Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik . Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri yang tidak geometri Euclidean , tetapi hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri.

Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Euclid ‘s kelima mendalilkan, yang paralel mendalilkan , setara dengan yang Playfair postulat yang menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan A titik, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak baris melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap baris melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbolik , geometri berbentuk bulat panjang , dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut).

Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang dalam bidang dua dimensi yang baik tegak lurus ke saluran ketiga:

Dalam geometri Euclidean garis tetap konstan jarak dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.

Dalam geometri hiperbolik mereka “kurva pergi” satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik persimpangan dengan tegak lurus umum, garis-garis ini sering disebut ultraparallels.

Dalam geometri berbentuk bulat panjang garis “kurva ke arah” satu sama lain dan akhirnya berpotongan.

Sejarah

Sejarah awal

Sementara geometri Euclidean , dinamai matematikawan Yunani Euclid , termasuk beberapa dari matematika tertua, non-Euclidean geometri tidak secara luas diterima sebagai sah sampai abad ke-19.

Perdebatan yang akhirnya menyebabkan penemuan non-Euclidean geometri mulai segera setelah karya Euclid ‘s Elemen ditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lain ( proposisi ) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai “Kelima Postulat Euclid,” atau cukup dengan ” paralel mendalilkan “, yang dalam formulasi asli Euclid adalah:

Jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut yang tepat, maka garis-garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang dari dua kanan sudut.

Lain yang hebat matematika telah menemukan bentuk-bentuk sederhana dari properti ini (lihat postulat paralel untuk laporan setara). Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara konsisten tampaknya lebih rumit dari yang lain Euclid postulat (termasuk, misalnya, “Antara dua titik garis lurus bisa diambil”).

Setidaknya seribu tahun, geometers merasa kesulitan akibat kompleksitas yang berbeda dari kelima postulat, dan percaya itu bisa dibuktikan sebagai teorema dari keempat lainnya. Banyak berusaha untuk menemukan bukti oleh kontradiksi , termasuk matematikawan Arab Ibn al-Haytham (Alhazen, abad ke-11), dengan Persia matematikawan Umar Khayyām (abad 12) dan Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-13), dan dengan Italia matematika Giovanni Girolamo Saccheri (abad 18).

Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat , termasuk segiempat Lambert dan Saccheri segiempat , adalah “teorema pertama dari hiperbolik dan geometri berbentuk bulat panjang . ” Teorema-teorema bersama dengan alternatif mereka mendalilkan, seperti aksioma Playfair ‘s , memainkan peran penting dalam perkembangan selanjutnya dari non-Euclidean geometri. Upaya-upaya awal pada menantang kelima postulat memiliki pengaruh yang besar terhadap pembangunan di antara geometers kemudian Eropa, termasuk Witelo , Levi ben Gerson , Alfonso , John Wallis dan Saccheri. Semua upaya awal dibuat di mencoba untuk merumuskan non-Euclidean Namun geometri diberikan bukti cacat dari paralel mendalilkan, mengandung asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. Upaya-upaya awal itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal dari geometri hiperbolik dan eliptik.

Khayyam, misalnya, mencoba untuk mendapatkan dari setara mendalilkan ia merumuskan dari “prinsip-prinsip Bertuah” ( Aristoteles ): “Dua garis lurus berpotongan konvergen dan tidak mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka bertemu. ” Khayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut puncak dari sebuah segiempat Saccheri dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah teorema tentang mereka, ia benar membantah kasus tumpul dan akut berdasarkan dalil nya dan karena berasal klasik postulat Euclid yang tidak disadarinya adalah setara dengan postulat sendiri. Contoh lain adalah anak al-Tusi, Sadr al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai “Pseudo-Tusi”),

yang menulis sebuah buku tentang subjek di 1298, berdasarkan pengalaman kemudian al-Tusi, yang disajikan lain setara hipotesis untuk paralel dalil . “Dia pada dasarnya revisi kedua sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti proposisi banyak dari Elemen.” Karyanya diterbitkan di Roma tahun 1594 dan dipelajari oleh geometers Eropa, termasuk Saccheri  yang mengkritik pekerjaan ini serta yang dari Wallis.

Giordano Vitale , dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin adalah jarak yang sama di pangkalan AB dan CD KTT, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.

Dalam sebuah karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari Semua Cacat), yang diterbitkan tahun 1733, Saccheri geometri eliptik cepat dibuang sebagai kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri berbentuk bulat panjang untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil dalam geometri hiperbolik. Dia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasil menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. Klaimnya tampaknya telah didasarkan pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir. Dalam upaya untuk membuktikan geometri Euclidean ia malah tidak sengaja menemukan sebuah geometri baru yang layak, tapi tidak menyadarinya.

Pada 1766 Johann Lambert menulis, tetapi tidak mempublikasikan, Theorie der Parallellinien di mana ia mencoba, sebagai Saccheri lakukan, untuk membuktikan postulat kelima. Dia bekerja dengan angka yang hari ini kita sebut segiempat Lambert, suatu segiempat dengan tiga sudut kanan (dapat dianggap setengah dari segiempat Saccheri). Dia segera menghilangkan kemungkinan bahwa sudut keempat adalah tumpul, karena memiliki Saccheri dan Khayyam, dan kemudian melanjutkan untuk membuktikan teorema banyak berdasarkan asumsi sudut akut. Tidak seperti Saccheri, ia tidak pernah merasa bahwa ia telah mencapai kontradiksi dengan asumsi ini. Dia telah membuktikan hasil non-Euclidean bahwa jumlah sudut dalam segitiga meningkat sebagai luas segitiga berkurang, dan ini menyebabkan dia untuk berspekulasi mengenai kemungkinan model kasus akut pada bola berjari-jari imajiner. Dia tidak membawa ide ini lebih jauh.

Pada saat ini itu sangat percaya bahwa alam semesta bekerja menurut prinsip-prinsip geometri Euclidean.

Penciptaan non-Euclidean geometri

Awal abad ke-19 akhirnya akan menyaksikan langkah-langkah yang menentukan dalam penciptaan non-Euclidean geometri. Sekitar 1830, Hungaria matematika János Bolyai dan Rusia matematika Nikolai Lobachevsky secara terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut Bolyai-Lobachevskian geometri, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar non-Euclidean geometri. Gauss disebutkan kepada ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah dikembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelumnya, meskipun ia tidak mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan paralel mendalilkan, Bolyai bekerja di luar geometri di mana kedua Euclidean dan

geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada k parameter. Bolyai berakhir karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri alam semesta fisik Euclid atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.

Bernhard Riemann , dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, mendirikan bidang geometri Riemann , membahas khususnya ide-ide sekarang disebut manifold , Riemannian metrik , dan kelengkungan . Ia dibangun sebuah keluarga tak terbatas geometri yang tidak Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola unit dalam ruang Euclidean . Yang paling sederhana ini disebut geometri berbentuk bulat panjang dan dianggap menjadi geometri non-Euclidean karena kurangnya garis paralel.

Terminologi

Itu Gauss yang menciptakan istilah “non-euclidean geometri”.  Dia merujuk pada karyanya sendiri yang hari ini kita sebut geometri hiperbolik. Beberapa penulis modern yang masih menganggap “non-euclidean geometri” dan “geometri hiperbolik” menjadi sinonim. Pada tahun 1871, Felix Klein , dengan mengadaptasi metrik dibahas oleh Arthur Cayley pada tahun 1852, mampu membawa sifat metrik menjadi sebuah lokasi yang proyektif dan karena itu mampu menyatukan perawatan geometri hiperbolik, euclidean dan berbentuk bulat panjang di bawah payung projective geometri . Klein bertanggung jawab untuk istilah “hiperbolik” dan “eliptik” (dalam sistem, ia disebut geometri Euclidean “parabola”, sebuah istilah yang belum selamat dari ujian waktu). Pengaruhnya telah menyebabkan penggunaan saat ini dari “geometri non-euclidean” untuk berarti baik geometri “hiperbolik” atau “berbentuk bulat panjang”.

Ada beberapa hebat matematika yang akan memperpanjang daftar geometri yang harus disebut “non-euclidean” dengan berbagai cara. Dalam disiplin ilmu lainnya, terutama yang paling matematika fisika , istilah “non-euclidean” sering diartikan tidak Euclidean .

aksioma dasar non-Euclidean geometri

Geometri Euclidean aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya, sistem yang asli Euclid lima postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya mengandalkan asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil sebagai aksioma. sistem Hilbert yang terdiri dari 20 aksioma paling dekat mengikuti pendekatan Euclid dan memberikan pembenaran untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan set yang berbeda dari istilah terdefinisi mendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang berbeda. Dalam semua pendekatan, bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara dengan kelima Euclid postulat, paralel dalil. Hilbert menggunakan bentuk aksioma Playfair, sementara Birkhoff , misalnya, menggunakan aksioma yang mengatakan bahwa “tidak ada sepasang yang sama tetapi tidak kongruen segitiga. ” Dalam salah satu sistem, penghapusan satu aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk apapun yang diperlukan, dan meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan geometri absolut . Sebagai pertama 28 proposisi Euclid (dalam The Elements) tidak memerlukan penggunaan postulat paralel atau apa setara dengan itu, mereka semua pernyataan benar dalam geometri mutlak.

Untuk mendapatkan geometri non-Euclidean, paralel dalil (atau ekuivalen) harus diganti oleh yang negasi . Meniadakan aksioma Playfair ‘s bentuk, karena itu adalah pernyataan majemuk (… terdapat satu dan hanya satu …), bisa dilakukan dengan dua cara. Entah ada akan ada lebih dari satu baris melalui paralel titik ke garis diberikan atau akan ada tidak ada garis melalui titik paralel ke garis yang diberikan. Dalam kasus pertama, menggantikan paralel dalil (atau ekuivalen) dengan pernyataan “Di pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P, terdapat dua garis melalui P yang tidak memenuhi l” dan menjaga semua aksioma lainnya, hasil geometri hiperbolik . Kasus kedua tidak ditangani dengan mudah. Cukup mengganti paralel mendalilkan dengan pernyataan, “Dalam pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P, semua garis melalui P memenuhi l”, tidak memberikan satu set konsisten aksioma. Ini mengikuti sejak garis paralel ada di geometri mutlak , tetapi pernyataan ini mengatakan bahwa tidak ada garis paralel. Masalah ini dikenal (dalam kedok yang berbeda) untuk Khayyam, Saccheri dan Lambert dan merupakan dasar untuk menolak mereka apa yang dikenal sebagai “kasus sudut tumpul”. Untuk mendapatkan satu set konsisten aksioma yang meliputi aksioma ini tentang tidak memiliki garis paralel, beberapa aksioma lain harus tweak. Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem aksioma yang digunakan. Beberapa diantaranya tweak akan memiliki efek memodifikasi kedua postulat Euclid dari pernyataan bahwa segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas waktu untuk pernyataan bahwa garis tak terbatas. Riemann ‘s geometri eliptik muncul sebagai geometri paling alami memuaskan aksioma ini.

Model non-Euclidean geometri

Untuk rincian lebih lanjut tentang topik ini, lihat Model non-Euclidean geometri .

Pada bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 180 °. Permukaan sebuah bola bukan ruang Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik. Dalam sebuah segitiga kecil di muka bumi, jumlah dari sudut sangat hampir 180 °.

Dua geometri Euclidean dimensi dimodelkan dengan gagasan kita tentang “datar pesawat . “

geometri Elliptic

Model sederhana untuk geometri eliptik adalah bola, di mana garis ” lingkaran besar “(seperti ekuator atau meridian di dunia ), dan poin yang berlawanan satu sama lain (disebut poin antipodal ) diidentifikasi (dianggap sama). Ini juga salah satu model standar dari pesawat proyektif nyata . Perbedaannya adalah bahwa sebagai model geometri eliptik metrik diperkenalkan memungkinkan pengukuran panjang dan sudut, sedangkan pada model pesawat proyektif tidak ada metrik tersebut.

Dalam model berbentuk bulat panjang, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, semua baris melalui A akan berpotongan ℓ.

geometri hiperbolik

Bahkan setelah pekerjaan Lobachevsky, Gauss, dan Bolyai, pertanyaannya tetap: apakah model seperti itu ada untuk geometri hiperbolik ? Model untuk geometri hiperbolik dijawab oleh Eugenio Beltrami , pada 1868, yang pertama kali menunjukkan bahwa permukaan yang disebut pseudosphere memiliki sesuai kelengkungan untuk model sebagian dari ruang hiperbolik , dan dalam makalah kedua di tahun yang sama, mendefinisikan Model Klein yang model keseluruhan dari ruang hiperbolik, dan digunakan ini untuk menunjukkan bahwa geometri Euclidean dan geometri hiperbolik adalah equiconsistent , sehingga geometri hiperbolik adalah logis konsisten jika dan hanya jika geometri Euclidean adalah. (Implikasi terbalik berikut dari horosphere model geometri Euclidean.)

Dalam model hiperbolik, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan Titik, yang tidak pada ℓ, ada tak terhingga banyak baris melalui A yang tidak berpotongan ℓ.

Dalam model ini konsep-konsep non-Euclidean geometri sedang diwakili oleh objek Euclidean dalam pengaturan Euclidean. Ini memperkenalkan sebuah distorsi perseptual dimana garis-garis lurus dari geometri non-Euclidean yang diwakili oleh kurva Euclidean yang secara visual membungkuk. Ini “lentur” bukan milik non-Euclidean baris, hanya kecerdasan dari cara mereka diwakili.

sifat Jarang

Euclid dan geometri non-Euclidean secara alami memiliki sifat serupa, yaitu mereka yang tidak tergantung pada sifat paralelisme. Kesamaan ini adalah subjek dari geometri netral (juga disebut geometri absolut). Namun, sifat yang membedakan satu geometri dari yang lain adalah orang-orang yang secara historis menerima perhatian yang besar.

Selain perilaku baris sehubungan dengan tegak lurus umum, disebutkan dalam pendahuluan, kami juga memiliki berikut ini:

Sebuah segiempat Lambert adalah segiempat yang memiliki tiga sudut kanan. Sudut keempat dari segiempat Lambert adalah akut jika geometri hiperbolik, sebuah sudut yang tepat jika geometri Euclidean adalah atau tumpul jika geometri adalah berbentuk bulat panjang. Akibatnya, empat persegi panjang hanya ada dalam geometri Euclidean.

Sebuah segiempat Saccheri adalah segiempat yang memiliki dua sisi dengan panjang yang sama, baik tegak lurus ke samping disebut basis. Dua lainnya dari sudut segiempat Saccheri disebut sudut puncak dan mereka memiliki ukuran yang sama. Sudut puncak dari sebuah segiempat Saccheri yang akut jika geometri hiperbolik, sudut yang tepat jika geometri Euclidean adalah sudut tumpul dan jika geometri adalah berbentuk bulat panjang.

Jumlah dari ukuran sudut segitiga apapun adalah kurang dari 180 ° jika geometri hiperbolik, sama dengan 180 ° jika geometri Euclidean, dan lebih besar dari 180 ° jika geometri adalah berbentuk bulat panjang. Cacat segitiga adalah nilai numerik (180 ° – jumlah dari ukuran sudut segitiga). Hasil ini juga dapat dinyatakan sebagai: cacat segitiga dalam geometri hiperbolik adalah positif, cacat segitiga dalam geometri Euclidean adalah nol, dan cacat segitiga dalam geometri eliptik adalah negatif.

Pentingnya

Non-Euclidean geometri adalah contoh dari sebuah pergeseran paradigma dalam sejarah ilmu pengetahuan . Sebelum model pesawat non-Euclidean yang disajikan oleh Beltrami, Klein, dan Poincaré, geometri Euclidean berdiri tertandingi sebagai model matematika dari ruang . Selain itu, karena substansi subjek dalam geometri sintetis adalah pameran kepala rasionalitas, titik Euclidean pandang diwakili otoritas mutlak. Non-Euclidean geometri, meskipun diasimilasi oleh peneliti dipelajari, terus menjadi tersangka bagi mereka yang tidak memiliki paparan konsep hiperbolis dan elips.

Penemuan non-Euclidean geometri memiliki efek riak yang jauh melampaui batas-batas matematika dan ilmu pengetahuan. Filsuf Immanuel Kant pengobatan itu pengetahuan manusia memiliki peran khusus untuk geometri. Itu adalah contoh utama tentang sintetis pengetahuan apriori, tidak berasal dari indera atau disimpulkan melalui logika – pengetahuan kita tentang ruang merupakan kebenaran bahwa kita dilahirkan dengan. Sayangnya bagi Kant, konsepnya ini geometri unalterably benar adalah Euclidean. Teologi juga dipengaruhi oleh perubahan dari kebenaran absolut untuk kebenaran relatif dalam matematika yang adalah hasil dari pergeseran paradigma.

Keberadaan non-Euclidean geometri berdampak pada “kehidupan intelektual” dari Inggris Victoria dalam banyak hal dan khususnya adalah salah satu faktor yang menyebabkan yang menyebabkan pemeriksaan ulang pengajaran geometri berdasarkan Euclid ‘s Elemen . Masalah kurikulum yang hangat diperdebatkan pada saat itu dan bahkan subyek dari bermain, Euclid dan Rivals modern, ditulis oleh penulis Alice in Wonderland .

Geometri hiperbolik Dari Wikipedia, ensiklopedia bebas

Langsung ke: navigasi , cari

Garis melalui titik P yang diberikan dan asymptotic ke baris R.

Sebuah segitiga direndam dalam pesawat pelana-bentuk (a paraboloid hiperbolik ), serta dua divergen garis ultraparallel.

Dalam matematika , geometri hiperbolik (juga disebut Lobachevskian geometri atau Bolyai geometri-Lobachevskian) adalah geometri non-Euclidean , yang berarti bahwa postulat paralel dari geometri Euclidean diganti. Paralel mendalilkan dalam geometri Euclidean adalah setara dengan pernyataan bahwa, dalam ruang dua dimensi, untuk setiap diberikan garis R dan titik P tidak pada R, ada tepat satu garis melalui P yang tidak berpotongan R, yaitu, yang sejajar dengan R. Dalam geometri hiperbolik setidaknya ada dua jalur yang berbeda melalui P yang tidak berpotongan R, sehingga paralel mendalilkan adalah palsu. Model telah dibangun dalam geometri Euclidean yang mematuhi aksioma geometri hiperbolik, sehingga membuktikan bahwa postulat paralel independen dari postulat lain dari Euclid (dengan asumsi bahwa mereka dalil-dalil lainnya sebenarnya konsisten).

Karena tidak ada analog hiperbolik tepat Euclid garis paralel, penggunaan hiperbolik istilah paralel dan berhubungan bervariasi antara penulis. Pada artikel ini, dua garis pembatas disebut asymptotic dan garis berbagi tegak lurus umum disebut ultraparallel, kata paralel sederhana mungkin berlaku untuk keduanya.

Properti karakteristik geometri hiperbolik adalah bahwa sudut dari segitiga menambah kurang dari satu sudut lurus , atau 180 °. Dalam batas, sebagai sisi panjang pendekatan infinity, bahkan ada segitiga hiperbolik yang ideal di mana semua tiga sudut adalah 0 °.

Isi

1 jalur Non-berpotongan 2 Segitiga 3 Circles, disk, bola dan bola 4 Sejarah 5 Model hiperbolis dari pesawat

o 5.1 Koneksi antara model 6 Visualisasi geometri hiperbolik 7 struktur homogen 8 Lihat juga 9 Catatan 10 Referensi 11 Pranala luar

Jalur non-berpotongan

Yang menarik dari geometri hiperbolik mengikuti dari terjadinya lebih dari satu baris sejajar dengan R melalui titik P, bukan pada R: ada dua kelas non-berpotongan garis. Biarkan B menjadi titik pada R sehingga garis PB tegak lurus terhadap R. Pertimbangkan garis x melalui P sehingga x tidak berpotongan R, dan sudut θ antara PB dan x berlawanan dari PB adalah sekecil mungkin, yaitu, setiap sudut yang lebih kecil akan memaksa garis berpotongan R. Ini disebut garis asimtotik dalam geometri hiperbolik. Simetris, y garis yang membentuk sudut yang sama θ antara PB dan sendiri tetapi searah jarum jam dari PB juga akan asimtotik. Hanya dua baris asymptotic ke R melalui P adalah x dan y. Semua jalur lain melalui P tidak berpotongan R, dengan sudut lebih besar dari θ dengan PB, yang disebut ultra-paralel (atau disjointly paralel) ke R. Perhatikan bahwa karena ada jumlah tak terbatas kemungkinan sudut antara θ dan 90 °, dan masing-masing akan menentukan dua baris melalui P dan disjointly sejajar dengan R, terdapat jumlah tak terbatas baris ultraparallel.

Dengan demikian kita memiliki bentuk modifikasi dari postulat paralel: Dalam geometri hiperbolik, mengingat setiap baris R, dan titik P tidak pada R, ada tepat dua garis melalui P yang asimtotik untuk R, dan tak terhingga banyaknya garis melalui P ultraparallel ke R.

Perbedaan antara jenis garis juga dapat melihat dengan cara sebagai berikut: jarak antara garis asymptotic menyusut menuju nol dalam satu arah dan tumbuh tanpa batas dalam yang lain, jarak antara garis ultraparallel (akhirnya) meningkat di kedua arah. The Teorema ultraparallel menyatakan bahwa ada garis yang unik di bidang hiperbolik yang tegak lurus terhadap masing-masing sepasang diberikan garis ultraparallel.

Dalam geometri Euclidean, yang "sudut paralelisme" adalah konstan, yaitu, jarak apapun antara garis paralel menghasilkan sudut paralelisme sama dengan 90 °. Dalam geometri hiperbolik, yang sudut paralelisme bervariasi dengan Π (p) function. Fungsi ini, dijelaskan oleh Nikolai Ivanovich Lobachevsky , menghasilkan sudut unik paralelisme untuk setiap p = jarak

. Seperti jarak mendapat lebih pendek, Π (p) mendekati 90 °, sedangkan dengan meningkatnya jarak Π (p) mendekati 0 °. Dengan demikian, sebagai jarak semakin kecil, pesawat hiperbolik berperilaku lebih dan lebih seperti geometri Euclidean. Memang, pada skala kecil

dibandingkan dengan , Di mana K adalah (konstan) kelengkungan Gaussian pesawat, seorang pengamat akan memiliki waktu sulit menentukan apakah lingkungan Euclidean atau hiperbolis.

Segitiga

Jarak pada bidang hiperbolik dapat diukur dalam hal satuan panjang , Analog dengan jari-jari bola dalam geometri bola . Menggunakan unit ini panjang Teorema dalam geometri hiperbolik dapat dinyatakan yang analog dengan teorema Pythagoras . Jika a, b adalah kaki dan c adalah sisi miring dari segitiga siku-siku semua diukur dalam unit ini maka:

Fungsi cosh adalah fungsi hiperbolik yang merupakan analog dari fungsi kosinus standar. Semua enam dari standar fungsi trigonometri memiliki analog hiperbolik. Dalam hubungan trigonometri melibatkan sisi dan sudut dari segitiga hiperbolik fungsi hiperbolik diterapkan pada sisi dan fungsi trigonometri standar diterapkan pada sudut. Misalnya hukum sinus untuk segitiga hiperbolik adalah:

Untuk lebih dari hubungan trigonometri melihat segitiga hiperbolik .

Tidak seperti segitiga Euclidean yang sudut selalu menambahkan hingga 180 ° atau π radian jumlah sudut segitiga hiperbolik selalu ketat kurang dari 180 °. Perbedaannya kadang-kadang disebut sebagai cacat . Luas segitiga hiperbolik diberikan oleh cacat dikalikan dengan R ² mana

. Akibatnya semua segitiga hiperbolik memiliki luas yang kurang dari R ² π. Daerah dari hiperbolik segitiga yang ideal adalah sama dengan maksimum ini.

Seperti dalam geometri bola hanya segitiga serupa segitiga kongruen.

Lingkaran, disk, bola dan bola

Dalam geometri hiperbolik keliling lingkaran berjari-jari r lebih besar dari 2π r. Hal ini sebenarnya sama dengan

Luas disk tertutup adalah

Luas permukaan bola adalah

Volume bola tertutup adalah

Untuk ukuran sebuah n -1 bola dalam n dimensi ruang ekspresi yang sesuai adalah

di mana n-dimensi penuh sudut padat adalah

menggunakan untuk fungsi Gamma .

Ukuran dari n bola tertutup adalah:

Sejarah

Sejumlah geometers melakukan upaya-upaya untuk membuktikan postulat paralel dengan asumsi negasi dan mencoba untuk mendapatkan kontradiksi, termasuk Proclus , Ibn al-Haytham (Alhacen), Omar Khayyām , [1] Nasir al-Din al-Tusi , Witelo , Gersonides , Alfonso , dan kemudian Giovanni Gerolamo Saccheri , John Wallis , Johann Heinrich Lambert , dan Legendre . [2] upaya mereka gagal, tapi upaya mereka melahirkan geometri hiperbolik.

Teorema dari Alhacen, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat , termasuk segiempat Ibn al-Haytham-Lambert dan Khayyam-Saccheri segiempat , adalah teorema pertama pada geometri hiperbolik. Karya-karya mereka pada geometri hiperbolik memiliki pengaruh yang besar terhadap pembangunan di antara geometers Eropa nanti, termasuk Witelo, Gersonides, Alfonso, John Wallis dan Saccheri. [3]

Pada abad ke-18, Johann Heinrich Lambert memperkenalkan fungsi hiperbolik [4] dan dihitung luas suatu segitiga hiperbolik . [5]

Pada abad kesembilan belas, geometri hiperbolik secara ekstensif dieksplorasi oleh János Bolyai dan Nikolai Ivanovich Lobachevsky , setelah yang kadang-kadang disebut. Lobachevsky diterbitkan pada tahun 1830, sementara Bolyai independen menemukan dan diterbitkan pada tahun 1832. Carl Friedrich Gauss juga mempelajari geometri hiperbolik, menjelaskan dalam sebuah surat kepada Taurinus 1824 bahwa ia telah dibangun, tapi tidak mempublikasikan karyanya. Pada tahun 1868, Eugenio Beltrami disediakan model, dan menggunakan ini untuk membuktikan bahwa geometri hiperbolik konsisten jika Euclidean geometri itu.

Istilah "geometri hiperbolik" diperkenalkan oleh Felix Klein pada tahun 1871. [6]

Untuk lebih sejarah, lihat artikel tentang geometri non-Euclidean , dan referensi Coxeter dan Milnor .

Model yang hiperbolik pesawat

Poincaré Model disc dari terpotong ubin triheptagonal

Garis melalui titik tertentu dan sejajar dengan garis yang diketahui, digambarkan dalam model disc Poincaré

Ada empat model yang umum digunakan untuk geometri hiperbolik: the Model Klein , yang Model disc Poincaré , yang Poincaré Model setengah-pesawat , dan model Lorentz, atau model yang hyperboloid . Model ini mendefinisikan nyata ruang hiperbolik yang memenuhi aksioma geometri hiperbolik. Meskipun nama mereka, tiga yang pertama disebutkan di atas diperkenalkan sebagai model ruang hiperbolik oleh Beltrami , bukan oleh Poincaré atau Klein .

1. The Klein Model , juga dikenal sebagai model disc proyektif dan Beltrami model Klein, menggunakan interior sebuah lingkaran untuk hiperbolik pesawat , dan akord lingkaran sebagai garis.

o Model ini memiliki keuntungan dari kesederhanaan, tetapi merugikan yang sudut pada bidang hiperbolik terdistorsi.

o Jarak dalam model ini adalah logaritma dari lintas-rasio , yang diperkenalkan oleh Arthur Cayley di projective geometri .

2. The Poincaré Model disc , juga dikenal sebagai model conformal disc, juga mempekerjakan interior lingkaran, tetapi garis yang diwakili oleh busur lingkaran yang orthogonal ke lingkaran batas, ditambah diameter lingkaran batas.

3. The Poincaré Model setengah-pesawat mengambil satu-setengah dari pesawat Euclidean, sebagaimana ditentukan oleh garis Euclidean B, menjadi bidang hiperbolik (B sendiri tidak termasuk).

o Garis hiperbolik kemudian baik setengah lingkaran ortogonal ke B atau sinar tegak lurus terhadap B.

o Kedua model Poincaré melestarikan sudut hiperbolik, dan dengan demikian konformal . Karena itu semua isometries dalam model ini transformasi Möbius .

o Model setengah-pesawat identik (pada batas) dengan model disc Poincaré di tepi disk

4. The Lorentz model atau model yang hyperboloid mempekerjakan 2-dimensi hyperboloid revolusi (dari dua lembar, tetapi menggunakan satu) tertanam dalam 3-dimensi ruang Minkowski . Model ini biasanya dikreditkan ke Poincaré, tapi Reynolds (lihat di bawah) mengatakan bahwa Wilhelm Membunuh dan Karl Weierstrass menggunakan model ini dari 1872.

o Model ini memiliki aplikasi langsung ke relativitas khusus , seperti Minkowski 3-space adalah model untuk ruang-waktu , menekan satu dimensi spasial. Satu dapat mengambil hyperboloid untuk mewakili peristiwa yang berbagai pengamat bergerak, memancar keluar dalam sebuah pesawat ruang dari satu titik, akan mencapai di tetap waktu yang ditentukan . Jarak hiperbolik antara dua titik pada hyperboloid kemudian dapat diidentifikasi dengan relatif kecepatan antara dua pengamat yang sesuai.

Hubungan antara model

Poincare disk, hemispherical dan hyperboloid model terkait dengan proyeksi sentral dari -1. Model cakram Klein adalah proyeksi vertikal dari model yang setengah bulat. Poincare setengah-model pesawat di sini diproyeksikan dari model belahan bumi oleh sinar dari ujung kiri model disk yang Poincare.

Empat model dasarnya menggambarkan struktur yang sama. Perbedaan antara mereka adalah bahwa mereka mewakili yang berbeda koordinat grafik yang ditetapkan pada yang sama ruang metrik , yaitu ruang hiperbolik . Fitur karakteristik ruang hiperbolik itu sendiri adalah bahwa ia memiliki konstan negatif kelengkungan skalar , yang acuh tak acuh terhadap koordinat grafik yang digunakan. The geodesics sama-sama invarian: yaitu, geodesics peta ke geodesics bawah transformasi koordinat. Geometri hiperbolik umumnya diperkenalkan dalam hal geodesics dan persimpangan mereka pada ruang hiperbolik. [7]

Setelah kita memilih koordinat grafik (salah satu "model"), kita bisa selalu menanamkan dalam ruang Euclidean dimensi yang sama, tapi embedding ini jelas tidak isometrik (karena kelengkungan skalar ruang Euclidean adalah 0). Ruang hiperbolik dapat diwakili oleh tak terhingga banyaknya grafik yang berbeda, tetapi embeddings dalam ruang Euclidean karena empat grafik ini spesifik menunjukkan beberapa karakteristik yang menarik.

Sejak empat model menggambarkan ruang metrik yang sama, masing-masing bisa diubah menjadi yang lain. Lihat, misalnya, hubungan model Beltrami-Klein untuk model hyperboloid , hubungan model Beltrami-Klein dengan model disk yang Poincaré , dan hubungan model cakram Poincaré untuk model hyperboloid .

Visualisasi geometri hiperbolik

MC Escher 's Circle Batas III , 1959

Sebuah koleksi pesawat hiperbolik kaitan, meniru terumbu karang, oleh Institute For Warnet

Sebuah karang dengan geometri yang sama pada Great Barrier Reef

MC Escher 's cetakan terkenal Circle Batas III dan IV Circle Batas menggambarkan model konformal disc cukup baik. Garis-garis putih di III tidak geodesics cukup (mereka hypercycles ), tapi cukup dekat dengan mereka. Hal ini juga mungkin untuk melihat cukup jelas negatif kelengkungan hiperbolis dari pesawat, melalui efeknya pada jumlah sudut dalam segitiga dan kotak.

Misalnya, dalam Lingkaran Batas III setiap vertex milik tiga segitiga dan tiga kotak. Pada bidang Euclidean, sudut mereka akan berjumlah 450 °, yaitu, lingkaran dan seperempat. Dari sini kita melihat bahwa jumlah sudut segitiga pada bidang hiperbolik harus lebih kecil dari 180 °. Properti terlihat lain adalah pertumbuhan eksponensial . Dalam Lingkaran Batas III, misalnya, kita dapat melihat bahwa jumlah ikan dalam jarak n dari pusat meningkat secara eksponensial. Ikan memiliki luas hiperbolik sama, sehingga daerah bola radius n harus naik secara eksponensial dalam n.

Ada beberapa cara untuk mewujudkan secara fisik pesawat hiperbolik (atau pendekatan daripadanya). Sebuah model kertas sangat terkenal berdasarkan pseudosphere adalah karena William Thurston . Seni crochet telah digunakan untuk menunjukkan pesawat hiperbolik dengan yang pertama dibuat oleh Daina Taimina , [8] yang bukunya Crocheting Adventures dengan Pesawat hiperbolik memenangkan 2009 Bookseller / Diagram Prize untuk paling aneh Judul of the Year . [9] Pada tahun 2000, Keith Henderson menunjukkan model kertas cepat-to-make dijuluki " soccerball hiperbolik ". Petunjuk tentang cara untuk membuat selimut hiperbolik, dirancang oleh Helaman Ferguson , [10] telah disediakan oleh Jeff Weeks . [11]

Struktur homogen

Ruang hiperbolik dimensi n adalah kasus khusus dari Riemannian ruang simetris tipe noncompact, karena isomorfik dengan hasil bagi

The group orthogonal O (1, n) bertindak dengan transformasi norma-melestarikan pada ruang Minkowski R 1, n, dan bertindak transitif pada hyperboloid dua lembar norma 1 vektor. Timelike baris (yaitu, orang-orang dengan garis singgung positif-norma) melalui asal melewati titik antipodal di hyperboloid, sehingga ruang baris tersebut menghasilkan model hiperbolik n-space. Stabilizer dari setiap baris tertentu isomorfis ke produk dari kelompok orthogonal O (n) dan O (1), dimana O (n) bertindak pada ruang singgung dari titik di hyperboloid, dan O (1) mencerminkan baris melalui titik asal. Banyak dari konsep-konsep dasar dalam geometri hiperbolik dapat dijelaskan dalam istilah aljabar linear: jalur geodesik dijelaskan oleh persimpangan dengan pesawat melalui titik asal, sudut dihedral antara hyperplanes dapat dijelaskan oleh produk dalam vektor normal, dan kelompok refleksi hiperbolik dapat diberikan secara eksplisit realisasi matriks.

Dalam dimensi kecil, ada isomorphisms luar biasa dari kelompok Lie yang menghasilkan cara-cara tambahan untuk mempertimbangkan simetri ruang hiperbolik. Misalnya, dalam dimensi 2, isomorphisms SO + (1,2) ≅ PSL (2, R) ≅ PSU (1,1) memungkinkan seseorang untuk menafsirkan setengah model pesawat atas sebagai quotient SL (2, R) / SO (2) dan model disc Poincaré sebagai quotient SU (1,1) / U (1). Dalam kedua kasus, kelompok simetri bertindak dengan transformasi linear fraksional, karena kedua kelompok adalah stabilisator orientasi-melestarikan di PGL (2, C) dari subruang masing-masing bola Riemann. The Cayley transformasi tidak hanya membutuhkan satu model hiperbolis dari pesawat yang lain, tetapi menyadari isomorfisma kelompok simetri sebagai konjugasi dalam kelompok yang lebih besar. Dalam dimensi 3, tindakan linier fraksional dari PGL (2, C) pada bola Riemann diidentifikasi dengan tindakan pada batas konformal hiperbolik 3-ruang yang disebabkan oleh isomorfisma O +

(1,3) ≅ PGL (2, C ). Hal ini memungkinkan seseorang untuk mempelajari isometries dari hiperbolik 3-ruang dengan mempertimbangkan sifat spektral dari perwakilan matriks kompleks. Sebagai contoh, transformasi parabola adalah konjugat untuk terjemahan kaku dalam model setengah-ruang atas, dan mereka persis mereka transformasi yang dapat diwakili oleh unipotent matriks segitiga atas.