MODUL 4

Beberapa Teknik untuk Menganalisis Rangkaian (Bagian ke-1)

1. Pendahuluan

Salah satu tujuan utama dari bab ini menggunakan metode untuk

menyederhanakan analisis dari rangkaian-rangkaian yang lebih sukar. Di antara

metode-metode ini adalah superposisi, analisis simpul, loop dan mesh. Kita akan

mencoba juga mengembangkan kemampuan untuk memilih metode-metode analisis

yang lebih cocok dan mudah. Sering kita hanya berminat di dalam hasil pekerjaan

terinci dari bagian terpisah auatu rangkaian kompleks; jika diinginkan metode untuk

mengganti sisa dari rangkaian tersebut dengan ekivalen yang sangat

disederhanakan. Ekivalen tersebut merupakan sebuah tahanan yang paralel atau

seri dengan sebuah sumber ideal. Teorema Thevenin dan teorema Norton akan

memungkinkan kita melakukan hal ini.

2. Analisis Simpul (Nodal Analysis)

Di dalam bab terdahulu kita meninjau analisis sederhana yang hanya

mengandung dua simpul. Kemudian telah kita dapatkan bahwa langkah utama dari

analisis diselenggarakan sewaktu kita mendapatkan sebuah persamaan tunggal di

dalam sebuah kuantitas yang tak diketahui, yakni tegangan di antara pasangan

simpul. Kita sekarang akan membiarkan banyaknya simpul bertambah, dan

berpadanan dengan itu terdapat satu kuantitas tambahan yang tak diketahui serta

satu persamaan tambahan bagi tiap simpul yang ditambahkan. Jadi, sebuah

rangkaian bersimpul tiga seharusnya mempunyai dua tegangan yang tak diketahui

dan dua persamaan; sebuah rangkaian bersimpul sepuluh akan mempunyai

sembilan tegangan yang tak diketahui dan sembilan persamaan; dan sebuah

rangkaian bersimpul N akan memerlukan (N – 1) tegangan dan (N – 1 ) persamaan.

Sebagai contoh, kita tinjau rangkaian bersimpul tiga pada Gambar 1a. Kita

dapat menegaskan tempat-tempat ketiga simpul tersebut dengan menggambarkan

kembali rangkaian, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 1b, dimana setiap

simpul diidentifikasikan dengan sebuah bilangan. Kita kaitkan sekarang, sebuah

tegangan dengan setiap simpul, tetapi harus diingat bahwa sebuah tegangan harus

didefinisikan di antara dua simpul di dalam sebuah jaringan. Jadi kita pilih sebuah

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK 1

simpul sebagai simpul referensi, dan kemudian mendefinisikan sebuah tegangan di

antara setiap simpul lain dan simpul referensi. Kita lihat bahwa akan ada hanya (N –

1) tegangan yang didefinisikan di dalam sebuah rangkaian bersimpul N.

Gambar 1: (a) Sebuah rangkaian bersimpul tiga yang diketahui. (b)

Rangkaian tersebut digambarkan kembali untuk menegaskan ketiga

simpul, dan setiap simpul dinomori. (c) Sebuah tegangan referensi

kekutuban, ditetapkan diantara setiap simpul dan simpul referensi. (d)

Penunjukan tegangan disederhanakan dengan mengeliminasi

referensi kekutuban; di sini diartikan bahwa setiap tegangan

diarahkan positif relatif terhadap simpul referensi.

Kita pilih simpul 3 sebagai simpul referensi. Salah satu di antara simpul lain

dapat juga dipilih, tetapi akan didapat sedikit penyederhanaan dalam persamaan-

persamaan yang dihasilkan, jika simpul yang paling banyak dihubungkan dengan

cabang, diidentifikasi sebagai simpul referensi. Di dalam beberapa rangkaian praktis

mungkin banyak sekali elemen yang dihubungkan kepada sebuah kotak logam atau

casis pada mana rangkaian tersebut dibuat; casis tersebut seringkali dihubungkan

melalui sebuah konduktor yang baik ke bumi. Jadi kotak logam itu dapat disebut

“bumi”, dan disimpul bumi ini menjadi simpul referensi yang sangat memudahkan.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK 2

5 Ω

1 Ω2 Ω3 A -2 A1 Ω2 Ω

3 A-2 A

5 Ω1

3

2

+

3 A-2 A

0,2 mho 21

v2v1

0,5 mho 1 mho

+

- -

Simpul acuan

3 A-2 A

0,2 mhov1

0,5 mho 1 mho

Acuan

v2

(c)

(b)

(d)

(a)

Lebih sering dari itu, simpul referensi tersebut timbul sebagai penyambung bersama

melalui alas sebuah diagram rangkaian.

Tegangan simpul 1 relatif terhadap simpul referensi 2 didefinisikan sebagai

v1, dan v2 didefiniskan sebagai tegangan simpul 2 terhadap simpul referensi. Kedua

tegangan ini sudah cukup, dan tegangan di antara setiap pasangan simpul lain dapat

dicari di dalam kedua tegangan tersebut. Misalnya, tegangan simpul 1 terhadap

simpul 2 adalah (v1-v2). Tegangan-tegangan v1 dan v2 dan tanda-tanda referensinya

diperlihatkan dalam Gambar 1c. Dalam gambar ini harga-harga tahanan telah pula

diganti dengan harga-harga konduktansi.

Diagram rangkaian tersebut akhirnya disederhanakan dalam Gambar 1d

dengan melenyapkan semua simbol referensi tegangan. Sebuah simpul referensi

ditandai dengan jelas, dan tegangan yang ditempatkan pada setiap seimpul lainnya

dimengerti sebagai tegangan dari simpul tersebut terhadap simpul referensi.

Kita sekarang harus menggunakan hukum arus Kirchoff terhadap simpul 1

dan simpul 2. Hal ini kita lakukan dengan menyamakan arus total yang

meninggalkan simpul melalui beberapa konduktansi dengan arus sumber total yang

memasuki simpul, jadi

atau

Pada simpul dua kita dapatkan

Persamaan-persamaan diatas adalah persamaan dalam dua besaran yang

tak diketahui, yang diinginkan, dan persamaan-persamaan tersebut dapat

dipecahkan dengan mudah. Hasilnya adalah :

v1 = 5 V

v2 = 2,5 V

Juga, tegangan pada simpul 1 relatif terhadap simpul 2 adalah (v1-v2), atau 2,5 V,

dan setiap arus atau daya di dalam rangkaian sekarang dapat dicari dalam satu

langkah. Misalnya, arus yang diarahkan ke bawah melalui konduktansi 0,5 adalah

0,5v1, atau 2,5 A.

Kita masih harus melihat bagaimana sumber-sumber tegangan dan sumber-

sumber tak bebas mempengaruhi analisis simpul. Kita selidiki sekarang konsekuensi

dari diikutsertakannya sebuah sumber tegangan.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK 3

Sebagai contoh khusus, tinjualah rangkaian yang diperlihatkan dalam

Gambar 2. Kita masih menetapkan tegangan di antara simpul dan referensi yang

sama, v1, v2, dan v3. Pada bab-bab sebelumnya langkah berikut adalah pemakaian

hukum arus Kirchoff pada masing-masing dari ketiga simpul yang bukan simpul

referensi. Jika kita mencoba mengerjakan ini sekali lagi, kita lihat bahwa kita akan

mengalami kesukaran pada simpul 2 dan simpul 3, karena kita tidak mengetahui

berapa arus di dalam cabang dengan sumber tegangan. Tidak ada cara yang dapat

digunakan untuk menyatakan arus sebagai fungsi tegangan, karena definisi sebuah

sumber tegangan adalah justru bahwa tegangan tak tergantung pada arus.

Ada dua jalan keluar dari kesukaran-kesukaran ini. Metode yang lebih sukar

ialah menetapkan sebuah arus yang tak diketahui pada cabang dengan sumber

tegangan, diteruskan dengan menggunakan hukum arus Kirchoff tiga kali, dan

kemudian menggunakan hukum tegangan Kirchoff sekali di antara simpul 2 dan 3,

hasilnya adalah empat persamaan dengan empat yang tak diketahui untuk contoh

ini.

Metode yang lebih mudah adalah untuk menyepakati bahwa kita terutama

berminat dalam tegangan simpul, sehingga kita dapat menghindarkan arus pada

cabang sumber tegangan yang menyebabkan kesukaran kita. Hal ini dilakukan

dengan memperlakukan simpul 2, simpul 3 dan sumber tegangan bersama-sama

seperti semacam simpul-super dan dengan memakaikan hukum arus Kirchoff

kepada kedua simpul pada waktu bersamaan. Tentu hal ini mungkin, karena jika

arus total yang meninggalkan simpul 2 adalah nol dan arus total yang meninggalkan

simpul 3 adalah nol, maka arus yang meninggalkan keseluruhan kedua simpul

adalah nol.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK 4

Gambar 2: Hukum arus Kirchoff digunakan pada simpul-super yang

dicakup oleh garis putus-putus, dan tegangan sumber diambil sama

dengan v3 – v2.

Simpul super ditunjukkan oleh daerah lebih gelap yang dibatasi oleh garis

putus-putus pada Gambar 2, dan kita buat jumlah keenam arus yang meninggalkan

simpul super sama dengan nol. Dimulai dengan cabang konduktansi 3 mho dan

bekerja menurut arah jarum jam, didapat

Persamaan hukum arus Kirchoff pada simpul 1 didapat

Kita memerlukan satu persamaan tambahan karena kita mempunyai tiga besaran

yang tidak diketahui, dan persamaan tersebut harus menggunakan kenyataan bahwa

sebenarnya terdapat sebuah sumber 22-V di antara simpul 2 dan 3,

Dengan menuliskan kembali ketiga persamaan yang terakhir ini,

maka penyelesaian determinan untuk v1 adalah

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK 5

-8 A

-3 A

-25 A

1mho

22 V

5 mho

3 mho

v2v1 v3

4 mho

Acuan

- +

V

Perhatikan tidak adanya simetri terhadap diagonal utama dalam determinan

penyebut seperti halnya dengan kenyataan bahwa tidak semua elemen di luar

diagonal yang negatif. Ini adalah hasil dari terdapatnya sumber tegangan. Perhatikan

juga bahwa tidak ada artinya untuk menamai determinan penyebut sebagai

determinan matriks konduktansi, karena baris bawah berasal dari persamaan –v2 +

v3 = 22, dan persamaan ini tidak tergantung pada konduktansi.

Jadi, kehadiran sumber tegangan memperkecil sebesar satu jumlah simpul

bukan acuan di mana kita harus menerapkan KCL, tanpa perduli apakah sumber

tegangan menjangkau antara dua simpul bukan acuan atau dihubungkan di antara

sebuah simpul dan acuan.

Kita simpulkan metode yang dipakai untuk mendapatkan seperangkat

persamaan simpul untuk setiap rangkaian penahan :

1. Buatlah sebuah diagram rangkaian yang bersih dan sederhana. Tunjukkan

semua harga elemen dan harga sumber. Setiap sumber harus mempunyai

simbol referensinya.

2. Angaplah bahwa rangkaian mempunyai N simpul, pilih satu diantara simpul

sebagai simpul refrensi. Kemudian tuliskan tegangan simpul v1, v2, … , vN-1 pada

simpul yang bersangkutan, dengan mengingat bahwa setiap tegangan simpul

diukur terhadap referensi yang dipilih.

3. Jika rangkaian hanya mengandung sumber arus, gunakanlah hukum arus

Kirchoff pada setiap simpul nonreferensi. Untuk mendapatkan matriks

konduktansi jika sebuah rangkaian hanya mempunyai sumber arus bebas,

samakan arus total yang meninggalkan setiap simpul melalui semua konduktansi

dengan arus sumber total yang memasuki simpul tersebut, dan buatlah urutan

suku-suku dari v1 ke vN-1. Untuk setiap sumber arus tak bebas yang ada,

nyatakan arus sumber dan kuantitas pengontrol dalam variabel-variabel v1, v2,

……. , vN-1, jika mereka belum berada dalam bentuk tersebut.

4. Jika rangkaian tersebut mengandung sumber tegangan, bentuklah suatu simpul

super sekitar masing-masing sumber dengan mengelilingi sumber dan kedua

terminalnya dengan garis putus-putus, yang berarti mereduksi banyaknya simpul

dengan satu simpul untuk setiap sumber tegangan yang ada. Tegangan-

tegangan simpul yang diterapkan tersebut seharusnya tak berubah. Dengan

menggunakan tegangan simpul ke-referensi yang ditetapkan ini, pakailah hukum

arus Kirchoff pada setiap simpul atau simpul super (yang tidak berisi simpul

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK 6

referensi) di dalam rangkaian yang diubah ini. Nyatakan setiap tegangan sumber

dalam variabel-variabel v1, v2, ……, vN-1, jika belum berada dalam bentuk

tersebut.

Soal Contoh

1 Gunakan analisis simpul untuk mencari υx di dalam rangkaian yang diperlihatkan

pada Gambar 3 jika elemen A adalah: (a) sebuah sumber arus 2 A, dengan

panah menuju ke kanan; (b) sebuah tahanan 8 Ω; (c) sebuah sumber arus 10 V,

dengan referensi positif sebelah kanan.

Gambar 3: Lihat Contoh Soal 1.

Jawab

(a) Jika elemen A adalah sebuah sumber arus 2 A,

Gambar 4a: Gambar 3 dengan mengganti elemen A

dengan sebuah sumber arus 2 A.

Dengan mempergunakan KCL pada simpul υ1,

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK 7

A

+

_

υx6 Ω 4 Ω 2 Ω17 A9 A

+

_

υx6 Ω 4 Ω 2 Ω17 A9 A

υ1 υ2

Acuan

(b) Jika elemen A adalah sebuah tahanan 8 Ω

Gambar 4b: Gambar 3 dengan mengganti elemen A

dengan sebuah tahanan 8 Ω.

Dengan mempergunakan KCL pada simpul υ1,

Dengan mempergunakan KCL pada simpul υ2,

Untuk mendapatkan variabel υ1, kita dapat mempergunakan metode

eliminasi pada persamaan i dan ii,

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK 8

+

_

υx6 Ω 4 Ω 2 Ω17 A9 A

υ1 υ2

Acuan

8 Ω

(c) Jika elemen A adalah sebuah sumber tegangan 10 V

Gambar 4c: Gambar 3 dengan mengganti elemen A

Dengan sebuah sumber tegangan 10 V

Dengan mempergunakan KCL pada simpul super υ1 dan υ2,

Kemudian kita lihat sifat sumber tegangan 10 V, yaitu

Untuk mendapatkan nilai υ1, kita bisa mensubstitusikan persamaan ii

ke persamaan i,

Soal Latihan

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK 9

+

_

υx6 Ω 4 Ω 2 Ω17 A9 A

υ1 υ2

Acuan

10 V

− +

1. Buatlah analisis rangkaian pada Gambar 5 dengan menggunakan tegagnan

simpul dan tentukan daya yang diberikan oleh sumber 6 A.

Gambar 5: Lihat Latihan Soal 1.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK 10

− +

20 V

2 A4 A 6 A

30 Ω6 Ω

9 Ω15 Ω3 Ω