Modul 4 Tempat Kedudukan Akar
-
Upload
izdyad-fathin -
Category
Documents
-
view
340 -
download
3
description
Transcript of Modul 4 Tempat Kedudukan Akar
![Page 1: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/1.jpg)
TEMPAT KEDUDUKAN AKAR (TKA)Tujuan Instruksional Umum (TIU)
Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat :1. Menentukan tempat kedudukan akar dari sebuah sistem kendali.
2. Melakukan analisis dengan menggunakan methoda TKA
Tujuan Instruksional Khusus (TIK)
Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat 1. Mengtahui cara menggambar TKA baik secara manual maupun dengan program/sofware
2. Menentukan batas akhir gain yang diperkenankan agar sistem tetap dalam keadaan stabil.
3. Membaca gambar TKA untuk memperoleh informasi tentang performasi sistem
![Page 2: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/2.jpg)
PendahuluanKarakteristik dasar respon transien suatu sistem lup
tertutup ditentukan oleh lup-lup tertutup.Teknik klasik dgn penguraian polinomial atas
faktor2nya sulit dilakukan (terutama u/ n>3)Solusi Methoda tempat kedudukan akar (MTKA). MTKA adalah : suatu methoda grafis sederhana untuk
menentukan akar-akar dengan menggambar pada bidang kompleks semua harga parameter sistem (penguatan, K untuk harga K dari 0 s/d tak hingga)
![Page 3: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/3.jpg)
MTKAIde dasar harga s yang membuat fungsi alih
lup terbuka = -1 harus memenuhi persamaan karakteriktik sistem
MTKA berguna krn dapat menunjukkan cara memodifukasi pole dan zero lup terbuka sehingga respon memenuhi spesifikasi performasi sistem
![Page 4: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/4.jpg)
Variasi pole-pole sistem lup tertutup (1)
Fungsi alih lup tertutup :
Persamaan karakteristik 1 + K.G(s)H(s) = 0atau G(s)H(s) = -1
)(/)(.1
)(
)(
)(
sAsBK
sG
sR
sC
![Page 5: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/5.jpg)
Variasi pole-pole sistem lup tertutup (2)Fungsi alih lup terbuka G(s)H(s) bisa dinyatakan dgn :
dimana B(s) dan A(s) polinom variabel kompleks
m <= n dan K = faktor gain / penguatan
maka fungsi alih lup tertutupnya menjadi :
atau persamaan cirinya :
A(s)+KB(s) = 0
)(
)(
....
....()()(
11
10
11
10
sA
sB
asasasa
bsbsbsbKsHsG
nnnn
mmmm
)(.)(
)().(
)(/)(.1
)(
)(
)(
sBKsA
sAsG
sAsBK
sG
sR
sC
![Page 6: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/6.jpg)
Variasi pole-pole sistem lup tertutup (3)
TKA pada bidang s, berubah sesuai dgn perubahan K (faktor penguatan lup terbuka)
Akar-akar digambarkan sebagai fungsi K disebut TEMPAT KEDUDUKAN AKAR (TKA)
Untuk K = 0, akar-akar merupakan akar-akar A(s) yang sama dengan pole-pole fungsi alih lup terbuka G(s)H(s)
Untuk K yang sangat besar, akar-akar merupakan akar-akar B(s) yakni zero-zero lup terbuka
![Page 7: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/7.jpg)
Langkah-langkah menggambar
TKA
![Page 8: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/8.jpg)
1. Menentukan Banyaknya TKA
Banyaknya TKA sama dengan banyaknya kutub(pole) lup terbuka G(s)H(s)
Contoh :
Fungsi alih lup terbuka adalah
Sistem mempunyai tiga kutub
Jadi ada 3 TKA yang terpisah dalam gambar
)4(
)2()()(
2
ss
sKsHsG
![Page 9: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/9.jpg)
2. Menentukan tempat pada sumbu nyata
Bagian-bagian TKA yang ada di sumbu nyata bidang s ditentukan dengan menghitung jumlah total pole dan zero berhingga dari G(s)H(s) disebelah kanan titik yang dipertanyakan
Untuk K > 0 :
Titik-titik TKA terletak disebelah kiri jumlah GANJIL dari banyaknya kutub dan nol
Untuk K < 0
Titik-titik TKA terletak disebelah kiri jumlah GENAP dari banyaknya kutub dan nol
![Page 10: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/10.jpg)
3. Menentukan ASIMTOTPusat asimtot ( σc) diberikan oleh :
dimana : pi = kutub2, zi = zero2, n= jmlh pole, m = jmlh zero
Sudut asimtot :
Untuk k = 0, 1, 2, …… n – m - 1, menghasilkan banyaknya asimtot = n - m
mn
zp i
m
ii
n
ic
)()(11
0 Kuntuk ,180)2(
0Kuntuk ,180)12(
mn
kmn
k
![Page 11: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/11.jpg)
Contoh :Sebuah sistem mempunyai fungsi alih lup
terbuka :
maka ,
σc = - (4-2)/2= -1
n - m = 3-1 = 2
ϐ = 90° dan 270° untuk K > 0
)4(
)2()()(
2
ss
sKsHsG
![Page 12: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/13.jpg)
4. Menentukan titik pisahTitik pisah adalah sebuah titik pada sumbu
nyata dimana dua cabang atau lebih TKA keluar dari sumbu nyata atau tiba disumbu nyata
Titik pisah σb ditentukan sbb :)(
1
)(
111
ib
m
iib
n
i zp
![Page 14: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/14.jpg)
ContohTentukan titik pisah dari
Jawab :
)2)(1()()(
sss
KsHsG
577.1,423.0
0263
0)1()2()2)(1(
0)2(
1
)1(
1
)0(
1
0)(
1
2
1
b
bb
bbbbbb
bbb
ib
n
i p
![Page 15: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/15.jpg)
Untuk K > 0 ada cabang-cabang TKA antara 0 dan -1 dan antara - dan -2. Karena itu akar di -0.423 merupakan titik pisah = 1,577 adalah titimpisah untuk K < 0
![Page 16: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/16.jpg)
5. Menentukan sudut keluar dan sudut masuk
# SUDUT KELUARSudut keluar suatu TKA dari sebuah pole kompleks adalah :
dimana : sudut phase dari G(s)H(s) yang
dihitung dari pole kompleks tersebut.
)'()(180 sHsG
)'()( sHsG
![Page 17: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh :Selidiki sebuah sistem yang mempunyai fugsi alih lup
terbuka :
Sudut G(s)H(s) untuk s = -1+j1 dengan mengabaikan sumbangan pole di s = -1 + j tersebut adalah -45. maka sudut keluarnya adalah :
0,)1)(1(
)2()()(
KJsjs
sKsHsG
135)45(180
![Page 18: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/18.jpg)
# SUDUT MASUK
Sudut masuk u/ TKA ke sebuah zero kompleks adalah :
dimana
adalah sudut phase dari G(s)H(s) yang dihitung di zero kompleks tsb dengan mengabaikan efek dari nol itu
')'()(180 sHsGA
')'()( sHsG
![Page 19: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh :Selidiki fungsi alih lup terbuka :
Sudut masuk untuk TKA ke zero kompleks di s = j adalah :
0,)1)(1(
)2()()(
KJsjs
sKsHsG
225)45(180A
![Page 20: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/20.jpg)
a). Sudut keluar b). Sudut masuk
![Page 21: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/21.jpg)
Prosedur umum tempat kedudukan akar (TKA) Tentukan persamaan karakteristikTentukan titik awal dan titik akhir dari TKA dan
tentukan juga banyaknya cabang TKA.Tentukan bagian-bagian TKA pada sumbu nyata.Hitung pusat dan sudut-sudut asimtot dan gambar
asimtot pada gambar TKATentukan titik ‘luncur’ dan ‘mulai’Tentukan sudut keluar dan sudut masuk di pole-pole
kompleks dan zero kompleks (jika ada) dan berikan tandanya)
Tentukan titk potong TKA dengan sumbu imajinerBuat sketsa dari cabang-cabang TKA sedemikian hingga
TKA tsb berakhir di sebuah zero atau mendekati tak hingga disepanjang salah satu asimtot tsb.
![Page 22: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/22.jpg)
#Contoh :
Tentukan TKA untuk semua harga K dari sistem lup tertutup yang mempunyai fungsi alih lup terbuka sbb :
)4)(2()()(
sss
KsHsG
![Page 23: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/23.jpg)
Penyelesaian# Dari penyebut fungsi alih dapat diketahui kutub-kutub
pada titik 0, -2 dan -4# Untuk K > 0, TKA terletak diantara 0 dan -2 dan
diantara -4 dan – tak hingga pada sumbu nyata# Pusat asimtot = -(2+4)/3 = -2, banyaknya asimtot n-m
= 3, Sudut asimtot = 60, 180, 300.# Karena dua cabang TKA datang bersama-sama di
sumbu nyata antara 0 dan -2, ada sebuah titik pisah diantara 0 dan -2.
![Page 24: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/24.jpg)
Jadi TKA dapat dilukiskan dengan memperkirakan titik pisah dan melanjutkan cabang-cabang ke asimtotnya.
# Titik pisah,
155.3,845.0
08123
0)2(
1
)1(
1
)0(
1
0)(
1
2
1
dan
p
b
bb
bbb
ib
n
i
![Page 25: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/25.jpg)
# TKA untuk K > 0
![Page 26: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/26.jpg)
# TKA K < 0 disusun dengan cara yang hampir sama, dimana bagian-bagian sumbu nyata antara 0 dan tak hingga dan antara -2 dan -4.
# Titik pisah di - 3,155
# Sudut asismtot 0, 120 dan 240
![Page 27: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/27.jpg)
# TKA untuk K < 0
![Page 28: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/28.jpg)
PENEMPATAN AKAR r
eK )(sH
u y
Kutub dari sistem kalang tertutup adalah nilai dari s yaitu 1 + KH(s) = 0.H(s) = b(s)/a(s), maka persamaan ini mempunyai bentuk:a(s) + Kb(s) = 0(a(s)/K) + b(s) = 0
Aturan menggambar penempatan akar
Evans (setelah Walter R. Evans memperkenalkannya untuk pertama kali pada tahun 1948),
![Page 29: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/29.jpg)
MENGGAMBAR DIAGRAM PENEMPATAN AKAR DENGAN MATLAB
)20)(15)(5(
7
)(
)()(
ssss
s
sU
sYsH
num=[1 7];den=conv(conv([1 0],[1 5]),conv([1 15],[1 20]));rlocus(num,den)axis([-22 3 -15 15]) grid on zeta=0.7;Wn=1.8;sgrid(zeta, Wn)
-20 -15 -10 -5 0-15
-10
-5
0
5
10
15
Real Axis
Imag
Axi
s
-20 -15 -10 -5 0-15
-10
-5
0
5
10
15
Real Axis
Imag
Axi
sletak kutub agar sistemsesuai dengan kriteriayang diinginkan
![Page 30: Modul 4 Tempat Kedudukan Akar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061504/55cf9d3b550346d033acc977/html5/thumbnails/30.jpg)
SOAL Latihan
1 H(s) ,)52)(22(
)(22
ssss
KsG
Dengan bantuan software Matlab, gambarkan tempat kedudukan akar untuk sistem dengan
1 H(s) ,)102(
)106()(
2
2
ss
ssKsG
1 H(s) ,)106.0)(5.0(
)(2
ssss
KsG