Peubah Acak : Suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil

(wilayah fungsi).

Setiap kemungkinan nilai peubah acak menyatakan kejadian yang merupakan himpunan bagian ruang

contoh S bagi percobaannya. Ruang contoh itu sendiri ada ruang contoh diskret da nada ruang contoh

kontinu.

Ruang Contoh Diskret

Bila suatu ruang contoh mengandung jumlah titik contoh yang terhingga atau suatu barisan

unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacah.

Contoh: Jumlah dua mata dadu setimbang yang dilempar satu kali.

Ruang Contoh Kontinu

Bila suatu ruang contoh mengandung takhingga banyaknya titik contoh yang sama dengan

banyaknya titik pada sebuah ruas garis.

Contoh: Jarak yang ditempuh sebuah mobil yang diisi 5 L bensin.

NILAI HARAPAN

Nilai Harapan: Pemusatan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulang-ulang

sampai tak berhingga kali.

kontinu p.a X jika ,)(

diskret p.a X jika ),(

)(1

dxxfx

xpx

X

ii

n

i

ix

Sifat Nilai Harapan

1. Jika c konstanta maka E(c) = c

2. Jika p.a X dikalikan dengan konstanta c maka E(cX) = c E(x)

3. Jika X dan Y peubah acak maka E(X±Y) = E(X) ± E(Y)

RAGAM

Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:

V(X) = E(X-E(X))2

= E(X2) – [E(X)]2

Sifat Ragam

– Jika c konstanta maka V(c ) = 0

– Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c2 V(X)

– Jika X dan Y peubah acak maka,

V(XY) = V(X) + V(Y) Cov(X,Y)

keterangan: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0

Pertemuan Nama Mata Kuliah : Metode Statistika Semester : Ganjil

6 Kode Mata Kuliah : STK211 / 3(2-1) Asisten

1. Evita Sari

2. Rizky Ardinsyah

Kelas Paralel : FKH 3-B Tempat : RK FKH B1

Kamis, 17 Oktober 2013 Pengajar : Dr. Ir. Etih S., M.Si. Waktu : 09.00-11.30

Materi: Nilai Harapan, Ragam, dan Sebaran Peubah Acak.

SEBARAN PELUANG

Sebaran Peluang Diskret:

Sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak diskret

berikut peluangnya.

Beberapa sebaran peluang diskret, antara lain:

Bernoulli

– Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal

– Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal

– Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:

𝑃(𝑥, 𝑝) = 𝑝𝑥𝑞(1−𝑥) ; 𝑥 = 0,1

𝐸(𝑥) = p

𝑉(𝑥) = pq

Binomial

– Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas

– Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses, X=0,1,2,….,n

– Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat dituliskan sebagai:

𝑃(𝑥, 𝑛, 𝑝) = (𝑛

𝑥) 𝑝𝑥𝑞(𝑛−𝑥) ; x = 0,1,2, … , n

dimana (𝑛𝑥

) = 𝑛!

𝑥!(𝑛−𝑥)!

𝐸(𝑥) = np

𝑉(𝑥) = npq

Poisson

– Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah

tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu

atau daerah lain yang terpisah.

– Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau

dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau

besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi

diluar selang waktu atau daerah tersebut

– Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat

tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat diabaikan.

– Fungsi peluang dari Kejadian Poisson dituliskan sebagai berikut :

𝑃(𝑥, 𝜆) = 𝑒−𝜆𝜆𝑥

𝑥! ; 𝑥 = 0,1,2, …

dimana e = 2.71828 ...

𝐸(𝑥) = 𝜆

𝑉(𝑥) = 𝜆

Sebaran Peluang Kontinu:

Jika pada Sebaran Peluang Diskret, nilai pada titik, ada nilainya, sementara Sebaran Peluang Kontinu

data tidak pada titiknya tidak ada nilainya. Jadi meskipun sebaran peluang bagi peubah acak kontinu

tidak dapat disajikan dalam tabel, tetapi sebaran ini dapat dinyatakan dalam bentuk rumus. Rumus itu

merupakan fungsi nilai-nilai peubah acak kontinu X, sehingga dapat digambarkan sebagai suatu kurva

kontinu.

Fungsi Kepekatan Peluang : Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinu

X bila luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu-x sama dengan 1, dan bila luas

daerah di bawah kurva antara x = a dan x = b menyatakan peluang X terletak antara a dan

b.

Beberapa sebaran yang tergolong dalam sebaran peubah acak kontinu antara lain:

Normal

Merupakan sebaran peluang kontinu yang paling penting dalam bidang Statistika. Kurva sebaran

normal berbentuk seperti genta/lonceng.

Persamaan:

fx(x;𝜇, 𝜎) =1

𝜎√2𝜋𝑒−(

𝑥−𝜇

𝜎)

2

; untuk -∞ < x < ∞

Untuk sebaran normal baku, merupakan sebaran peubah acak normal dengan nilaitengah nol

dan simpangan baku 1. Bila X berada di antara x=x1 dan x=x2, maka peubah acak Z akan berada

di antara nilai-nilai padanannya.

𝑧1 =𝑥1 − 𝜇

𝜎 𝑑𝑎𝑛 𝑧2 =

𝑥2 − 𝜇

𝜎

Ini merupakan bentuk transformasi dari sebaran asal, sehingga untuk P(x1<X<x2) akan menjadi

P(z1<Z<z2).

CONTOH

Untuk sebaran normal dengan 𝜇 = 300 dan 𝜎=50, hitunglah peluang bahwa peubah acak X

mengambil suatu nilai yang lebih besar dari 362.

Jawab:

Ditanyakan: P(X>362)

Transformasi terlebih dahulu

𝑧 =362 − 300

50= 1.24

Dengan demikian:

𝑃(𝑋 > 362) = 𝑃(𝑍 > 1.24)

= 1 − 𝑃(𝑍 < 1.24)

= 1-0.8925

= o.1075

Selain sebaran normal, terdapat juga sebaran kontinu lainnya, yaitu Seraman, Weibull, Gamma, Beta, dan

Eksponensial. Namun tidak semuanya akan dijelaskan dalam materi ini.

***