Modul 2 Dinamika Relativistik
11
Catatan Kuliah Fisika Modern Oleh: Annisa Aprilia| Dinamika Relativistik MODUL 2. DINAMIKA RELATIVISTIK PENDAHULUAN Kilas balik pada pembahasan sebelumnya mengenai transformasi Lorenzt, maka sudah diketahui bahwa besaran panjang dan selang waktu bersifat tidak invariant (varian~berubah) terhadap transformasi lorezt. Hal tersebut merupakan dampak ataupun konsekuensi dari dari postulat Eisntein mengenai Teori Relativitas Khusus. Pada mekanika klasik, beberapa hukum kekekalan yaitu hukum kekekalan momentum sudut dan linear, serta hukum kekekalan energi mekanik, secara tersirat memperlihatkan bahwa alam semesta ini bersifat homogen dan isotropik (tersusun secara rapih). Tetapi bila hukum-hukum mekanika klasik diterapkan pada kerangka inersial berkecepatan tetap, maka hukum kekekalan menjadi tidak berlaku. Maka dari itu dibutuhkan pendefinisian kembali mengenai besaran- besaran dinamika klasik [Kenneth Krane]. DINAMIKA RELATIVISTIK Definisi Æ Hukum-hukum mekanika dalam suatu kerangka inersial yang memenuhi transformasi Lorenzt. Pertanyaan?? “Apakah hukum-hukum mekanika Newton tetap berlaku bagi kerangka inersial tersebut? Dan bila tidak bagaimanakah hukum-hukum mekanika yang berlaku untuk kerangka demikian?” “Hukum kekekalan memperlihatkan bahwa adanya sifat invariant (tidak berubah) suatu besaran fisika terhadap translasi dan rotasi ruang waktu. Sehingga hukum-hukum ini tetap dibutuhkan dalam teori relativistik, lalu bagaimanakah agar berlaku secara relativistik?” Intermezo: Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa pada v <<< c, transformasi Lorenzt sama dengan transformasi Galileo. Sehingga untuk objek yang bergerak dengan kecepatan jauh di bawah c (kecepatan cahaya) maka mekanika Newton berlaku, lalu bagaimanakah dengan kecepatan partikel yang mendekati kecepatan cahaya? Apakah ada dan memang bisa dibuktikan secara matematis?
-
Upload
siti-nur-khayati -
Category
Documents
-
view
224 -
download
61
description
Materi Kuliah Fisika Modern
Transcript of Modul 2 Dinamika Relativistik
-
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia| Dinamika Relativistik
MODUL 2. DINAMIKA RELATIVISTIK
PENDAHULUANKilas balik pada pembahasan sebelumnya mengenai transformasi Lorenzt, maka sudahdiketahui bahwa besaran panjang dan selang waktu bersifat tidak invariant(varian~berubah) terhadap transformasi lorezt. Hal tersebut merupakan dampak ataupunkonsekuensi dari dari postulat Eisntein mengenai Teori Relativitas Khusus. Pada mekanikaklasik, beberapa hukum kekekalan yaitu hukum kekekalan momentum sudut dan linear, sertahukum kekekalan energi mekanik, secara tersirat memperlihatkan bahwa alam semesta inibersifat homogen dan isotropik (tersusun secara rapih). Tetapi bila hukum-hukum mekanikaklasik diterapkan pada kerangka inersial berkecepatan tetap, maka hukum kekekalanmenjadi tidak berlaku. Maka dari itu dibutuhkan pendefinisian kembali mengenai besaran-besaran dinamika klasik [Kenneth Krane].
DINAMIKA RELATIVISTIKDefinisi? Hukum-hukum mekanika dalam suatu kerangka inersial yang memenuhitransformasi Lorenzt.Pertanyaan?? Apakah hukum-hukum mekanika Newton tetap berlaku bagi kerangka inersial tersebut?Dan bila tidak bagaimanakah hukum-hukum mekanika yang berlaku untuk kerangkademikian?
Hukum kekekalan memperlihatkan bahwa adanya sifat invariant (tidak berubah) suatubesaran fisika terhadap translasi dan rotasi ruang waktu. Sehingga hukum-hukum initetap dibutuhkan dalam teori relativistik, lalu bagaimanakah agar berlaku secararelativistik?
Intermezo: Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa pada v
-
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia| Dinamika Relativistik
HUKUM KEKEKALAN MOMENTUMApakah hukum kekekalan momentum berlaku pada transformasi Lorenzt? Mari kitabuktikan!Tinjau 2 buah partikel bermassa m, dan bergerak dengan kecepatan v dan sama besar. : Kondisi awal (pawal)
: Kondisi akhir (pakhir)A B2m
Am mB
Contoh pemikiran : TEORI KELISTRIKAN DAN KEMAGNETANSuatu muatan yang bergerak dapat menghasilkan medan magnet, bagaimanakahmekanismenya? Suatu teori yang menghubungkannya yaitu teori relativitas. Padadasarnya membahas ini secara lengkap dan menggunakan perumusan matematis agaksulit dan tidak mudah, tetapi dapat diterangkan secara intuitif. Mudah-mudahan dapatdipahami.
Ketika dialiri arus listrik muatan-muatan negatif akan bergerak berlawanan denganarah arus. Dikarenakan muatan-muatan tersebut bergerak dengan kecepatanrelativistik. Maka terjadilah kontraksi jarak antar muatan. Semakin lama, dikarenakanada gaya tarik-menarik antar muatan dalam satu batang konduktor dan antar duabuah batang konduktor, maka konstraksi jarak antar muatan semakin besar.Contoh aplikatif : Mengapa gerak elektron sebagai arus dapat menjalanan mesinbesar, yang mana massanya berkali-kali lipat dari massa elektron.
pawal = pakhir? Mekanika Klasik
-
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia| Dinamika Relativistik
Hukum kekekalan momentum di atas, berkaitan dengan peristiwa tumbukan yang manateramati pada suatu kerangka inersial. Andaikan suatu kerangka inersial tersebut bergerakdengan kecepatan v terhadap kerangka lain yang tidak bergerak, maka apakah hukumkekekalan momentum pada transformasi Lorenzt masih berlaku? Seharusnya, hukumkekekaan momentum tetap berlaku pada transformasi Lorenzt. Perhatikan skema ilustrasi dibawah ini :
Dengan ? ? ?? dan ?? ? ?? tinjau hanya dari arah sumbu-x, dikarenakan baik partikelmaupun kerangka bergerak disepanjang sumbu-x. Dengan menggunakan transformasikecepatan yang sudah diturunkan pada bab 1. Maka kita dapat menggunakan persamaanberikut ini:??? = ?????? ?
????? Kecepatan partikel A dari kerangka S (v1): ??? = ?????? ?
????
= ??????????
= 0? Kecepatan partikel B dari kerangka S (v2): ???? = ?????? ?
????
= ????????
??
= ???????
??Dengan menggunakan ungkapan v1 dan v2 di atas maka kita dapat menentukan ungkapanuntuk pawal : ?????? ? ???? ?????? ???
?? ? ?
? ???? ??
? +??? ?2? ??? ??2 ?2?= 0 +?( ?? ? ?
? ???? ??
)
-
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia| Dinamika Relativistik
?????? = ????? ???
??
Sedangkan untuk pakhir : dengan nilai v1akhir=v2akhir=0 ; v1akhir=v2akhir=vMaka, ??????? ? ????????? ??????????? ??
??????? ? ?
????????????
??? ????????? ?
? ? ??2 ????????
? ? (??)?????)??????? = ????Berdasarkan hasil perhitungan di atas, maka pawal?? pakhir. Lalu bagaimanakah agar bisa tetapberlaku?Perhatikan pada formula-formula di atas, kita menggunakan kecepatan dengan menggunakantransformasi lorenzt, dimana adanya besaran ?. Coba dipikirkan kembali bahwa beberapakonsekuensi dari transformasi Lorenzt, adalah adanya dilatasi waktu dan kontraksi panjang.Lalu bagaimanakah dengan massa? Apakah besara massa akan bersifat invariant terhadaptransformasi Lorenzt? Logikanya, ketika suatu benda/objek bergerak dengan kecepatan yangmendekati kecepatan cahaya, apakah ada penyusutan ataupun pembesaran massa dari objektersebut?
MASSA PARTIKEL YANG BERGERAK DALAM MEKANIKA RELATIVISTIKMekanika relativistik? Hukum mekanika yang berlaku dalam prinsip kenisbian EinsteinTernyata kekekalan momentum linear berlaku dalam mekanika relativistik apabila massadianggap bergantung terhadap kecepatan sebagai:? = ??(????)??? dengan ? = ??Dan mo adalah massa tak gerak (rest mass).Sehingga ungkapan momentum linear relativistik adalah : ? ? ?? = ????(????)???
A B2m
-
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia| Dinamika Relativistik
Mari dibuktikan ungkapan massa relativistik terhadap ungkapan momentum linearrelativistik, apakah hukum kekekalan momentum masih tetap berlaku??????? = ????????
??
= ????????
??
??????
???
???
?? ; nilai m disini adalah mB (m2)
= ????????
??
????????
??
????????
?
??? ?
; ?? = ?????????????
?????? = ?????(1 + ????) ( 1 +??
??)(1? ????)???= ?????(1? ????)???Sedangkan untuk ungkapan pakhir adalah :??????? = ?????
????2?2?1/2 ;Maka, ternyata pawal = pakhir, yang menyatakan bahwa hukum kekekalan momentum berlaku,dengan memasukkan massa relativistik. Walaupun kasus ini tidak berlaku secara umum.
Marilah coba untuk menurunkan massa relativistik di atas. Jika terdapat dua buah bendabermassa , katakanlah massa A (mA) dan massa B (mB) dan sama besar, dimana keduanyamengalami tumbukan elastis. Maka bila diilustrasikan dan dilihat dari masing-masingkerangka S dan S (kerangka yang bergerak dengan kecepatan v) :
? = ??(1? ??)?/?Lalu , mengapa massa relativistik dinyatakan dengan ungkapan :
-
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia| Dinamika Relativistik
Jika benda A tidak bergerak relative terhadap kerangka S.Jika benda B tidak bergerak relative terhadap kerangka S.Kerangka S bergerak dengan kecepatan v terhadap kerangka S. Skema situasi yang terjadi pada dua kerangka tersebut :
Sehingga, dikarenakan yang terjadi adalah tumbukan lenting sempurna,maka akan terjadi tumbukan yang berulang, waktu yang dibutuhkan untuksatu bola mengalami 1 tumbukan/sebelum mengalami tumbukanselanjutnya (waktu bola untuk bolak-balik) dikatakan sebagai T0.Maka dari itu kecepatan untuk bola A pada kerangka S :?? = ???Sedangkan pada kerangka S :?? = ???Maka dari itu berdasarkan pengamat pada kerangka S, gerak B memenuhi :
?? = ?? ; ? = ???? ?
??
??????
Sebelum terjaditumbukan Setelah terjaditumbukan, teramatioleh kerangka S
Setelah terjaditumbukan teramatioleh kerangka S
Dilatasi Waktu
-
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia| Dinamika Relativistik
Sehingga pada kerangka S, kecepatan bola B diungkapkan oleh ??? = ??? ?? ? ????????Hukum kekekalan momentum linear pada kerangka S:?????? ? ???????
?? ?? ? ?????
???
??? ??
?
???? ?
??
??????
?? = ?? ?? ? ????????Dikarenakan proses pengamatan terjadi pada kerangka acuan S, dimana benda yang diamadalah bola A, dan benda yang bergerak adalah bola B, maka bola A memiliki massa m0 danbola B adalah massa gerak (relativistik). Sehingga,?? = ? ?? ? ????????
? = ???? ?
??
?????? (2.1)
Ternyata, massa merupakan kuantitas yang relatif agar prasyarat berlakunya Hukumkekekalan momentum terpenuhi.ENERGI TOTAL DALAM MEKANIKA RELATIVISTIKHubungan yang paling terkenal atau dengan kata lain tidak dapat dipisahkan dari sosokEinstein adalah kesetaraan massa dan energi. Sebelum membahas ini dan menurunkanrumus kesetaraan antara massa dan energi, ada salah satu pertanyaan mendasar : Jikaterdapat suatu partikel yang kecepatan awalnya adalah v= 0 mencapai kecepatan v = vdiakibatkan oleh gaya luar F, maka carilah ungkapan untuk energi kinetic partikel tersebut.Untuk menjawab pertanyaan ini, kalian dituntut untuk kembali mengulas mata kuliah fisikadasar yang berkaitan dengan usaha/energi.
-
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia| Dinamika Relativistik
Ungkapan energi/usaha yang dikeluarkan agar partikel bergerak dengan kecepatan awal v= 0menjadi v=v adalah :? ? ? = ? ?? ???? ; ? = ????)?? = ???? ; ?? ? ?? ??
? = ? ?(?)??
?
?? ?? ?? = ? ?????
?Dikarenakan ?(??) ? ??? ? ?????? ? ?(??)? ???
? = ? ?(??)? ? ??????? = |??|?????? ? ? ?? ? (??)?? = ?? ? ? ???? ?
??
???
??
?? (??)??
= ?????? ?
??
?????? ? ?
??
?? ???
???
??
?? (??)??
Jika , ?????????
= ????? ? ??
?
??? = ??? ??? ?????? ?? ? ????? ? ???? ??? ????? ? ? ?
??
??? ?
?
??
? = ?????? ?
??
?????? ? ?
??
?? ???
???
??
????
??? ???
???
?
?
? = ?????? ?
??
?????? ?
????2 ? 1?? ?
??
???
??
? ??????
?
?
? = ?????? ?
??
?????? + ????2 ? 1
?? ???
???
??
? ?? ? ?????
?
?= ?????? ?
??
?????? + ????2 ?2(1? ????)? ?? ]???
Gunakan m sebagaimassa relativistik
-
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia| Dinamika Relativistik
= ?????? ?
??
?????? ?
????2 ?2(1 + ?? ? ?????? ?? )?= ?????? ?
??
?????? ?
????2 ?2 + 2(1 ?????)????= ?????? ?
??
?????? ?
????2 2 ?1 + (1? ????)????
= ?????? ?
??
?????? ????
?(1? ????
)??? ?????= ????(?? ??? ) +????(1? ????)
?? ???
?????? ????
?
= ???? ????? + 1? ??????? ?
??
?????? ????
? ? ??? ?????
? ? ??? ????? (2.2)Hasil ini memperlihatkan bahwa energi kinetic suatu benda merupakan pertambahan massadikalikan dengan kuadrat kecepatan cahaya. ? ? ??(????) = ???? , dimana ??menandakan pertambahan massa, ketika suatu benda/partikel bergerak dengan kecepatanmendekati kecepatan cahaya.? ? ??? ? ? ? ????
K = energi kinetic dan???? ? ?? (Energi diam).Sehingga jika benda bergerak energi total-ny adalah : ?? ? ??? = ????????
??
?????? (2.3)
Energi total
-
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia| Dinamika Relativistik
ENERGI TOTAL DAN MOMENTUM LINEAR PARTIKEL
Hubungan antara energi dan momentum adalah :? = ?? ?
?????
??????? ???? = ???????
?????
???
Tambahkan suku (????)? di ruas kiri dan kanan :???? + (????)? = ???????
?? ???
???
+ (????)????? ???
??? = ????????? ?
??
???
+ ????????? ?????? = ???????
?? ???
???
+ ????? ?? ? ??????? ?
??
???
???? ?????? = ??????? ?????? ?? ? ??????? ?
??
???
= ??????? ?????? ?????????? ?
??
???
???? ?????? = ??????? ?
??
???
???? ?????? ? ????
?? ? ???? ?????? (2.4)Berdasarkan hasil penurunan dan penjelajahan kita dalam menyelami mekanika relativistik,maka dapat ditarik beberapa kesimpulan berikut ini:1. Hubungan antara ? ? ??? menunjukkan adanya kesetaraan massa dan energi,dimana perbandingan/rasionya adalah kuadrat dari kecepatan cahaya. PersamaanEinstein ini sekaligus memberikan pernyataan mengenai suatu benda/partikel yangmemiliki kecepatan besar makan akan memiliki energi yang besar pula. Kita
-
Catatan Kuliah Fisika Modern
Oleh: Annisa Aprilia| Dinamika Relativistik
kemudian dapat mendefinisikan ulang mengenail massa relativistik, yaitu Bendaakan semakin massif bila bergerak dengan kecepatan tertentu.2. Ketika besar kecepatan partikel atau suatu benda bernilai v
