Pecahan Parsial
- Tidak semua fungsi akan merupakan fungsi parsial.- Fungsi yang tidak bisa diselesaikan dengan tabel pasangan Laplace, maka perlu dilakukan
pemecahan fungsi sehingga menjadi fungsi-fungsi parsial yang dapat dengan mudah diselesaikan dengan tabel pasangan tranformasi Laplace.
- Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang danpenyebutnya berbentuk polinomial
X (s )=P(s)
Q(s)
Derajat P(s) < derajat Q(s) Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama
X (s )=P(s)
( s+ p1 ) ( s+ p2 )…( s+pn )
X (s )=A1
( s+ p1 )+
A2
( s+ p2 )+….
An
( s+ pn )
Ak= lims→−pk
(s+ pk) ∙ X (s )
k=1,2,3…n
x(t) menjadi
x (t )=A1e−p1 t+A2e
−p2 t+…+An e−pn t
Jika pi = pk*,maka penyelesaian dapat diselesaikan secara khusus yang menghasilkan x(t) merupakan fungsi Cosinus dan Sinus
Q(s) mempunyai akar rangkap
X (s )=P(s)
( s+ p1 )r (s+ p2 )… (s+ pn )
X (s )=A11
( s+ p1 )+
A12
( s+ p1 )2+….
A1 r
( s+ p1 )r+
A2
( s+ p2 )+…
An
( s+pn )A k= lim
s→−pk
(s+ pk) ∙ X (s )
Akl=1
(r−l ) !dr−l
dsr−l [ lims→−pk
(s+ pk )r ∙ X (s )]s=−pk
Tabel Pasangan Transformasi Laplace
f (t )=L−1 {F (s )} F ( s )=L {f (t )}
δ (t) 1
u(t )1s
tu(t)1
s2
t n−1
(n−1 ) !u (t ) , n=1,2 ,…
1
sn
e−αtu (t)1
s+α
t e−αtu(t)1
(s+α )2
t n−1
(n−1 ) !e−αtu (t ) , n=1,2 ,…
1
(s+α )n
1β−α
(e−αt−e− βt )u(t) 1(s+α )(s+β)
sinωt u(t)ω
s2+ω2
cosωtu( t)s
s2+ω2
sin(ωt+θ)u( t)s sinθ+ωcosθ
s2+ω2
cos (ωt+θ)u (t)s cosθ−ω sinθ
s2+ω2
e−αt sinωt u(t )ω
(s+α )2+ω2
e−αt cosωtu (t)s+α
(s+α )2+ω2
I(s )=2 s+3
s2+3 s+2persamaan parsialnya?
Langkah penyelesaian:
1. Membuat polinom penyebut menjadi faktor-faktor dan kemudian menguraikannya
s2+3 s+2= (s+1 )(s+2)
2 s+3s2+3 s+2
=K1
(s+1)+
K2
(s+2)
2. Karena akar-akarnya riil, kalikan persamaan dengan (s+1)
(2 s+3 )(s+1)(s+1 )(s+2)
=K 1
(s+1)( s+1 )
+K 2
(s+1)( s+2 )
(2 s+3 )(s+1)(s+1 )(s+2)
=K 1+K 2
(s+1)( s+2 )
2(−1)+3(−1+2 )
=K1+K2
(−1 )+1(−1 )+2
11=K1+0=1
3. Untuk menghitung K2 maka ikuti pola seperti langkah pada nomor 2
(2 s+3 )(s+1)(s+1 )(s+2)
=K 1
(s+2)( s+1 )
+K 2
(s+2)( s+2 )
2 s+3( s+1 )|s=−2
=0+K2
K2=(−4+3)(−2+1 )
→K2=1
2 s+3
s2+3 s+2= 1
( s+1 )+ 1
(s+2 )
Contoh 2 :
Tentukan fungsi berikut ini menjadi pecahan parsial s+2
(s+1 )2 !
Hasil bagi polinom dengan akar-akar kembar pada penyebut
s+2(s+1 )2
=K1
(s+1)+
K2
(s+1 )2denganmengalikan (s+1 )2
s+2=(s+1)K1+K2|s=−1 persamaan1
−1+2=K 2→K2=1
Bila dilakukan dengan cara yang sama, maka kita tidak bisa menghitung K nya, karena itu untuk menghitung K, maka persamaan ke-1 harus diferensialisasikan terhadap s
1+0−K2+0→K2=1
Contoh 3:
s + 1 = 0s = -1
Tentukan fungsi berikut ini menjadi persamaan parsial!
I(s )=2 s2+3 s+2
(s+1)3
I(s )=2 s2+3 s+2
(s+1)3 =K1
(s+1)+
K2
(s+1)2 +K3
¿¿
Kalikan persamaan di atas dengan ¿, maka akan diperoleh:
2 s2+3 s+2=K1(s+1)2+K2 ( s+1 )+K 3
jika s=−1 ,makaK3=1
Kalikan persamaan di atas dengan ¿, maka akan diperoleh:
2 s2+3 s+2(s+1)
=K1(s+1)+K2+K3
(s+1)
jika s=−1 ,makaK2=0
Kalikan persamaan di atas dengan (s+1), maka akan diperoleh:
2 s2+3 s+2(s+1)2 =K1+
K 2
(s+1)+K3
¿¿
jika s=−1 ,makaK3=0
Latihan soal:
No.1
Tentukan fungsi berikut ini menjadi pecahan parsial I(s )=4 s+3
s2+6 s+5!Hasil bagi polinom dengan akar-
akar kembar pada penyebut ?
Jawab:
1. Membuat polinom penyebut menjadi faktor-faktor dan kemudian menguraikannya
s2+6 s+5=(s+1 )(s+5)
4 s+3s2+6 s+5
=K1
(s+1)+
K2
(s+5)
2. Karena akar-akarnya riil, kalikan persamaan dengan (s+1)
(4 s+3 )(s+1)( s+1 )(s+5)
=K 1
(s+1)( s+1 )
+K 2
(s+1)( s+5 )
(4 s+3 )(s+5)
=K1+K 2
(s+1)( s+5 )
s + 1 = 0s = -1
4 (−1)+3(−1+5 )
=K1+K 2
(−1 )+1(−1 )+5
64=K1+0→K1=1,5
3. Untuk menghitung K2 maka ikuti pola seperti langkah pada nomor 2
(4 s+3 )(s+5)( s+1 )(s+5)
=K1
(s+5)(s+1 )
+K2
(s+5)(s+5 )
(4 s+3 ) ¿¿
4 (−5)+3(−5+1 )
=K1
(−5 )+1(−5 )+5
+K2
−17−4
=0+K 2→K 2=4,25
No.2
Tentukan fungsi berikut ini menjadi pecahan parsial s+4
(s+2 )2 !Hasil bagi polinom dengan akar-akar
kembar pada penyebut ?
Jawab:
s+4(s+2 )2
=K1
(s+2)+
K2
(s+2 )2denganmengalikan (s+2 )2
s+4=(s+2)K1+K2|s=−2 persamaan1
−2+4=K 2→K2=2
Bila dilakukan dengan cara yang sama, maka kita tidak bisa menghitung K nya, karena itu untuk menghitung K, maka persamaan ke-1 harus diferensialisasikan terhadap s
1+0−K2+0→K2=1
No.3
Tentukan fungsi berikut ini I(s )=4 s2+2 s+2
(s+2)3 menjadi persamaan parsial ?
Jawab:
I(s )=4 s2+2 s+2
(s+2)3=
K1
(s+2)+
K2
(s+2)2 +K3
¿¿
Kalikan persamaan di atas dengan ¿, maka akan diperoleh:
4 s2+2 s+2=K1(s+2)2+K2 ( s+2 )+K3
s + 5 = 0s = -5
jika s=−2 ,makaK3=14
Kalikan persamaan di atas dengan ¿, maka akan diperoleh:
4 s2+2 s+2(s+2)
=K1(s+2)+K2+K3
(s+2)
jika s=−1 ,makaK2=0
Kalikan persamaan di atas dengan (s+1), maka akan diperoleh:
4 s2+2 s+2(s+2)2 =K1+
K2
(s+2)+K3
¿¿
jika s=−1 ,makaK3=0
No.4
Tentukan fungsi berikut ini menjadi pecahan parsial I(s )=8 s+3
s2+6 s+5!Hasil bagi polinom dengan akar-
akar kembar pada penyebut ?
Jawab:
1. Membuat polinom penyebut menjadi faktor-faktor dan kemudian menguraikannya
s2+8 s+7=(s+1 )(s+7)
8 s+3s2+8 s+7
=K1
(s+1)+
K2
(s+7)
2. Karena akar-akarnya riil, kalikan persamaan dengan (s+1)
(8 s+3 )(s+1)(s+1 )(s+7)
=K1
(s+1)(s+1 )
+K2
(s+1)( s+7 )
(8 s+3 )(s+7)
=K1+K2
(s+1)( s+7 )
8(−1)+3(−1+7 )
=K1+K2
(−1 )+1(−1 )+7
−11−8
=K1+0→K 1=1,375
3. Untuk menghitung K2 maka ikuti pola seperti langkah pada nomor 2
(8 s+3 )(s+7)(s+1 )(s+7)
=K1
(s+7)( s+1 )
+K 2
(s+7)( s+7 )
(8 s+3 ) ¿¿
8(−7)+3(−7+1 )
=K1
(−7 )+1(−7 )+7
+K2
s + 1 = 0s = -1
s + 7 = 0s = -7
−53−6
=0+K2→K 2=8,8333
No.5
Tentukan fungsi berikut ini menjadi pecahan parsial s+8
(s+4 )2 !Hasil bagi polinom dengan akar-akar
kembar pada penyebut ?
Jawab:
s+8(s+4 )2
=K1
(s+4 )+
K2
(s+4 )2denganmengalikan (s+4 )2
s+8=(s+4)K1+K 2|s=−4 persamaan1
−4+8=K2→K2=4
Bila dilakukan dengan cara yang sama, maka kita tidak bisa menghitung K nya, karena itu untuk menghitung K, maka persamaan ke-1 harus diferensialisasikan terhadap s
1+0−K2+0→K2=1
DOSEN PEMBIMBING Drs. FARIED WADJDI, M.Pd., MM
TUGAS KE - 11
Kelompok 16
Disusun oleh :
FERI FEBRIANTO 5115092510
IHKWAN PRATIKNO 5115092499
M RAHMADHANY S 5115092486
TRI ABADI 5115090160
PEND. TEKNIK ELEKTRO (S1 REGULER)
TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
2010
Top Related