PersamaanMomentum

Persamaan kekekalan momentum diperoleh dengan menyamakan gaya yang bekerja (applied force)

dengan gaya inersia,

Rumusan diatas adalah jumlah gaya sama dengan massa dikalikan dengan kecepatan partikel fluida

atau perubahan momentum. Seperti yang telah dibahas di pengayaan sebelumnya, jika gaya inersia

terdapat tiga macam yaitu gaya inersia yang disebabkan oleh percepatan lokal, percepatan konvektif,

dan coriolis.

Momentum yang diberikan oleh gaya yang bekerja digunakan untuk bergerak atau mengubah

kecepatan akan menimbulkan gaya inersia, dan persamaan ini bekerja pada setiap partikel. Persamaan

momentum ini bekerja pada satu partikel fluida. Gerak fluida adalah penjumlahan gerak partikel-

partikel fluida jadi persamaan momentum itu adalah pernyataan hukum newton kedua dan terhubung

dengan jumlah dari gaya yang bekerja pada elemen fluida dengan akselerasinya atau kecepatan

perubahan momentumMacam-macam penurunan lanjutan dari persamaan momentum adalah

persamaan bernoulli, persamaan euler, dan persamaan navier stokes.

Persamaan Euler

Dalam persamaan euler, ciri yang mendasar adalah gaya gesekan antar partikel dan gaya gesekan

antara lapisannya diabaikan sehingga gaya inersianya hanya penjumlahan gaya gravitasi dengan gaya

tekanan.

Sumbu Gaya inersia per unit volume Gaya gravitasi + gaya tekanan perunit volume

X

Y

Z

Persamaan Euler di sumbu-x :

Perhatikan gaya permukaan (gaya viskus) yang arahnya sejajar sumbu-x dibawah ini,

dengan

adalah gaya normal,

adalah gaya geser.

untuk fluida tak mampu mampat, gaya permukaan (viskus) persatuan volume :

Sumbu-x 2 2 22

2 2 2

u u uu

x y z

Sumbu-y 2 2 22

2 2 2

v v vv

x y z

Sumbu-z 2 2 22

2 2 2

z z zz

x y z

sedangkan gaya normal untuk fluida kental kompresibel,

Sumb u-x 2xx

u v w up

x y z x

Sumbu-y 2yy

u v w vp

x y z y

Sumbu-z 2zz

u v w wp

x y z z

dimana

Rumus diatas pada suku 2u

x

, 2

v

y

, dan 2

w

z

ada karena pada fluida kental terdapat viskositas

( ). Sedangkan angka 2 di depannya itu didapatkan dari Navier Stokes. Karena ini fluida yang

kompresibel sehingga divergensinya bisa positif (elemen fluida membesar sehingga nya turun) dan

bisa juga negatif (elemen fluida menyusut sehingga nya naik). Akibat dari ini viskkositasnya

terpengaruhi juga.

Gaya Geser,

Sumbu-x

xy

v u

x y

Sumbu-y

xz

w u

x z

Sumbu-z

zz

w v

y z

Suku-suku gaya inersia per satuan volume :

ˆˆ ˆu u u u v v v v w w w wu v w i u v w j u v w k

t x y z t x y z t x y z

Komponens sumbu-x komponen sumbu-y komponen sumbu-z

Persamaan Navier Stokes

Untuk fluida tak mampu mampat, viskositas fluida ≠0 dan distribusi kecepatannya tidak seragam

persamaan momentum uuntuk tiap komponennya dapat ditulis :

keterangan : inersia lokal ; inersia konvektif ; tekanan ; gravitasi ; friction

INGAT, gaya viskus hanya terjadi pada fluida yang memiliki viskositas dan memiliki distribusi

kecepatan yang tidak seragam.

Persamaan momentum untuk fluida viskus tak mampu mampat (incompressible) seperti dihalaman

sebelumnya dapat juga ditulis dalam bentuk vektor dan menjadi :

Gaya permukaan (viskus) yang arah nya sejajar dengan sumbu-x :

dimana

adalah gaya normal,

adalah gaya geser.

Untuk fluida inkompresible rumus persamaan momentumnya : 0u v w

x y z

Suku-suku gaya inersia persatuan volume :

2

2

2

ˆ2

ˆ2

ˆ2

u V u v u wv w i

t x y x z x

v V v u v wu w j

t y x y z y

w V w u w vu v k

t z x z y z

Suku pertama ( u

t

,

v

t

,

w

t

) di persamaan diatas dari setiap komponen disatukan dipersamaan (2)

menjadi seperti : ˆˆ ˆu v w Vi j k

t t t t

(pers 2)

Sedangkan suku kedua (

2

2

V

x

,

2

2

V

y

,

2

2

V

z

) dari setiap komponennya juga disatukan

lagi menjadi persamaan (3) seperti : 2 2 2 2

ˆˆ ˆ2 2 2

V V V Vi j k

x y z t

Tidak lupa untuk suku ketiga (u v u w

v wy x z x

) disatukan juga seperti langkah

sebelumnya dan akhirnya menjadi persamaan (4):

ˆ ˆ

ˆ

u v u w v u v wv w i u w j

y x z x x y z y

w u w vu v k V V V

x z y z

Persamaan suku-suku gaya inersia : (pers.5)

22

2 2( )2 2

VV V Vgrad p gz curlV V V grad curlV V p gh V

t t

Untuk sekedar mengingatkan, Persamaan momentum itu terdiri sebagai :

Gaya inersia = gaya gradien tekanan dan gravitasi persatuan volume + gaya stress viscous per satuan

volume.

2

2( )2

VVgrad curlV V p gh V

t

(pers. 6)

2

2

2

V Vgrad p gz curlV V V

t

(pers.7)

Mengapa kita memiliki banyak bentuk dari persamaan momentum? Sebenarnya ini terkait dalam

penggunaan rumus tersebut. Misalnya pada (persamaan 7) kita bisa melihat persamaan momentum

dalam bentuk vektor.

Lalu pada kasus aliran tunak ( 0V

t

; misalnya banjir bandang atau pada aliran yang sangat lambat)

dan pada aliran irrotasional ( 0curlV ) , dan juga pada fluida ideal ( 0 ) maka persamaan 7

akan berubah menjadi :

2

02

Vgrad p gz

atau dapat dikatakan

2

2

Vp gz konstan (pers.8)

Kondisi tersebut dijabarkan diatas adalah kondisi untuk Persamaan Bernoulli. Persamaan ini

diaplikasiakn untuk fluida ideal atau fluida encer, fluida dengan aliran tunak dan irrotasional.

Perlu diketahui jika (pers.8) dapat juga kita tulis dalam bentuk :

2 2

1 21 1 2 2

2 2

V Vp gz p gz (pers.9)

Contoh pemakaian persamaan bernoulli adalah pada perhitungan kecepatan aliran satu dimensi yaitu

aliran sungai atau irigasi.

V1

V2 V3

V2 > V1

V2 > V3

Persamaan momentum untuk fluida viskus yang tidak mampu mampat yang ditulis dalam bentuk

vektor :

2

2( )2

VVgrad curlV V p gh V

t

Gaya Inersia Gaya yang Bekerja

Inersia Lokal Inersia Konvektif Tekanan Gravitasi gesekan

Akibat variasi

energi kinetik

Akibat rotasi

V

t

2

2

Vgrad

2

2

Vgrad

p gh 2V

Ketika suatu mediumnya besar (misal dilaut lepas) maka akan ada gaya gravitasi dan gaya koriolos

yang berpengaruh. Gaya elektromagenetik bumi juga berpengaruh tetapi hanya sedikit pengaruhnya

untuk air laut maka jarang sekali diperhitungkan.

Arus Pasang Surut

Pada arus yang terjadi karena adanya pasang surut dan kekuatan angin, terdapat gaya-gaya yang

bekerja yaitu adalah gaya inersia (lokal dan konvektif), ada u

ux

, gradien tekanan, adanya perubahan

elevasi ;v v

x y

,serta gaya viskus yang disebabkan oleh gaya gesekan dasar, gaya geser angin, dan

akibat viskusitas air.

Perhatikan gambar berikut, dapat kita lihat jika v2 > v1 dan v2 > v3 mengapa begini? Mari kita tinjau

dulu yang pertama mengapa v2 > v1 ? Lihat kalau pada kondisi v1 berada pada daerah yang lebih

dalam dari v2 , dengan asumsi lebar (dy kearah masuk

kedalam kertas) adalah konstant, maka jumlah volume

air dengan kecepatan v2 akan lebih besar dengan jumlah

volume air dengan kecepatan v2. Penumpukan massa ini

menyebabkan kecepatan v2 menjadi lebih besar dari v1.

Lalu bagaimana bisa v3 < v2 ? Ini bukan disebabkan oleh

penumpukan massa tetapi akibat gesekan dasar yang terjadi sepanjang aliran air tersebut. Gesekan

menyebabkan adanya energi yang hilang dan berakibat dengan kecepatan aliran juga berkurang.

Aplikasi Persamaan Momentum Pada Fenomeda Oseanografi

Pada pasang surut :

2 2

2 2

.xw w r u vu u u u uu v g

t x y x x y h h

Keterangan :

u uu v

x y

adalah perubahan batimetri yang berarti berubah terhadap ruang sehingga menghasilkan

perubahan kecepatan. Jika kita mengambil data pada daerah yang datar maka suku ini diabaikan.

gx

adalah perbedaan ketinggian, dalam kasus dilaut inni berarti perubahan elevasi terhadap

sumbu-x.

2 2

2 2

u u

x y

adalah gaya viskus yang disebabkan oleh fluida yang kita tinjau adalah fluida air.

xw w

h

adalah gaya permukaan akibat gaya viskus dengan gesekan angin.

.r u v

hadalah suku yang ada akibat gaya gesekan dasar dengan r adalah koefisien gesekan dan u

adalah kecepatan perputaran partikel air, sedangkan v adalah kecepatan rambat gelombang.

Arus Inersia adalah arus laut yang dipengaruhi oleh gaya coriolis. Jadi ketika angin yang membawa

arus berhenti berhembus, momentum air tidak akan berhenti tiba-tiba dan tetap ada gerakan, gaya

gesekan dan gaya coriolis juga masih ada.

Untuk laut dalam gaya gesekannya sangat kecil (sehingga dapat diabaikan) gaya coriolisnya tetap ada.

Jika hanya gaya coriolis yang bekerja dalam arah horizontal, dan gerakan hanya terjadi dengan

perbedaan lintang yang kecil, pola arus inersia akan berbentuk lingkaran. Dalam arus inersia gaya

coriolis bekerja sebagai gaya sentripetal terhadap pusat lingkaran.

2 2 2

2 2 2

1Du P u u ufv

Dt x x y z

2 2 2

2 2 2

1Dv P v v vfv

Dt y x y z

Karena arus inersia alirannya tanpa gesekan dan tidak ada kemiringan permukaan laut sehingga

persamaan momentumnya menjadi :

0Dv

fuDt

0Du

fvDt

Arus inersia ini tidak memperhatikan pasang surut.

Gaya sentripetal =

2mu

r

Gaya sentrifugal = gaya coriolis sehingga

2mumfu

r maka

uf

r

Kalau gerakannya hanya diskala yang kecil tidak akan ada perubahan lintang, f menjadi konstanta

sehingga pola air menjadi lingkarang dengan jari-jari r dan kecepatan tetap u, waktu T yang

diperlukan untuk lingkaran yaitu perioda arus inersia adalah keliling lingkaran yang dibagi dengan

kecepatan : 2 r

Tu

atau

2 rT

u

Persamaan diatas ini menunjukan kalau pada kondisi ideal, T hanya bergantung pada lintang.

f adalah faktor coliolis / parameter coriolis dengan rumus 2 sinf . Jadi ketika f akan besar

jika berada dilintang tinggi, maka r-nya kecil, vice versa.

Arus geostropik adalah arus laut yang disebabkan oleh perbedaan tekanan yang diimbangi oleh gaya

coriolis. Jadi gaya yang bekeraja pada arus geostropik adalah gravitasi dan coriolis. Arus ini berada di

bawah 500 meter dibawah permukaan laut maka gaya konvektifnya diabaikan.

Jadi kalau gaya coriolis bekerja pada air yang bergerak diseimbangkan oleh gaya gradien tekanan

horizontal, arus ini akan disebut dalah keseimbangan geostropik sehingga disebut sebagai arus

geostropik.

Ciri-ciri dari arus geostropik adalah kecepatan vertikalnya (w) kecil , tanpa gesekan, dan tampa

percepatan.

Persamaan momentumnya :

1 Pfv

x

1 Pfu

x

sehingga . .

Pf V

Dimana 1/2

2 2V u v dan

1/222

p p p

x y

Arus Eikman

Arus ini dibangkitkan oleh angin saja (gesekan / dorongan aning). Eikman mengasumsikan jika tiupan

anginnya steady melalui laut yang kedalaman dan lebarnya tidak terbatas dan dianggap pula tidak ada

vairasi densitas. Selain itu permukaan laut juga dianggap tetap horizontal sehingga tekanan pada

kedalaman tenetu adalah konstan.

Laui hipotetik ini dianggap terdapat lapisa-lapisan horizontal yang tak terbatas dan dilapisan atas ada

gesekan geser dengan angin, ada juga gesekan akibat viskositas yang diberikan pada lapisan

berikutnya (lapisan kedua) dan berulang lagi begitu kelapisan dibawahnya (lapisan ketiga) dan

kelapisan yang seterusnya. Semakin dalam maka arus eikman ini akan semakin kecil, dan arus eikman

ini hanya berpengaruh sampai 100m saja.

Dan karena anggapannya kedalaman dan lebar laut pada arus ini tak terbatas (sangat besar sekali)

dengan sistem yang besar ini maka akan ada pengaruh gaya coriolis. Ada keseimbangan atara gaya

gesekan sama gaya coriolis makanya semakin kedalam, arus ini akan dibelokan menyimpang 45

derajat dari arah angin dan sudut kemiringannya itu bertambah dengan bertambahanya si kedalaman.

Persamaan momentumnya :

2

2

ufv

z

dan

2

2

vfu

z

Persamaan kontinuitas air laut (inkompresible) :

10

z

z d

u v wdz

d x y z

Gelombang linier (sinusiodal) adalah gelombang yant daik ada gesekannya, tidak ada gesekan dasar

dan tidak ada gaya viskusnya.

Persamaan momentum yang dilinerkan adalah sebagai berikut :

ug

t x

;

vg

t y

2 2 22

2 2 2C

x y t

cos( )2

Hkx t

cos( ) ;2

H Cu g k kx t C gh

h

PR – Kamis, 9 Mei 2013

1. Buatlah persamaan momentum untuk aliran dibawah ini

Jawab :

pada aliran ini terjadi rotasi,

=

2. Buatlah persamaan momentum untuk aliran pada bidang miring seperti pada gambar dibawah

ini !

Jawab : dari aliran pada bidang miring tersebut dapat diuraikan gaya viskusnya adalah :

,

sehingga persamaan momentumya menjadi :

3. Tentukanlah persamaan kontinuitas dan persamaan momentum untuk aliran sungai yang

bertemu dengan laut (dimuara) dengan gambar distribusi kecepatan seperti gambar dibawah

ini ,

Jawab :

Dari gambar diatas dapat kita ketahui jika aliran tersebut adalah 2D dan diasumsikan

inkompresibel (karena air laut dan air sungai), sehingga persamaan kontinuitas untuk fluida

inkompresibel 2D adalah :

Sedangkan persamaan momentumnya :

sumbu-x :

sumbu-z :

Daftar Pustaka

Mihardja, Dadang Kurnia. Slide Kuliah Hidrodinamika – Applied Force

Bernard L.M. And Introduction to Hydrodynamics and Water Waves, Springer : 1976

Suprangat, Agus. Pengantar Oseanografi

CREST Foundation Studies - Fundamentals of Fluid Mechanics : Chap.6 The Momentum Equation

MIT Dept of Mech Engineering - Marine Hydrodynamics , Fall 2011 : Lecture 4

http://projects.exeter.ac.uk/fluidflow/Courses/FluidDynamics3211-2/slides/lecture3-slides.pdf

http://www.creatis.insa-

lyon.fr/~dsarrut/bib/others/phys/www.mas.ncl.ac.uk/%257Esbrooks/book/nish.mit.edu/2006/Textboo

k/Nodes/chap06/node12.html

PENGAYAAN MATERI HIDRODINAMIKA

Pertemuan Minggu Ke-15; 9 Mei 2013

Bab VII – Persamaan Momentum

Persamaan momentum dan aplikasi persamaan momentum dalam arus-arus

Oleh :

Astrini Nurul Sentanu

129 10 016

PROGRAM STUDI OSEANOGRAFI

FAKULTASI ILMU DAN TEKNOLOGI KEBUMIAN

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2013