ 25 + 𝑥 = 27 ⟺ 𝑥 = 2 Hal ini berarti bahwa rata-rata umur orang tua mereka setelah kelahiran anak pertama adalah

25 + 2 = 27 tahun.

• Misalkan anak kedua lahir 𝑦 tahun setelah anak pertama lahir, maka:

𝟐 × (𝟐𝟕 + 𝒚) + 𝒚 = 𝟏𝟓 × 𝟒 ⟺ 54 + 3𝑦 = 60

⟺ 3𝑦 = 6 ⟺ 𝑦 = 2

Dengan demikian, rata-rata umur orang tua mereka setelah kelahiran anak kedua adalah 29

tahun dan usia anak pertama 2 tahun.

• Misalkan anak ketiga dan keempat lahir 𝑧 tahun setelah anak kedua lahir, maka:

𝟐 × (𝟐𝟗 + 𝒛) + (𝟐 + 𝒛) + 𝒛 = 𝟏𝟐 × 𝟔 ⟺ 60 + 4𝑧 = 12 × 6

⟺ 15 + 𝑧 = 3 × 6⟺ 𝑧 = 3 Hal ini berarti bahwa rata-rata umur orang tua mereka setelah kelahiran anak ketiga dan

keempat adalah 32 tahun, usia anak pertama 5 tahun dan usia anak kedua 3 tahun.

• Misalkan saat ini 𝑡 tahun setelah anak ketiga dan keempat lahir, maka rata-rata usia orang tua

mereka (32 + 𝑡), anak pertama (5 + 𝑡), anak kedua (3 + 𝑡) dan anak ketiga dan keempat

masing-masing 2 tahun, sehingga:

𝟐 × (𝟑𝟐 + 𝒕) + (𝟓 + 𝒕) + (𝟑 + 𝒕) + 𝟐𝒕 = 𝟏𝟔 × 𝟔 ⟺ 72 + 6𝑡 = 16 × 6

⟺ 12 + 𝑡 = 16

⟺ 𝑡 = 4 Jadi, usia anak pertama sekarang adalah 5 + 4 = 9 tahun.


03. Pada sebuah laci terdapat beberapa kaos kaki berwarna putih dan berwarna hitam. Jika dua kaos

kaki diambil secara acak, maka peluang terpilihnya kedua kaos kaki berwarna putih adalah 1

2. Jika

banyak kaos kaki berwarna hitam adalah genap, maka paling sedikit kaos kaki berwarna putih

adalah….

A. 12

B. 15

C. 18

D. 21

Jawab: B

Misalkan 𝑚 adalah banyak kaos akaki berwarna putih dan

2𝑘 adalah banyak kaos kaki berwarna hitam.

Jika peluang terambilnya dua kaos kaki berwarna putih =1

2, maka:

𝐶2𝑚

𝐶2𝑚+2𝑘 =

1

2 ⟺

𝑚!2! (𝑚 − 2)!(𝑚 + 2𝑘)!

2! (𝑚 + 2𝑘 − 1)!

= 1

2

⟺𝑚(𝑚 − 1)

(𝑚 + 2𝑘)(𝑚 + 2𝑘 − 1)= 1

2

⟺ 2𝑚(𝑚 − 1) = (𝑚 + 2𝑘)(𝑚 + 2𝑘 − 1)

⟺ 2𝑚2 − 2𝑚 = 𝑚2 + (4𝑘 − 1)𝑚 + (4𝑘2 − 2𝑘)

⟺𝑚2 − (4𝑘 + 1)𝑚 − (4𝑘2 − 2𝑘) = 0

⟺𝑚 =(4𝑘 + 1) ± √(4𝑘 + 1)2 + 4(4𝑘2 − 2𝑘)

2

⟺𝑚 =(4𝑘 + 1) ± √32𝑘2 + 1

2

Nilai terkecil 𝑚 diperoleh dari nilai 𝑘 terkecil sedemikian sehingga 𝑚 bilangan asli.

Untuk nilai 𝑘 = 1 atau 2 diperoleh nilai 𝑚 yang irrasional.

Untuk nilai 𝑘 = 3 diperoleh:

𝑚 =(12 + 1) ± √32 × 9 + 1

2

=13 ± √289

2

=13±17

2= 15 atau − 2 (tidak memenuhi)

Dengan demikian paling sedikit kaos berwarna putih adalah 15 .

04. Salah satu contoh situasi untuk system persamaan 𝑥 + 2𝑦 = 6000 dan 3𝑥 + 𝑦 = 6000 adalah….

A. Dua orang siswa membeli pensil dan penghapus seharga Rp6.000,00. Salah seorang siswa

tersebut membeli pensil dan tiga penghapus seharga Rp.6.000,00. Berapakah harga masing-

masing sebuah pensil dan penghapus?

B. Dua orang siswa membeli pensil dan tiga buah penghapus seharga Rp6.000,00. Selain itu, dia

juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp6.000,00.

Berapakah harga masing-masing pensil dan penghapus?

C. Seorang siswa akan membeli dua buah pensil dan tiga buah penghapus. Siswa tersebut

memiliki uang Rp12.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?

D. Seorang siswa membeli sebuah pensil dan tiga penghapus seharga Rp6.000,00. Selain itu, dia

juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp6.000,00.

Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?


Jawab: D

Cukup jelas.

• Alternatif A, tidak jelas jumlah pensil dan penghapus seharga Rp6.000,00

• Alternatif B, tidak jelas jumlah pensil yang dibeli pada kalimat pertama

• Alternatif C, tidak jelas harga dua pensil dan tiga penghapus

• Alternatif D, Misalkan 𝑥 adalah harga sebuah penghapus dan 𝑦 adalah harga sebuah pensil,

maka persamaan yang terbentuk adalah 𝑦 + 3𝑥 = 6000 dan 2𝑦 + 𝑥 = 6000. Kedua

persamaan ini equivalen dengan system persamaan 𝑥 + 2𝑦 = 6000 dan 3𝑥 + 𝑦 = 6000.

05. Semua bilangan real 𝑥 yang memenuhi pertidaksamaan 𝑥 + 3 − 4√𝑥 − 5 ≥ 5 adalah….

A. 5 ≤ 𝑥 ≤ 14 B. 𝑥 ≤ 6 atau 𝑥 ≥ 14

C. 5 ≤ 𝑥 ≤ 6 atau 𝑥 ≥ 14

D. 0 ≤ 𝑥 ≤ 6 atau 𝑥 ≥ 14

Jawab: C

𝑥 + 3 − 4√𝑥 − 5 ≥ 5 ⟺ 𝑥 − 2 ≥ 4√𝑥 − 5

⟺ (𝑥 − 2)2 ≥ (4√𝑥 − 5)2, 𝑥 ≥ 5

⟺ 𝑥2 − 4𝑥 + 4 ≥ 16(𝑥 − 5), 𝑥 ≥ 5

⟺ 𝑥2 − 20𝑥 + 84 ≥ 0, 𝑥 ≥ 5

⟺ (𝑥 − 6)(𝑥 − 14) ≥ 0, 𝑥 ≥ 5

⟺ 𝑥 ≤ 6 atau 𝑥 ≥ 14, dan 𝑥 ≥ 5

⟺ 5 ≤ 𝑥 ≤ 6 , 𝑥 ≥ 14

06. Grafik fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1)2 + 𝑎 , dengan 𝑎 ≠ 0, tidak berpotongan dengan grafik

fungsi kuadrat 𝑦 = (1 − 𝑎2)𝑥2 + 2𝑎 + 1, jika….

A. −1 < 𝑎 < 0 atau 0 < 𝑎 <1

2

B. −1 < 𝑎 < 0 atau 0 < 𝑎 < 1

C. −1 < 𝑎 <1

2 atau

1

2< 𝑎 < 1

D. 1 < 𝑎 <1

2 atau 𝑎 > 1

Jawab: A

𝑎(𝑥 − 1)2 + 𝑎 = (1 − 𝑎2)𝑥2 + 2𝑎 + 1

⟺ 𝑎(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 𝑎 = (1 − 𝑎2)𝑥2 + 2𝑎 + 1

⟺ 𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 2𝑎 = (1 − 𝑎2)𝑥2 + 2𝑎 + 1

⟺ (𝑎2 + 𝑎 − 1)𝑥2 − 2𝑎𝑥 − 1 = 0

Agar kedua grafik tidak berpotongan, maka nilai Diskriminan harus lebih kecil nol (𝐷 < 0)

𝐷 = (2𝑎)2 − 4 × (𝑎2 + 𝑎 − 1)(−1) < 0, 𝑎 ≠ 0

⟺ 4𝑎2 + 4𝑎2 + 4𝑎 − 4 < 0

⟺ 𝑎2 + 𝑎2 + 𝑎 − 1 < 0

⟺ 2𝑎2 + 𝑎 − 1 < 0

⟺ (2𝑎 − 1)(𝑎 + 1) < 0, 𝑎 ≠ 0

⟺−1 < 𝑎 <1

2, 𝑎 ≠ 0

⟺−1 < 𝑎 < 0 atau 0 < 𝑎 <1

2

• 14

• • 5 6


07. Nilai sudut 𝑥 dan 𝑦 pada gambar berikut adalah….

A. 𝑥 = 74𝑜 ; 𝑦 = 104𝑜

B. 𝑥 = 37𝑜 ; 𝑦 = 104𝑜

C. 𝑥 = 74𝑜 ; 𝑦 = 114𝑜

D. 𝑥 = 37𝑜 ; 𝑦 = 106𝑜

Jawab: D

Berdasarkan gambar;

61 + 2𝑥 = 135 ⟺ 2𝑥 = 74

⟺ 𝑥 = 37𝑜

2𝑥 + 𝑦 = 180 ⟺ 𝑦 = 180 − 2𝑥

⟺ 𝑦 = 180 − 74

⟺ 𝑦 = 106𝑜

08. Diketahui tabel distribusi nilai kelas A dan kelas B sebagai berikut.

Kelas A Kelas B

Nilai Frekuensi

Nilai Frekuensi

65 4 65 6

70 3 70 4

75 6 75 6

80 7 80 3

85 6 85 7

90 5 90 6

95 4 95 2

100 1 100 2

Pernyataan berikut ini yang benar adalah….

A. Median nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B

B. Mean nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B

C. Modus nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B

D. Jawaban A, B, dan C salah.

2𝑥

𝑦

135𝑜

61𝑜

2𝑥

𝑦 135𝑜

61𝑜

2𝑥


Jawab: A

Kelas A Kelas B

Nilai(𝑥) Frekuensi (𝑓) 𝑓.kom 𝑥𝑓

Nilai(𝑥) Frekuensi (𝑓) 𝑓.kom 𝑥𝑓 65 4 4 260 65 6 6 390

70 3 7 210 70 4 10 280

75 6 13 450 75 6 16 450

80 7 20 560 80 3 19 240

85 6 26 510 85 7 26 595

90 5 31 450 90 6 32 540

95 4 35 380 95 2 34 190

100 1 36 100 100 2 36 200

Jumlah 36 2920 Jumlah 36 2885

• Median

Letak median pada datum ke 1

2(36 + 1), antara datum ke-18 dan ke-19

Median untuk kelas A = 80 dan median untuk kelas B = 80

• Mean

Mean untuk kelas A =2920

36= 81,11 dan mean untuk kelas B =

2885

36= 80,14

• Modus

Modus untuk kelas A = 80 dan modus untuk kelas B = 85

09. Misalkan 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 masing-masing menyatakan suku ke-𝑛 dan jumlah 𝑛 suku pertama suatu

barisan. Jika 𝑆𝑛 =𝑛2−𝑛

2𝑛, maka 𝑈2 − 𝑈4 + 𝑈6 = ⋯.

A. 6

32

B. 11

32

C. 1

2

D. 21

32

Jawab: B

𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1

𝑈2 = 𝑆2 − 𝑆1, 𝑈4 = 𝑆4 − 𝑆3, dan 𝑈6 = 𝑆6 − 𝑆5

𝑈2 =22 − 2

22−12 − 1

21=2

4=16

32

𝑈4 =42 − 4

24−32 − 3

23=12

16−6

8= 0

𝑈6 =62 − 6

26−52 − 5

25=30

64−20

32=15

32−20

32=−5

32

Jadi 𝑈2 − 𝑈4 + 𝑈6 = 16

32− 0 + (

−5

32) =

11

32


10. Jika 1

𝑛−𝑛

6+2

𝑛+1

3= −

1

6, hasil kali semua nilai 𝑛 yang mungkin adalah….

A. 18

B. 2

C. −18

D. −20 Jawab: C 1

𝑛−𝑛

6+2

𝑛+1

3= −

1

6⟺3

𝑛−𝑛

6= −

1

3−1

6=−1

2

⟺ 18 − 𝑛2 = −3𝑛

⟺ 𝑛2 − 3𝑛 − 18 = 0 Dengan menggunakan rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat diperoleh hasil kali kedua

akar-akarnya adalah −18

Jadi, hasil kali semua nilai 𝑛 yang mungkin adalah −18

11. Menjelang tahun baru, harga sebuah kacamata dipotong (didiskon) dua kali seperti dinyatakan

pada tanda di samping. Seorang pembeli membayar sebesar Rp168.750,00 untuk kacamata

tersebut. Berapa harga kacamata tersebut sebelum dipotong harganya?

A. Rp262.500,00

B. Rp281.250,00

C. Rp375.000,00

D. Rp421.675,00

Jawab: C

Diskon 50% + 10% berarti Diskon 50% dari harga awal + 10% dari harga setelah diskon pertama.

Hal ini berarti bahwa total diskon = 50% + 10% x 50 = 55%

Dengan demikian, harga kacamata adalah 45% dari harga sebenarnya. Jadi, harga kacamata

sebelum dipotong adalah 100

45× 168.750 = 𝑅𝑝375.000,00

12. Diketahui 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 adalah tiga bilangan bulat positif. Tiga bilangan terurut (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang

memenuhi (3𝑥 + 𝑦)2𝑧 = 256 ada sebanyak….

A. 6

B. 90

C. 91

D. 128

Jawab: A

• Kemungkinan I; (3𝑥 + 𝑦)2𝑧 = 256 = 162 , diperoleh nilai 𝑧 = 1 dan 3𝑥 + 𝑦 = 16.

Adapun tiga bilangan terurut (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memenuhi adalah (1,13,1); (2,10,1); (3,7,1); (4,4,1);

dan (5,1,1); sebanyak 5 pasangan terurut.

• Kemungkinan II; (3𝑥 + 𝑦)2𝑧 = 256 = 44 , diperoleh nilai 𝑧 = 2 dan 3𝑥 + 𝑦 = 4.

Adapun tiga bilangan terurut (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memenuhi adalah (1,1,2); sebanyak 1 pasangan

terurut.

• Kemungkinan III; (3𝑥 + 𝑦)2𝑧 = 256 = 28 , diperoleh nilai 𝑧 = 4 dan 3𝑥 + 𝑦 = 2. Pada

persamaan ini diperoleh nilai 𝑥 atau 𝑦 yang negative.

Jadi tiga bilangan terurut (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memenuhi (3𝑥 + 𝑦)2𝑧 = 256 sebanyak 6 pasang.

Diskon

50% + 10%


13. Diketahui sisi-sisi trapezium adalah 5 𝑐𝑚, 7 𝑐𝑚, 7 𝑐𝑚, dan 13 𝑐𝑚. Pernyataan di bawah yang

salah adalah….

A. Tinggi trapezium = √33 𝑐𝑚

B. Tinggi trapezium = 2√6 𝑐𝑚

C. Luas trapezium = 10√6 𝑐𝑚2

D. Luas trapezium = 9√33 𝑐𝑚2

Jawab: C

Kemungkinan I Kemungkinan II

• Pada gambar I diperoleh:

Tinggi trapezium, 𝑡2 = 72 − 42 = 49 − 16 = 33 ⟺ 𝑡 = √33

Luas trapezium, 𝐿 =(5+13)

2× √33 = 9√33 𝑐𝑚2.

• Pada gambar II diperoleh:

Tinggi trapezium, 𝑡2 = 72 − (6 − 𝑥)2 dan 𝑡2 = 52 − 𝑥2

72 − (6 − 𝑥)2 = 52 − 𝑥2

⟺ 49 − (36 − 12𝑥 + 𝑥2) = 25 − 𝑥2

⟺ 12𝑥 = 25 − 13 ⟺ 𝑥 = 1

Tinggi trapezium, 𝑡2 = 72 − 52 = 24 ⟺ 𝑡 = 2√6

Luas trapezium, 𝐿 =(7+13)

2× 2√6 = 20√6 𝑐𝑚2.

14. Bilangan prima 𝑝 dan 𝑞 masing-masing dua digit. Hasil penjumlahan 𝑝 dan 𝑞 merupakan bilangan

dua digit yang digitnya sama. Jika bilangan tiga digit 𝑟 merupakan perkalian 𝑝 dan 𝑞, maka dua

nilai 𝑟 yang mungkin adalah….

A. 121 dan 143

B. 169 dan 689

C. 403 dan 989

D. 481 dan 121

Jawab: C

Perhatikan nilai 𝑟 yang memenuhi pada table berikut.

Pilihan 𝑟 = 𝑝 × 𝑞 𝑝 𝑞 𝑝 + 𝑞 Keterangan

A 121 11 11 22 Memenuhi

143 11 13 24 Tidak Memenuhi

B 169 13 13 26 Tidak Memenuhi

689 13 53 66 Memenuhi

C 403 13 31 44 Memenuhi

989 23 43 66 Memenuhi

D 481 21 21 42 Tidak Memenuhi

121 11 11 22 Memenuhi

Berdasarkan table di atas bilangan 𝑟 yang memenuhi keduanya adalah C. 403 dan 989

7 cm 7 cm

13 cm

5 cm

t

4 cm

5 cm 7 cm

7 cm

13 cm

t

𝑥 6−𝑥

t


15. Jika 𝑥 dan 𝑦 adalah bilangan bulat positif dengan 𝑦 > 1, sehingga 𝑥𝑦 = 318530, maka nilai 𝑥 − 𝑦

yang mungkin adalah….

A. 84375

B. 84369

C. 84363

D. 84357

Jawab: B

𝑥𝑦 = 318530 = (33)6(55)6

= (27)6(3125)6

= (27 × 3125)6

= (84.375)6

Dengan demikian, nilai 𝑥 = 84.375 dan 𝑦 = 6. Sehingga 𝑥 − 𝑦 = 84.375 − 6 = 84.369

16. Sebuah wadah memuat 5 bola merah dan 3 bola putih. Seseorang mengambil bola-bola

tersebut sebanyak 3 kali, masing-masing dua bola setiap pengambilan tanpa pengembalian.

Peluang bahwa pada setiap pengambilan, bola yang terambil berbeda warna adalah….

A. 1

448

B. 7

280

C. 1

56

D. 1

7

Jawab: D

Peluang terambilnya dua bola berbeda warna pada pengambilan pertama =5×3

𝐶28

Peluang terambilnya dua bola berbeda warna pada pengambilan kedua =4×2

𝐶26

Peluang terambilnya dua bola berbeda warna pada pengambilan ketiga =3×1

𝐶24

Peluang terambilnya masing-masing dua bola berbeda warna dalam tiga kali pengambilan tanpa

pengembalian =5×3

𝐶28 ×

4×2

𝐶26 ×

3×1

𝐶24 =

2×15

8×7×2×8

6×5×2×3

4×3=1

7

17. Perhatikan gambar berikut.

Persamaan garis hasil transformasi rotasi 𝑅(𝑂, 180𝑜)dilanjutkan dengan pencerminan 𝑦 = −𝑥

terhadap garis 𝐴𝐵 adalah….

A. 𝑦 = 2𝑥 + 4

B. 𝑦 = 2𝑥 − 4

C. 𝑦 = −2𝑥 + 4

D. 𝑦 = −2𝑥 − 4

••

A

B ••

y

(4, 4)

(0, 2)

x


Jawab: B

Bayangan 𝐴(0,2) dan 𝐵(4,4) oleh rotasi 𝑅(𝑂, 180𝑜)dilanjutkan dengan pencerminan 𝑦 = −𝑥

adalah:

𝐴(0,2)𝑅(𝑂,180𝑜)→ 𝐴′(0,−2)

𝑦=−𝑥→ 𝐴"(2,0)

𝐵(4,4)𝑅(𝑂,180𝑜)→ 𝐵′(−4, −4)

𝑦=−𝑥→ 𝐵"(4,4)

Persamaan garis yang melalui 𝐴" dan 𝐵" adalah Persamaan garis hasil transformasi rotasi

𝑅(𝑂, 180𝑜)dilanjutkan dengan pencerminan 𝑦 = −𝑥 terhadap garis 𝐴𝐵

Gradien garis yang melalui 𝐴" dan 𝐵" adalah 𝑚 =4−0

4−2= 2

Persamaan garis yang melalui 𝐴"(2,0) dengan gradien 2 adalah

𝑦 − 0 = 2(𝑥 − 2) ⟺ 𝑦 = 2𝑥 − 4

18. Diketahui 𝐹 = {9,10,11,12,13,… ,49,50} dan 𝐺 adalah himpunan bilangan yang anggota-

anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli

berurutan. Anggota 𝐹 ∩ 𝐺 sebanyak….

A. 14

B. 26

C. 29

D. 36

Jawab: C

𝐹 = {9,10,11,12,13, … ,49,50} ⟺ 𝑛(𝐹) = 42

Bilangan yang tidak dapat ditulis dalam jumlah 3 atau lebih bilangan asli berurutan adalah

bilangan prima atau yang dapat dinyatakan dalam bentuk 2𝑛, sehingga:

𝐹 − 𝐺 = {11,13, 𝟏𝟔, 17,19, 23, 29, 31, 𝟑𝟐, 37, 41,43,47} ⟺ 𝑛(𝐹 − 𝐺) = 13

𝑛(𝐹 ∩ 𝐺) = 𝑛(𝐹) − 𝑛(𝐹 − 𝐺) = 42 − 13 = 29

19. Kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝑄𝑅𝑆 memiliki sisi-sisi yang panjangnya 4 𝑐𝑚. Jika titik 𝑇 terletak pada

perpanjangan garis 𝐶𝑅 sehingga 𝑅𝑇 = 𝐶𝑅, maka luas daerah 𝑇𝐵𝐷 adalah…𝑐𝑚2.

A. 18

B. 24

C. 32

D. 64

Jawab: B

Perhatikan gambar!

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 4 ⇒ 𝐴𝐶 = 4√2 ⟺ 𝑀𝐶 = 2√2 𝑐𝑚.

𝑀𝑇2 = 𝑀𝐶2 + 𝐶𝑇2

= (2√2)2 + 82

= 8 + 64 = 72

𝑀𝑇 = 6√2 𝑐𝑚

Luas daerah 𝑇𝐵𝐷 =1

2× 𝐵𝐷 ×𝑀𝑇

=1

2× 4√2 × 6√2 = 24𝑐𝑚2.

4

A

T

S

P Q

R

4

D

M

C

B


20. Diketahui ∆𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga siku-siku di 𝐶 dengan 𝐴𝐵 = 26 𝑐𝑚, 𝐶𝐵 = 24 𝑐𝑚. Di dalam ∆𝐴𝐵𝐶

terdapat lingkaran dalam. Luas daerah maksimum lingkaran dalam yang dapat dibuat dalam

segitiga tersebut adalah… 𝑐𝑚2.

A. 36𝜋

B. 25𝜋

C. 16𝜋

D. 9𝜋

Jawab: C

Lingkaran dengan luas maksimum di dalam segitiga adalah lingkaran yang menyinggung seluruh

sisi-sisi segitiga tersebut.

Dengan tigaan Pythagoras diperoleh 𝐴𝐶 = 10 𝑐𝑚.

Luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 =1

2× 10 × 24 = 120 𝑐𝑚2

Keliling segitiga 𝐴𝐵𝐶 = 10 + 24 + 26 = 60 𝑐𝑚

Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah:

𝑟 =Luas Segitiga

12× Keliling segitiga

=120

30= 4𝑐𝑚

Luas lingkaran dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶 = 𝜋 × 42 = 16𝜋 𝑐𝑚2

21. rafik berikut menunjukkan persentase peserta berdasarkan jenis kelamin pada suatu ujian masuk

sekolah tinggi dari tahun 2013 sampai 2017. Sedangkan table dibawahnya menunjukkan jumlah

peserta ujian dan jumlah lulusan, serta komposisi lulusan berdasarkan jenis kelamin.

Tahun Jumlah Peserta

Ujian Jumlah Lulusan

Persentase lulusan laki-laki

Persentase lulusan perempuan

2013 1400 800 60 40

2014 800 660 50 50

2015 1000 500 45 55

2016 500 400 48 52

2017 1100 800 64 36

80

0

20

40

60 60

40 36 50 50

64

2017

55

45

70

30

2013 2014 2015 2016

Laki-laki Perempuan

r

A C

B

24 26


Total peserta perempuan yang tidak lulus ujian selama lima tahun adalah… orang

A. 454

B. 476

C. 494

D. 536

Jawab: A

Perhatikan tabel kelulusan peserta perempuan berikut:

Tahun Jumlah Peserta

Ujian

Persentase peserta

perempuan

Jumlah peserta

perempuan

Jumlah Lulusan

Persentase lulusan

perempuan

Jumlah lulusan

perempuan

Peserta perempuan tidak lulus

2013 1400 40 560 800 40 320 240

2014 800 50 400 660 50 330 70

2015 1000 36 360 500 55 275 85

2016 500 45 225 400 52 208 17

2017 1100 30 330 800 36 288 42

Jumlah peserta perempuan tidak lulus 454

22. Diketahui 𝑥4𝑦5𝑧2 < 0 dan 𝑥𝑧 < 0. Pernyataan berikut yang benar adalah….

A. 𝑥𝑦𝑧 < 0, jika 𝑦𝑧 > 0

B. 𝑦𝑧

𝑥< 0, jika 𝑥𝑦 < 0

C. 𝑥𝑦 < 0, jika 𝑦𝑧 > 0

D. 𝑥𝑦 > 0, jika 𝑦𝑧 > 0

Jawab: C

Diketahui 𝑥4𝑦5𝑧2 < 0 dan 𝑥𝑧 < 0. Karena 𝑥4𝑦5𝑧2 < 0 maka 𝑦5 < 0 ⟺ 𝑦 < 0.

Akibatnya, 𝑥𝑦𝑧 > 0 dan 𝑦𝑧

𝑥> 0 untuk sebarang𝑥, 𝑦, dan 𝑧 sehingga pilihan A dan B salah.

Jika 𝑦𝑧 > 0 dan 𝑦 < 0 maka 𝑧 < 0. Karena 𝑥𝑧 < 0, maka 𝑥 > 0, sehingga 𝑥𝑦 < 0

23. Diberikan bilangan asli dua digit. Peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima

dan bersisa 5 jika dibagi 7 adalah….

A. 1

45

B. 1

30

C. 1

8

D. 1

4

Jawab: A

Banyak bilangan asli dua digit adalah 90. Bilangan asli dua digit yang penyusunnya bilangan prima

adalah 22, 23, 25, 27, 32, 33, 35, 37, 52, 53, 55, 57, 72, 73, 75, dan 77. Diantara bilangan-bilangan

tersebut, bilangan yang bersisa 5 jika dibagi 7 (habis dibagi 7 jika ditambahkan 2) adalah 33 dan

75. Dengan demikian, peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima dan

bersisa 5 jika dibagi 7 adalah 2

90=

1

45


24. Diketahui grafik fungsi bernilai real 𝑓 dan seperti pada gambar berikut.

Jumlah semua nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = −1 adalah….

A. −3 − √2

B. −1

C. 0

D. 2

Jawab: B

• Untuk 𝑥 ≥ 0

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 dan 𝑔(𝑥) = −𝑥, sehingga

𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 − (−𝑥) = 2𝑥 − 2 = −1 ⟺ 2𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 =1

2

• Untuk 𝑥 < 0

𝑓(𝑥) = −𝑥 − 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2, sehingga

𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = −𝑥 − 2 − (𝑥 + 2) = −2𝑥 − 4 = −1⟺ −2𝑥 = 3⟺ 𝑥 =−3

2

Jadi, jumlah semua nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = −1 adalah 1

2+−3

2= −1

25. Diberikan ∆𝐴𝐵𝐶. Jika 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 = 1 𝑐𝑚 dan 𝐵𝐶 = √3𝑐𝑚, maka luas ∆𝐴𝐵𝐶 adalah…𝑐𝑚2.

A. 1

2√2

B. 1

2√3

C. 1

4√3

D. 1

4

Jawab: C

Perhatikan gambar!

𝑡2 = 12 − (1

2√3)

2

⟺ 𝑡2 = 1 −3

4=1

4

⟺ 𝑡 =1

2

Luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 =1

2× √3 ×

1

2=1

4√3 cm2

X X

Y

Y

f

g

2

2

2 −2

−2 −2

−2

A

B

C

t

1

1

1

2√3

1

2√3

PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT … · D. 50 Jawab: B Rata-rata terbesar ... di atas median...

Documents

Transcript of PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT … · D. 50 Jawab: B Rata-rata terbesar ... di atas median...