TE 226 - Sistem Linier · PDF file1 Persamaan Diferensial Linier Solusi Homogen ... Persamaan...

TE 226 - Sistem Linier
Jimmy Hasugian
Electrical Engineering - Maranatha Christian University
[email protected] - http://wp.me/p4sCVe-g
Sistem Waktu Kontinu
Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 1 / 58

Pokok Bahasan
1 Persamaan Diferensial LinierSolusi HomogenSolusi Khusus (Non-Homogen)Bentuk UmumDiagram Blok
2 Respons Frekuensi
3 Response ImpulsKonvolusiHubungan dengan Respons StepMenentukan Respons ImpulsHubungan dengan Respons Frekuensi
4 Persamaan Ruang KeadaanSolusi Persamaan Ruang KeadaanRespons Frekuensi

Pendahuluan
Metode matematika yang digunakan untuk menganalisis sebuah sistemliner yang tak-ubah-waktu (linear time invariant system - LTIS) dapatdilakukan secara time/sequence domain atau secara transform domain.
Pada bagian ini akan dipaparkan 3 (tiga) metode secara time domainuntuk sistem waktu-kontinu (continuous-time system), yaitu:
1 persamaan diferensial linier (linear differential equation)
2 fungsi respons impuls (impulse-response function)
3 formuliasi variabel-keadaan (state-variable formulation)

Persamaan Diferensial Linier
Secara dasar, sistem dapat direpresentasikan melalui persamaan diferensiallinier biasa/PDB (ordinary linear differential equation).
Theorem (Linear Differential Equation)
Secara umum, sistem dapat dinyatakan melalui Persamaan DiferensialBiasa:
bndny(t)
dtn+ bn1
dn1y(t)
dtn1+ . . .+ b1
dy(t)
dt+ y(t) = x(t) (1)
atau dapat juga ditulis sebagai:
(bnDn + bn1D
n1 + . . .+ b1D + 1)[y(t)] = x(t) (2)
dengan D ddt (differential operator)

Diperkenalkan linear operator L yang digunakan untuk menyatakan sistemdalam persamaan diferensial:
L{y(t)} = x(t) (3)
dengan
L = bnDn + bn1D
n1 + . . .+ b1D + 1 (4)
Solusi Umum dari persamaan (1) dibagi menjadi dua komponen, yaitu:
1 solusi homogen yh(t)disebut juga solusi transien, natural, tanpa-sumber
2 solusi khusus (karena adanya sumber x(t)) yp(t)disebut juga solusi non-homogen, tunak (steady-state)

Persamaan Diferensial Linier Solusi Homogen
Solusi Homogen
Solusi homogen dari persamaan (1) diperoleh jika sistem tidak memilikiinput, atau x(t) = 0, sehingga menjadi:
bndny(t)
dtn+ bn1
dn1y(t)
dtn1+ . . .+ b1
dy(t)
dt+ y(t) = 0
Solusi persamaan di atas diperoleh dengan mencari akar-akar daripersamaan (4)
L = bnDn + bn1D
n1 + . . .+ b1D + 1 = 0
atau dapat juga ditulis:
f (r) = bnrn + bn1r
n1 + . . .+ b1r + 1 = 0 (5)

Solusi Homogen
Persamaan (5) adalah bentuk polinomial, dan akar-akar dari persamaantersebut dibagi menjadi dua kondisi:
1 akar-akar beda (distinct roots)solusinya memiliki bentuk: ert
2 akar-akar sama (multiple roots)misalkan ada sebanyak p kali akar-akar r , makasolusinya memiliki bentuk: ert , tert , t2ert , . . . , tp1ert
Akar-akar r dapat berupa bilangan ril ataupun kompleks. Khusus untukbilangan pasangan-kompleks (complex-pair) r = a jb, maka solusi dapatjuga ditulis:
ert e(ajb)t e(a+jb)t , e(ajb)t eksponensial (6) eat cos(bt) + eat sin(bt) trigonometri

Solusi Homogen
Solusi homogen dari persamaan L{y} = 0 dapat dituliskan sebagai:
yh(t) = y1(t) + y2(t) + . . .+ yk(t) (7)
dengan y1(t), y2(t), . . . , yk(t) dapat memiliki bentuk seperti yangdijelaskan pada slide sebelumnya
Sebagai contoh:Carilah solusi homogen untuk persamaan diferensial y y + y y = 0Ubah ke dalam operator D menjadi: (D3 D2 + D 1)[y ] = 0Sehingga persamaan untuk mencari akar-akar: f (r) = r3 r2 + r 1 = 0diperoleh: r1 = 1, r2 = j , r3 = jMaka solusi homogen:yh(t) = c1e
t + c2ejt + c3e
jt atauyh(t) = c1e
t + c 2 cos(t) + c3 sin(t)

Persamaan Diferensial Linier Solusi Khusus (Non-Homogen)
Solusi Khusus (Non-Homogen)
Solusi khusus ataupun non-homogen dicari apabila persamaan (1) memilikiinput, atau x(t) 6= 0.
Untuk mengatasi hal ini, dapat menggunakan operator pemusnah(annihilates operator) LA sehingga memenuhi:
LA{x(t)} = 0 (8)
Beberapa operator pemusnah dapat dilihat pada tabel berikut:
Table: Operator Pemusnah
x(t) LA
tk Dk+1
eat (D a) cos(bt) + sin(bt) (D2 + b2)

Solusi Khusus (Non-Homogen)
Sifat Operator PemusnahJika LA1 adalah operator pemusnah untuk x1(t) dan LA2 adalah operatorpemusnah untuk x2(t), maka LA1LA2 dapat memusnahkanx1(t) + x2(t).
Apabila operator pemusnah untuk semua jenis input telah ditemukan,maka tinggal diterapkan untuk kedua sisi dalam persamaan diferensialuntuk mendapatkan solusi homogen dan solusi non-homogen (khusus).
Sehingga Solusi Umum (lengkap) dari persamaan diferensial seperti pada(1) adalah:
y(t) = yh(t) + yp(t) (9)
= c1y1(t) + c2y2(t) + . . .+ cnyn(t)+
cp1yp1(t) + cp2yp2(t) + . . .+ cpmypm(t) (10)

Contoh Soal
Carilah solusi persamaan diferensial berikut ini:
1 y (t) + y(t) = et
2 L{y(t)} = (D2 + 1)[y(t)] = sin(t), y(0) = 1, y (0) = 0Jawaban:Soal 1Ubah dulu ke dalam operator D, sehingga menjadi: (D2 + 1)[y(t)] = et
Karena memiliki input x(t) = et , maka operator pemusnahnya: (D 1)Sehingga secara lengkap dapat dituliskan:
L{y(t)} = x(t)LAL{y(t)} = LAx(t)
(D 1)(D2 + 1)[y(t)] = (D 1)et
(D 1)(D2 + 1)[y(t)] = 0

Contoh Soal
Nyatakan dalam bentuk polinomial:
f (r) = (r 1)(r2 + 1) = 0
Ingat, bahwa bentuk (r 1) diperoleh dari operator pemusnah karena adainput x(t) = et , sehingga bagian ini akan memberikan solusi khusus(non-homogen).
Akar-akar dari persamaan di atas: (r2 + 1) r1 = j , r2 = j(r 1) r3 = 1
Sehingga solusi dari persamaa diferensial tersebut adalah:
y(t) = yh(t) + yp(t)
= c1ejt + c2e
jt + c3et
PENTING! Bagaimana mencari nilai dari koefisien c1, c2, c3?Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 12 / 58

Contoh Soal
y(t) = yh(t) + yp(t)
= c1ejt + c2e
jt + c3et
Dalam soal ini, koefisien c1, c2 adalah berasal dari solusi homogen.Untuk mencari nilai koefisien dari Solusi Homogen, diperoleh denganmemasukkan syarat batas ataupun kondisi awal (initial condition).Biasanya hal ini diketahui dalam soal.
Dalam soal ini, koefisien c3 adalah berasal dari solusi khusus(non-homogen).Untuk mencari nilai koefisien dari Solusi Khusus, diperoleh denganmen-substitusi bentuk solusi khusus ke dalam persamaan diferensial yangditanya.
Dalam kasus ini, kita hanya bisa mencari koefisien dari solusi khusus (c3)Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 13 / 58

Contoh Soal
Substitusikan solusi khusus yp(t) = c3et ke dalam persamaan diferensial
yang ditanya.
y (t) + y(t) = et y p (t) + yp(t) = et
Sehingga menjadi:
c3et + c3e
t = et
2c3et = et
Dengan demikian: 2c3 = 1 c3 = 12Sehingga solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah:
y(t) = c1ejt + cjt2 +
1
2et

Persamaan Diferensial Linier Bentuk Umum
Bentuk Umum Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial dalam (1) dapat diperluas lagi sehingga memilikibentuk umum menjadi:
bndny(t)
dtn+ bn1
dn1y(t)
dtn1+ . . .+ b1
dy(t)
dt+ y(t)
= amdmx(t)
dtm+ am1
dm1x(t)
dtm1+ . . .+ a1
dx(t)
dt+ a0x(t) (11)
atau dapat juga ditulis dengan menggunakan operator diferensial:
(bnDn + bn1D
n1 + . . .+ b1D + 1)[y(t)]
= (amDm + am1D
m1 + . . .+ a1D + a0)[x(t)] (12)
atau dengan menggunakan operator L:
L{y(t)} = LD{x(t)} (13)

Persamaan Diferensial Linier Bentuk Umum
Bentuk Umum Persamaan Diferensial
Misalkan:
x(t) = LD{x(t)} (14)
sehingga persamaan (13) dapat ditulis sebagai:
L{y(t)} = x(t) (15)
yang memiliki bentuk yang identik dengan persamaan (3).
Apabila sistem memiliki input x(t) 6= 0, maka operator pemusnah LA yangberlaku untuk x(t) juga berlaku untuk x(t), persamaan (12) dan (13)dapat dikerjakan dengan:
LA.L{y(t)} = LA.LD{x(t)} (16)LA.L{y(t)} = LA.x(t)

Persamaan Diferensial Linier Diagram Blok
Diagram Blok
Salah satu kasus yang dihadapi adalah menurunkan model persamaandiferensial suatu sistem dari suatu diagram blok yang diberikan. Misalkandiketahui diagram blok sistem seperti berikut:
dimisalkan sinyal a sebelum blok integrasi pertama, dan sinyal b setelahblok integrasi kedua
a = y a = y y = b
Dapat

TE 226 - Sistem Linier · PDF file1 Persamaan Diferensial Linier Solusi Homogen ... Persamaan...

Documents

Transcript of TE 226 - Sistem Linier · PDF file1 Persamaan Diferensial Linier Solusi Homogen ... Persamaan...