Pd Linier Tak Homogen

7/28/2019 Pd Linier Tak Homogen

1/10


2/10

2

Mengingat teorema solusi umum persamaan diferensial tak homogeny, tugas kita disini

hanyalah mencari satu solusi particular dari persamaan diferensial tak homogeny.

Terdapat tiga metode:

1.Metode koefisien tak tentuIde dasar dari metode koefisien tak tentu adalah menduga dengan cerdas solusi (solusi ansatz) berdasarkan bentuk fungsi di ruas kanan.Bentuk persamaan umum:

Fungsi yang merupakan bentuk solusi pertikular diperoleh dengancara menebak, seperti misalnya: fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau

jumlah dari beberpa fungsi

berisikan koefisien tak tentu Turunkan sesuai persamaan umum di atas Subtitusikan

dan seluruh turunannya ke dalam persamaan

Tabel Metode Koefisian Tak Tentu

Aturan:

Bila meupakan salah satu fungsi seperti dalam table, maka pilih bentuk yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tantu. Turunan

harus bebas linier pula. Bila merupakan penjumlahan, maka pilih yang merupakan penjumlahan

fungsi yang sesuai.


3/10

3

Bila adalah solusi dari persamaan homogeny, maka pilihan dapatdimodifikasi seperti berikut

Aturan Modifikasi

Kalikan pilihan pada kolom 2 dengan atau tergantung dari apakah pada kolom 3berupa akar tunggal atau akar-akar ganda dari persamaan homogeny.

Contoh Soal

1) Selesaikan persamaan berikut: Jawab:

Mencari jawaban homogeny dan Maka,

Mencari jawaban particular

Turunan adalah Maka, dan

15 =

Maka,


4/10

4

Solusi Umum

2) Selesaikan Jawab:

Mencari jawaban homogeny Maka, solusi homogeny untuk D


5/10

5

dan Maka,


Masukan ke persamaan:

;

3 ;

Solusi Umum

4) Selesaikan: Jawab:

Mencari jawaban homogeny dan Maka,


6/10

6


Masukan ke persamaan:

; ;

Solusi Umum

2.Metode KompleksBentuk umumnya seperti persamaan .Contoh:

Dengan metode koefisien tak tentu akan diperoleh:

Menurut hokum Euler, ruas kanan persamaan , adalahkomponen nyata (real) karena:


7/10

7

Sehingga persamaan dapat ditulis dengan:

Solusi particular kompleks dapat di buat dalam bentuk:

dan

bila disubtitusikan ke dalam persamaan :

Sehingga solusi umum persamaan adalah:

Dan komponen nyatanya adalah:

3.Metode UmumBentuk umum Persamaan Diferensial Tak Homogen

Sedangkan bentuk umum Persamaan Diferensial Homogen :


8/10

8

Maka solusi umumnya pada interval terbuka I berbentuk:

Bila dan diganti dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi pertikular padainterval terbuka I, sbb:

Jika persamaan di atas diturunkan, hasilnya:

Karena u(x) dan v(x) adalah pengganti dan , maka:

Sehingga

menjadi:

Bila persamaan diturunkan hasilnya:

Persamaan , , dan disubtitusikan ke dalam persamaan , dan mengumpulkan komponen yangmengandung u dan v:


9/10


10/10

10

Contoh:

Selesaikan Persamaan Diferensial berikut ini: Jawab:

Misalkan

Mencari jawaban homogeny Bilangan Wronskian:


Solusi Umum

Pd Linier Tak Homogen

Documents

Transcript of Pd Linier Tak Homogen