Pecahan Parsial RESUME 11

Pecahan Parsial

- Tidak semua fungsi akan merupakan fungsi parsial.- Fungsi yang tidak bisa diselesaikan dengan tabel pasangan Laplace, maka perlu dilakukan

pemecahan fungsi sehingga menjadi fungsi-fungsi parsial yang dapat dengan mudah diselesaikan dengan tabel pasangan tranformasi Laplace.

- Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang danpenyebutnya berbentuk polinomial

X (s )=P(s)

Q(s)

Derajat P(s) < derajat Q(s) Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama

X (s )=P(s)

( s+ p1 ) ( s+ p2 )…( s+pn )

X (s )=A1

( s+ p1 )+

A2

( s+ p2 )+….

An

( s+ pn )

Ak= lims→−pk

(s+ pk) ∙ X (s )

k=1,2,3…n

x(t) menjadi

x (t )=A1e−p1 t+A2e

−p2 t+…+An e−pn t

Jika pi = pk*,maka penyelesaian dapat diselesaikan secara khusus yang menghasilkan x(t) merupakan fungsi Cosinus dan Sinus

Q(s) mempunyai akar rangkap

X (s )=P(s)

( s+ p1 )r (s+ p2 )… (s+ pn )

X (s )=A11

( s+ p1 )+

A12

( s+ p1 )2+….

A1 r

( s+ p1 )r+

A2

( s+ p2 )+…

An

( s+pn )A k= lim

s→−pk

(s+ pk) ∙ X (s )

Akl=1

(r−l ) !dr−l

dsr−l [ lims→−pk

(s+ pk )r ∙ X (s )]s=−pk

Tabel Pasangan Transformasi Laplace

f (t )=L−1 {F (s )} F ( s )=L {f (t )}

δ (t) 1

u(t )1s

tu(t)1

s2

t n−1

(n−1 ) !u (t ) , n=1,2 ,…

1

sn

e−αtu (t)1

s+α

t e−αtu(t)1

(s+α )2

t n−1

(n−1 ) !e−αtu (t ) , n=1,2 ,…

1

(s+α )n

1β−α

(e−αt−e− βt )u(t) 1(s+α )(s+β)

sinωt u(t)ω

s2+ω2

cosωtu( t)s

s2+ω2

sin(ωt+θ)u( t)s sinθ+ωcosθ

s2+ω2

cos (ωt+θ)u (t)s cosθ−ω sinθ

s2+ω2

e−αt sinωt u(t )ω

(s+α )2+ω2

e−αt cosωtu (t)s+α

(s+α )2+ω2

I(s )=2 s+3

s2+3 s+2persamaan parsialnya?

Langkah penyelesaian:

1. Membuat polinom penyebut menjadi faktor-faktor dan kemudian menguraikannya

s2+3 s+2= (s+1 )(s+2)

2 s+3s2+3 s+2

=K1

(s+1)+

K2

(s+2)

2. Karena akar-akarnya riil, kalikan persamaan dengan (s+1)

(2 s+3 )(s+1)(s+1 )(s+2)

=K 1

(s+1)( s+1 )

+K 2

(s+1)( s+2 )

(2 s+3 )(s+1)(s+1 )(s+2)

=K 1+K 2

(s+1)( s+2 )

2(−1)+3(−1+2 )

=K1+K2

(−1 )+1(−1 )+2

11=K1+0=1

3. Untuk menghitung K2 maka ikuti pola seperti langkah pada nomor 2

(2 s+3 )(s+1)(s+1 )(s+2)

=K 1

(s+2)( s+1 )

+K 2

(s+2)( s+2 )

2 s+3( s+1 )|s=−2

=0+K2

K2=(−4+3)(−2+1 )

→K2=1

2 s+3

s2+3 s+2= 1

( s+1 )+ 1

(s+2 )

Contoh 2 :

Tentukan fungsi berikut ini menjadi pecahan parsial s+2

(s+1 )2 !

Hasil bagi polinom dengan akar-akar kembar pada penyebut

s+2(s+1 )2

=K1

(s+1)+

K2

(s+1 )2denganmengalikan (s+1 )2

s+2=(s+1)K1+K2|s=−1 persamaan1

−1+2=K 2→K2=1

Bila dilakukan dengan cara yang sama, maka kita tidak bisa menghitung K nya, karena itu untuk menghitung K, maka persamaan ke-1 harus diferensialisasikan terhadap s

1+0−K2+0→K2=1

Contoh 3:

s + 1 = 0s = -1

Tentukan fungsi berikut ini menjadi persamaan parsial!

I(s )=2 s2+3 s+2

(s+1)3

I(s )=2 s2+3 s+2

(s+1)3 =K1

(s+1)+

K2

(s+1)2 +K3

¿¿

Kalikan persamaan di atas dengan ¿, maka akan diperoleh:

2 s2+3 s+2=K1(s+1)2+K2 ( s+1 )+K 3

jika s=−1 ,makaK3=1


2 s2+3 s+2(s+1)

=K1(s+1)+K2+K3

(s+1)


Kalikan persamaan di atas dengan (s+1), maka akan diperoleh:

2 s2+3 s+2(s+1)2 =K1+

K 2

(s+1)+K3

¿¿


Latihan soal:

No.1

Tentukan fungsi berikut ini menjadi pecahan parsial I(s )=4 s+3

s2+6 s+5!Hasil bagi polinom dengan akar-

akar kembar pada penyebut ?

Jawab:


s2+6 s+5=(s+1 )(s+5)

4 s+3s2+6 s+5

=K1

(s+1)+

K2

(s+5)


(4 s+3 )(s+1)( s+1 )(s+5)

=K 1

(s+1)( s+1 )

+K 2

(s+1)( s+5 )

(4 s+3 )(s+5)

=K1+K 2

(s+1)( s+5 )

s + 1 = 0s = -1

4 (−1)+3(−1+5 )

=K1+K 2

(−1 )+1(−1 )+5

64=K1+0→K1=1,5


(4 s+3 )(s+5)( s+1 )(s+5)

=K1

(s+5)(s+1 )

+K2

(s+5)(s+5 )

(4 s+3 ) ¿¿

4 (−5)+3(−5+1 )

=K1

(−5 )+1(−5 )+5

+K2

−17−4

=0+K 2→K 2=4,25

No.2


(s+2 )2 !Hasil bagi polinom dengan akar-akar

kembar pada penyebut ?

Jawab:

s+4(s+2 )2

=K1

(s+2)+

K2


s+4=(s+2)K1+K2|s=−2 persamaan1

−2+4=K 2→K2=2


1+0−K2+0→K2=1

No.3

Tentukan fungsi berikut ini I(s )=4 s2+2 s+2

(s+2)3 menjadi persamaan parsial ?

Jawab:

I(s )=4 s2+2 s+2

(s+2)3=

K1

(s+2)+

K2

(s+2)2 +K3

¿¿


4 s2+2 s+2=K1(s+2)2+K2 ( s+2 )+K3

s + 5 = 0s = -5



4 s2+2 s+2(s+2)

=K1(s+2)+K2+K3

(s+2)


Kalikan persamaan di atas dengan (s+1), maka akan diperoleh:

4 s2+2 s+2(s+2)2 =K1+

K2

(s+2)+K3

¿¿


No.4

Tentukan fungsi berikut ini menjadi pecahan parsial I(s )=8 s+3

s2+6 s+5!Hasil bagi polinom dengan akar-

akar kembar pada penyebut ?

Jawab:


s2+8 s+7=(s+1 )(s+7)

8 s+3s2+8 s+7

=K1

(s+1)+

K2

(s+7)


(8 s+3 )(s+1)(s+1 )(s+7)

=K1

(s+1)(s+1 )

+K2

(s+1)( s+7 )

(8 s+3 )(s+7)

=K1+K2

(s+1)( s+7 )

8(−1)+3(−1+7 )

=K1+K2

(−1 )+1(−1 )+7

−11−8

=K1+0→K 1=1,375


(8 s+3 )(s+7)(s+1 )(s+7)

=K1

(s+7)( s+1 )

+K 2

(s+7)( s+7 )

(8 s+3 ) ¿¿

8(−7)+3(−7+1 )

=K1

(−7 )+1(−7 )+7

+K2

s + 1 = 0s = -1

s + 7 = 0s = -7

−53−6

=0+K2→K 2=8,8333

No.5


(s+4 )2 !Hasil bagi polinom dengan akar-akar

kembar pada penyebut ?

Jawab:

s+8(s+4 )2

=K1

(s+4 )+

K2


s+8=(s+4)K1+K 2|s=−4 persamaan1

−4+8=K2→K2=4


1+0−K2+0→K2=1

DOSEN PEMBIMBING Drs. FARIED WADJDI, M.Pd., MM

TUGAS KE - 11

Kelompok 16

Disusun oleh :

FERI FEBRIANTO 5115092510

IHKWAN PRATIKNO 5115092499

M RAHMADHANY S 5115092486

TRI ABADI 5115090160

PEND. TEKNIK ELEKTRO (S1 REGULER)

TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

2010

Pecahan Parsial RESUME 11

Documents

Transcript of Pecahan Parsial RESUME 11