A B

D C

E F

GH

DIMENSI TIGA

Diesi tiga

1. Kedudukan titik terhadap garis

2. Kedudukan titik terhadap bidang

3. Kedudukan dua garis

4. Kedudukan garis dan bidang

5. Kedudukan dua bidang

Menentukan kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga

Menentukan kedudukan jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga

Standar Kompetensi

a. Titik A terletak pada garis k

b. Titik A terletak di luar garis k

k

11

k

. A

. A

Kedudukan titik terhadap garis

22

a. Titik A terletak pada bidang v

b. Titik A terletak di luar bidang v

A .v

v

A .

Kedudukan titik terhadap bidang

33

Dua garis dikatakan :a. Berpotongan

Bila kedua garis mempunyai satu titik persekutuan dan terletak pada satu bidang

b. Berimpit Bila kedua garis mempunyai dua titik persekutuan, maka kedua garis itu mempunyai semua titik persekutuan

c. Sejajar Bila kedua garis terletak pada satu bidang, tetapi tidak mempunyai titik persekutuan

d. Bersilangan Bila melalui kedua garis tidak dapat dilukis satu bidang datar

v

k

h v

= kh

v

k

h v h

k

Kedudukan dua garis

44

Sebuah garis dikatakan :a. Terletak pada bidang :

Bila sebuah garis seluruhnya terletak pada bidang maka semua titik pada garis itu terletak pada bidang

b. Sejajar dengan bidang Bila sebuah garis dan sebuah bidang sama sekali tidak mempunyai titik persekutuan

c. Menembus bidang Bila sebuah garis dan sebuah bidang hanya mempunyai satu titik persekutuan

v

v

k

k’

Kedudukan garis terhadap bidang

v

55

Dua buah bidang dikatakan :a. Berimpit

Jika setiap titik yang terletak pada bidang w juga terletak pada bidang v

b. Sejajar Bila kedua bidang tidak mempunyai titik persekutuan

c. Berpotongan Bila kedua kedua bidang itu tepat memiliki garis persekutuan

v

w

v w

v

w

(v,w)

Kedudukan dua bidang

Diketahui kubus ABCD EFGH

Sebutkan rusuk-rusuk kubus yang :(i) berpotongan dengan rusuk AB(ii) berimpit dengan rusuk AB(iii) sejajar dg rusuk AB(iv)bersilangan dengan rusuk AB

a.

Sebutkan diagonal-diagonal sisi kubus yang :(i) berpotongan dengan rusuk EF(ii) Bersilangan dengan rusuk EF

b.

Sebutkan diagonal-diagonal ruang kubus yang :(i) berpotongan dengan rusuk AD(ii) Bersilangan dengan rusuk AD

c.

1.

Contoh Soal

A B

DC

E F

GH

Diketahui kubus ABCD EFGH

Sebutkan rusuk-rusuk kubus yang :(i) Terletak pada bidang EFGH(ii) Sejajar dengan bidang EFGH(iii)Memotong atau menembus bidang EFGH

a.

Sebutkan bidang-bidang sisi kubus yang :(i) Melalui diagonal sisi AF(ii) Sejajar dengan diagonal sisi AF(iii)Memotong diagonal sisi AF

b.

Sebutkan diagonal-diagonal kubus yang :(i) Terletak pada bidang ABCD(ii) Sejajar dengan bidang ABCD

c.

Sebutkan bidang-bidang diagonal yang :(i) memuat diagonal ruang AG(ii) Menembus atau memotong diagonal ruang AG

d.

2.

Contoh soal no 2

A B

DC

E F

GH

BAHAN AJAR KELAS XSEMESTER 2

Materi Pokok : Ruang Dimensi Tiga

Standar Kompetensi : Menggunakan sifat dan aturan geometri dalam menentukan kedudukan titik garis dan bidang, jarak, sudut dan volum

Kompetensi Dasar :Mengunakan abstraksi ruang untuk menggambar dan menghitung jarak dan sudut antara

Indikator :• menggambar dan menghitung jarak titik ke garis dan titik ke bidang• menggambar dan menghitung jarak dua garis bersilangan pada benda ruang• menggambar dan menghitung jarak dua bidang sejajar pada benda ruang• menggambar dan menghitung sudut antara dua bidang

1. Jarak antara Dua Titik

Jarak antara titik A dan B adalah panjang ruas garis AB

A .

. B

2. Jarak antara Titik dan Garis

Jarak antara titik P dan garis g adalah panjang ruas garis PA dengan A suatu titik pada g sedemikian sehingga PA tegak lurus g

. P g

A

JARAK

3.

Jarak antara titik P dan bidang u adalah panjang ruas garis PT dengan T suatu titik pada u sedemikian sehingga PT tegak lurus u

. P

u T

Contoh1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm Hitunglah :

a. jarak titik D dan Fb. jarak titik E dan garis BGc. Jarak titik F dan bidang BGE

Jarak antara Titik dan Bidang

cm 36 F ke DJarak a.

EP BG ke EJarak b.

A B

D C

E F

GH

P

1872

BPEBEP 22

54

63

) kubus ruang diagonaladalah DF (

Jawaban contoh soal

FQ BGE ke FJarak c.

A B

D C

E F

GH

PQ

lain Cara:sehingga FQPdengan sebangun EFP

FPFQ

EPEF

EPEF.FP

FQ

63

236FQ

32FQ

EPF segitiga luas Perhatikan

23 6 QF 63

6323 6

QF

L a n ju ta n

32QF

FPEFFQEP 21

21

Jarak antara garis g dan h yang sejajar adalah panjang ruas garis PQ dengan titik P pada g dan titik Q pada h sedemikian sehingga PQ tegak lurus g dan h

g

hP

Q

Contoh Soal

Diketahui kubus ABCD. EFGH yang panjang rusuknya 10 cm.Jika P adalah perpotongan AC dan BD, Q adalah perpotongan AG dan FH, maka tentukan :a. Jarak antara garis AB dan GHb. Jarak antara garis AQ dan PG

4. Jarak antara Dua Garis Sejajar

D

F

A B

C

E

GH

Jawab.

Q

P

R

210 BG HG dan

AB garis antaraJarak

a.

PQR Perhatikan

GQPQ QRPG 2510 QR65

65

2510QR

3

310QR

b. Jarak anatara gari AQ dan PG = QR

Contoh Soal

Jarak antara garis g dan bidang H yang sejajar adalah panjang ruas ga-ris PT dengan titik P pada garis g dan titik T pada bidang H sedemikian se-hingga PT tegak lurus garis g dan bidang H

g

v

P

T

6. Jarak antara Dua Bidang Sejajar

Jarak antara bidang u dan v yang sejajar adalah panjang ruas garis AB dengan titik A pada v dan titik B pada u sedemikian sehingga AB tegak lurus u dan v u

vA

B

g’

5. Jarak antara Garis dan Bidang yang Sejajar

Diketahui kubus ABCD. EFGH yang panjang rusuknya 6 cm.Jika P adalah perpotongan AC dan BD, Q adalah perpotongan AG dan FH, maka tentukan :a. Jarak antara garis AC dan bidang EFGHb. Jarak antara bidang AFH dan bidang BGDJawab

D

F

A B

C

E

GHP

Q

R

a. Jarak antara garis AC dan bi- dang EFGH = PQ = AE = 6

b. Jarak antara bidang AFH dan bidang BGD = QR

QRBPQPBQ

DQ63623

63623

DQ

32DQ

Contoh Soal

Jarak antara garis g dan h yang bersilangan adalah panjang ruas garis PQ dengan titik P pada g dan titik Q pada garis h sedemikian sehingga PQ tegak lurus g dan h h

gP

Q

Menggambar jarak dua garis bersilangan

a. Bersilangan sembarang/

tegak lurus

b. Hanya untuk bersilangan tegak lurusg

h

g’d

h

g

d

(u (u

garis g sejajar bidang u garis g tegak lurus bidang u

d

7. Jarak antara Dua Garis Bersilangan

D

F

A B

C

E

GH

Diketafui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.Hitunglah jarak antara garis AC dan DF.

P

DPR Perhatikan

PQDR PRDP

635

PQ

355.25

PQ

Contoh Soal

Q

R

Contoh: 1

D

F

A B

C

E

GH

Diketafui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.Hitunglah jarak antara garis AB dan DF.

P

QR DFdan garisnAB antaraJarak

BPQR

Contoh Soal

Q

R

BG21

21021

25

Contoh 2

A B

D C

E F

GH

Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 18 cm . Hitunglah jarak antara garis AC dan garis DF.

P

Q

Jawab.

R

DRDPQPDR

929QP39

39929

QP

63QP

DPR segitiga Perhatikan

Contoh Soal

1. Proyeksi titik pada bidangProyeksi titik P pada bidang u adalah titik P` dengan P` pada u dan PP` tegak lurus bidang u

.P

(uP`

Bidang u disebut bidang proyeksi

Garis PP` disebut garis proyektor

2. Proyeksi garis pada bidang

Proyeksi garis g pada bidang u adalah garis g`yang melalui titik A` dan B` dengan A` dan B` proyeksi titik A dan B yang terletak di garis g pada bidang u

g(u

AB

A`B`g`

u) A

B

B`g`

g

Proyeksi Titik & Garis pada Bidang

Pada balok ABCD.EFGH diketahui AB = 8 cm, BC = 6 cm dan CG = 6 cm. Tantukan panjang proyeksi

a. garis AG pada bidang ADHE

b. garris HF pada bidang ABCD

A B

CD

E F

GH

c. garris EG pada bidang ABGH

Jawab

a. Proyeksi AG pada bidang DCGH adalah AH

AH 2 = AD 2 + DH 2 = 6 2 + 6 2 = 72

AH = 6Ö2 cm

b. Proyeksi HF pada bidang ABCD adalah BD

BD 2 = AB 2 + AD 2 = 8 2 + 6 2 = 100

BD = 10 cm

c. Proyeksi EG pada bidang ABGH adalah GT

T

T G

E

GT 2 = GE 2 - ET 2 = 10 2 – (3Ö2) 2 = 82

GT = Ö 82 cm

Contoh

1. Pengertian sudut

Jika dua buah sinar a dan b yang bersekutu pangkalnya di titik A terletak pada sebuah bidang, maka kedua sinar itu mambentuk sebuah sudut q dan A disebut titik sudut

a

b

A

(U

q)

2. Sudut antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis g dan bidang K adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis g dengan proyeksinya pada bidang K. (g tidak tegaklurus atau tidak sejajar bidang K )

(K

g

T q

Sudut antara g dan bidang K ditulis Ð ( g , K ) = q (lihat gambar)

Sudut dalam Ruang

Sudut antara bidang u dan v yang berpotongan pada garis AB adalah Ð PQR yang salah satu kakinya (QP) terletak pada bidang u dan tegaklurus AB, dan kaki yang lain (QR) terletak pada bidang v dan juga tegaklurus AB u

v

A

B

P Q

R

q

ContohPada limas tegak T.ABCD diketahui alas ABCD persegi panjang, AB = 8 cm, BC = 6 cm dan panjang rusuk tegak = 13 cm

Hitunglah : a. tinggi limas

b. sin Ð (TA, ABCD)

c. sin Ð (TBC, ABCD)

d. cos Ð (TBC, TAD)

Pada gambar Ð (u , v) = Ð PQR = q

Ð (u , v) = Ð PQR disebut juga sudut tumpuan

Bidang u dan v disebut bidang tumpuan

3. Sudut antara Dua Bidang

Jawab

Jawaban contoh soal

T

G

A B

CD

EF

25169TG a.

12TG

1312

ABCDAT, sin b.

Contoh.Diketahui limas beraturan T.ABCD, rusuk alasnya dan rusuktegaknya = 4 cm.Tentukan sudut antara bidang TBC dan bidang TCD.Jawab.

A B

CD

T

P

Q

BQD

adalah TCDdan TBC bidang antaraSudut

32 QD BQ , 24BD

32.32.2321212

cos

Contoh soal

31

cos

A B

D C

E F

GH

P