ANALISA DINAMIK PERILAKU SIRKUIT CHUA

Oleh :MOH. ANAS KURNIA RNRP. 1206 201 806

Pembimbing : DR. Erna Apriliani, M.Si.

ABSTRAK

Sirkuit Chua adalah sebuah sistem sirkuit kacau yang yang didasari oleh rangkaian elektronik dan sering digunakan untuk memprediksi

keadaan sistem dinamik yang memberikan hasil tak terduga. SirkuitChua merupakan sirkuit yang sederhana, mudah diamati, universal.Pada tesis ini dibahas perilaku dinamik sirkuit chua, titik tetap,stabilitas lokal, stabilitas global, bifurkasi. Dan pada kisaran parametermana saja sirkuit tersebut terjadi kekacauan (chaos), serta pada rentangparameter mana saja tidak terjadi chaos. Simulasi perilaku dinamikdilakukan dengan menggunakan program software MatLab. 7.1.,tepatnya ode.45. Dari simulasi yang dilakukan pada model sirkuitchua, didapatkan hasil tidak terjadi chaos pada rentang parameterR=2035 sampai dengan R=2430

Kata kunci : sirkuit Chua, chaos, titik tetap, stabilitas, bifurkasi

BAB 1PENDAHULUAN

I.1. Latar Belakang Apakah itu chaos ? Para ilmuwan

menggunakan kata chaos itu untuk mengartikan bahwasistem dinamis yang diprediksi memberikan hasil yangtak terduga sebelumnya. Chaos menunjukkankeridakberaturan, kekacauan, keacakan yaitu : gerakanacak tanpa tujuan, tanpa kegunaan atau tanpa prinsiptertentu. Alam semesta yang bersifat dinamis inikelihatannya bekerja melalui sistem yang linear, tetapibanyak juga yang tidak bekerja secara linear dan tidakdapat dipahami melalui sistem linear, seperti awan,tumbuhnya pohon, garis pantai, ombak dan lainsebagainya, yang secara sekilas nampaknya acak dantidak teratur. Sistem inilah yang dinamakan chaos (Yani,2008).

Sedangkan cara yang paling mudah untuk menganalogikankata chaos adalah dengan mengamati kekacauan padasebuah rangkaian elektronik, oleh karena sistem rangkaianyang sederhana, mudah dipahami, biaya yang sangatmurah, mempunyai keistimewaan tersendiri, dan sifatnyayang universal (Broek, 2004).

Chua sirkuit adalah salah satu model rangkaian elektronikyang dapat dipergunakan untuk pendekatan berbagaiperilaku sistem dinamik, salah satu contoh adalah keadaanchaos. Dengan merubah beberapa nilai parameter yangterdapat dalam rangkaian elektronik chua mengakibatkanberubah pula hasil yang didapat.

I.2. Masalah Penelitian

Berdasarkan latar belakang, yang menjadi masalah pada penelitian ini adalah :

1. Bagaimanakah perilaku dinamik rangkaian elektronik yang terjadi pada sirkuit Chua ?

2. Pada kisaran parameter berapa rangkaian elektronik Chua tidak terjadi chaos ?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasar masalah penelitian, tujuan penelitian ini dilakukan untuk :1. Mengetahui perilaku dinamik titik tetap

dan kestabilan sirkuit chua2. Memilih kisaran parameter sehingga tidak

terjadi chaos

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah memberiinformasi berkaitan nilai kisaran untuk parameterR(resistor), sehingga dapat dihindari nilaiparameter yang menyebabkan chaos pada sirkuitChua.

1.5 Batasan Penelitian

Adapun batasan masalah dalam penelitian ini adalah :

Rangkaian elektronik Sirkuit Chua Parameter yang diubah adalah R, untuk

mendapatkan keadaan tidak terjadi chaos.

BAB 2KAJIAN PUSTAKA

2.1. Sejarah Kekacauan Sejarah kekacauan pertama kalinya ditemukan oleh

Raja Oscar II pada tahun 1885 di Swedia (Broek, 2004),dengan sebuah pertanyaan tentang “Tiga Bentuk Masalah”yang terjadi pada pergerakan tiga planet di angkasa yangbergerak masing-masing pada bidang edar dengan grafitasimasing-masing. Pertanyaan yang sama telah dijawab olehNewton beberapa tahun sebelumnya, namun hanyamenyangkut dua planet saja. Bentuk tiga planet ini lebihsulit untuk dijelaskan.

Seorang ahli matematika bernama Henri Poincaré(Broek,2004) mengemukakan pendapat yang dia pikirsebagai jawaban atas pertanyaan tersebut. Beberapa saatsebelum pendapat yang telah ditulisnya dipublikasikanHenri Poincaré menemukan beberapa kesalahan, diamenjelaskan bahwa masalah tersebut ada beberapa yangtidak dapat diselesaikan. Alasan mengapa masalah ini tidakdapat diselesaikan adalah perbedaan yang sangat kecilpada posisi awal atau kecepatan sangat berpengaruh padahasil akhir, dengan kesimpulan ini Henri Poincaremembuat “prinsip chaos”

2.2. Karakteristik Komponen Listrik

2.2.1. Gaya dan Medan 2.2.2. Resistor 2.2.3. Kumparan Listrik 2.2.4. Kapasitor 2.2.5. Diode Chua

2.3. Sirkuit Chua1. Rangkaian harus terdiri atas tiga komponen dasar yang

dapat menyimpan sumber energi mandiri yaitu induktor, kapasitor dan resistor.

2. Rangkaian harus mengandung minimal satu komponen nonlinear3. Rangkaian harus mengandung minimal satu resistor aktif (Chua,

1992)

SKEMA RANGKAIAN CHUA

iR

NR

C2 C1

v2 v1

R

R0

L

iL

Dari hukum Kirchhoff I dan Kirchhoff II maka dari rangkaian elektronik pada gambar 2.3 dapat ditentukan sistem persamaan differensialnya sebagai berikut (Broek, 2004) :

( ) ( )112

11

1 vfvvRdt

dvC −−=

( ) LivvRdt

dvC +−= 212

21

LL iRv

dtdiL 02 −−=

(2.1)

f(v1)= Gbv1+½(Ga-Gb)(| v1+ Bp|-| v1-Bp|) (2.2)

Keterangan :

C1 = parameter dari konduktor 1 C2 = parameter dari konduktor 2 R = hambatan ubah R0 = hambatan dalam kumparan L = kumparan NR = hambatan negatif v1= tegangan yang melalui C1 v2= tegangan yang melalui C2 iL= arus yang melalui kumparan

2.4 Titik Tetap pada Sistem Dinamik

Diketahui system dinamik :

Titik yang membuat fungsi f dan g samadengan nol disebut titik setimbang (titik tetap).

( )

( )yxgdtdyy

yxfdtdxx

,

,

==

==

•

•

( )00 , yx

2.5 Bifurkasi pada Sistem DinamikBifurkasi adalah perubahan kualitataif yang terjadi padapenyelesaian persamaan differensial, perubahan meliputiperubahan stabilitas dan perubahan letak titik setimbangyang diakibatkan oleh perubahan parameter. Bifurkasi terjadipada penyelesaian titik setimbang yang mempunyai palingsedikit satu nilai eigen sama dengan nol pada bagianrealnya.

Ada beberapa macam bifurkasi : 1. Transkritikal2. Saddle node3. Pitchfork4. Hopf

BAB 3METODA PENELITIAN

Pada penelitian ini akan dilakukan beberapa tahapan penelitian sebagai berikut :

Tahap 1 Kajian literatur yang berkaitan dengan sirkuit chua

Tahap 2 Menelaah model sirkuit chua Tahap 3 Menentukan titik tetap dan stabilitas sirkuit chua Tahap 4 Memasukkan Nilai Parameter Tahap 5 Analisa dan Pembahasan

3.1. Tahapan Penelitian

3.2 Diagram proses penelitian

Kajian literatur yang berkaitan dengan sirkuit chua

Menelaah model sirkuit chua

Memasukkan Nilai Parameter

Analisa dan Pembahasan

Menentukan titik tetap dan stabilitas sirkuit chua

BAB 4HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Menentukan Titik Tetap dan Stabilitas

(4.1)

Dari persamaan (4.1) dapat dituliskan :

(4.2)( ) ( )

( )

( )LL

L

iRvLdt

di

ivvRCdt

dv

vfvvRCdt

dv

02

212

2

1121

1

1

11

11

−−

=

+−

=

−−

=

( ) ( )

( )

LL

L

iRvdtdiL

ivvRdt

dvC

vfvvRdt

dvC

02

212

2

1121

1

1

1

−−=

+−=

−−=

Dari persamaan (4.2) akan diperoleh titik tetap, jika

Dan diperoleh titik setimbang :

,01 =dtdv

02 =dt

dv0=

dtdiL

( )

LL

L

L

iiiRv

iRRv

=

−=+−=

02

01

Oleh karena persamaan (4.2) merupakan sistem persamaan nonlinear, maka untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut harus dilinierkan dengan cara menen-tukan matrik Jacobinya, yaitu :

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

L

L

L

if

vf

vf

if

vf

vf

if

vf

vf

A

3

2

3

1

3

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

Dari persamaan (4.2) diperoleh matrik Jacobi sebagai berikut :

Untuk menganalisa kestabilan dari titik tetap perlu ditentukan nilai eigen. Nilai eigen dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan , dan dapat dituliskan

( )

−−

−

−−

=

LR

L

CRCRC

RCvf

RC

A

0

222

11

1

10

111

01'1

( )

000

0000

10

111

01'1

0

222

11

1

=

−

−−

−

−−

=−λ

λλ

λ

LR

L

CRCRC

RCvf

RC

IA

Dan didapatkan nilai eigen sebagai berikut :

( )

( ) ( )

( ) ( ) 0''1

1''

11'

2

10

2

1

21

2

0

21

0

2

110

2

2

0

11

3

=+++

++++

+

++++

RLCvfR

LCvf

RCLC

RLCR

LCRLCR

LCvf

LvfR

RCLR

RCvf

λ

λλ

Dengan memasukkan parameter diperoleh :

Dengan menggunakan bantuan software Mat.Lab. 7.1 diperoleh nilai :

Sedangkan untuk parameter R=2050 diperoleh titik tetap

( ) ( ) 06,944.814.948.172.222,696.935.478113.54 23 =+++ λλλ

−−=+−=

−=

ii

045.2570045.2570

973.52

3

2

1

λλ

λ

( ) ( )

LL

LL

LLL

iiiiRv

iiiRRv

=

−=−=−=+−=+−=

102060205010

02

01

Dengan memperhatikan bahwa persamaan (4.2)merupakan persamaan nonhyperbolic, maka untukmenguji jenis kestabilan pada titik tetapnyamenggunakan kriteria kestabilan Lyapunov , darikedua pembuktian yang telah dilakukan maka dapatdikatakan bahwa titik tetaptermasuk jenis kestabilan asymtotis. (Wiggins, 1990).

( ) ( )LLLL iiiivv ,10,2060,, 21 −−=

4.2 Analisis Bifurkasi

Pada sub bab ini dianalisis kemungkinanterjadinya bifurkasi pada perilaku dinamik sistemrangkaian elektronik Chua dari persamaan (4.2).salah satu persyaratan terjadinya bifurkasi adalahadanya paling sedikit satu nilai eigen yang samadengan nol (Wiggins, 1990).

Dari perhitungan yang telah dilakukan denganbantuan software Mat.Lab. 7.1 diperolehnilai dan ,baik Ra maupun Rb mempunyai nilai yang cukupbesar, dan tidak sesuai dengan pengambilanR=2050, sehingga dari hasil kontruksi bifurkasi padapersamaaan (4.8) dengan titik tetap , tidak terjadibifurkasi.

111043902,2 xRa =1110321,1 xRb =

4.3. Hasil simulasi

Untuk nilai parameter R = 2050 Ω, didapatkangambar 4.7.a yang menunjukkan terjadi tidakbifurkasi dan tidak terjadi chaos dengan titik tetap

dan gambar 4.7.bmenunjukkan terhadap t( ) ( )LLLL iiiivv ,10,2060,, 21 −−=

Livv ,, 21

0 5 10 15-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

v(1)

v(2)

Sirkuit Chua

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

10

20

t

v(1)

Sirkuit Chua

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-5

0

5

t

v(2)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-0.02

0

0.02

t

i(I)

Gambar 4.7.a Gambar 4.7.b

BAB 5KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan dan simulasi pada Bab 4 dapat

diambil kesimpulan sebagai berikut: a. Sistem persamaan model sirkuit chua pada (2.1)

dengan kriteria kestabilan Lypunov termasuk jenis kestabilan asymtotis global.

b. Berdasarkan hasil simulasi, dengan parameter C1=10nF, C2=100nF, R0=10Ω, L=22mH, Ga= -0,757mS, Gb= -0,410mS, Bp=1,7V dan parameter R yang diubah - ubah pada rentang R= 2020 Ω sampai R=2450Ω didapatkan hasil pada R= 2050Ω titik tetap stabil, tidak terjadi bifurkasi dan pada rentang R=2035Ω hingga R=2430Ω sirkuit chua tidak terjadi chaos

5.2 Saran

Penelitian ini dapat dilanjutkan untukmenganalisis kestabilan titik tetap denganmenganalisis parameter lainnya yangmenyebabkan terjadinya chaos atau terjadibifurkasi baik lokal maupun global.

DAFTAR PUSTAKA

Broek, v.d. T.H.A, (2004), Chua's Circuit : Synchronisation, Departement of Electrical Enginering,Eindhoven University of Technology.

Budiono Mismail, (1995), Rangkaian Listrik, jilid pertama, Penerbit ITB Dariel M. Maranhao and Carmen P.C. Prado, (2005), "Evolution of Chaos in the Matsumoto-Chua

Circuit : A Simbolic Dynamic Approach" Brazilian Journal Of Physics, Vol .35, no.1, Marc, 2005. Leon O. Chua, (1992), The Genesis of Chua Circuit, AEO, Vol 46 (1992), No. 4. Parlite U, (1993), Lyapunov Exponen From Chua's Circuit, Juornal Circuit, System and Computer. Weiland Siep, (2009), Chaos in the Chua Circuit, Project for the Course on Dynamical System,

Eindhoven University of Technology. Wiggins, S., (1990), Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer-Verlag, New York. Yani Kusmarni, (2008), Teori Chaos, Sebuah Keteraturan Dalam Keacakan, Universitas Pendidikan Indonesia, Bandung. …, Chua's Circuit,, http://en.wikipedia.org/wiki/chua's circuit/, (10 Maret 2010) …, Chua's Circuit,, http://www.scholarpedia.org/article/chua_circuit/, (17 Mei 2010) …, Cubic Function, http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_polynomial/, (10 Maret 2010) …, Routh-Hurwitz Stability Criterion, http://www.personal.rdg.ac.uk/~shshawin/dnb/routh_hurwitz.pdf,

(10 Maret 2010)).

Script program sirkuit chua dengan bantuan software Mat.Lab. 7.1

function dv=dvdt(t,v) %nilai parameter C1= 10.0e-9; C2= 100.0e-9; L= 22.0e-3; R0=10; Ga=-0.757e-3; Gb=-0.410e-3; Bp=1.7; R=2035; Gbplus=-0.410e-3; Gbmin=-0.410e-3; Bpplus=1.7; Bpmin=1.7; %perhitungan Bpv1 dan Gbv1 if v(1)>0 Bpv1=Bpplus; Gbv1=Gbplus; else if v(1)<0 Bpv1=Bpmin; Gbv1=Gbmin; else Bpv1=0; Gbv1=0; End End %end %persamaan differensial if abs(v(1))<Bpv1 dv=[(1/R*(v(2)-v(1)-(Gb*v(1)+(Ga-Gbv1)*v(1)))/C1 (1/R*(v(1)-v(2))+v(3))/C2 (-v(2)-R0*v(3))/L]; else dv=[(1/R*(v(2)-v(1)-(Gb*v(1)+(Ga-Gbv1)*sign(v(1))*Bpv1))/C1 (1/R*(v(1)-v(2))+v(3))/C2 (-v(2)-R0*v(3))/L]; end

clear all clear all %waktu, voltase, mulai dan toleransi Tspan=[0 0.1]; v0=[1 1 0]; options=odeset('RelTol',1e-3,'AbsTol',1e-6); %penyelesaian persamaan differensial [t,v]=ode45(@dvdt,Tspan,v0,options); %ploting gambar figure(1) plot (v(:,1),v(:,2)) xlabel('v(1)');ylabel('v(2)');title('Sirkuit Chua') grid on figure(2) plot (v(:,2),v(:,3)) xlabel('v(2)');ylabel('v(3)');title('Sirkuit Chua') grid on figure(3) subplot(3,1,1) plot (t(:,1),v(:,1)) xlabel('t');ylabel('v(1)');title('Sirkuit Chua') grid on subplot(3,1,2) plot (t(:,1),v(:,2)) xlabel('t');ylabel('v(2)') grid on subplot(3,1,3) plot (t(:,1),v(:,3)) xlabel('t');ylabel('i(I)') grid on

AKHIR KATA

TERIMA KASIH