MOMEN INERSIA

Kita pasti pernah melihat atau pun memainkan sebuah

gasing atau yoyo. Gasing itu dapat berputar dengan

seimbang karena didesain dengan baik sehingga pusat

massanya berada ditengah-tengah diameter gasing, dan

yoyo pun begitu. Hal ini dikarenakan bahwa setiap benda

pastilah memiliki titik pusat massa yang merupakan

tempat dimana massa benda bertumpu, dengan

perngertian ini maka dapat dipastikan bahwa setiap benda

pasti juga memiliki momen inersia yang besarnya tergantung dari jarak pusat

massa ke sumbu putar. Namun pusat massa setiap benda tidaklah sama meskipun

memiliki bentuk fisik yang hampir sama seperti bola pejal dengan bola berongga,

sehingga momen inersia antara bola pejal dengan bola berongga jugalah tidak

sama. Untuk mencari momen inersia benda yang memiliki bentuk atau wujud

tertentu seperti silinder pejal, bola dan lain-lain sangatlah mudah.

Lama dari putaran gasing atau yoyo ini bergantung pada diameter,

kecepatan rotasi, massa, dan momen inersia. Dengan mempelajari momen inersia

kita dapat membuat putaran gasing bertahan lebih lama dan efisien, begitu pula

dengan alat-alat atau mesin yang mempunyai prinsip yang sama.

Momen inersia yang memiliki satuan SI kgm2 adalah ukuran kelembaman

suatu benda untuk berotasi terhadap porosnya. Besaran ini adalah analog rotasi

daripada massa. Momen inersia berperan dalam dinamika rotasi seperti massa

dalam dinamika dasar, dan menentukan hubungan antara momentum sudut dan

kecepatan sudut, momen gaya dan percepatan sudut, dan beberapa besaran lain.

Torsi juga mempengaruhi gerakan benda yang berotasi. Dari pernyataan

tersebut dapat diketahui bahwa semakin besar pengaruhnya terhadap gerakan

benda yang berotasi. Dalam hal ini, semakin besar torsi, semakin besar pula

perubahan kecepatan sudut yang dialami benda. Perubahan kecepatan sudut ini

bisa dikatakan sama dengan percepatan sudut. Jadi kita bisa mengatakan bahwa

torsi sebanding alias berbanding lurus dengan percepatan sudut benda. Perlu

diketahui bahwa benda yang berotasi juga memiliki massa.

Dalam gerak lurus, massa berpengaruh terhadap gerakan benda. Massa bisa

diartikan sebagai kemampuan suatu benda untuk mempertahankan kecepatan

geraknya. Apabila benda sudah bergerak lurus dengan kecepatan tertentu, benda

sulit dihentikan jika massa benda itu besar. Sebuah truk gandeng yang sedang

bergerak lebih sulit dihentikan dibandingkan dengan sebuah taksi. Sebaliknya jika

benda sedang diam atau saat kecepatannya sama dengan 0, benda tersebut juga

sulit digerakan jika massanya besar. Misalnya jika kita menendang bola tenis meja

dan bola sepak dengan gaya yang sama, maka tentu saja bola sepak akan bergerak

lebih lambat.

Dalam gerak rotasi, “massa” benda tegar dikenal dengan julukan Momen

Inersia alias MI. Momen Inersia dalam gerak rotasi itu mirip dengan massa dalam

gerak lurus. Jika massa dalam gerak lurus menyatakan ukuran kemampuan benda

untuk mempertahankan kecepatan linear (kecepatan linear = kecepatan gerak

benda pada lintasan lurus), maka Momen Inersia dalam gerak rotasi menyatakan

ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan sudut (kecepatan

sudut = kecepatan gerak benda ketika melakukan gerak rotasi. Disebut sudut

karena dalam gerak rotasi, benda bergerak mengitari sudut). Makin besar Momen

inersia suatu benda, semakin sulit membuat benda itu berputar alias berotasi.

sebaliknya, benda yang berputar juga sulit dihentikan jika momen inersianya

besar.

Definisi sederhana momen inersia (terhadap sumbu rotasi tertentu) dari

sembarang objek, baik massa titik atau struktur tiga dimensi, diberikan oleh

rumus:

Dimana m adalah massa dan r adalah jarak tegak lurus terhadap sumbu

rotasi.

Momen Inersia Partikel

Sebenarnya tidak ada batas ukuran yang ditetapkan untuk kata partikel. Jadi,

penggunaan istilah partikel hanya untuk mempermudah pembahasan mengenai

gerakan, dimana posisi suatu benda digambarkan seperti posisi suatu titik. Konsep

partikel ini yang kita gunakan dalam membahas gerak benda pada Topik

Kinematika (Gerak Lurus, Gerak Parabola, Gerak Melingkar) dan Dinamika

(Hukum Newton). Jadi benda-benda dianggap seperti partikel.

Konsep partikel itu berbeda dengan konsep benda tegar. Dalam gerak lurus

dan gerak parabola, misalnya, kita menganggap benda sebagai partikel, karena

ketika bergerak, setiap bagian benda itu memiliki kecepatan (maksudnya

kecepatan linear) yang sama. Ketika sebuah mobil bergerak, misalnya, bagian

depan dan bagian belakang mobil mempunyai kecepatan yang sama. Jadi kita bisa

mengganggap mobil seperti partikel alias titik.

Ketika sebuah benda melakukan gerak rotasi, kecepatan linear setiap bagian

benda berbeda-beda. Bagian benda yang ada di dekat sumbu rotasi bergerak lebih

pelan (kecepatan linearnya kecil), sedangkan bagian benda yang ada di tepi

bergerak lebih cepat (kecepatan linear lebih besar). Jadi, kita tidak bisa

menganggap benda sebagai partikel karena kecepatan linear setiap bagian benda

berbeda-beda ketika ia berotasi. Perlu diketahui juga bahwa kecepatan sudut

semua bagian benda itu sama.

Jadi pada kesempatan ini, terlebih dahulu kita tinjau Momen Inersia sebuah

partikel yang melakukan gerak rotasi. Hal ini dimaksudkan untuk membantu kita

memahami konsep momen inersia. Setelah membahas Momen Inersia Partikel,

kita akan berkenalan dengan momen inersia benda tegar. Benda tegar itu memiliki

bentuk dan ukuran yang beraneka ragam. Jadi, untuk membantu kita memahami

momen Inersia benda-benda yang memiliki bentuk dan ukuran yang berbeda-beda

itu, terlebih dahulu kita pahami Momen Inersia partikel. Bagaimanapun, setiap

benda itu bisa dianggap terdiri dari partikel-partikel.

Misalnya sebuah partikel bermassa m diberikan gaya F sehingga ia

melakukan gerak rotasi terhadap sumbu O. Partikel itu berjarak r dari sumbu

rotasi. mula-mula partikel itu diam (kecepatan = 0). Setelah diberikan gaya F,

partikel itu bergerak dengan kecepatan linear tertentu. Mula-mula partikel diam,

lalu bergerak (mengalami perubahan kecepatan linear) setelah diberikan gaya.

Dalam hal ini benda mengalami percepatan tangensial. Percepatan tangensial ini

sama dengan percepatan linear partikel ketika berotasi.

Dengan ini kita bisa menyatakan hubungan antara gaya (F), massa (m) dan

percepatan tangensial (at), dengan persamaan Hukum II Newton :

Karena partikel itu melakukan gerak rotasi, maka ia pasti mempunyai

percepatan sudut. Hubungan antara percepatan tangensial dengan percepatan

sudut dinyatakan dengan persamaan :

Sekarang kita masukan a tangensial ke dalam persamaan di atas :

Kita kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan r :

Perhatikan ruas kiri. rF = Torsi, untuk gaya yang arahnya tegak lurus sumbu

(bandingan dengan gambar di atas). Persamaan ini bisa ditulis menjadi :

Dari rumus diatas, mr2 adalah momen inersia partikel bermassa m, yang

berotasi sejauh r dari sumbu rotasi. persamaan ini juga menyatakan hubungan

antara torsi, momen inersia dan percepatan sudut partikel yang melakukan gerak

rotasi. Istilah kerennya, ini adalah persamaan Hukum II Newton untuk partikel

yang berotasi. Jadi, di momen inersia partikel merupakan hasil kali antara massa

partikel itu (m) dengan kuadrat jarak tegak lurus dari sumbu rotasi ke partikel (r2).

Untuk mudahnya, bandingkan dengan gambar di atas.

Secara matematis, momen inersia partikel dirumuskan sebagai berikut :

Lambang I dan kadang-kadang juga J biasanya digunakan untuk merujuk

kepada momen inersia. Konsep ini diperkenalkan oleh Euler dalam bukunya a

Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum pada tahun 1730. Dalam buku

tersebut, dia mengupas momen inersia dan banyak konsep terkait.

Momen Inersia Benda Tegar

Benda tegar adalah suatu benda yang tidak berubah bila diberi gaya luar.

Jika suatu benda tegar mengalami gerak translasi murni besaran massa dari benda

yang berperan, tetapi jika benda tegar tersebut mengalami gerak rotasi murni,

maka peranan massa dari benda digantikan oleh momen inersia benda tersebut

terhadap sumbu rotasinya.

Gerak translasi murni ini adalah gerak dari sebuah benda partikel yang

selama bergerak, sumbu kerangka acuannya melekat pada benda (x’,y’,z’) dan

selalu sejajar dengan kerangka acuannya sendiri (x,y,z). Sedangkan gerak rotasi

murni adalah gerak dari sebuah benda tegar dimana seluruh patikel di dalam

benda tersebut bergerak dalam linfgkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus

yang disebut summbu rotasi.

Secara umum, Momen Inersia setiap benda tegar bisa dinyatakan sebagai

berikut :

Benda tegar bisa kita anggap tersusun dari banyak partikel yang tersebar di

seluruh bagian benda itu. Setiap partikel-partikel itu punya massa dan tentu saja

memiliki jarak r dari sumbu rotasi. jadi momen inersia dari setiap benda

merupakan jumlah total momen inersia setiap partikel yang menyusun benda itu.

Untuk menentukan momen inersia suatu benda tegar, kita perlu meninjau

benda tegar itu ketika ia berotasi. Walaupun bentuk dan ukuran dua benda sama,

tetapi jika kedua benda itu berotasi pada sumbu alias poros yang berbeda, maka

Momen Inersia-nya juga berbeda.

Momen Inersia Benda-Benda yang Bentuknya Beraturan

Selain bergantung pada sumbu rotasi, Momen Inersia (I) setiap partikel juga

bergantung pada massa (m) partikel itu dan kuadrat jarak (r2) partikel dari sumbu

rotasi. Total massa semua partikel yang menyusun benda = massa benda itu.

Persoalannya, jarak setiap partikel yang menyusun benda tegar berbeda-beda jika

diukur dari sumbu rotasi. Ada partikel yang berada di bagian tepi benda, ada

partikel yang berada dekat sumbu rotasi, ada partikel yang sembunyi di pojok

bawah, ada yang terjepit di tengah.

Gambar di atas merupakan salah satu contoh sebuah benda tegar. Benda-

benda tegar bisa dianggap tersusun dari partikel-partikel. Pada gambar, partikel

diwakili oleh titik berwarna hitam. Jarak setiap partikel ke sumbu rotasi berbeda-

beda. Ini hanya ilustrasi saja.

Cara praktis untuk mengatasi hal ini (menentukan MI benda tegar) adalah

menggunakan kalkulus. Lingkaran tipis dengan jari-jari R dan bermassa M

(sumbu rotasi terletak pada pusat)

Lingkaran tipis ini mirip seperti cincin tapi cincin lebih tebal. Jadi semua

partikel yang menyusun lingkaran tipis berada pada jarak r dari sumbu rotasi.

Momen inersia lingkaran tipis ini sama dengan jumlah total momen inersia semua

partikel yang tersebar di seluruh bagian lingkaran tipis.

Momen inersia lingkaran tipis yang berotasi seperti tampak pada gambar di

atas, bisa diturunkan sebagai berikut :

Perhatikan gambar di atas. Setiap partikel pada lingkaran tipis berada pada

jarak r dari sumbu rotasi. dengan demikian : r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = R

Dengan demikian rumusnya adalah

I = MR2

Menentukan momen inersia secara statis

Untuk menentukan momen inersia dari lempeng logam berbentuk persegi

panjang secara statis, dapat dilakukan dengan cara mengukur panjang, lebar, dan

tebal dari lempeng dan juga menimbang massanya. Jika panjang lempeng a, lebar

b, tebal c, dan massanya M, momen inersia lempeng terhadap sumbu rotasi

melalui pusat massa yang sejajar tebal c adalah :

I c=M ¿¿

Dapat dibuktikan pula bahwa momen inersia lempengterhadap sumbu rotasi

melalui pusat massa yang sejajar dengan panjang a adalah

I a=M (b2+c2)

12

Terhadap sumbu rotasi melalui pusat massa dan sejajar lebar v momen

inersianya adalah

I b=M (a2+c2)

12

Momen inersia lempeng silinder terhadap sumbu rotasi yang berimpit

dengan sumbu silinder adalah

I b=12

M R2

M massa silinder dan jari-jari silinder. Jadi, secara statis momen inersia

silinder dapat ditentukan, jika masssa dan jari-jari silindre diketahui. Momen

inersia lempeng silinder terhadap sumbu rotasi melalui pusat massa yang sejajar

dengan diameter adalah

I c=M [ L2

12+ R2

4 ]M massa silinder, R jari-jari silinder, dan L panjang silinder. Jadi secara

statis momne inersianya dapat ditentukan jika M, L, dan R diketahui.

Dibawah ini adalah daftar momen inersia dari beberapa benda tegar yang

digunakan dalam perhitungan.

Benda Poros Gambar Momen Inersia

Batang silinder Pusat

Batang silinder Ujung

Silinder

berongga

Melalui sumbu

Silinder pejal Melalui sumbu

Silinder pejal Melintang sumbu

Bola pejal Melalui diameter

Bola pejal Melalui salah satu

garis singgung

Bola berongga Melalui diameter

Keterangan :

I adalah momen inersia benda

M adalah massa benda

L adalah panjang benda

R adalah jari-jari lingkaran suatu benda

Menentukan momen inersia secara dinamis

Menentukan momen inersia juga dapat dicari dengan menggunakan cara

dinamis, yaitu dengan menggantukan benda pada kawat, dan ujung yang lain

dieratkan pada statip.

Seperti yang dilihat pada gambar di bawah ini.

Jika benda diberi simpangan pada posisi setimbangnya dengan cara

memutar benda, maka kawat akan terpelintir. Jika benda akan mengalami gerak

harmonik anguler (sudut), disebabkan oleh momen gaya puntir dari kawat.

Perioda (waktu getar) T dari gerak harmonic anguler benda ini diungkapkan

dengan :

T=2 π √ IK

dimana : K = tetapan momen gaya puntiran pada kawat

I = IB + IK

IB = momen inersia dari benda

IK = momen inersia dari kawat

Jika dua buah benda dengan momen inersia masing-masing I1 dan I2 secara

berturut-turut digantungkan pada seutas kawat yang sama, maka perioda gerak

harmonik angulernya masing-masing dinyatakan dengan :

T 1=2 π √ I 1+ I k

K

T 2=2 π √ I 2+ I K

K

Dari kedua persamaan ini jika I1,T1,I2,T2 dikertahui, maka Ik dan K dapat

ditentukan. Sebaliknya jika Ik dan K telah diketahui, cara ini dapat dipakai untuk

menentukan momen inersia benda yang lain secara dinamis dengan mengukur

perioda dari gerak harmonik angulernya.