Modul Dimensi Tiga
-
Upload
ana-sugiyarti -
Category
Education
-
view
233 -
download
2
Transcript of Modul Dimensi Tiga
Materi SMA Matematika : Dimensi Tiga Page 1
DIMENSI TIGA
A. JARAK DALAM BANGUN RUANG
1. Jarak Antara 2 Buah Titik
Jarak titik A ke titik B adalah penghubung terpendek dari titik A ke titik B yakni panjang ruas garis AB.
Contoh 1Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan jarak :a. Titik A ke titik Cb. Titik A ke titik G
Penyelesaiana. Jarak titik A ke C adalah
cmπ΄πΆ = π΄π΅2 + π΅πΆ2 = 62 + 62 = 72 = 6 2b. Jarak titik A ke G adalah
cmπ΄πΊ = π΄πΆ2 + πΆπΊ2 = (6 2)2 + 62 = 108 = 6 3
2. Jarak Antara Titik Dan Garis
Jarak titik P ke garis g adalah suatu garis terpendek yang menghubungkan titik P garis g. Ruas garis terpendek tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik P tegak lurus terhadap garis g. Jadi, jarak titik P ke garis g adalah PPβ.
Contoh 2Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 4 cm, AD = 3 cm dan AE = 5 cm. Tentukan jarak titik F ke garis :a. ABb. DEc. DG
Materi SMA Matematika : Dimensi Tiga Page 2
Penyelesaiana. Karena FB tegak lurus AB, maka jarak F ke AB
adalah FB = 5 cm.b. Karena FE tegak lurus DE, maka jarak F ke DE
adalah FE = 4 cm.c. Karena FG tegak lurus DG, maka jarak F ke DG
adalah FG = 3 cm.
Contoh 3Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 4 cm. Tentukan jarak titik F ke garis AC. Penyelesaian
Karena panjang rusuk 4 cm, makaAC = AF = FC = 4 cm2Sehingga segitiga AFC adalah segitiga samasisi.
π΄πΉ' =12π΄πΆ =
12 Γ 4 2 = 2 2 ππ
πΉπΉ' = π΄πΉ2 β (π΄πΉ')2 = (4 2)2 β (2 2)2
cm= 32 β 8 = 24 = 2 6Jadi, jarak titik F ke garis AC adalah cm. 2 6
Contoh 4Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan jarak titik A ke garis CE.Penyelesaian
Karena panjang rusuk 6 cm, maka diagonal sisi AC = 6 cm 2dan diagonal ruang CE = 6 cm.3 π΄π΄' β πΆπΈ = π΄πΈ β π΄πΆπ΄π΄' β 6 3 = 6 β 6 2
π΄π΄' =6 β 6 2
6 3π΄π΄' = 2 6
Jadi, jarak titik A ke garis CE adalah cm.2 6
3. Jarak Antara Titik Dan Bidang
Jarak titik P ke bidang v adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik P ke bidang v. Ruas garis terpendek tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik P tegak lurus terhadap bidang v. Karena PPβ tegak lurus terhadap bidang v, maka PPβ merupakan jarak titik P ke bidang v.
Materi SMA Matematika : Dimensi Tiga Page 3
Contoh 5Panjang rusuk-rusuk balok ABCD.EFGH adalah AB = 4 cm, AD = 3 cm dan AE = 5 cm. Tentukan jarak titik F ke bidang :a. ABCDb. ADHEc. CDHG
Penyelesaiana. Karena FB tegak lurus ABCD, maka jarak F ke
bidang ABCD adalah FB = 5 cm.b. Karena FE tegak lurus ADHE, maka jarak F ke
bidang ADHE adalah FE = 4 cm.c. Karena FG tegak lurus CDHG, maka jarak F ke
bidang CDHG adalah FG = 3 cm.
Contoh 6Panjang rusuk-rusuk balok ABCD.EFGH adalah AB = 4 cm, AD = 3 cm dan AE = 5 cm. Tentukan jarak titik B ke bidang ACGE. Penyelesaian
Bidang ABCD adalah bidang yang melalui B dan tegak lurus terhadap AE (salah satu rusuk bidang ACGE).Garis AC merupakan perpotongan bidang ACGE dengan bidang ABCD.Sehingga d(B, ACGE) = d(B, AC).
π΄πΆ = 42 + 32 = 5 ππ
π΅π΅' =π΄π΅ β π΅πΆ
π΄πΆ =4 β 3
5 =125 ππ
Jadi, jarak titik B ke bidang ACGE adalah cm. 125
Contoh 7Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan jarak titik C ke bidang BDG.Penyelesaian
Bidang ACGE adalah bidang yang melalui titik C dan tegak lurus terhadap BD (salah satu garis pada BDG).Garis GT merupakan perpotongan bidang BDG dengan bidang ACDE.Sehingga d(C, BDG) = d(C, GT) = CCβ.π΄πΆ = 62 + 62 = 72 = 6 2ππ
πΆπ =12π΄πΆ = 3 2ππ
πΊπ = 62 + (3 2)2 = 54 = 3 6ππ
πΆπΆ' =πΆπ β πΆπΊ
πΊπ =3 2 β 6
3 6 =63 = 2 3 ππ
Jadi, jarak titik C ke bidang BDG adalah cm.2 3
Materi SMA Matematika : Dimensi Tiga Page 4
4. Jarak Antara Dua Garis Sejajar
Jika garis g sejajar h, maka jarak kedua garis tersebut dapat ditentukan oleh cara sbb:a. Garis g dan h membentuk suatu bidangb. Buat garis k yang memotong tegak lurus terhadap
garis g dan h di titik A dan B.c. Jarak AB adalah jarak garis g dan h.
5. Jarak Antara Dua Garis Bersilangan
Jika garis k bersilangan l, maka jarak k dan l menjadi jarak P dan Ξ± :a. Lukis bidang Ξ± yang melalui garis l dan sejajar garis k.b. Pilih titik P yang terletak pada garis k. Akibatnya, d(k, l)
= d(P, Ξ±).
6. Jarak Antara Dua Garis Bersilangan Tegak Lurus
Jika garis k dan l bersilangan tegak lurus, maka jarak antara k dengan l menjadi jarak antara P dengan l :a. Lukis bidang Ξ± yang melalui garis l dan tegak lurus
garis k.b. Lukis titik P yakni titik potong garis k dan bidang
Ξ±. Akibatnya, d(k, l) = d(P, l).
Contoh 8Panjang rusuk-rusuk balok ABCD.EFGH adalah AB = 10 cm, AD = 3 cm dan AE = 5 cm. Tentukan jarak antara garis BE dan CH.Penyelesaian
Perhatikan bahwa garis BE dan CH berada pada satu bidang yaitu bidang BCHE.Garis BC tegak lurus terhadap garis BE dan CH. Sehingga jarak antara garis BE dan CH adalah panjang BC = 3 cm.
Materi SMA Matematika : Dimensi Tiga Page 5
ggβ
h
Contoh 9Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 4 cm. Tentukan jarak garis CD dan AH. Penyelesaian
Bidang ABGH adalah bidang yang melalui garis AH dan sejajar CD.Titik D terletak pada garis CD.Akibatnya, d(CD, AH) = d(C, ABGH)
= d(D, AH) = DDβ
=12π·πΈ =
12 Γ 4 2 = 2 2 ππ
Contoh 10Panjang rusuk bidang empat beraturan D.ABC adalah 4 cm. Tentukan jarak rusuk AB dan CD. Penyelesaian
Bidang CDE adalah bidang yang melalui CD dan tegak lurus AB.Titik E adalah titik potong garis AB dan bidang CDE.Akibatnya, d(AB, CD) = d(E, CD) = EEβ. π·πΈ = πΆπΈ = 42 β 22 = 12 = 2 3 πππΈπΈ' = (2 3)2 β 22 = 8 = 2 2 ππJadi, jarak garis AB dan CD adalah cm. 2 2
B. SUDUT DALAM BANGUN RUANG
Sudut pada bangun ruang adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh dua garis berpotongan.
1. Sudut Antara Dua Garis Bersilangan
Jika garis π dan h bersilangan maka sudut yang mewakili sudut antara garis π dan h adalah sudut yang dibentuk oleh suatu garis dengan garis h dimana garis tersebut sejajar dengan garis π dan memotong garis h.
Langkah-langkah melukis sudut sudut garis π dan h yang saling bersilangan.1) Lukis garis πβ yang sejajar garis π dan memotong h.2) Akibatnya, β (π, β) = β (π', β)
Sudut yang terlukis dapat dihitung dengan memperhatikan segitiga yang memuat sudut tersebut.
Materi SMA Matematika : Dimensi Tiga Page 6
Contoh 11Diketahui kubus ABCD.EFGH. Hitung besar sudut antara garis AH dan BC.Penyelesaian
A B
CD
E FGH
(1) Garis BG adalah garis yang sejajar dengan garis AH dan memotong garis BC.
(2) β (π΄π», π΅πΆ) = β (π΅πΊ, π΅πΆ) = πΌKarena segitiga BGC segitiga siku-siku sama kaki, maka Ξ± = 45Β°.
Jadi, sudut antara garis AH dan BC adalah 45Β°.
Contoh 12Diketahui kubus ABCD.EFGH. Hitunglah besar sudut antara garis DG dan AC.Penyelesaian
A B
CD
E FGH
Ξ±
(1) Garis AF adalah garis yang sejajar dengan garis DG dan memotong AC.
(2) β (π·πΊ, π΄πΆ) = β (π΄πΉ, π΄πΆ) = πΌKarena segitiga ACF segitiga sama sisi, maka Ξ± = 60Β°.
Jadi, sudut antara garis DG dan AC adalah 60Β°.
2. Sudut Antara Garis Dan Bidang
Proyeksi titik A pada bidang Ξ± adalah titik tembus garis yang tegak lurus dari titik A pada bidang Ξ±.
A
Aβ
Aβ = proyeksi A pada bidang Ξ±AAβ = jarak titik A terhadap bidang Ξ±Ξ± = bidang proyeksi
Proyeksi suatu garis pada bidang dapat berupa garis ataupun titik. Perhatikan gambar di bawah ini.
Materi SMA Matematika : Dimensi Tiga Page 7
Ξ±
B
C
P
Ξ± Pβ
Q
Qβ AΞ±
B
Bβ
(a) (c)(b)
Pada gambar (a) titik Pβ dan Qβ berturut-turut merupakan proyeksi titik P dan Q pada bidang Ξ±. Sehingga ruas garis PβQβ adalah proyeksi ruas garis PQ pada bidang Ξ±. Pada gambar (b) proyeksi titik A pada bidang Ξ± adalah A dan proyeksi titik B pada bidang Ξ± adalah Bβ, sehingga proyeksi ruas garis AB pada bidang Ξ± adalah ruas garis ABβ.Pada gambar (c), ruas garis BC tegak lurus bidang Ξ±. Proyeksi titik B pada bidang Ξ± adalah C dan proyeksi titik C pada bidang Ξ± adalah C. Sehingga, proyeksi ruas garis BC pada bidang Ξ± adalah titik C.
Sudut antara garis π dan bidang π£ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh garis π dan garis lain yang terletak pada bidang π£. Agar sudut antara garis π dan bidang π£ terkecil, maka garis lain tersebut merupakan proyeksi garis π pada bidang π£.
Proyeksi garis π pada bidang π£ adalah πβ. Dengan demikian, sudut antara garis π dan bidang π£ sama dengan sudut antara garis π dengan gβ. Ditulis, β (π, π£) = β (π, π')
v
g
gβ
Langkah-langkah melukis sudut antara garis π dan bidang π£ adalah :(1) Lukis garis πβ yang merupakan proyeksi garis π pada bidang π£.(2) β (π, π£) = β (π, π')
Contoh 13Diketahui kubus ABCD.EFGH. Hitunglah sudut antara garis BG dan bidang ABCD.
Penyelesaian(1) Garis BC merupakan proyeksi garis BG pada bidang
ABCD.(2) β (π΅πΊ, π΄π΅πΆπ·) = β (π΅πΊ, π΅πΆ)
Jadi, sudut antara garis BG dan bidang ABCD adalah 45Β°.
A B
CD
E FGH
Materi SMA Matematika : Dimensi Tiga Page 8
Contoh 14Diketahui kubus ABCD.EFGH. hitunglah sudut antara garis AH dan bidang BDHF.Penyelesaian(1) Garis TH adalah proyeksi garis AH pada bidang BDHF. (2) β (π΄π», π΅π·π»πΉ) = β (π΄π», ππ») = πΌ
Perhatikan segitiga ATH
sin πΌ =π΄ππ΄π» =
12π 2
π 2 =12
Ξ± = 30Β°
Jadi, sudut antara garis AH dan bidang BDHF adalah 30Β°. A B
CD
E FGH
TΞ±
Contoh 15Diketahui limas T.ABCD dengan bidang alas ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 12 cm, BC = 5 cm, dan TA = TB = TC = TD = 7 cm. Hitunglah .sin β (ππ΄, π΄π΅πΆπ·)Penyelesaian
T
D C
BA
O
12 cm
5 cm
7 cm
Ξ±
(1) Garis OA adalah proyeksi garis TA pada bidang ABCD.(2) β (ππ΄, π΄π΅πΆπ·) = β (ππ΄, ππ΄) = πΌ
π΄πΆ = π΄π΅2 + π΅πΆ2 = 122 + 52 = 144 + 25 cm= 169 = 13
π΄π =12π΄πΆ =
132 ππ
ππ = ππ΄2 β π΄π2 = 72 β (132 )2
= 49 β169
4
=274 =
32
3 ππ
sin πΌ =πππ΄π =
32
3
7 =3
143
Jadi, .sin β (ππ΄, π΄π΅πΆπ·) =3
14 3
3. Sudut Antara Dua Bidang
Melukis sudut dua bidang berarti melukis garis di masing-masing bidang yang memenuhi syarat tertentu.Langkah-langkah melukis sudut bidang π’ dan π£ :
uk
l
g
v
(1) Lukis garis π yang merupakan perpotongan bidang π’ dan π£.
(2) Lukis garis π di π’ dan π di π£ yang tegak lurus terhadap garis π.
(3) Akibatnya, β (π’, π£) = β (π, π)
Materi SMA Matematika : Dimensi Tiga Page 9
Contoh 16Diketahui kubus ABCD.EFGH. hitunglah besar sudut bidang ABGH dan ABCD.Penyelesaian(1) Garis AB merupakan perpotongan bidang ABGH dan
ABCD.(2) Garis BG pada ABGH dan garis CB pada bidang ABCD
tegak lurus terhadap AB.(3) β (π΄π΅πΊπ», π΄π΅πΆπ·) = β (π΅πΊ, πΆπ΅) = 45Β°
Jadi, sudut antara bidang ABGH dan ABCD adalah 45Β°.A B
CD
E FGH
Ξ±
Contoh 17Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika sudut bidang BDG dan ABCD adalah Ξ±, tentukan nilai tan Ξ±.Penyelesaian(1) Garis BD merupakan perpotongan bidang BDG dan
ABCD.(2) Garis GT pada BDG dan garis CT pada bidang ABCD tegak
lurus terhadap BD.(3) β (π΅π·πΊ, π΄π΅πΆπ·) = β (πΊπ, πΆπ) = πΌ
tan πΌ =πΊππΆπ =
π12π 2
=22 = 2
Jadi, nilai .tan πΌ = 2 A B
CD
E FGH
TΞ±
C. IRISAN BIDANG PADA BANGUN RUANG
Irisan antara bidang dengan bangun ruang adalah sebuah bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis potong antara bidang itu dengan bidang-bidang sisi dari bangun ruang yang bersangkutan, sedemikian sehingga irisan tersebut membagi bangun ruang menjadi dua bagian.
Sumbu afinitas adalah garis potong antara bidang irisan dengan bidang alas bangun ruang yang diirisnya. Sumbu afinitas terletak pada bidang irisan dan bidang alas.
Contoh 18Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik K pada rusuk AE sehingga panjang AK = 3 cm, titik L pada rusuk BF sehingga panjang BL = 1 cm. Bidang Ξ± melalui titik H, K, dan L. Gambarlah irisan antara bidang Ξ± dengan kubus ABCD.EFGH!Penyelesaian Garis HK, KL dan HK terletak pada bidang Ξ±. Garis HK dan KL menembus bidang alas ABCD di titik P dan Q. Garis PQ adalah sumbu afinitas.
Materi SMA Matematika : Dimensi Tiga Page 10
Garis CB memotong sumbu afinitas di titik R. Garis RL memotong CG di titik M, sehingga garis LM adalah garis potong bidang Ξ± dengan
bidang BCGF.
Garis HM merupakan garis potong bidang Ξ± dengan bidang sisi CDHG. Garis potong HK, KL, LM dan HM memebentuk segiempat HKLM. Segiempat HKLM adalah
irisan antara bidang Ξ± dengan kubus ABCD.EFGH.
Materi SMA Matematika : Dimensi Tiga Page 11
Contoh 19Diketahui limas T.ABCD. Titik P pada TA sehingga AP : PT = 2 : 1. Titik Q pada BT sehingga BQ : QT = 1 : 2. Titik R pada rusuk CT sehingga CR : RT = 1 : 4. lukislah irisan bidang yang melalui titik P, Q, dan R dengan limas. Penyelesaian Garis PQ, QR dan PR terletak pada bidang irisan. Garis PQ dan QR menembus bidang alas ABCD di titik M dan N. Garis MN adalah sumbu afinitas.
Garis CD memotong sumbu afinitas di titik O. Garis OR memotong TD di titik S, sehingga garis RS adalah garis potong bidang irisan dengan
bidang TCD.
Garis PS merupakan garis potong bidang irisan dengan bidang sisi TAD. Garis potong PQ, QR, RS, dan PS memebentuk segiempat PQRS. Segiempat PQRS adalah irisan
bidang yang melalui titik P, Q, dan R dengan limas.