Momen Inersia

Momen inersia untuk suatu luasan merupakan sifat terpenting dalam rekayasa,

karena itu harus ditentukan atau dispesifikasi jika kita akan menganalisis atau

mmendesain suatu batang struktur atau suatu bagian mekanik. Selain itu, suatu

momen massa inersia benda harus diketahui jika kita mempelajari gerak benda.

1.1 Definisi Momen Inersia untuk Luasan

Momen inersia suatu luasan timbul ketika seseorang harus menghitung

momen beban terdistribusi yang berubah-ubah secara linear dari sumbu momen.

Contoh yang umum jenis pembebanan ini terjadi karena zat cair yang bekerja

pada permukaan plat yang terbenam. Telah ditunjukkan bahwa tekanan, dan atau

gaya per satuan luas, yang dilakukakn pada suatu titik yang terletak pada suatu

jarak z di bawah permukaan zat cair adalah p = z dengan adalah berat jenis

(spesifik) zat cair. Jadi, besar gaya yang dilakukan oleh suatu zat cair pada luasa

dA suatu plat terbenam ditunjukkan dalam Gambar 1-1 adalah dF = p dA = yz dA.

Momen gaya di sekittar sumbu x plat ini adalah dM = z dF = yz2 dA, dank arena

itu momen yang dihasilkan oleh keseluruhan distribusi tekanan adalah M = y / z2

dA. Di sini integral menyatkan momen inersia luasan plat di sekitar sumbu x.

Karena integral dari bentuk ini sering dalam rumus-rumus yang digunakan dalam

mekanika fluida, beban, struktur (bangunan), dan desain mesin, maka seorang

insinyur harus familiar dengan metode-metode yang digunakan dalam

komputasinya.

Gbr. 1

Momen Inersia. Perhatikan luasan A, ditunjukkan dalam Gambar 1, yang terletak

dalam bidang x-y. Perdefinisi, momen-momen inersia luasan bidang diferensial

dA di sekitar sumbu x dan y masing-masing adalah dlx = y2dA dan dly = x2dA.

Untuk seluruh luasan momen ditentukan dengan inttegrasi, yaitu

I x=∫A

❑

y2d A

(1-1)

I y=∫A

❑

x2d A

Gbr. 2

Kita juga dapat merumuskkan momen kedua luasan diferensial dA di

sekitar tiang O atau sumbu z, Gambar 2. Ini dinyatakan sebagai momen inersia

polar (kutub), dJo = r2 dA. Di sini r adalah jarak tegak lurus dari tiang (sumbu z)

ke elemen dA. Untuk seluruh luasan momen inersia kutub adalah :

Jo=∫A

❑

r2d A=I x+ I y (1-2)

Hubungan antara Jo dan Ix, Iy dimungkinkan karena r2 = x2 + y2, Gambar 1.

Dari formulasi di atas terlihat bahwa Ix, Iy, dan Jo akan selalu positif,

karena mereka melibatkan perkalian jarak yang dikuadratkan dengan luasan.

Selanjutnya, satuan-satuan untuk momen inersia melibatkan panjang yang

dipangkat empat, misalnya, m4, mm 4.

1.2 Teorema Sumbu-Paralel Sebuah Luasan

Jika momen inersia sebuah luasan di sekitar euatu sumbu yang melalui

sentroidanya diketahui, maka lebihh menyenangkan untuk menentukan momen

inersiia luasan di sekitar sumbu parallel yang bersangkutan dengan menggunakan

teorema sumbu parallel (sejajar). Untuk menurunkan teorema ini, perhatikan cara

mencari momen inersia suatu luasan berarsir yang ditunjukkan dalam Gambar 3 di

sekitar sumbu x. Dalam hal ini, elemen diferensial dA terlihat pada jarak

sembarang y’ dari sumbu x’ sentroidal, sebaliknya jarak tetap antara sumbu-sumbu

parallel x dan x’ didefinisikan sebagai dy. Karena momen inersia dari dA di

sekitar sumbu x adalah dIx = (y’ + dy)2 dA, maka untuk seluruh luasan,

I x=∫A

❑

¿¿¿

¿∫A

❑

y ' 2dA+2d y ¿2d∫

A

❑

y ' dA+d y2∫A

❑

dA

Gbr. 3

Integral pertama menyatakan momen inersia luasan di sekitar sumbu sentoridal,

Ix2. Integral keduanya nol karena sumbu x2 melalui sentroida luasan C, yakni, ∫y2

dA = y∫ dA=0 karena y=0. Dengan menyadari bahwa integral ketiga

menyatakan luasan total A, hasil akhir dengan demikian adalah :

I x=I x'+A d y2 (1-3)

Pernyataan yang dapat dituliskan untuk Iy, yaitu,

I y=I y '+A dx2 (1-4)

Akhirnya, untuk momen inersia kutub di sekitar suatu sumbu tegak lurus terhadap

bidang x-y dan melalui O (sumbu z), Gambar 1-3, kita peroleh

Jo=J c+A d❑2 (1-5)

(1-5)

Bentuk tiap-toap persamaan ini menyatakan bahwa momen inersia sebuah luasan

di sekitar sebuah sumbu sama dengan momen inersia luasan di sekitar suatu

sumbu parallel yang melalui sentroida luasan ditambah dengan perkalian luasan

dan kuadrat jarak tegak lurus antara sumbu-sumbu.

1.3 Jari-jari Girasi (Putaran) Sebuah Luasan

Jari-jari girasi (putaran) sebuah luasan bidang mempunyai satuan panjang dan

merupakan sebuah besarab yang sering digunakan untuk mendesain kolom-kolom

(tiang-tiang) dalam mekanika struktur (bangunan). Asalkan luasan-luasan dan

momen-momen inersia diketahui, maka jari-jari girasi dapat ditentukan dari

rumus-rumus :

k x=√ I xA k x=√ I xA k x=√ I xA (1-6)

Bentuk persamaan-persamaan ini mudah diingat, karena mirip dengan persamaan-

persamaan untuk mencari momen inersia luasan diferensial di sekitar suatu

sumbu. Misalnya, I x=kx2 A ; sebaliknya untuk luasan diferensial dI x= y❑

2 dA.

1.4 Momen Inersia sebuah Luasan dengan Integrasi

PROSEDUR ANALISIS

Jika suatu integrasi tunggal dilakukan untuk menentukan momen inersia

sebuuah luasan di sekitar suatu sumbu, maka pertama kali perlu di spesifikasi

(ditentukan) elemen diferensial dA. Sering kali elemen ini berupa suatu

persegi panjang, hingga dia akan mempunyai panjang dan lebar diferensial

yang terhingga. Elemen harus ditempatkan sedemikian hingga dia memotong

batas luasan pada titik sembarang (x,y). Ada dua cara yang mungkin dalam

mengorientasikan elemen terhadap sumbu di sekitar momen inersia yang

akkan ditentukan.

Kasus 1. Panjang elemen dapat diorientasikan paralel terhadap sumbu.

Situasi ini terjadi bila elemen persegi panjang yang ditunjukkan dalam

Gambar 1-4 dipakai untuk menentukan Iy luasan. Aplikasi langsung

Persamaan 1-1, yakni I y=∫ x2dA, dapat dilakukan dalam kasus ini, karena

elemen mempunyai tebal infinitesimal dx dan dengan demikian semua bagian

elemen berada pada jarak lengan-momen yang samma x dan sumbu y.

Kasus 2. Panjang elemen dapat diorientasikan tegak lurus terhadap sumbu.

Di sini Persamaan 1-1 tidak berlaku, karena semua bagian elemen tidak akan

berada pada jarak lengan-momen yang sama dari sumbu. Misalnya, jika

elemen persegi panjang dalam Gambar 1-4 digunakkan untuk menentukan Ix

luasan, maka perlu pertama kali menghitung momen inersia elemen di sekitar

suatu sumbu horizontal melalui sentroida elemen dan kemudian menentukan

momen inersia elemen di sekitar sumbu x dengan menggunakan teorema

sumbu-paralel. Integrasi hasil ini akan menghasilkan Ix.

Gbr. 4

Dalam kasus elemen d A=d x d y, Gambar 4, lengan-lengan momen y

dan z adalah sesuai untuk formulasi Ix dan Iy (Persamaan 1-1) karena seluruh

elemen, dikarenakan ukuran infinietesimanya, berada pada jarak tegak lurus y

dan x terspesifikasi dari sumbu x dan y.

Aplikasi kasus-kasus ini diilustrasikan dalam contoh-contoh berikut :

Contoh 1-1

Tentukan momen inersia luasan persegi empat yang ditunjukkan dalam

Gambar 1-5 terhadap (a) sumbu sentroidal x’, (b) sumbu xb yang melalui

alas persegi empat, dan (c) kutub atau sumbu z’ yang tegak lurus bidang

x’-y’ dan melalui sentroida C.

Penyelesaian (Kasus 1)

Gbr. 5

Bagian (a). Elemen diferensial yang ditunjukkan dalam Gambar 5 dipilih

guna pengintegrasian. Karena letak dan orientasinya, seluruh elemen

berada pada suatu jarak y’ dari sumbu x’. Di sini perlu diintegrasi dari

y '=−h2ke y '=h

2. Karena dA = b dy’, maka

I x '=∫A

❑

y ' 2dA= ∫−h/2

h /2

y '2 (bdy ' )=b ∫−h /2

h /2

y ' 2dy '

¿1

12bh3

Jawab

Bagian (b). Momen inersia di sekitar sumbu yang melalui alas persegi

empat dapat dicari dengan menggunakan hasil bagian (a) dan dengan

menerapkan teorema sumbu-paralel, Persamaan 1-3.

I xb=I x '+A d y2

¿ 112bh3+bh¿ Jawab

Bagian (c). Untuk mendapatkan momen inersia kutub di sekitar titik titik

C, kita harus pertama mencari I y ', yang dappat dicari dengan saling

menukarkan dimensi b dan h dalam hasil bagian (a), yaitu :

Ix '= 1

12bh3

Dengan menggunakan Persamaan 1-2, momen inersia kutub di sekitar C

denggan demikian adalah :

Jc=I x'+ I y '=1

12bh (h2+b2)

Jawab

Contoh 1-2

Tentukan momen inersia terhadap sumbu x dari luasam sirkular yang

ditunjukkan dalam Gambar 6.

Gbr. 6

Penyelesaian I (Kasus 1)

Dengan menggunakan elemen diferensial yang ditunjukkan dalam Gambar

1-6a, karena dA = 2x dy, kita peroleh

I x=∫A

❑

y2d A=∫A

❑

y2 (2x )d y

Jawab

¿∫A

❑

y2 (2√a2− y2 )d y=πa4

4

Penyelesaian II (Kasus 2)

Gbr. 7

Bila elemen diferensial yang dipilih sperti yang ditunjukkan dalam

Gambar 7, maka sentroida elemen yang terjadi berada pada sumbu x,

dengan memperhatikan bahwa dy = 0, kita peroleh

dI x=1

12dx¿

¿ 23y3dx

Dengan integrasi terhadap x diperoleh

I x=∫−a

a

¿¿¿ Jawab

1.5 Momen Inersia untuk Luasan Paduan

PROSEDUR ANALISIS

Prosedur berikut memberikan metode untuk menentukan inersia suatu luasan

paduan di sekitar suatu sumbu acuan.

Bagian Paduan. Dengan menggunakan sebuah sketsa, bagilah luasan

menjadi bagian-bagian paduannya dan tunjukkan jarak tegak lurus dari

sentroida dari tiap-tiap bagian ke sumbu acuan.

Teorema Sumbu-Paralel. Momen inersia dari tiap-tiap bagian harus

ditentukan di sekitar sumbu sentroidanya, yang parallel terhadap sumbu

acuan. Untuk perhitungan gunakan table yang diberikan pada bagian dalam

sampul belakang. Jika sumbu sentroida tidk berimpit dengan sumbu acuan,

teorema sumbu-paralel, I=I❑+A d❑2 ,harus digunakan untuk menentukan

momen inersia bagian di sekitar sumbu acuan.

Penjumlahan. Momen inersia seluruh luasan di sekitar sumbu acuan

ditentukan dengan menjumlahkan hasil-hasil dari bagian-bagian paduannya.

Terutama, jika bagian paduan mempunyai “rongga (hole)”, momen inersianya

dicari dengan “mengurangkan” momen inersia rongga dari momen inersia

seluruh bagian yang mencakup rongga.

Contoh 1-3

Hitunglah momen inersia luasan paduan yang ditunjukkan dalam Gambar

8 di sekitar sumbu x.

Gbr. 8

Penyelesaian

Bagian-bagian Paduan. Luasan paduan diperoleh dengan mengurangkan

lingkaran pada persegi panjjang seperti ditunjukkan dalam Gambar 8.

Sentroida masing-masing luasan terletak pada gambar.

Teorema Sumbu-Paralel. Momen inersia di sekitar sumbu x ditentukan

dengan menggunakan teorema sumbu-paralel dan data dalam table pada

bagian dalam sampul belakang

Lingkaran

I x=I x'+A d y2

¿14π¿

Persegi Panjang

I x=I x'+A d y2

¿1

12(100 ) ¿

Penjumlahan. Momen inersia luasan paduan dengan demikian adalah

I x=−11,4 (106 )+112,5 (106 )

¿101 (106 )mm4

Jawab

1.6 Perkalian Inersia Sebuah Luasan

Gbr. 9

Umumnya momen inersia sebuah luasan berbeda untuk setiap sumbu

terhadap mana dia dihitung. Dalam beberapa aplikasi desain struktur (bangunan)

atau mesin kita perlu mengetahui orientasi sumbu-sumbu tersebut yang akan

memberi tipa-tiap momen inersia luasan maksimum dan minimum. Untuk

menggunakan metode ini, kita harus pertama kali menghitung perkalian inersia

luasan juga momen-momen inersianya untuk sumbu x, y tertentu.

Perkalian inersia sebuah elemen luasan yang terletak pada titik (x,y),

Gambar 9, didefinisikan sebagai dIxy = xy dA. Jadi, untuk seluruh luasan A,

perkalian inersianya adalah :

I xy=∫A

❑

xydA (1-7)

Jika elemen luas yang dipilih mempunyai ukuran diferensial dalam dua

arah, seperti ditunjukkan dalam Gambar 1-9, suatu integrasi ganda hharus

dilakukan guna mengevaluasi Ixy. Namun, sangat sering lebih mudah memilih

elemen yang mempunyai ukuran atau tebal diferensial dalam satu arah saja, dalam

hal evvaluasi tersebut hanya memerlukan suatu integrasi tunggal.

Gbr. 10

Seperti halnya momen inersia, perkalian inersia mempunyai satuan

panjang yang berpangkat empat seperti, m4, mm4. Namun, x atau y dapat berupa

besaran negative, sementara elemen luasan selalu positif, maka perkalian inersia

dapat positif, negatif, atau nol, tergantung pada letak dan orientasi sumbu

kordinat. Misalnya, perkalian inersia Ixy untuk sebuah luasan akan nol jika salah

sumbu x atau y merupakan sebuah sumbu simetri bagi luasan. Untuk

menunjukkannya, perhatikan luasan berarsir dalam Gambar 10, untuk setiap

elemen dA yang terletak pada titik (x,y) maka ada suatu elemen yang berkaitan

dA yang terletak di (x,-y). Karena perkalian inersia untuk elemen-elemen ini,

masing-masing adalah xy dA dan –xy dA, maka jumlah aljabar atau integrasi

semua elemen yang dipilih dalam cara ini akan saling menghapus satu sama lain.

Sebagai akibatnya, perkalian inersia untuk suatu luasan total akan nol. Hal itu ada

pula dari definisi Ixy bahwa ‘tanda’ besaran ini bergantung pada kuadran di mana

luasan berada. Seperti ditunjukkkan dalam Gambar 1-11, jika luasan diputar dari

satu kuadran ke kuadran lain, maka tanda Ixy akan berubah.

Teorema Sumbu-Paralel. Perhatikan luasan berarsir yang ditunjukkan dalam

Gambar 1-12, dengan x’ dan y’ menyatakan pasangan sumbu yang melalui

sentroida luasan dan x dna y menyatakan pasangan sumbu parallel yang terkait

dengannya. Karena perkalian inersia dA terhadap sumbu x dan y adalah dI xy =

(x’ + dx) = (y’ + dy) dA, maka untuk seluruh luasan,

I xy=∫A

❑

(x '¿+dx )( y '+d y) dA ¿

¿∫A

❑

x ' y ' d A+dx∫A

❑

y' dA+dy∫A

❑

x ' dA+dxdy∫A

❑

dA

Suku pertama pada sebelah kanan menyatakan perkalian inersia luasan terhadap

sumbu sentroidal, I x’y’. Integral-integral dalam suku-suku kedia dan ketiga adalah

nol karena momen-momen luasan diambil di sekitar sumbu sentroidal. Dengan

menyadari bahwa integral keempat menyatakan luas total A, maka hasil akhir

dengan demikian adalah

I xy=I x' y '+A dx d y (1-8)

Similaritas antara persamaan ini dengan teorema sumber-paralel untuk

momen inersia akan dilihat. Terutama, penting bahwa tanda-tanda aljabar dx dan

dy dipertahankan ketika menerapkan Persamaan 1-8.

Contoh 1-4

Tentukan perkalian inersia Ixy segitiga yang ditunjukkan dalam Gambar 11.

Gbr. 11

Penyelesaian I

Gbr. 12

Elemen diferensial yang mempunyai tebal dx, Gambar 12, memiliki luas

dA = y dx. Perkalian inersia elemen di sekitar sumbu x, y ditentukan

dengan menggunakan teorema sumbu-paralel.

dI xy=d I x ' y'+dA xy

dengan (x , y) menyatakan letak sentroida elemen atau titik asal sumbu x’,

y’. Karena d I x ' y' = 0, karena kesimetrisan, dan x = x, y - y/2 maka

dI xy=0+( y dx ) x ( y2 )=( hb x dx) x ( h2b x)

¿( h2

2b2 x3)dx

Dengan melakukan integrasi terhadapa x dari x = 0 ke x = b diperoleh

I xy=h2

2b2∫0

b

x3dx=b2h2

8

Jawab

Penyelesaian II

Gbr. 13

Elemen diferensial yang mempunyai tebal dy, Gambar 13, memiliki luas

dA = (b - x) dy juga dapat digunakan. Sentroida terletak pada titik

x=x+(b−x )

2=b+x

2, y= y sehingga perkalian inersia elemen menjadi

dI xy=d I x ' y '+dA x y

¿0+(b−x )dy (b+x¿¿¿2 ) y

¿(b−bh y)dy [ b+( bh ) y2 ] y=1

2y (b2−b

2

h2y2)dy=b

2h2

8 Jawab

1.6 Momen Inersia Massa

Merupakan sifat yang menyatakan ukuran resistansi benda terhadap

percepatan angular. Karena dia digunakan dalam dinamika untuk mempelajari

gerak rotasional, maka untuk perhitungan terhadapnya akan dibicarakan.

Kita mendefinisikan momen inersia massa sebagai integral momen kedua

di sekitar sumbu dari semua elemen massa dm dayng menyusun benda. Sebagai

contoh, perhatikan benda tegar yang ditunjukkan dalam Gambar 14. Momen

inersia benda di sekitar sumbu z adalah

I=∫n

❑

r2dm (1-9)

Di sini lengan momen r merupakan jarak tegak lurud dari sumbu

terhadap elemen sembarang dm. Karena pemformulasian melibatkan r, nilai I unik

untuk tiap sumbu z terhadap mana dia dihitung. Namun, sumbu yang umumnya

dipilih untuk analisis adalah melalui pusat massa benda G. Momen inersia yang

dihitung di sekitar sumbu ini akan didefinisikan sebagai IG. Ingat bahwa karena r

dikuadratkan dalam persamaan 1-9, momen inersia massa selalu merupakan

besaran positif. Satuan yang biasa digunakan dalam pengukurannya adalah kg.m2

Gbr. 14

PROSEDUR ANALISIS

Untuk pengintegrasian, kita hanya akan mmeninjau benda-benda simetrik

yang mempunyai permukaan-permukaan yang dihasilkan dengan memutar

kurva di sekitar sebuah sumbu. Contoh benda seperti itu yang dihasilakan di

sekitar sumbu z ditunjukkan dalam Gambar 14.

Jika benda terdiri dari material yang mempunyai rapat massa yang dapat

berubah, ρ=ρ (x , y , z ) , massa elemental dan benda dapat dinyatakan sebagai

rapat massa dan volumenya sebagai dm= ρdV . Dengan mensubstitusi dm ke

dalam persamaan 1-9, momen inersia benda kemudian dihitung dengan

menggunakan elemen volume untuk mengintegrasi yaitu

I=∫v

❑

r2 ρ dV (1-10)

Dalam kasus khuusus ρ konstan, suku ini dapat dikeluarkan dari integral dan

pengintegrasian kemudian merupakan suatu fungsi ggeometri murni :

I=ρ∫v

❑

r2dV (1-11)

Bila volume elemental yang dipilih untuk integrasi mempunyai ukuran

diferensial dalam semua kegia arah, misalnua dV = dx dy dz, Gambar 14,

momen inersia benda harus ditentukan dengan menggunakan integrasi

rangkap tiga. Namun, proses integrasi dapat disederhanakan menjadi integrasi

tunggal asalkan volume elemental yang dipilih mempunyai ukuran tebal atau

ukuran diferensial hanya dalam satu arah saja, Elemen kulit atau cakram

(piringan) sering digunakan untuk tujuan ini.

Elemen Kulit. Jika elemen kulir memounyai tinggi c, jari-jari y dan tebal dy

dipilih untuk tujuan integrasi, Gambar 1-15b, maka volume dV = (2Πy) (z)

dy. Elemen ini dapat digunakan dalam Persamaan 1-10 atau 1-11 untuk

menentukan momen inersia Iz benda di sekitar sumbu z, karena elemen

keseluruhan, karena ketipisannya, terletak pada jarak tegak lurus r = y yang

sama dari sumbu z.

Elemen Cakram. Jika sebuah elemen cakram mempunyai jari-jari y dan

tebal dz dipilih untuk integrasi, Gambar 1-15c, maka volume dV = (2Πy2) (z).

Namun, elemen akan berhingga dalam arah radial, dan sebagai akibatnya

bagian-bagian tidak semuanya berada pada jarak radial r yang sama dari

sumbu z. Sebagai akibatnya, Persamaan 1-10 tidak dapat digunakan untuk

menentukan Iz. Bahkan, untuk ditentukan integrasi menggunakan elemen ini,

pertama-tama perlu ditentukan momen inersia elemen di sekitar sumbu z dan

kemudian mengintegrasi hasil ini.

Contoh 1-5

Tentukan perkalian inersia silinder yang ditunjukkan dalam Gambar 15 di

sekitar sumbu z. Rapat massa ρ materialnya konstan.

Gbr.15

Penyelesaian

Elemen Kulit. Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan elemen

kulit dalam Gambar 15 dan pengintegrasian tunggal. Volume elemennya

dV = (2Πr) (h), sehingga massanya adalah dm = ρ dV = (2Πhr dr).

Karena seluruh elemen terletak pada jarak r yang sama dari sumbu z,

maka momen inersia elemen adalah

dI z=r2dm=ρ2πhr 3dr

Dengan mengintegrasi di atas seluruh daerah silinder menghasilkan

dI udθ

=−2( I x−I y2 )sin 2θ−¿2 I xy cos2θ=0¿