INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI FISIKA Jl. Ganesha No. 10 Bandung, 40132 Telp. (022) 2500834, 2534127, Fax. (022) 2506452

Homepage : http://www.fi.itb.ac.id E-mail : fisika@fi.itb.ac.id

Pekerjaan Rumah-3 FI- 3101 Gelombang

1. Diberikan pers. Maxwell berikut:

(1) ∇ ∙ 𝑬 =𝜌

𝜖0 (2) ∇ × 𝑬 = −

𝜕𝑩

𝜕𝑡 (3) ∇ ∙ 𝑩 = 0 (4) ∇ × 𝑩 = 𝜇0𝑱 + 𝜇0𝜖0

𝜕𝑬

𝜕𝑡

dan persamaan konstitutif 𝑩 = 𝜇𝑯 dan 𝑫 = 𝜖𝑬. a. Turunkan persamaan gelombang bagi E dan H bilamana tak ada sumber muatan maupun sumber arus. b. Jika 𝑬(𝒓, 𝑡) = 𝑬𝟎 exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) adalah solusi gelombang bisang yang menjalar dalam arah-Z, gunakan persamaan Maxwell di atas untuk mendapatkan ungkapan bagi 𝑯(𝒓, 𝑡), serta nyatakan amplitudo H0 dinyatakan dalam 𝑬𝟎, 𝜇 𝑑𝑎𝑛 𝜖. (point:20)

Jawab: Mulai dengan pers Maxwell tanpa sumber arus dan sumber muatan, 𝜌 = 0 𝑱 = 𝟎:

(1) ∇ ∙ 𝑬 = 0 (2) ∇ × 𝑬 = −𝜕𝑩

𝜕𝑡 (3) ∇ ∙ 𝑩 = 0 (4) ∇ × 𝑩 = 𝜇𝜖

𝜕𝑬

𝜕𝑡

Ambil curl pada (2) ∇ × ∇ × 𝑬 = −𝜕∇ ×𝑩

𝜕𝑡 ∇ (∇ ∙ 𝐄) − ∇

2𝑬 = −

𝜕∇ ×𝑩

𝜕𝑡

Pakai (1) dan (4) :

−∇ 2

𝑬 = −𝜇𝜖𝜕

𝜕𝑡(

𝜕𝑬

𝜕𝑡)

Re-arrange , we obtain the wave equation for the E field :

∇ 2

𝑬 − 𝜇𝜖𝜕2𝑬

𝜕𝑡2= 0

Selanjutnya mulai dengan curl (4) : ∇ × ∇ × 𝑩 = 𝜇𝜖𝜕∇ ×𝑬

𝜕𝑡 ∇ (∇ ∙ 𝑩) − ∇

2𝑩 = 𝜇𝜖

𝜕∇ ×𝑬

𝜕𝑡

Pakai (2) dan (3):

−∇ 2

𝑩 = −𝜇𝜖𝜕2𝑩

𝜕𝑡2 → ∇

2𝑩 − 𝜇𝜖

𝜕2𝑩

𝜕𝑡2 = 𝟎

dengan 𝑩 = 𝜇𝑯:

∇ 2

𝑯 − 𝜇𝜖𝜕2𝑯

𝜕𝑡2 = 𝟎

b. Jika 𝑬(𝒓, 𝑡) = 𝑬𝟎 exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) maka B akan berbentuk serupa: 𝑩(𝒓, 𝑡) = 𝑩𝟎 exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) dan 𝑯 =𝑩

𝜇

maka memakai (2)

SOLUTION

(2) ∇ × 𝑬 = −𝜕𝑩

𝜕𝑡→ ∇ × {𝑬𝟎 exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝑘𝑧])} = −

𝜕

𝜕𝑡 𝑩𝟎 exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘𝑧])

∇ exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) × 𝑬𝟎 = −𝑖𝜔 𝑩𝟎 exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘𝑧])

−𝑖 �̂�𝑘 exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) × 𝑬𝟎 = −𝑖𝜔 𝑩𝟎 exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘𝑧])

−𝑖 �̂�𝑘 × 𝑬𝟎 exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) = −𝑖𝜔 𝑩𝟎 exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) jadi

�̂�𝑘 × 𝑬 = 𝜔 𝑩 atau �̂�𝑘 × 𝑬𝟎 = 𝜔 𝑩𝟎 secara umum :

𝒌 × 𝑬 = 𝜔 𝑩 dengan 𝒌 = �̂� 𝑘. Memakai hubungan konstitutif 𝑩 = 𝜇𝑯, maka

𝑯 =𝑘

𝜇𝜔�̂� × 𝑬 → 𝑯 =

𝑘

𝜇𝜔�̂� × 𝑬𝟎 exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝑘𝑧]) = 𝑯𝟎 exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝑘𝑧])

𝑯𝟎 =𝑘

𝜇𝜔�̂� × 𝑬𝟎 =

1

𝜇𝑐�̂� × 𝑬𝟎 = √

𝜖

𝜇�̂� × 𝑬𝟎

2. Gelombang datar EM di vakum dinyatakan oleh fungsi gelombang sbb:

𝑬(𝒓, 𝑡) = 𝒊 0,02 cos([𝜔𝑡 + 𝑘𝑧]) semua satuan SI. Frekuensinya diberikan oleh 𝑓 = 108 ℎ𝑧 dan laju propagasinya 𝑐 = 3𝑥108 𝑚/𝑠. a. Apakah jenis polarisasinya dan arah jalarnya? (point:4) b. Berapakah 𝜔, 𝒌 dan 𝜆 ? (point:4) c. Carilah medan H terkait. (point:4) d. Hitunglah rapat energi rata-ratanya. (point:4) e. Hitunglah rapat arus energi rata-ratanya. (point:4) Jawab: a. Polarisasi linear, menjalar arah Z

b. 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 × 108 𝑟𝑎𝑑

𝑠 = 6,28 × 108 𝑟𝑎𝑑

𝑠

𝑘 =𝜔

𝑐= 2𝜋 ×

108

𝑐

𝑟𝑎𝑑

𝑚=

2𝜋

3

𝑟𝑎𝑑

𝑚= 2,09 𝑟𝑎𝑑/𝑚

𝜆 =2𝜋

𝑘=

2𝜋𝑐

2𝜋×108=𝑐10−8 𝑚 = 3𝑚

c. Medan H diberikan oleh

𝑯 = √𝜖0

𝜇0 �̂� × 𝑬

𝑯 = √𝜖0

𝜇0 𝒌 × 𝒊 𝐸 = 𝒋 √

𝜖0

𝜇0𝐸 = 𝒋 √

𝜖0

𝜇0 0,02 ∗ cos (2𝜋 × 108 [𝑡 +

𝑥

𝑐])

Amplitudo 𝐻0 = (0,02)√𝜖0

𝜇0

d. Rapat energi rata-rata : < 𝑢 >= 𝜖0 < 𝑬 ∙ 𝑬 >= 𝜖0𝐸02 < cos2(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) > =

1

2𝜖0𝐸0

2 =1

2𝜖0(0,022) = 2𝑥10−4𝜖0

𝐽

𝑚3

Atau bisa juga dihitung melalui:

< 𝑢 > = < 𝑩 ∙ 𝑩 >

𝜇0= 𝜇0𝐻0

2 < cos2(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) > =1

2𝜇0(0,022) (

𝜖0

𝜇0) = 2𝑥10−4𝜖0

𝐽

𝑚3

f. Rapat arus energinya (karena tidak pakai representasi komplek, jadi bisa langsung memakai rumus berikut):

𝑵 =< (𝑬 × 𝑯) > = < 𝐸0 𝒊 × 𝒋 𝐻0 cos2(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) > = 𝒌 𝐸0𝐻0 < cos2(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) > = 𝒌 1

2𝐸0𝐻0

𝑵 = 𝒌 1

2√

𝜖0

𝜇0𝐸0

2 = 𝒌1

2(0,022)√

𝜖0

𝜇0= 𝒌 2𝑥104√

𝜖0

𝜇0

𝑤𝑎𝑡𝑡

𝑚2

3. Gelombang EM datar di medium 1 (indek bias n1=1) dinyatakan oleh :

𝑬(𝒓, 𝑡) = (𝐸𝑜𝒌) exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝒌 ∙ 𝒓]) datang ke bidang batas dengan medium 2 (indek bias n2=1,5) dengan sudut datang 𝜃1 = 30. Gelombang ini menjalar di bidang XY dengan bidang batas medium 1 dan 2 adalah z=0. a. Tentukan apakah ini kasus TE, TM atau bukan keduanya? (point:4) b. Jika 𝒌𝟏′ dan 𝒌𝟐 adalah bilangan gelombang pantul dan bias, turunkan ungkapan bagi vektor 𝒌𝟏′ dan 𝒌𝟐 dinyatakan dalam k (yaitu besar bilangan gelombang datang) dan vektor satuan i,j dan k. (point:4) c. Hitunglah koefisien refleksi (r) dari medium 1 ke 2, dan koefisien transmisi t. (point:4) d. Hitunglah reflektansi R dan transmitansinya T. (point:4) e. Pakailah hasil-hasil di atas untuk menuliskan bentuk medan E1’ dan E2 yaitu gelombang pantul dan transmisi dinyatakan dalam 𝐸0, 𝜔, 𝑡, 𝑘, 𝑥, 𝑦, 𝑧, n1 dan n2. (point:4) Jawab: a. Lihat gambar. Karena arah polarisasi medan E tegak lurus bidang datang maka ini kasus TE. b. Untuk gelombang pantul 𝑘1 = 𝑘, sehingga:

𝒌𝟏′ = 𝑘(𝒊 sin 𝜃1 + 𝒋 cos 𝜃1) = 𝑘(𝒊 sin 30° + 𝒋 cos 30°) = 𝑘(0.5 𝒊 + 0.5√3𝒋) = 𝑘(0.5𝒊 + 0.87𝒋)

Untuk gelombang transmisi, memakai hukum snellius:

𝑛1𝑠𝑖𝑛𝜃1 = 𝑛2 sin 𝜃2 or 𝑛1

𝑛2𝑠𝑖𝑛𝜃1 = sin 𝜃2 →

1

1.5sin 30° = sin 𝜃2 → 𝜃2 = arcsin (

1

3) = 19.47°

(atau sin 𝜃2 =1

3 cos 𝜃2 =

2

3√2). Dan vektor gelombang 𝑘2 =

𝜔

𝑣2=

𝜔

𝑐𝑛2 = 𝑘𝑛2 = 1.5𝑘

𝒌𝟐 = 𝑘2(𝒊 sin 𝜃2 − 𝒋 cos 𝜃2) = 1.5𝑘 (𝒊1

3− 𝒋

2

3√2) = 𝑘 (𝒊

3

2− 𝒋√2)

c. Koefisien refleksi TE (r )

X

k

2 k2

1 1 k’1

Y

n1

n2

𝑟𝑇𝐸 =𝑛1 cos 𝜃1 − 𝑛2 cos 𝜃2

𝑛1 cos 𝜃1 + 𝑛2 cos 𝜃2=

1 ∗ cos 30° − 1.5 cos 19.47°

1 ∗ cos 30° + 1.5 cos 19.47°=

√3 − 2√2

√3 + 2√2= −0.2404

Koefisien transmisi (t) :

𝑡𝑇𝐸 =2𝑛1 cos 𝜃1

𝑛1 cos 𝜃1 + 𝑛2 cos 𝜃2=

2 ∗ 1 ∗ cos 30°

1 ∗ cos 30° + 1.5 cos 19.47°=

√3

12 √3 + √2

= 0.7596

Lihat bahwa 𝑡𝑇𝐸 = 1 + 𝑟𝑇𝐸 → 0.7596 = 1 − 0.2404

d. Reflektansi 𝑅𝑇𝐸 = 𝑟𝑇𝐸2 = (−0.2404)2 = 0.0578

Transmitansi ditentukan dari 𝑅𝑇𝐸 + 𝑇𝑇𝐸 = 1 → 𝑇𝑇𝐸 = 1 − 0.0578 = 0.9422 e. Gelombang pantul:

𝑬𝟏′ (𝒓, 𝑡) = (𝑟𝑇𝐸𝐸𝑜𝒌) exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝒌𝟏

′ ∙ 𝒓]) = (−0.2404𝐸𝑜𝒌) exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘(0.5𝑥 + 0.87𝑦)] ) Gelombang transmisi:

𝑬𝟐 (𝒓, 𝑡) = (𝑡𝑇𝐸𝐸𝑜𝒌) exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝒌𝟐 ∙ 𝒓]) = (0.7596𝐸𝑜𝒌) exp(𝑖 [𝜔𝑡 − 𝑘(1.5x − √2y )] )

4.a Buktikan bahwa 1 + 𝑟𝑇𝐸 = 𝑡𝑇𝐸 berlaku untuk seluruh sudut datang 𝜃1 (point:10) b. Buktikan bahwa 1 − 𝑟𝑇𝑀 = 𝑡𝑇𝑀 hanya berlaku untuk sudut datang normal 𝜃1 = 0 (point:10) Jawab: a. Untuk kasus TE , Dari kontinutas syarat batas : 𝐸1 + 𝐸1

′ = 𝐸2

Artinya : 1 +𝐸1

′

𝐸1=

𝐸2

𝐸1 → 1 + 𝑟𝑇𝐸 = 𝑡𝑇𝐸 dengan memakai definisi 𝑟𝑇𝐸 dan 𝑡𝑇𝐸. Hasil ini jelas tak bergantung sudut 𝜃1.

b. Untuk kasus TM penerapan syarat batas kontinutas memberikan:

𝐸1 cos 𝜃1 − 𝐸1′ cos 𝜃1 = 𝐸2 cos 𝜃2 atau cos 𝜃1 −𝐸1

′

𝐸1cos 𝜃1 =

𝐸2

𝐸1cos 𝜃2 → cos 𝜃1 − 𝑟𝑇𝑀 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 = 𝑡𝑇𝑀 cos 𝜃2

Or 1 − 𝑟𝑇𝑀 = 𝑡𝑇𝑀cos 𝜃2

cos 𝜃1

Memakai hukum snellius maka 𝜃1 = 0 dan 𝜃2 = 0, sehingga untuk kasus ini : 1 − 𝑟𝑇𝑀 = 𝑡𝑇𝑀. 5. Total internal reflection. Sebuah gelombang TM datang dari medium dengan indek bias n1 ke n2 (dengan n1>n2) dan sudut datang 𝜃1. Besar medan datang dan transmisi adalah :

𝐸1(𝒓, 𝑡) = 𝐸1 exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝒌𝟏 ∙ 𝒓]) 𝐸2(𝒓, 𝑡) = 𝐸2 exp(𝑖[𝜔𝑡 − 𝒌𝟐 ∙ 𝒓])

Definisikn 𝑛 =𝑛2

𝑛1 < 1, dan bidang batas kedua medium adalah di z=0 dan bidang datang XY.

a. Carilah sudut kritis 𝜃𝑐 yaitu sudut datang yang terkait dengan sudut bias 𝜃2 =𝜋

2 𝑟𝑎𝑑 (point:5)

b. Misal sudut datangnya 𝜃1 > 𝜃𝐶, tunjukkan bahwa gelombang transmisinya akan memiliki amplitudo mengalami atenuasi sebesar 𝑒−𝛼𝑦 dengan :

𝛼 = 𝑘2√(

sin 𝜃1

𝑛)

2

− 1

dan gelombang transmisinya menjalar sepanjang bidang batas (inilah gelombang evanescence).(point:15) Answer:

a.Menurut hukum Snellius, sudut kritis ditentukan dari 𝑛1 sin 𝜃1 = 𝑛2 sin 𝜃2 → dengan 𝜃2 =𝜋

2 , sehingga

𝑛1 sin 𝜃𝑐 = 𝑛2 sin𝜋

2→ sin 𝜃𝑐 =

𝑛2

𝑛1= 𝑛 atau 𝜃𝑐 = arcsin (𝑛).

Karena 𝑛1 > 𝑛2 maka n=n2/n1 < 1, jadi 𝜃𝑐 sudut real. b. Misal vektor gelombang transmisi k2, atau secara eksplisit berarti : 𝒌𝟐 = 𝑘2(𝐢 sin 𝜃2 − 𝐢 cos 𝜃2) (lihat gambar).

atau 𝒌𝟐 = 𝑘2(𝐢 sin 𝜃2 − 𝐣 √1 − sin2 𝜃2). (1)

Jika sudut datang1 > c maka sin 𝜃1 > sin 𝜃𝑐 = 𝑛. Menurut hukum Snellius 𝑛1 sin 𝜃1 = 𝑛2 sin 𝜃2 .

Sehingga sudut bias 2 dihitung dari : sin 𝜃2 =sin 𝜃1

𝑛> 1. (2)

Akibatnya sudut 2 kompleks, Tapi nilai sinusnya tetap bisa diperoleh! (lihat 2) :

𝒌𝟐 = 𝑘2 (𝐢 sin 𝜃1

𝑛− 𝐣 √1 − (

sin 𝜃1

𝑛)

2

)

Karena sin𝜃1

𝑛> 1 maka nilai di bawah akar negatif, jadi k2 adalah vektor gelombang kompleks! Jadi gelombang

transmisinya menjadi: 𝐸2(𝒓, 𝑡) = 𝐸2 exp 𝑖( 𝜔𝑡 − 𝑘2𝑥 sin 𝜃2 − 𝑘2 𝑦 cos 𝜃2)

𝐸2(𝒓, 𝑡) = 𝐸2 exp 𝑖 ( 𝜔𝑡 − 𝑘2 [𝑥sin 𝜃1

𝑛− 𝑖 𝑦 √(

sin 𝜃1

𝑛)

2

− 1 ])

Definisikan konstanta 𝛼 = 𝑘2√(sin 𝜃1

𝑛)

2− 1 yang berharga real, maka :

𝐸2(𝒓, 𝑡) = 𝐸2𝑒−𝛼𝑦 exp 𝑖 (𝜔𝑡 −𝑘2sin 𝜃1

𝑛𝑥)

Hal ini berarti gelombang transmisi menjalar sepanjang perbatasan (sejajar X) tetapi amplitudonya mengalami atenuasi di arah tegak lurus perbatasan (Y).

&&&&&&&&&&& NOV 2017 &&&&&&&&&&&&

Y

X

k1

2 k2

1

n1

n2