Modul PD BAB II
-
Upload
lilis-puri-sukadasih -
Category
Documents
-
view
427 -
download
48
Transcript of Modul PD BAB II
Lilis Puri Sukadasih
BAB II PERSAMAAN LINIER TINGKAT n DENGAN KOEFISIEN TETAP Bentuk Umum : +...... ( ( atau (y) = Q (x). (y) (y) Dalil : Jika , ,..., ( )+ PD Homogen. Dalil : 1. 2. Jika y = f(x) adalah jawab PD linier homogeny, maka Cf(x) juga jawab (disebut jawab umum), karena Jika y= 3. = (x) + (x), ( )=C = (y). (x), . . . . . = (x) adalah jawab-jawab/pendapatanadalah fungsi dari x dan ( )+... ( )= ( , , + ,..., +... bilangan konstan sebarang ) maka berlakulah : = Q (x) dinamakan PD linier tak Homogen = 0 atau Q (x) = 0 dinamakan PD linier Homogen. ..., = Q (x) ................................................ (1)
adalah fungsi-fungsi dari x). Dapat di singkat menulisnya +...... = (y).
Catatan :
pendapatan yang berlainan satu sama lain, maka (x) + . . . . . (x) adalah jawab dari P.D. linier homogen. Jika P.D. linier homogeny, satu pendapatan istimewa telah diketahui maka besarnya jenis persamaan dapat dikurangi satu.
Persamaan Diferensial
Halaman 37
Lilis Puri Sukadasih
2.1 Persamaan Differensial Linier Homogen Dengan Koefisien Tetap
+....+ atau (y) = 0, dengan , . = , = , ,...,
+
y = 0 .......................................... (1)
= bilangan-bilangan tetap, dan dapat diselesaikan
dengan substitusi : y = Karena : =t ,
,.....,
=
bila dimasukkan ke
dalam persamaan (1) menjadi : ( 1) 2) + + ...... ..... . = a + bi, = a bi maka jawab umumnya :(
t+
) = 0 (adalah persamaan karakteristik y= +
dari persamaan (1) ). Bila akar-akar +...... y = = = = = 3) , maka jawab umumnya
Bila akar-akarnya kompleks, missal : + + cos bx + i sin bx + (
( (
cos bx ) sin bx
i sin bx) = B.
( + ) cos bx + (
(A cos bx + B sin bx ) ; ( + ) = A, ( =.....= , maka jawab umum : +....
Bila akar-akarnya sama atau rangkap. y = = + + + + +....
Contoh Soal : Hitunglah jawab umum homogeny P.D. yang berikut : 1. - 4y = 0 Jawab : - 4y = 0 ................................................................................................................. (1) Missal : y = (1) menjadiPersamaan Diferensial
= -
, =0
=
Halaman 38
Lilis Puri Sukadasih
-4 =0 =4 Jawab umum homogen y = +
(pers. karakteristik)
2.
Jawab :
+
+
= 0. = 0. . (
Persamaan karakteristik :
Jawab umum homogen. (
3.
Jawab :
+
= 0. + = 0. .
Persamaan karakteristik :(
Jawab umum :( (
( ( ( ( ( .
Persamaan Diferensial
Halaman 39
Lilis Puri Sukadasih
4.
+ Jawab :
+
= 0.
+ Pers. Karakteristik : Misalkan (2) Dapat ditulis : ( (
+
= 0 . . . . . . . (1) . . . . (2) akar ( . . . . (3) . . .
(
(3) Menjadi (
(
(
Jawab umum homogen.( (
( (
5. Jawab : Persamaan Karakteristik : Jawab umum : .
Persamaan Diferensial
Halaman 40
Lilis Puri Sukadasih
6.
+ Jawab :
+ +
= 0. + = 0.
Persamaan karakteristik: ( ( , ; Jawab umum homogen. ( ( ( ( ( ( ( ( ;
2.2. Persamaan Differensial Linier Homogen Yang Koefisien-Koefisiennya Fungsi Istimewa Dari X Bentuk umum: ( Dengan dipakai subtitusi : Hingga : ( (2) didiff. Terhadap ( ( ( ( (
Persamaan Diferensial
Halaman 41
Lilis Puri Sukadasih
Atau (
(
) ( (
(
(
Bila hubungan-hubungan ini dimasukkan dalam persamaan (1) terjadilah perrsamaan diferensial dengan koefisien-koefisien yang tetap. Contoh : ( Misalkan Maka : (2) didiff. Terhadap (
Maka : (2) & (3) ke dalam (1)
(
Persamaan karakteristik: ( Jawab: atau ( ( Sedangkan
Persamaan Diferensial
Halaman 42
Lilis Puri Sukadasih
2.3 Persamaan Differensial Linier Tak Homogen ( Jawab : Jawab dari ( disebut jawab umum homogen ( ( disebut jawab khusus ( . Jawab dari ( Maka jawab umum : Untuk mencari jawab khusus dari PD linier tak homogeny ( Bentuk umum : ( ). ( karakteristik : Maka sebagai fungsi percobaan: ( ( Setelah didiferensialkan kali, masing-masingnya dimasukkan kedalam persamaan dapat dicari. ( adalah bilangan tetap dan mungkin ada bukan akar dari persamaan diantaranya yang sama dengan nol. Dan ( ( ( ( (
(1) diatas, maka dengan identitet harga dari Bila (( akar lipat .
dari persamaan karakteristik, maka fungsi percobaan (2)
dikalikan dengan ( Catatan :
Bila a = 0,b = 0, maka fungsi percobaan menjadi : Y= = atau (0 + 0i) adalah bukan akar.Persamaan Diferensial Halaman 43
(
Lilis Puri Sukadasih
Bila (0 + 0i) adalah akar dari persamaan karakteristik lipat h jawab percobaan. Y=( Contoh soal: Tentukan jawab umum PD yang berikut : 1. y 4y = 16 jawab: y 4y =16 Persamaan karakteristik : ( y 4y = 0.......(PD linier homogen).
(
Jelas (0+0i) bukan akar , sebab tidak sama Y = Y = 2 Y = 2
dan
Hubungan ini dimasukkan kedalam persamaan (1). 2 4 4
2
2. Jawab : ..............................(1) . (P.D. linier homogen)Persamaan Diferensial Halaman 44
Lilis Puri Sukadasih
Persamaan karakteristik :
. ,
Jawab umum homogen : ( (
. ( Fungsi percobaan : = = =
a = 3, b = 0, m=0 (3+0i) bukan akar.
Hubungan-hubungan ini dimasukkan dalam persamaan (1)
Jawab umum : 3. y + y = cos 2x Jawab : y + y = cos 2x y + y = 0 persamaan krakteristik : t2 = -1 yh = C1 + C2 (P.D. linear homogen) t1 = i, t2 = - i
= C1 (cos x + -i sin x) + C2 (cos x i sin x) = A cos x + B cos x y + y = cos 2x ,Persamaan Diferensial
f(x) = cos 2xHalaman 45
Lilis Puri Sukadasih
a=0,b=2 m = 0 , k0 0 , I0 0 (0 + 2i) bukan akar Fungsi percobaan : y = k0 cos 2x + I0 sin 2x y = -2k0 sin 2x + 2 I0 cos 2x y = -4k0 cos 2x - 4 I0 sin 2x kedalam persamaan -4k0 cos 2x 4 I0 sin 2x 4 I0 sin 2x + I0 sin 2x - 3k0 cos 2x 3 I0 sin x - 3k0 = 1 cos 2x cos 2x
k0 = I0 = 0
yk = - cos 2x jawab umum : yu = A cos x + B cos x - cos 2x
4. Tentukan jawaban khusus dari : + = e-4 x . . . . . . . . . . . (1) t3 + 4 t2 = 0 t2 (t + 4) = 0 t1 = 0 t2 = 0 t3 = -4. F(x) = e-4 x ternyata -4 adalah akar lipat satu dari persamaan karakteristik maka
Persamaan karakteristik :
fungsi percobaan berbentuk : y y y y = e-4 x ( k0 ). x = e-4 x . (k0 x ). = e-4 x ( k0 4 k0 x). = e-4 x (-4 k0 4k0 + 16 k0 x ) = e-4 x ( 16 k0 + 32 k0 64 k0 x) masukkan dalam (1).Persamaan Diferensial Halaman 46
Lilis Puri Sukadasih
e-4 x (48 k0 64 k0 x 32 k0 64 k0 x ) = e-4 x 16 ko = 1. Jawab khusus : yk = x e-4 x k0 =
5. Tentukan jawab khusus : + y = cos x Jawab : + y = cos x . . . . . . . . . . .(1) t2 = -1 t1 = i : t2 = -i f(x) = cos x = e0 cos x. Dari akar (0 i) Ternyata (0 i) adalah akar dari persamaan karakteristik. Maka fungsi percobaan berbentuk : y y y = cos x (k) . x + sin (l) . x = k x sin x + l x sin x. = -kx sin x + k cos x + lx cos x + l sin x. = (-kx + l) sin x + (k +lx) cos x. = -k sin x + (-kl + l) cos x + l cos x (k + lx) sin x. = (-k - k lx ) sin x + (-kx + l + l) cos x = (-2k lx ) sin x + (-kx + 2l) cos x. Kedalam persamaan (1) (-2k lx ) sin x + ( -kx + 2l) cos x + kx cos + lx sin x = -2k = 0 2l = 1 k=0 l=
Persamaan karakteristik t2 + 1 = 0
Jawab khusus : yk = x sin x.
Persamaan Diferensial
Halaman 47
Lilis Puri Sukadasih
6. Tentukan jawab umum. + 12 + 8 sin 2x. Jawab : Persamaan karakteristik : ( . + 12 + 8 sin 2x ... (1)
Jawab umum homogen : y = = = f(x) = = ( + 12 + 8 sin 2x + 12) + 8 sin 2x. (sin 2x dari akar 0 Ternyata t=0 adalah akar lipat satu. juga akar lipat satu dari persamaan karakteristik. maka fungsi percobaan berbentuk : y =( namakan : ( ( maka : =( = = = Kedalam persamaan (1) ( + 12. + 12. ( ( (
Persamaan Diferensial
Halaman 48
Lilis Puri Sukadasih
= ( = = = = ( = Masukan kedalam persamaan (1). ( ( ( ( ( (
Jawab khusus : Jawab umum :
Persamaan Diferensial
Halaman 49