Metode Persamaan Tiga Momen

MODUL 3 -1-

MODUL 3 : METODA PERSAMAAN TIGA MOMEN

3.1. Judul :METODA “PERSAMAAN TIGA MOMEN” UNTUK

MENYELESAIKAN STRUKTUR STATIS TIDAK

TERTENTU

Tujuan Pembelajaran Umum

Setelah membaca bagian ini mahasiswa akan memahami bagaimanakah

metoda “Persamaan Tiga Momen” itu dan langkah-langkah apakah yang

dikerjakan untuk menyelesaikan suatu struktur statis tidak tertentu.

Tujuan Pembelajaran Khusus

Mahasiswa selain dapat memahami metoda “Persamaan Tiga Momen” juga

dapat menyelesaikan suatu struktur statis tidak tertentu yaitu menghitung

semua gaya-gaya luar (reaksi perletakan) dan gaya-gaya dalam (gaya

normal, gaya lintang, momen) struktur tersebut dengan menggunakan

metoda “Persamaan Tiga Momen”.

3.2. Pendahuluan

Pada metoda “Consistent Deformation” yang telah kita bahas pada modul 2,

kita menjadikan gaya luar yaitu reaksi perletakan sebagai gaya kelebihan pada

suatu struktur statis tidak tertentu. Dengan menghilangkan gaya kelebihan yang

ada, struktur dijadikan statis tertentu. Akibat beban yang ada dan akibat gaya

kelebihan sebagai beban dihitung deformasi dari struktur statis tertentu tersebut.

Dengan melihat kondisi geometris asli dari struktur statis tidak tertentu, disusun

persamaan “Consistent Deformation”. Dengan persamaan “consistent

deformation” yang tersusun gaya-gaya kelebihan dapat dihitung, gaya-gaya yang

lain dapat dicari dengan persamaan keseimbangan statis. Metoda “Consistent

Deformation” dapat dipakai pada struktur balok portal maupun konstruksi rangka

batang statis tidak tertentu, sedangkan metoda “Persamaan Tiga Momen” yang

Metoda Persamaan Tiga Momen

MODUL 3 -2-

akan kita bahas ini hanya dapat dipakai untuk struktur balok dan portal statis tidak

tertentu.

Pada suatu struktur balok dan portal, sambungan antara batang-batang pada

struktur tersebut diasumsikan sebagai sambungan kaku, dimana dalam sambungan

kaku harus dipenuhi dua persyaratan yaitu :

a). Keseimbangan : jumlah momen batang-batang yang bertemu pada sebuah

titik simpul yang disambung secara kaku sama dengan nol ( ).

b). Kestabilan : rotasi batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang

disambung secara kaku sama besar dan arahnya (T1 = T2 = …T3)

Contoh : Batang T1, T2, T3 bertemu di titik simpul T dengan sambungan kaku,

maka syarat : keseimbangan MT1 + MT2 + MT3 = 0

Kestabilan T1 = T2 = T3

Metoda “Persamaan Tiga Momen”, memakai momen-momen batang

sebagai variabel (bilangan yang tidak diketahui) dan pergoyangan (defleksi )

pada struktur-struktur yang dapat bergoyang. Untuk menentukan apakah sebuah

struktur dapat bergoyang atau tidak, dapat dilihat dari teori sebagai berikut : suatu

titik simpul mempunyai dua kemungkinan arah pergerakan, yaitu vertikal dan

horizontal. Perletakan jepit dan perletakan sendi tidak dapat bergerak vertikal

maupun horizontal, sedangkan perletakan rol dapat bergerak hanya pada satu arah

yaitu searah bidang perletakan. Batang dibatasi oleh dua titik simpul, sehingga

pergerakan titik simpul searah batang sama.

Dari konsep tersebut dapat dirumuskan : n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r)


2

T2

T3T1

MT1 MT3T

P

3

1

MT2

Gambar 3.1. Keseimbangan titik simpul

MODUL 3 -3-

Dimana :

n = jumlah derajat kebebasan dalam pergoyangan.

j = “joint”, titik simpul termasuk perletakan

m = “member”, jumlah batang yang dibatasi oleh dua joint.

f = “fixed”, jumlah perletakan jepit.

h = “hinge”, jumlah perletakan sendi.

r = “rol”, jumlah perletakan rol.

Apabila n < 0, struktur tidak dapat bergoyang.

Untuk menghitung variabel yang ada, disusun persamaan-persamaan sejumlah

variabel yang ada, dari dua ketentuan syarat sambungan kaku seperti yang

disebutkan diatas yaitu :

(1) Jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama

dengan nol.

(2) Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik sama, besar dan

arahnya. Dan kalau ada variabel perlu persamaan keseimbangan

struktur.

3.3. Langkah-langkah yang harus dikerjakan pada metode “ Persamaan

Tiga Momen ”.

Untuk menyelesaikan perhitungan struktur statis tidak tertentu dengan

metoda ” Persamaan Tiga momen “ urutan langkah-langkah yang harus dikerjakan

adalah sbb :

Tentukan apakah struktur statis tidak tertentu tersebut mempunyai

pergoyangan , dengan rumus :

n = 2j- (m+2f+2h+R)

Kalau n < 0, berarti stuktur tersebut tidak bergoyang.

Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan dan tentukan arah

rotasi batang – batang akibat pergoyangan tersebut. Dalam menggambarkan

bentuk pergoyangan ada dua ketentuan yang harus diperhatikan yaitu :

Batang tidak berubah panjang, Suatu batang ( ij ) kalau joint i bergerak ke

kanan sebesar Δ , maka joint j juga akan berpindah ke kanan sebesar Δ.


MODUL 3 -4-

Batang dapat berotasi akibat perpindahan relatif ujung-ujung batang.

Perpindahan relatif antara ujung-ujung batang dapat digambarkan tegak

lurus sumbu batang dan arah rotasi digambarkan dari arah asli sumbu

batang ke arah sumbu batang setelah bergoyang.

Gambarkan permisalan arah momen-momen batang. Untuk momen

kantilever, dapat dihitung besarnya dan ditentukan secara pasti arah

putarannya, sedangkan untuk momen- momen batang yang lain besar maupun

arahnya dimisalkan dengan mengingat ketentuan bahwa jumlah momen-

momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Jadi

kalau pada satu titik simpul bertemu dua batang , maka besarnya momen-

momen batang tadi sama, tetapi arahnya berlawanan.

Dari langkah langkah yang telah dikerjakan diatas dapat ditentukan jumlah

variablenya, yaitu momen-mpmen batang yang belum diketahui besarnya dan

perpidahan relatif ujung batang (Δ) kalau ada goyangan.

Gambarkan pemisalan bentuk garis elastis struktur. Untuk menggambarkan

permisalan bentuk garis elastis struktur, harus mengingat ketentuan bahwa

rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul adalah sama, besar

maupun arahnya . Jadi kalau salah satu batang yang bertemu pada satu titik

dimisalkan rotasinya searah jarum jam , maka batang-batang yang lain yang

bertemu pada titik simpul tersebut harus digambarkan dengan arah rotasi

yang sama yaitu searah jarum jam.

Untuk menghitung variable-variable diatas, susunlah persamaan-persamaan

sejumlah variable yang ada. Penyusunan persamaan – persamaan tersebut


Δ Δ

i’i j’j

L

ji

ij

Lj’

ji

ij = ji =

MODUL 3 -5-

berdasarkan ketentuan keseimbangan momen dan rotasi batang-batang pada

titik simpul atau perletakan.

Momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan

nol. Untuk momen batang yang digambarkan dengan arah sama, diberi

tanda sama. Misalnya kalau searah jarum jam diberi tanda positif (+).

Maka yang berlawanan arah jarum jam diberi tanda negatif (-) , atau

sebaliknya .

Rotasi batang dengan perletakan jepit sama dengan nol.

Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar

maupun arahnya . Untuk menyusun persamaan rotasi harus

memperhatikan permisalan garis elastis (rotasi batang) dengan beban dan

momen – momen yang ada pada batang tersebut. Kalau arah rotasi batang

pada permisalan garis elastis sesuai dengan rotasi batang yang diakibatkan

oleh beban dan momen batang yang bekerja diberi tanda positif (+) , kalau

sebaliknya diberi tanda negatif (-).

Kalau ada variable pergoyangan (Δ) maka perlu tambahan persamaan

keseimbangan struktur. Disini kita buat perhitungan “ free body diagram”

dengan arah momen-momen batang seperti yang dimisalkan , sehingga

kita mendapatkan satu persamaan yang menghubungkan antara variable

satu dengan yang lainnya.

Dari persamaan-persamaan yang disusun diatas , maka variable-variable yang

berupa momen-momen batang tadi dapat dihitung besarnya. Kalau nilai

variable yang didapat positif (+), maka arah momen permisalan benar,

sedangkan kalau nilainya negatif (-), maka arah momen yang dimisalkan

terbalik.

Setelah momen-momen diperoleh, dengan perhitungan keseimbangan tiap-

tiap batang (free body diagram), bidang momen, gaya lintang dan gaya

normal dari struktur statis tidak tertemtu tersebut dapat digambarkan.

Contoh langkah-langkah perhitungan dengan metoda “ persamaan tiga momen “

1.


Balok diatas tiga tumpuan, A

jepit, B dan C rol. Dengan

beban seperti tergambar :

n = 2j-(m+2f+ 2h+2)

n = 2x3 – (2+2x1+2x0+2)

n = 0

( Tidak ada penggoyangan )

Pemisalan momen batang:

MCD = ½ (q )l2 + P x 2

=1/2 (1)2 + 1 x 2

= 4 tm

q = 1 t/mP = 1 t

A

6 m 2 m

B C

6 m

EIEI EID

P = 1 t

A B

D

C

MA MB MC =4 tm

A B C

D

BA

BC

a). Balok statis tidak tertentu

b). Permisalan arah momen batang

c). Permisalan garis elastis

Gambar 3.2.

MODUL 3 -6-

Variable yang ada : MA dan MB. Berarti ada dua buah variable.

Pemisalan garis elastis.

Salah satu batang dimisalkan dulu , misalnya batang AB melendut ke

bawah berarti rotasi BA berlawanan arah jarum jam. Maka batang yang

lain mengikuti dengan mengingat rotasi batang-batang yang bertemu pada

satu titik simpul sama besar maupun arahnya.

Menyusun persamaan :

Karena ada dua variable ( MA dan MB ) maka butuh dua persamaan.

- Dari persamaan keseimbangan momen, telah dipenuhi dari pemisalan

arah momen batang

- Dari persamaan rotasi batang-batang :

A jepit AB = 0 (1)

Titik B BA= BC (2)

Dari dua persamaan tersebut , MA dan MB dapat dihitung, setelah momen

momen batang didapat, dengan perhitungan “ free body diagram “ bidang


Suatu portal dengan perletakan A dan B

sendi, dengan ukuran dan beban seperti

tergambar

n = 2 j – (m + 2 f + 2 f + 2)

= 2 x 4 – (3 + 2 x 0 + 2 x 2 + 0)

n = 1

ada sebuah bentuk pergoyangan.

Gambar pergoyangan

Batang AC, A sendi berarti C hanya

bisa bisa berpindah tegak lurus sumbu

batang AC.

Misalkan C berpindah ke C’ sebesar

kekanan. Batang CD tidak berubah

panjang, D juga bergerak kekanan

sebesar ke D’. untuk batang BD

keadaannya sama seperti batang AC.

Batang-batang AC dan BD akibat

pergoyangan berotasi searah jarum

jam.

MC = 0 MCB = 4 TM

MC = 4 tm

MB = 0 MBA + MBC =0

MBA = - MBC (sama besar,

berlawanan arah, MB )

A jepit, ada MA

MODUL 3 -7-

momen ( M ), gaya lintang ( D ), dan gaya normal ( N ), dapat

digambarkan.

2.

a). Portal statis tidak tertentu

b). Gambar pengoyangan

c). Pemisahan Momen Batang


P1=1t

4 m

4 m

1 m

A B

EI EI

EIC D EEIP2=2t

q = 1 t/m’

A B

C D D’C’

A B

C ECD DCD

CADB

d). Pemisahan garis elastis

Gambar 3.3.

Variabel yang ada : , MC, MDB, MDC

Pemisahan gambar garis elastis. Batang

CD dimisalkan melendut kebawah,

berarti CD searah jarum jam sedangkan

DC berlawan arah jarum jam.

Maka untuk batang AC, CA searah jarum

jam, sedangkan untuk batang DB, DB

berlawanan arah jarum jam.

A B

MCMDB

D

E

P1=1t

P2=2t

MDCC

MDE = 1,5 tm

MC

Pemisahan momen batang.

MDE = ½ (1) 1² + 1 x 1 = 1,5 tm

Titik C, MCA = MCD sama besar

berlawan arah (MC)

Titik D, ada MDB, MDC dan

MDE = 1,5 tm

MODUL 3 -8-

Menyusun persamaan :

Karena ada 4 variabel (, MC, MDB, MDC) bentuk empat persamaan.

- Dari persamaan keseimbangan momen.

MD = 0 MDB + MDC – MDE = 0 (1)

- Dari rotasi titik simpul

Titik C CA = CD (2)

Titik D DB = DC (3)

- Karena ada variabel , maka perlu persamaan keseimbangan struktur (4)

Dari keempat persamaan yang disusun, variabel-variabel MC,

MDB, MDC dan dapat dihitung. Setelah momen-momen bahwa didapat,

dengan perhitungan “free body diagram”, bidang Momen (M), gaya Lintang

(D), dan gaya Normal (N) dapat digambarkan.

3.3.1. Rumus Rotasi Batang

Setelah mempelajari langkah-langkah yang perlu dilakukan pada

penyelesaian struktur statis tidak tertentu dengan metoda “Persamaan Tiga

Momen”, disana kita harus menyusun persamaan rotasi batang-batang. Untuk itu

kita perlu mengetahui perumusan besarnya rotasi batang yang terjadi akibat

pembebanan dan momen-momen batang.

Dari mata kuliah Mekanika Bahan yaitu dengan metoda-metoda yang

pernah kita pelajari seperti metoda “unit load” ataupun metoda “momen area”,


MODUL 3 -9-

kita dapat menghitung besar dan menentukan arah rotasi batang dengan

perumusan sebagai berikut :

b). akibat beban terpusat ditengah bentang.

c). akibat momen Mij

d). akibat momen Mji

e). akibat pergoyangan

Gambar 3.4.


L

EI

ij ji

i j

ij = ji =

L

EIi

j

jiijij = ji =

EIi jiij

L

j

Mij

ij =

ij =

i jiij

L

Mij

j

i j

ji

ij = ji =

L

ij

ji

MODUL 3 -10-

Untuk akibat beban-beban yang lain rotasi batang dapat dihitung dengan metoda-

metoda yang pernah didapat dari mata kuliah Mekanika Bahan seperti metoda

“unit load” ataupun metoda “momen area”

3.4. Penyelesaian Struktur Statis Tidak Tertentu dengan Metoda

“Persamaan Tiga Momen”

Dari pembahasan sebelumnya kita ketahui bahwa konsep dari metoda

“Persamaan Tiga Momen” adalah memakai momen-momen batang sebagai

variabel dan akan dihitung dengan menyusun persamaan-persamaan sebanyak

variabel yang ada. Persamaan-persamaan tersebut akan disusun berdasarkan

persyaratan keseimbangan momen dan rotasi dari batang-batang yang bertemu

pada satu titik simpul. Kalau dua batang bertemu pada satu titik simpul, maka dari

persamaan rotasi batang-batang tersebut harus sama besar, akan didapatkan

sebuah persamaan yang mengandung tiga momen. Dari sanalah nama metoda

“Persamaan Tiga Momen” diambil.

3.4.1. Contoh-Contoh Penyelesaian

1.


A B C1,5 EI 2 EI EI

P1 = 4t P2 = 1,5 tq = 1 t/m’

6 m 6 m 2 m

D

a). Balok statis tidak tentu dengan pembebanannya

Suatu balok statis tidak tertentu diatas

3 tumpuan, A perletakan jepit B dan C

perletakan rol dengan ukuran dan

pembebanan seperti tergambar.

Hitung momen-momen batangnya

dengan metoda “Persamaan Tiga

Momen” dan gambarkan bidang M, D

dan N nya.

A B C1,5 EI 2 EI EI

P1 = 4t P2 = 1,5 tq = 1 t/m’

6 m 6 m 2 m

D

b). Gambar permisalan momen-momen batang

MC = 3 tmMB MA Penyelesaian :

n = 2j – (m + 2f + 2h + 2)

= 2 x 3 – (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 2)

n = 0 tidak ada pergoyangannya.

MODUL 3 -11-

Variabel yang ada : MA dan MB

Persamaan :

1. A jepit : AB = 0

2 MA + MB = 9 (1)

2. Titik simpul B : BA = BC

MA + 3,5 MB = 13,5 (2)

(1) – 2 x (2) - 6 MB = -18

MB = + 3 tm (arah benar)

(2) MA + 3,5 MB = 13,5 MA + 3,5 x 3 = 13,5

MB = 13,5 – 10,5 = + 3 tm (arah benar).


A B C

6 m 6 m 2 m

D

c). Gambar permisalan garis elastis

BA

BC

P2 = 1,5 tq = 1t/m’MA=3 tm

MB=3 tmP1 = 4t

MC=3 tm

D

CBA 3 t 3 t 2 t 2 t 1,5 t

Permisalan Momen Batang

MCD = 1,5 x 2 = 3 tm

Titik C MC = 0 MCB = MCD =

MC = 3 tm

Titik B MB = 0 MBA = MBC

= MB

A jepit ada MA

Permisalan garis elastis

BA = BC berlawanan

arah jarum jam

MODUL 3 -12-

d). Free body diagram


3m 3m 3m 3m 2m

3t2t 1,5t

2t3t

B C DA

+

-

+

-

+

e). Bidang Gaya Lintang (D)

+ +

- --

BA C D

3 tm 3 tm3 tm

3 tm1,5 tm

e). Bidang Momen (M)

Gambar 3.5

2m 2m 1m

3mEI

EI2EIA

B C

P1 = 4t P2 = 3t

D

Suatu portal dengan ukuran dan

pembebanan seperti tergambar. A

perletakan rol dan D perletakan jepit.

Hitung momen-momen batangnya

dengan metoda “Persamaan Tiga

Momen” dan Gambar bidang M, D

dan N-nya.

MODUL 3 -13-


(2)


A A’B B’

C’C

D

b). Gambar pergoyangan3t

MBD

MDB

D

A MBA BC

MCB4t

c). Gambar permisalan momen batang

B

BDA

C

D

BA

d). Gambar permisalan gariselastis

Penyelesaian :

n = 2 j – (m + 2f + 2h + )

= 2 x 3 – (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 1) = 1

ada pergoyangan !.

Gambar pergoyangan

A bergerak ke A’ sebesar

B bergerak ke B’ sebesar

Batang BD berotasi searah jarum jam

Permisalan Momen Batang

MBC = 3 x 1 = 3 tm

MBA ; MBD ; MDB

Permisalan Garis Elastis

BA = BD ( )

Varibel yang ada :

MBA, MBD, MDB dan

Persamaan :

1). MB = 0 MBA – MBC – MBD = 0

MBA = MBD + 3 (1)

2). D jepit DB = 0

MODUL 3 -14-

3). BA = BD

4 MBA + 6 MBD + 3MDB – 2 EI = 0 (3)

4). Persamaan Keseimbangan Struktur

Substitusi (4) ke (2) 9 MBD + 2 EI = 0

Substitusi (4) ke (3) 13 MBD – 2 EI = 0

22 MBD = 0 MBD = 0

(4) MDB = 0

(1) MBA = + 3 tm

e). Free Body Diagram


3 m

MDB

MBA

MBC = 3 tm3t4t

A B C

DHD = 0

MBD

A rol HA = 0

H = 0 HA + HD = 0 HD = 0

Batang : MB = 0

HD x 3 + MDB – MBD = 0

MBD = MDB (4)

+

A1,25 t 2,75 t

MBA = 3 tm MBC = 3 tm4t 3t

BC

3t

D5,75 t

3 t

AB C

A

4 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m1 m 1 m

A B C

-

--

+2,75 t

1,25 t

DD

3 m

+

-

B C

2,5 tm

3 tm

A

D

f). Bidang N g). Bidang D h). Bidang M

Gambar 3.6

5,75 t

MODUL 3 -15-

3.4.2. Soal Latihan

1).

Ditanyakan : - hitung momen-momen batang dengan metoda “Persamaan Tiga

Momen”

- Gambar bidang M, D dan N-nya.

2).


2 m 6 m 4 m 4 m

ABEI EI 2 EIC

V

DV

P2 = 3tP1 = 0,5t

q = 1 t/m’Suatu balok statis tidak

tertentu dengan ukuran dan

pembebanan seperti tergambar.

B dan C perletakan rol,

sedangkan A jepit.

4 m

4 mEI

EI

A

B C

q = 1 t/m’ Suatu portal statis tidak tertentu dengan

ukuran dan pembebanan seperti tergambar.

A perletakan jepit dan C sendi.

Ditanyakan :

Hitung momen-momen batang dengan

metoda “Persamaan Tiga Momen”

Gambar bidang M, D dan N-nya.

4 m5 m2 m

3 m4t1t

A B C

EI

EIEI

D

Suatu balok tangga statis tidak tertentu

dengan ukuran dan beban seperti

tergambar. B perletakan rol dan D jepit.

Ditanyakan :

Hitung momen-momen batang dengan

metoda “Persamaan Tiga Momen”.

Gambar bidang M, D dan N-nya.

MODUL 3 -16-

3).

4).

Ditanyakan :

- Hitung momen-momen batang dengan metoda “Persamaan Tiga Momen”.

- Gambar bidang M, D, dan N-nya.

3.4.3. Rangkuman

Momen-momen batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang

disambung secara kaku haruslah dalam keseimbangan. Berarti jumlah

momen-momen batang yang bertemu pada suatu titik simpul sama

dengan nol.

MTi = 0 MT1 + MT2 + ………+ MTn = 0

Batang-batang yang bertemu pada suatu titik simpul yang disambung

secara kaku akan berotasi secara serentak. Berarti rotasi batang-batang


Suatu portal statis tidak

tertentu dengan ukuran dan

pembebanan seperti

tergambar. A perletakan

jepit, C rol dan E sendi.

4 m 4 m 6 m 2 m

A B CD

2 m

2 mP3 = 2t

P1= 4tP2 = 1tq = 1 t/m’

E

2 EI 2 EI

EI

EI

MODUL 3 -17-

yang bertemu pada suatu titik simpul mempunyai arah dan besar yang

sama.

T1 = T2 = T3 = ………….= Tn

Variabel yang dipakai dalam metoda “Persamaan Tiga Momen”

adalah momen batang dan kalau ada pergoyangan.

Untuk menghitung variable-variabel tersebut, disusun persamaan-

persamaan sejumlah varibel yang ada. Persamaan-persamaan ini akan

disusun dari :

- Jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul

sama dengan nol.

- Rotasi perletakan jepit sama dengan nol.

- Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama

besar.

- Kalau ada variable , perlu persamaan keseimbangan struktur.

3.4.4. Penutup

Untuk mengukur prestasi, mahasiswa dapat melihat kunci dari soal-soal

latihan yang ada sebagai berikut :

1).


MBA = MBC = MB = 3 tm

MBCB = MCD = MC = 3 tm

MDC = 3 tm

2 m 6 m 4 m 4 m

P2 = 3tP1 = 0,5 t q = 1 t/m

EI EI 2 EIC

DB

A

MB = 3 tm MC = 3 tm MD = 3 tm

MODUL 3 -18-

2).

3).

4).


q = 1 t/m’

4 m

A

BC

MB =

EI

EI

MA =

4 m

MA =

MBA = MBC = MB =

4 m 4 m 6 m 2 m

2 m

2 m

AB

C

D

E

EI

EIEI

P1 = 4t P2 = 1t

MA

P3 = 2tMBE

MBA

MBD q = 1 t /m’

MC

2 EIMA = 4 tm

MBA = 4 tm

MBC = 2,5 tm

MBE = 1,5 tm

MCB = MCD = 4 tm

MBA = MBC = MB = 2 tm

MCB = MCD = MC = 4,86 tm

MD = 5,676 tm

2 m 5 m 4 m

3 mP2 = 4tP1 = 1t MB = 2 tm

MD = 5,676 tm

A B C

D

MC = 4,846 tmEI EIEI

MODUL 3 -19-

3.4.5. Daftar Pustaka

1. Chu Kia Wang “Statically Indeterminate Structures”. Mc Graw-

Hill, Book Company, INC.

2. Kinney, J.S. “Indeterminate Structural Analysis”, Addison-Wesley

Publishing Co.

3.4.6. Senarai

Metoda “Persamaan Tiga Momen” memakai momen-momen batang

sebagai varibel.

Variabel-variabel dihitung dengan membuat persamaan-persamaan dari

keseimbangan momen batang-batang pada suatu titik simpul dan rotasi

batang-batang pada titik simpul sama besar.

Kalau portal dapat bergoyang ada tambahan variable , dan persamaan

tambahan keseimbangan struktur.


MODUL 3 -20-

3.5. Penyelesaian Struktur Statis Tidak Tertentu Akibat Penurunan

Perletakan dengan metoda “Persamaan Tiga Momen”

Seperti yang telah kita bahas pada metoda “Consistent Deformation”,

pada struktur statis tidak tertentu akibat terjadinya perbedaan penurunan

perletakan akan menimbulkan gaya-gaya dalam yang cukup besar. Pada metoda

“Persamaan Tiga Momen”, langkah-langkah yang harus dikerjakan untuk

menyelesaikan struktur statis tidak tertentu akibat penurunan perletakan sama

seperti pada akibat pembebanan luar yang telah disajikan dimuka. Hanya saja

pada akibat penurunan perletakan, langkah pertama harus digambarkan

pergoyangan struktur akibat adanya penurunan perletakan yang terjadi, setelah itu

langkah-langkah yang dikerjakan sama dengan urutan langkah-langkah yang

dikerjakan pada akibat beban luar. Jadi kalau struktur kita mempunyai

pergoyangan dimana n > 0, maka akan ada gambar pergoyangan akibat penurunan

perletakan dan gambar pergoyangan natural karena struktur kita dapat bergoyang

secara natural.

3.5.1. Contoh penyelesaian akibat penurunan perletakan

1).


Sebuah balok statis tidak tertentu dengan

perletakan A jepit dan B rol. Bentang balok L

= 6 m. Balok dari beton dengan ukuran

penampang 40 x 60 cm, E beton = 2 x 105

kg/cm2.

Kalau terjadi penurunan perletakan B sebesar

B = 2 cm, hitung momen batang balok

tersebut dan gambar bidang M, D dan N-nya.

Penyelesaian :

Gambar pergoyangan akibat B turun

B = 2 cm. Tentukan arah putaran rotasi

batang (AB )b). Pergoyangan akibat B turun B = 2 cm

AB

EI

L = 6 m

a). Balok statis tidak tertentu

A

B’

B

2 cm

MODUL 3 -21-

Persamaan : A jepit AB 0

MA = + (arah momen benar)

Balok Beton :

I =

E = 2 x 105 kg/cm2

EI = 2 x 105 x 720.000 kg cm2 = 144 x 109 kg cm2

EI = 14.400 t m2 (satuan disesuaikan L dalam meter).

MA = +


n = 2 j – (m + 2f + 2h + r)

= 2 x 2 – (1 + 2 x 1 + 2 x 0+ 1) = 0

Tidak ada goyangan

Permisalan momen batang

MA MB = 0 (rol)

Variabel MA

Permisalan garis elastis AB , BA

24 tm

AB4t

4t

e). Free body diagram

4t 4t

BA+

f). Bidang gaya lintang (D)

-

24 tm

AB

g). Bidang momen (M)

Gambar 3.7.

MB = 0

VA =

V = 0 VA+ VB = 0

VB = -VA = - 4t ()

Bidang D :

Dx = VA = + 4t

x = 0 DA = 4t

x = 6 DB = 4t

Bidang M :

Mx = -MA + VA . x =-24 + 4 x

x = 0 MA = -24 tm

x = 6 MB = -24 + 4 x 6 = 0 tm

AB

EI

L = 6 m

MA

c). Permisalan momen batang

AB

L = 6 m

d). Permisalan garis elastis

BAAB

MODUL 3 -22-

2).


Suatu portal dengan perletakan A jepit

dan B rol balok dan kalau dari beton

dengan ukuran penampang 30 x 40cm,E

beton = 2x105 kg/cm2. Kalau A turun

2cm,hitung momen-momen batang dan

gambarkan bidang M,D dan N nya.A

B CEI

EI 4m

4m


MODUL 3 -23-

Persamaan :


A

B C2cm

2cm

b). Pergoyangan akibat A turun 1 cm

B’

A’

A

C

c). Pergoyangan natural

B’

B

C’

Balok / kolom beton :

Ix = (30) 403 = 160.000 cm4

EIx = 2 x 195 x 160.000 = 32 x 109 kg/cm2

= 3200 tm2

A

B CBC

MA

d). Pemisalan momen batang dan garis elastis

BA

AB

MB

MB

Penyelesaian

Gambarkan pergoyangan akibat A turun 2 cm.

BC

n =2j - (m + 2f + 2h + r)

= 2 x 3 - (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 1) = 1

ada pergoyangan

Gambar pergoyangan (natural).

Misalkan C bergerak kekanan sebesar . B akan

bergerak ke kanan ke B’ sebesar juga.

AB dan BA

Pemisahan Momen Batang

MA ; MBA = MBC = MB

Variable : MA, MB, dan

Pemisahan garis elastis

AB ; BA = BC

MODUL 3 -24-

1). AB = 0 (A jepit)

(1)

2). BA = BC

(2)

3). Keseimbangan

(1) + (2) 6 MA + 10 MB = - (a)

Substitusikan (3) ke (a) 6 MA + 10 MA = -

MA = - , dengan EI = 3200 tm2


MB

MB

MA

HA = 0

C rol HC = 0 H = 0

HA + HC = 0 HA = 0

Batang

MB = 0 HA . 4 - MA + MB = 0

MA = MB (3)

MB

MB

MA

HA = 0

MODUL 3 -25-

3.5.2. Soal Latihan

1).


e). Free Body Diagram

3/4 t

A 3 tm

3 tm

3 tm

3/4 t 3/4 t

B C

3/4 tMA = -

MB = MA = - 3 tm (arah terbalik)

BC

B C

A A 3 tm

3 tm

3 tm

3/4 t

3/4 t

+

-+

+

f). Bidang N g). Bidang D h). Bidang M

Gambar 3.8

6 m 4 m

EI EIAB C

Suatu balok statis tidak tertentu, A

perletakan A, B dan C rol. Balok

beton, dengan ukuran penampang

30 x 40 cm, Ebeton = 2 x 105 kg /

cm2.

Kalau terjadi penurunan di B 2

cm, hitung momen-momen batang

dengan metoda persamaan tiga

momen. Dan gambarkan bidang

M, D dan N-nya.

MODUL 3 -26-

2).

3).

3.5.3. Rangkuman

Pada penyelesaian struktur statis tidak tertentu akibat penurunan

perletakan dengan metoda “Persamaan Tiga Momen”, pertama kali yang

dikerjakan adalah menggambar bentuk pergoyangan struktur akibat penurunan

perletakan yang terjadi, dan menentukan arah rotasi batang-batang akibat

penurunan perletakan tersebut.

3.5.4. Penutup

Untuk mengukur prestasi mahasiswa dapat melihat kunci dari soal-soal

latihan yang ada sebagai berikut :

1).


4 m

4 mEI

EI

A

BC

AB

C

D

EI EI

EI3 m

4 m5 m2 m

Suatu portal statis tidak tertentu dengan

perletakan A jepit dan C sendi. Balok dan

kolom beton dengan ukuran penampang

30 x 40 cm, Ebeton = 2 x 105 kg/cm2.

Kalau C turun 2 cm, hitung momen-momen

batang dengan metoda persamaan tiga

momen dan gambar bidang M, D dan N-

nya.

Suatu balok tangga, dengan

perletakan B rol, dan D jepit.

Balok beton dengan ukuran

penampang 30 x 50 cm kg/cm2

Kalau perletakan B turun sebesar

2 cm, hitung momen-momen

batang dengan metoda persamaan

tiga momen dan gambar bidang

M, D dan N-nya.

6 m 4 m

MB =11,293 tmMA =10,98 tm

AB C

EI EI

EI = 3200 tm2

Momen-momen batang akibat perletakan B turun 2 cm.

MODUL 3 -27-

2).

3).

3.5.5. Daftar Pustaka

1. Chu Kia Wang, “Statically Indeterminate Structures”, Mc Graw-Hill,

Book Company, Inc.

2. Kinney, J.S. “Indeterminate Structural Analysis”, Addison-Wesley

Publishing Co.


EI

EI

MB = 6,856 tm

MA = 3,428 tm

A

BC

4 m

4 m

EI = 3200 tm2

Momen-momen batang akibat perletakan C turun 2 cm.

3 m

4 m5 m2 m

EI EI

EI

AB C

D

MC = 2,13 tm

MD =3,834 tm

EI = 6250 tm2

Momen-momen batang akibat perletakan B turun 2 cm.

MODUL 3 -28-

3.5.6. Senarai

Metoda “Persamaan Tiga Momen” memakai momen-momen batang

sebagai varibel.

Variabel-variabel dihitung dengan membuat persamaan-persamaan dari

keseimbangan momen batang-batang pada suatu titik simpul dan rotasi

batang-batang pada titik simpul sama besar.

Kalau portal dapat bergoyang ada tambahan variable , dan persamaan

tambahan keseimbangan struktur.


Metode Persamaan Tiga Momen

Documents

Transcript of Metode Persamaan Tiga Momen