MODEL SIR DENGAN IMIGRAN DAN VAKSINASI

olehNANANG MUALIMNIM. M 0105053SKRIPSIditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratanmemperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS SEBELAS MARETSURAKARTA2009i

SKRIPSIMODEL SIR DENGAN IMIGRAN DAN VAKSINASIyang disusun olehNANANG MUALIMNIM. M0105053dibimbing olehPembimbing I Pembimbing IIDra. Purnami Widyaningsih, M.App.S . Drs. Siswanto, M.Si.NIP. 131 695 204 NIP. 132 000 805telah dipertahankan di depan Dewan Pengujipada hari Jumat, tanggal 23 Januari 2009dan dinyatakan telah memenuhi syarat.Anggota Tim Penguji Tanda Tangan1. Sri Kuntari, M.Si. 1. . . . . . . . . . . . .NIP. 132 240 1732. Dr. Sutanto, DEA 2. . . . . . . . . . . . .NIP. 132 149 0793. Dra. Etik Zukhronah, M.Si. 3. . . . . . . . . . . . .NIP. 132 000 009Disahkan olehFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamDekan Ketua Jurusan MatematikaProf. Drs. Sutarno, M.S , Ph.D Drs. Kartiko, M.Si.NIP. 131 649 948 NIP. 131 569 203ii

MOTO

Kerjakan, yang bisa kau kerjakan hari ini.

iii

PERSEMBAHAN

Untuk Ayah dan Ibu ter intaSemoga dengan segala yang telah ter apai dapat menjadi kebahagiaan atassemua kasih sayang dan pengorbanan yang telah diberikan.

iv

ABSTRAKNanang Mualim, 2009. MODEL SIR DENGAN IMIGRAN DAN VAK-SINASI. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas SebelasMaret.Model SIR merupakan model matematika yang dapat digunakan untukmenggambarkan penyebaran penyakit infeksi. Ada dua model SIR klasik, yaitumodel SIR epidemik dan endemik. Kedua model SIR klasik digunakan untukmenggambarkan penyebaran penyakit pada suatu wilayah dengan populasi ter-tutup sehingga faktor imigran diabaikan. Namun, pada kota-kota besar, imigranturut memberikan pengaruh dalam penyebaran penyakit infeksi. Penyebaranpenyakit ini dapat di egah melalui program vaksinasi.Tujuan dari penulisan ini adalah menurunkan ulang model SIR dengan pe-ngaruh imigran dan vaksinasi, serta menentukan titik kesetimbangan dan analisiskestabilan (interpretasi model). Metode yang digunakan pada penulisan skripsiini adalah studi literatur.Model SIR merupakan sistem autonomous, berbentuk sistem persamaandiferensial nonlinear orde satu. Untuk mengamati perilaku sistem diperlukan kon-sep kestabilan di titik kesetimbangan. Dengan metode linearisasi, kestabilan sis-tem dapat ditentukan berdasarkan kriteria nilai eigen dari matriks Ja obian. Adadua ma am titik kesetimbangan pada model SIR dengan imigran dan vaksinasi,yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan endemik. Titik kesetimbangan be-bas penyakit diperoleh jika tidak terdapat individu yang terinfeksi ketika lajuperubahannya nol. Sedangkan titik kesetimbangan endemik diperoleh jika terda-pat individu yang terinfeksi dalam populasi saat laju perubahannya nol. Pada ontoh kasus, titik kesetimbangan yang diperoleh adalah titik kesetimbangan en-demik. Keparahan dari penyakit diukur berdasarkan pun ak endemik, yaitu jum-lah maksimal individu yang terinfeksi. Eksperimen numerik menunjukkan bahwapun ak endemik dapat diturunkan dengan menurunkan laju kontak, menaikkanlaju kesembuhan, serta menaikkan laju vaksinasi.

v

ABSTRACTNanang Mualim, 2009. SIR WITH IMMIGRANT MODEL AND VACCI-NATION. Fa ulty of Mathemati s and Natural S ien es, Sebelas Maret Univer-sity. The spreading of infe tious diseases an be explained by mathemati al mo-dels. The models used are SIR models. There are 2 SIR lassi models, epidemi and endemi SIR model. These models are used to des ribe the infe tious diseasesin a losed area. So, the immigrant fa tor is ignored. In fa t, the immigrant is asigni� ant fa tor in spreading of diseases. A va ination is a treatment believedto redu e the infe ted individuals.Here, we re-derive SIR with immigrant models. We also �nd equilibriumpoints, analyze the equilibrium points and interprete the model. The methodused in this resear h is literature study.The SIR models are autonomous system and are given as system of di�er-ential equations. A behaviour outbreaks of infe tious diseases an be observedby stability in the equilibrium point. Stability analysis is given as eigenvaluesfrom Ja obian matrix omputed by linearitation method. There are 2 equilibri-um points in the model, a disease-free equilibrium and an endemi equilibrium.The disease-free equilibrium is obtained if there is no individual infe ted whereasthe endemi equilibrium obtained if there are still individuals infe ted. In thisexample, the equilibrium obtained is an endemi equilibrium and asymptoti allystable. The level of seriousness endemi is measured by an endemi peak. Theendemi peak is a situation whi h the number of individual infe ted rea hes themaximum. The numeri al experiments show that to de rease the endemi peakthat an be obtained by de reasing a onta t rate, in reasing a re overy rate andin reasing a va ination rate.

vi

KATA PENGANTARPuji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT. Dengan segala rahmatdan hidayah-Nya, akhirnya penulisan skripsi ini dapat diselesaikan.Dalam penulisan skripsi ini, penulis memperoleh bantuan dari berbagai pi-hak. U apan terima kasih penulis sampaikan kepada1. Ibu Dra. Purnami WID dan Bapak Drs. Siswanto, M.Si. sebagai Pembim-bing I dan Pembimbing II, atas kesabaran dan ketekunannya memberikanpengarahan dan petunjuk dalam penyelesaian skripsi ini,2. Ibu Sri Kuntari, M.Si. dan Ibu Dra. Respatiwulan, M.Si. sebagai dosendalam tim riset yang telah memberikan kesempatan berbagi pengalamandalam melakukan riset, memberikan motivasi dan saran dalam penulisanskripsi ini,3. Susilo Nugroho, Fajar, Rina, Budi Pras dan Ajeng yang telah memberikanbantuan, masukan dan dukungan kepada penulis.Semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pemba a.

Surakarta, Januari 2009Penulis

vii

DAFTAR ISIJUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iPENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiMOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiPERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ivABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viKATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiDAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiiDAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xDAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiI PENDAHULUAN 11.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5II LANDASAN TEORI 62.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.1 Pemodelan Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2 Sistem Autonomous dan Bidang Fase . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Model SIR Klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.4 Kesetimbangan dan Kestabilan . . . . . . . . . . . . . . . 8viii

2.1.5 Metode Linearisasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11IIIMETODE PENELITIAN 13IVPEMBAHASAN 144.1 Konstruksi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Kesetimbangan Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Rasio Reproduksi Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4 Analisis Kestabilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4.1 Kestabilan di Titik Kesetimbangan E1 . . . . . . . . . . . 194.4.2 Kestabilan di Titik Kesetimbangan E2 . . . . . . . . . . . 204.5 Penerapan Kasus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20V PENUTUP 285.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29DAFTAR PUSTAKA 30

ix

DAFTAR TABEL2.1 Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen . . . . . . . . . . . . . 114.1 Proporsi individu infe ted di 5 titik tertinggi . . . . . . . . . . . . 234.2 Nilai pun ak endemik dengan simulasi variasi nilai � . . . . . . . 254.3 Nilai pun ak endemik dengan simulasi variasi nilai � . . . . . . . 264.4 Nilai pun ak endemik dengan simulasi variasi nilai �1 . . . . . . . 26

x

DAFTAR GAMBAR2.1 Tipe kestabilan dari titik kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . 124.1 Dinamika populasi dalam model SIR dengan imigran dan vaksinasi 154.2 Proporsi individu sus eptible (garis tebal), infe ted (garis tipis),dan re overed (garis putus-putus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3 Trayektori individu sus eptible, infe ted . . . . . . . . . . . . . . . 24

xi

BAB IPENDAHULUAN1.1 Latar Belakang MasalahMatematika dapat diterapkan untuk mempelajari fenomena yang terjadidalam kehidupan sehari-hari. Dalam bidang biologi maupun kedokteran, mate-matika dapat digunakan untuk mengamati perilaku penyebaran suatu penyakitinfeksi. Menurut Lewis [14℄ perilaku tersebut dapat digambarkan melalui pemo-delan matematika.Sebagaimana dituliskan Heth ote [11℄, model matematikamempunyai peran-an penting dalam menganalisis penyebaran dan kontrol penyakit infeksi. Dalammemformulasikan model, diperlukan proses klari�kasi asumsi, batasan dan para-meter yang berpengaruh. Bersama dengan model, simulasi komputer merupakanalat eksperimen yang berguna untuk mengembangkan dan menguji se ara teori,menaksir se ara kuantitatif, menjawab pertanyaan spesi�k, menentukan sensi-tivitas perubahan nilai parameter, dan mengestimasi parameter kun i dari data.Dengan mengetahui karakteristik penyebaran penyakit infeksi dalam suatu ko-munitas, wilayah atau pun negara, dapat dilakukan pendekatan yang lebih baikdalam menurunkan penyebaran penyakit infeksi tersebut. Model matematikadigunakan untuk membandingkan, meren anakan, mengimplementasi, mengeva-luasi dan mengoptimasi beberapa variasi deteksi, pen egahan, terapi dan kon-trol program. Model epidemiologi memberikan kontribusi dalam mendesain danmenganalisis survei epidemiologi, memberikan saran tentang data penting yangsebaiknya dikumpulkan, dikelompokkan, dibuat ramalan umum dan dilakukanestimasi ketidakpastian dalam penerapan.Fenomena penyebaran penyakit infeksi dapat digambarkan melalui modelSu eptible Infe ted Re overed (SIR). Sesuai dengan namanya, dalam model ini1

populasi dikelompokkan ke dalam 3 kelas, sus eptible, infe ted dan re overed.Model SIR merupakan model pengelompokan standar yang digunakan dalammenggambarkan beberapa penyakit. Penyakit yang dimaksud antara lain in- uenza, polio, smallpox, measles, mumps, rubella dan hi ken pox. Model SIRpertama kali diperkenalkan oleh O. Kerma k dan Anderson Gray M Kendri k(Weisstein [20℄). Model matematika ini berbentuk sistem persamaan diferensialorde satu.Menurut Heth ote [11℄, ada dua model SIR klasik, yaitu model SIR epi-demik dan model SIR endemik. Model SIR epidemik digunakan untuk menggam-barkan penyebaran penyakit ketika proses kejadiannya epat (kurang dari satutahun). Sedangkan model SIR endemik digunakan pada penyebaran penyakitdalam jangka waktu yang lama.Model SIR epidemik tidak memuat vital dynami . Dalam hal ini, popu-lasi bersifat tertutup. Dilihat dari jangka waktunya yang sangat singkat, padamodel SIR epidemik, faktor kelahiran dan kematian tidak diperhatikan. Dengandemikian, jumlah populasi adalah konstan.Tidak semua penyakit infeksi menyebar dalam waktu yang singkat. Adapenyakit-penyakit tertentu seperti measles, mumps, rubella, dan poliomyelitis,penyebarannya terjadi dalam jangka waktu yang lama. Keadaan yang demikiandisebut endemik. Karena terjadi dalam jangka waktu lama, perlu diperhatikanfaktor kelahiran dan kematian dalam populasi. Model yang digunakan untukmenggambarkan keadaan ini adalah model SIR endemik. Diasumsikan laju ke-lahiran seimbang dengan laju kematian, sehingga jumlah populasi konstan.Keefektifan dari perbaikan sanitasi, antibiotik, dan program vaksinasi menim-bulkan keper ayaan bahwa penyakit infeksi dapat dikurangi keberadaannya. Teta-pi, penyakit infeksi telah berlanjut menjadi kasus mayor dan penyebab kema-tian di negara-negara berkembang. Bahkan, penyakit infeksi telah beradap-tasi dan berkembang menjadi penyakit infeksi yang baru. Manusia ataupun in-vansi binatang pada ekosistem baru, pemanasan global, degradasi lingkungan,meningkatnya perjalanan internasional, dan perubahan pola ekonomi se ara kon-2

tinu akan memberikan kesempatan mun ulnya penyakit infeksi dan penyakit baru(Heth ote [11℄).Pi ollo dan Billings [13℄ menyatakan bahwa penyakit pada anak-anak meru-pakan permasalahan yang dihadapi setiap negara. Penyakit seperti measles,mumps, rubella dan pertussis sekarang ini melanda di sebagian besar dunia.Penyakit-penyakit infeksi ini masih menjadi endemik.Masih menurut Pi ollo dan Billings [13℄, di kota-kota besar, faktor imigranturut memberikan pengaruh dalam penyebaran penyakit. Dalam hal ini, imi-gran diartikan sebagai suatu penduduk yang memasuki wilayah populasi baru(kota, pulau, atau negara). Penyakit ini dibawa oleh penduduk melalui imigrasi.Penyakit akan menyebar ke tempat-tempat pemukiman penduduk. Selanjutnya,Shim [19℄ juga menyatakan bahwa faktor imigran memegang peranan pentingdalam penyebaran penyakit. Penyebaran ini akan terus meningkat dan berpelu-ang menjadi endemik.Perkembangan dalam bidang teknologi dan kedokteran membawa harapanbaru untuk men egah penyebaran penyakit infeksi. Berdasarkan data WHO [21℄,penyebaran penyakit-penyakit seperti measles, mumps, rubella, dan poliomyelitisdapat ditekan melalui program vaksinasi. Vaksinasi diberikan kepada individusus eptible sehingga individu yang telah divaksin akan kebal dan tidak akan ter-infeksi. Program vaksinasi diper aya sebagai ara yang efektif dalam menekanpenyebaran penyakit infeksi.Model SIR klasik endemik sesuai diterapkan pada suatu wilayah dengan lajumigrasi ke il sehingga faktor imigran tidak diperhatikan. Dalam hal ini, dinamikapopulasi penduduk hanya dipengaruhi se ara signi�kan oleh faktor kelahiran dankematian. Model SIR tanpa pengaruh imigran telah dipelajari oleh Nugroho[16℄. Pada suatu wilayah dengan laju migrasi yang tinggi, faktor imigran jugamemberikan pengaruh terhadap penyebaran penyakit infeksi, terutama apabilapenyakit tersebut dibawa dari luar wilayah. Pengaruh imigran pada model SIRsedang dipelajari oleh Budiantoro [3℄. Melihat pentingnya program vaksinasi danpengaruh imigran pada penyebaran penyakit infeksi, perlu dikembangkan model3

SIR yang memperhatikan faktor imigran dan program vaksinasi.Model SIR klasik berbentuk sistem persamaan diferensial. Untuk menge-tahui perilaku sistem di setiap titik, diperlukan penyelesaian eksaknya. MenurutGrassly dan Fraser [8℄, tidak semua sistem persamaan diferensial dapat di aripenyelesaiannya eksaknya. Seandainya penyelesaian eksaknya diperoleh, perhi-tungannya juga sulit sehingga perilakunya juga sulit diamati.Masih menurut Grassly dan Fraser [8℄, menjadi penting untuk dapat menge-tahui tentang perlakuan dari penyelesaian sistem tanpa harus men ari penyelesai-an eksaknya. Informasi penting yang di ari adalah kestabilan dari titik kesetim-bangan. Dengan demikian, diperlukan kestabilan dari titik kesetimbangan darisistem untuk dapat mengamati perilaku sistem.Model SIR dengan memperhatikan faktor kelahiran, kematian, imigran danpengaruh program vaksinasi telah dituliskan Pi ollo dan Billings [13℄. Lebihlanjut, model tersebut akan dikaji ulang dalam skripsi ini.1.2 Perumusan MasalahBerdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan dapat diangkat3 perumusan masalah sebagai berikut.1. Bagaimana menurunkan ulang model SIR dengan memperhatikan faktorkelahiran, kematian, imigran dan pengaruh program vaksinasi?2. Bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan melakukan analisis tipekestabilan?3. Bagaimana menginterpretasikan model?1.3 Batasan MasalahDalam penulisan ini permasalahan dibatasi pada masa inkubasi inkubasipenyakit. Dalam hal ini, masa inkubasi diabaikan sehingga individu yang terin-feksi langsung dapat menularkan ke individu yang rawan tertular.4

1.4 TujuanTujuan dari penelitian ini adalah1. dapat menurunkan ulang model SIR dengan memperhatikan faktor kelahir-an, kematian, imigrasi dan pengaruh program vaksinasi,2. dapat menentukan titik kesetimbangan dan melakukan analisis tipe kesta-bilan,3. dapat menginterpretasikan model.1.5 Manfaat PenelitianManfaat dari penelitian ini adalah mengetahui se ara matematis pengaruhdari program vaksinasi terhadap penyebaran penyakit infeksi, di mana kejadian-nya pada suatu wilayah dengan faktor imigran yang signi�kan. Dengan modelyang diperoleh, dapat dilakukan suatu pendekatan pada parameter-parameteryang berpengaruh untuk menurunkan pun ak endemik. Dengan demikian, dapatdibuat suatu langkah untuk men egah penyebaran infeksi, salah satunya denganprogram vaksinasi.

5

BAB IILANDASAN TEORI2.1 Tinjauan PustakaDi sini diberikan de�nisi-de�nisi dan teori-teori relevan yang diperlukanuntuk men apai tujuan penulisan. Berikut ini diberikan de�nisi pemodelan mate-matika, sistem autonomous dan bidang fase, model SIR klasik, kesetimbangandan kestabilan, dan metode linearisasi.2.1.1 Pemodelan MatematikaMenurut Meyer [15℄, pemodelan matematika adalah penggunaan bahasamatematika yang digunakan untuk mendeskripsikan kejadian di dunia nyata kedalam bentuk matematika. Dengan pemodelan, suatu objek atau konsep diubahke bentuk model matematika. Selanjutnya, model matematika tersebut meru-pakan model yang disusun oleh konsep-konsep matematika, seperti konstanta,variabel, fungsi, persamaan, pertidaksamaan, dan lain-lain.2.1.2 Sistem Autonomous dan Bidang FaseModel matematika disusun untuk mendeskripsikan keadaan nyata ke ben-tuk matematika. Untuk menggambarkan keadaan yang berubah tiap satuan wak-tu, model dapat disusun dalam bentuk persamaan diferensial. Jika keadaan yangdiamati lebih dari satu, model disusun sebagai sistem persamaan diferensial.Bentuk umum sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu dengan n

6

fungsi adalah dx1dt = f1(t; x1; x2; :::; xn)dx2dt = f2(t; x1; x2; :::; xn)... ...dxndt = fn(t; x1; x2; :::; xn) (2.1)dengan fi adalah fungsi nonlinear, untuk i = 1; 2; : : : ; n. Sistem (2.1) mempunyaipenyelesaian jika untuk setiap fi adalah fungsi kontinu. Sistem (2.1) disebutsistem autonomous jika variabel bebas t tidak mun ul se ara eksplisit (Boy e [2℄,Giordano et al. [5℄ dan Ross [18℄)Selanjutnya, sistem (2.1) dapat diekspresikan dalam bentuk_x = f(x) (2.2)dengan _x = dx1dt ; dx2dt ; : : : ; dxndt ;x = x1; x2; : : : ; xn dan f = f1; f2; : : : ; fn. Dalam halini, pasangan (x1; x2; : : : ; xn) disebut fase dan bidang yang dibentuk x1; x2; : : : ; xndisebut bidang fase. Kurva yang digambarkan oleh penyelesaian sistem (2.2)se ara parameter dalam bidang fase disebut trayektori atau orbit.2.1.3 Model SIR KlasikUntuk menggambarkan epidemi penyakit infeksi dapat digunakan mo-del SIR. Model ini berbentuk sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu.Dalammodel ini, populasi dibagi dalam 3 kelas, yaitu kelas sus eptible yang meru-pakan kelompok individu rawan terinfeksi atau rawan terkena penyakit, kelasinfe ted yang merupakan kelompok individu terinfeksi dan kelas re overed yangmerupakan kelompok individu telah sembuh dari penyakit. Sedangkan S; I; Rmenyatakan jumlah individu masing-masing kelas sus eptible, infe ted dan re ov-ered (Heth ote [11℄ dan Iannelli [12℄).Masih menurut Heth ote [11℄, ada dua model klasik SIR, yaitu modelepidemik dan model endemik. Se ara matematika, model SIR merupakan sistem

7

autonomous. Bentuk model SIR epidemik menurut Heth ote [11℄ adalahdSdt = ��SINdIdt = �SIN � �IdRdt = �I (2.3)dengan � adalah laju kontak individu sus eptible dengan infe ted dan � adalahlaju kesembuhan individu infe ted. Karena kejadiannya singkat, faktor kelahir-an dan kematian tidak diperhatikan. Model ini digunakan pada populasi yangtertutup dengan tidak ada populasi yang masuk dan keluar. Dengan demikianjumlah penduduk adalah konstan sebanyak N dan memenuhi sifat S+I+R = N .Tidak semua penyebaran penyakit terjadi dalam kurun waktu yang singkat.Ada penyakit-penyakit tertentu, misalnya penyakit pada anak-anak, yang kejadi-annya berlangsung dalam jangka waktu yang lama. Keadaan yang demikian inidisebut endemik. Karena jangka waktunya lama, perlu diperhatikan faktor ke-lahiran dan kematian pada populasi. Dimisalkan, � adalah laju kelahiran dalampopulasi. Diasumsikan laju kelahiran seimbang dengan laju kematian, sehinggajumlah populasi konstan. Model SIR endemik, menurut Heth ote [11℄ diekspre-sikan sebagai dSdt = �N � �S � �SINdIdt = �SIN � �I � �IdRdt = �I � �R:2.1.4 Kesetimbangan dan KestabilanUntuk mengamati perilaku sistem, diperlukan konsep kesetimbangan dankestabilan. Menurut Meyer [15℄, suatu sistem dinamis dikatakan dalam keadaansetimbang jika keadaan dalam sistem tersebut tidak ada perubahan sepanjangwaktu. Dengan kata lain, suatu populasi dalam keadaan setimbang jika populasitersebut tetap berada dalam ukuran yang sama.De�nisi kesetimbangan dan kestabilan se ara matematika dapat ditemukandalam Bellomo dan Preziosi [1℄. De�nisi tersebut disajikan pada De�nisi 2.1.1,8

De�nisi 2.1.2 dan De�nisi 2.1.3.De�nisi 2.1.1. Jika xe adalah titik pada bidang fase yang memenuhi f(xe) = 0dan derivatif d(xe)dt = 0 maka xe dikatakan titik kesetimbangan.De�nisi 2.1.2. Titik kesetimbangan xe dikatakan stabil jika untuk setiap " > 0terdapat Æ(") > 0 sedemikian sehingga untuk setiap nilai awal x(0) yang memenuhikx(0)� xek < Æberlaku kx(t)� xek < "; 8t � 0:Jika tidak demikian maka tidak stabil.De�nisi 2.1.3. Titik kesetimbangan xe disebut stabil asimtotis jika titik tersebutstabil dan terdapat persekitaran Ne sedemikian sehingga untuk x(0) 2 N" berlakulimt!1 x(t) = xe:Di sini diberikan juga konsep kestabilan sebagaimana dituliskan Finizio danLadas [7℄. Stabil berarti bahwa perubahan ke il dalam sistem hanya akan menye-babkan pengaruh ke il pada penyelesaian. Sedangkan tidak stabil berarti bahwaperubahan tersebut mempunyai pengaruh besar dalam penyelesaian. Stabil asim-totis artinya pengaruh dari suatu perubahan ke il tersebut enderung menghilang.Lebih lanjut, kriteria kestabilan juga dapat diamati berdasarkan arah trayek-tori pada bidang fase, sebagaimana dituliskan Giordano et al. [5℄. Titik kese-timbangan dikatakan stabil jika untuk sembarang syarat awal yang dekat dengantitik kesetimbangan, maka arah trayektori penyelesaian masih tetap dekat denganpenyelesaian di titik kesetimbangannya untuk sepanjang waktu t. Sebaliknya,titik kesetimbangan dikatakan tidak stabil jika untuk sembarang syarat awal yangdiberikan, menghasilkan penyelesaian dengan arah trayektori yang menjauh darititik tersebut. Titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotis jika titik tersebutstabil dan sembarang trayektori yang dekat dengan titik kesetimbangan, arahnyamenuju titik kesetimbangan tersebut, untuk t menuju tak hingga.9

2.1.5 Metode LinearisasiUntuk mengetahui kriteria kestabilan dari titik kesetimbangan dapat digu-nakan konsep linearisasi. Menurut Bellomo dan Presziosi [1℄ serta Haberman [9℄,jika xe adalah titik kesetimbangan sistem (2.2) maka untuk x yang dekat denganxe, fungsi f dapat didekati dengan deret Taylor di sekitar xef(x) � f(xe) + (x� xe)rfi(xe) +O(x� xe)2:Dari de�nisi kestabilan dan (x�xe) merupakan perubahan yang ke il dari keadaansetimbang, suku-suku dengan orde yang lebih tinggi dapat diabaikan. Sehinggasistem (2.2) dapat didekati dengan bentuk linear_x = J(xe)(x� xe)denganJ(xe) = 0BBBBBBBBB�

�f1�x1 (xe) �f1�x2 (xe) : : : �f1�xn (xe)�f2�x1 (xe) �f2�x2 (xe) : : : �f2�xn (xe)... . . . ...�fn�x1 (xe) �fn�x2 (xe) : : : �fn�xn (xe)1CCCCCCCCCA (2.4)

adalah matriks Ja obian dari fungsi f. Masih menurut Bellomo dan Presziosi [1℄serta Haberman [9℄, kestabilan dari sistem linear dapat ditentukan dengan men- ari nilai eigen dari J(xe).Nilai eigen matriks Ja obian (2.4) dapat bernilai positif, negatif, bertan-da sama atau pun tidak sama, bilangan real atau pun kompleks. Berikut inidiberikan kriteria kestabilan menurut Bellomo dan Presziosi [1℄, Farlow [6℄ danRoss [18℄ yang disajikan pada Teorema 2.1.1 dan Tabel 2.1.Teorema 2.1.1. Jika �i adalah nilai eigen dari matriks Ja obian J(x) yangdievaluasi pada titik kesetimbangan (xe) dan Re(�i) adalah real dari �i maka1. untuk setiap Re(�i) < 0; xe disebut stabil asimtotis,2. untuk setiap Re(�i) > 0; xe disebut tidak stabil asimtotis.10

Tabel 2.1. Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigenNilai eigen Nama Kestabilanreal, tidak sama, simpul stabil asimtotis: semuanya negatifbertanda sama tidak stabil: semuanya positifreal, tidak sama, sadel tidak stabilberlawanan tandareal, sama simpul stabil asimtotis: semuanya negatiftidak stabil: jika semuanya positifkompleks konjugate spiral stabil asimtotis: bagian real negatifbukan imajiner murni tidak stabil: bagian real positifimajiner murni pusat stabil (tidak asimtotis)Di sini diberikan 6 gambar trayektori tipe kestabilan dari titik kesetimbang-an yang dapat dilihat pada Gambar 2.1.2.2 Kerangka PemikiranBerdasarkan tinjauan pustaka dapat disusun kerangka pemikiran sebagaiberikut. Penyakit infeksi merupakan penyakit yang dihadapi oleh sebagian besarnegara di dunia ini. Penyakit ini dapat menjadi endemik dalam populasi yangberpotensi untuk efek penyebaran yang lebih luas, seperti kota-kota padat. Salahsatu faktor yang berpengaruh dalam penyebaran penyakit infeksi ini adalah imi-grasi. Dengan adanya imigran, penyebarannya dapat menjadi semakin luas danberpotensi menjadi endemik. Penyebaran penyakit infeksi dapat di egah melaluiprogram vaksinasi. Vaksinasi merupakan ara efektif untuk menekan penyebaranpenyakit infeksi. Untuk mendeskripsikan penyebaran penyakit infeksi ini, diper-lukan pendekatan suatu model.Model matematika yang dapat digunakan dalam penyebaran penyakit in-feksi adalah model SIR. Model ini berupa sistem persamaan diferensial nonlinearorde satu. Untuk memperoleh model tersebut diperlukan batasan-batasan danasumsi-asumsi yang ditentukan terlebih dahulu. Model SIR ini juga merupakan11

Gambar 2.1. Tipe kestabilan dari titik kesetimbangansistem autonomous. Untuk mengetahui perilaku sistem diperlukan konsep ke-setimbangan dan kestabilan. Namun, tidak mudah menentukan kestabilan darititik kesetimbangan sistem persamaan diferensial nonlinear. Sehingga diperlukanmetode linearisasi untuk pendekatan dengan sistem persamaan diferensial linearyang sesuai. Tipe kestabilan dapat diamati dengan menghitung nilai eigen darimatriks Ja obian yang dievaluasi pada titik kesetimbangan. Selanjutnya, mo-del matematika ini diinterpretasikan ke dunia nyata dan diterapkan pada ontohkasus. 12

BAB IIIMETODE PENELITIANMetode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi literatur. Adapunlangkah-langkah yang ditempuh sebagai berikut.1. Mempelajari perilaku interaksi dan kejadian dalam populasi.2. Menentukan batasan, asumsi dan parameter yang diperlukan.3. Memformulasikan ulang model SIR berupa sistem persamaan diferensialnonlinear orde satu berdasarkan asusmsi, batasan, dan parameter yangtelah ditentukan.Langkah (1){(3) dilakukan untuk men apai tujuan pertama.4. Menentukan titik kesetimbangan dari model yang diperoleh dalam langkah(3) dengan menggunakan De�nisi 2.1.1.5. Menentukan kriteria kestabilan dari titik kesetimbangan menggunakan Teo-rema 2.1.1 dan Tabel 2.1.Langkah (4){(5) dilakukan untuk men apai tujuan kedua.6. Menentukan nilai-nilai parameter pada kasus yang diamati.7. Menggambarkan gra�k fungsi S; I dan R untuk membantu mendeskripsikanperilaku model SIR.8. Melakukan simulasi numerik dengan parameter yang bervariasi untuk menen-tukan pun ak endemik.9. Membandingkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah (8).10. Menginterpretasikan hasil yang diperoleh.Langkah (6){(10) dilakukan untuk men apai tujuan ketiga.13

BAB IVPEMBAHASAN4.1 Konstruksi ModelPada bagian ini diturunkan ulang model SIR dengan imigran dan vaksinasi.Penurunannya menga u pada Pi ollo dan Billings [13℄. Model ditulis dalam ben-tuk sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu.Sebagaimana dituliskan Heth ote [11℄ dan Iannelli [12℄, dalam model epi-demiologi, untuk menggambarkan penyebaran penyakit infeksi dapat dilakukandengan ara mengelompokan populasi ke dalam tiga kelas, yaitu sus eptible,infe ted, dan re overed. Jadi, ada tiga variabel dasar untuk mengidenti�kasikeadaan populasi dalam model epidemiologi, yaitu S(t) menyatakan banyaknyaindividu sus eptible pada waktu t, I(t) menyatakan banyaknya individu infe tedpada waktu t, dan R(t) menyatakan banyaknya individu re overed pada waktu t.Dalam penurunan model, termasuk model epidemiologi, diperlukan asumsi-asumsi yang harus dipenuhi. Berikut ini diberikan asumsi-asumsi dasar dalampenurunan model epidemiologi, sebagaimana dituliskan oleh Heth ote [10℄.1. Jumlah populasi dianggap konstan dan ukup besar. Sehingga ukuran tiap-tiap kelas dapat dianggap sebagai variabel kontinu. Jika model memuatvital dynami , maka diasumsikan kelahiran dan kematian mempunyai lajuyang sama.2. Semua individu yang lahir adalah sus eptible. Individu yang keluar daritiap-tiap kelas melalui kematian mempunyai laju yang proporsional di se-tiap kelasnya.3. Populasi ber ampur se ara homogen, artinya setiap individu mempunyaikemungkinan yang sama melakukan kontak dengan individu lain dalam14

populasi.Berdasarkan Heth ote [11℄, laju kematian dalam tiap-tiap kelas seimbangdengan kelahiran dan imigrasi sehingga jumlah populasinya konstan, N . Dengandemikian, laju kematian di tiap-tiap kleas adalah (�1 + �2).Dinamika populasi dalam model SIR dengan imigran dan vaksinasi di-sajikan pada Gambar 4.1. Nilai parameter dari N; �1; �2; � dan � adalah positif.Batas dari laju vaksinasi adalah 0 � �1; �2 � 1.(1� �1)�1(1� �2)�2-- S I R- - -�IS �I (�1 + �2)R? ? 6 6(�1 + �2)S (�1 + �2)I �2�2 �1�1Gambar 4.1. Dinamika populasi dalam model SIR dengan imigran danvaksinasiBerdasarkan asumsi yang telah ditentukan, dapat diturunkan model SIRdengan pengaruh faktor imigran dan vaksinasi. Dalam populasi, setiap tahunnyaterjadi kelahiran dan imigran yang masuk dengan laju �1 dan �2. Setiap individuyang lahir dan imigran yang masuk, dianggap rawan terinfeksi. Oleh karena itu,jumlah individu sus eptible semakin bertambah. Untuk men egah penyebaranpenyakit yang lebih luas, dilakukan program vaksinasi terhadap setiap individuyang lahir, maupun imigran yang masuk, dengan laju vaksinasi �1 dan �2. Den-gan demikian, jumlah individu sus eptible berkurang dan berpindah ke kelas re- overed karena telah kebal. Penularan penyakit infeksi mun ul jika terjadi kontakantara individu infe ted dengan sus eptible. Individu yang terinfeksi berpindahkelas infe ted, sehingga jumlah individu sus eptible berkurang, sedangkan jum-lah individu infe ted bertambah. Laju kontak antara individu sus eptible denganinfe ted adalah sebesar �. Artinya, satu individu infe ted dapat menyebabkan�S individu infe ted baru per hari. Jika terdapat I individu infe ted, maka rata-rata terdapat �SI individu infe ted per hari. Jumlah individu sus eptible juga15

berkurang karena adanya kematian, dengan laju (�1+ �2). Jika terdapat S indi-vidu sus eptible, maka terdapat rata-rata (�1+�2)S yang mati. Laju perubahanindividu sus eptible yang berukuran N setiap waktu dapat diekspresikan sebagaidSdt = �1N + �2N � �1�1N � �2�2N � �SIN � (�1 + �2)S= (1� �1)�1N + (1� �2)�2N � �SIN � (�1 + �2)S: (4.1)Berdasarkan Gambar 4.1, pada kelas I terdapat individu yang masuk maupunkeluar kelas. Individu yang masuk pada kelas infe ted berasal dari individu ke-las sus eptible yang telah terinfeksi. Sedangkan individu yang keluar dari kelasinfe ted adalah individu yang telah sembuh ataupun individu yang telah mati.Berdasarkan persamaan (4.1), rata-rata banyaknya individu yang masuk ke ke-las infe ted adalah �SI. Laju kesembuhan adalah �, artinya rata-rata per hariterdapat �N individu yang sembuh (keluar dari kelas infe ted) dan masuk padakelas re overed. Laju kematian adalah (�1 + �2). Jadi, laju perubahan individuinfe ted dalam setiap waktu dapat dinyatakan sebagaidIdt = �ISN � �I � (�1 + �2)I= �ISN � (� + �1 + �2)I: (4.2)Berdasarkan pembahasan pada kelas sus eptible dan infe ted, terdapat in-dividu sus eptible dan infe ted yang berpindah ke kelas re overed. Jadi, terdapatpenambahan (�1�1)N + (�1�2)N dari kelas sus eptible dan �I dari kelas infe t-ed. Namun, terdapat juga laju kematian di kelas R sebesar (�1 + �2). Dengandemikian, laju perubahan individu re overed dalam setiap satuan waktu adalahdRdt = (�1�1)N + (�1�2)N + �I � (�1 + �2)R: (4.3)Dari persamaan (4.1), (4.2) dan (4.3) diperoleh sistem persamaan nonlinearorde satu untuk menggambarkan model SIR dengan mempertimbangkan faktorimigran dan program vaksinasi. Model selengkapnya adalahdSdt = (1� �1)�1N + (1� �2)�2N � �SIN � (�1 + �2)S:dIdt = �ISN � (� + �1 + �2)IdRdt = (�1�1)N + (�1�2)N + �I � (�1 + �2)R (4.4)16

dengan S(0) > 0; I(0) > 0 dan R(0) � 0.Sistem (4.4) dapat diskala dengan populasi N . Dari sini mun ul variabelbaru s = S=N , i = I=N dan r = R=N , yang menyatakan proporsi individumasing-masing kelas. Jadi harus memenuhi s + i + r = 1. Sehingga model SIRdengan skala adalahdsdt = (1� �1)�1 + (1� �2)�2 � �si� (�1 + �2)sdidt = �si� (� + �1 + �2)idrdt = �1�1 + �1�2 + �i� (�1 + �2)r: (4.5)4.2 Kesetimbangan ModelKeadaan setimbang dari suatu populasi pada model SIR di apai ketika tidakada perubahan jumlah individu sus eptible, infe ted dan re overed sepanjang wak-tu. Menurut Diekmann dan Hesterbeek [4℄ ada dua ma am titik kesetimbangan,yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan endemik. Titik kesetimbanganbebas penyakit diperoleh ketika tidak ada individu infe ted (i = 0) saat lajuperubahannya nol. Sedangkan titik endemik diperoleh ketika terdapat individuinfe ted saat laju perubahnnya nol, untuk t!1.Kelompok individu yang penting untuk diamati pada model SIR adalahindividu sus eptible dan infe ted. Dengan demikian, dalam menentukan titik ke-setimbangan hanya digunakan persamaan pertama dan kedua pada sistem (4.5).Berdasarkan De�nisi 2.1.1, kondisi setimbang dipenuhi ketika(1� �1)�1 + (1� �2)�2 � �si� (�1 + �2)s = 0 (4.6)�si� (� + �1 + �2)i = 0:Dari persamaan (4.6) diperoleh dua titik kesetimbangan.1. E1 = � (1��1)�1+(1��2)�2�1+�2 ; 0�Titik kesetimbangan E1 adalah titik kesetimbangan bebas penyakit. Hal inibisa dilihat dari nilai i = 0, yang berarti tidak ada individu infe ted yangdapat menyebarkan penyakit. Selanjutnya, titik kesetimbangan E1 ini dit-uliskan dengan �s0; i0�. Dalam keadaan ini, penyakit tidak akan menyebar.17

2. E2 = ��1+�2+�� ; (1��1)�1�+(1��2)�2��(�1+�2)(�1+�2+�)(�1+�2+�)� �Titik kesetimbangan E2 merupakan titik kesetimbangan endemik. Hal inibisa dilihat dari nilai i yang tidak nol. Artinya, masih terdapat individuinfe ted yang dapat menyebarkan penyakit. Titik kesetimbangan E2 ini ke-mudian dituliskan dengan �se; ie�. Dalam keadaan ini, penyebaran penyakitakan meluas dan menyebabkan endemik.4.3 Rasio Reproduksi DasarTingkat penyebaran infeksi saat terjadi kontak antara individu infe teddengan individu sus eptible dinyatakan dalam suatu ukuran. Dalam epidemi-ologi, nilai tersebut biasa disebut dengan rasio reproduksi dasar (R0). IstilahR0 pertama kali digunakan George Ma Donald (1952) untuk mengkonstruksikanpenyebaran penyakit malaria (Wikipedia [22℄).Menurut Diekmann dan Hesterbeek [4℄, Heth ote [11℄, serta Shim [19℄, R0dide�nisikan sebagai rata-rata banyaknya infeksi sekunder jika satu individu in-fe ted dimasukkan ke dalam suatu kelompok yang semuanya sus eptible. NilaiR0 digunakan untuk mengetahui apakah penyakit akan menghilang sendiri ataumenyebar dalam populasi.Pada persamaan kedua sistem (4.5), diperolehdidt = �si� �� + �1 + �2�i= ��� + �1 + �2�i�1� �s� + �1 + �2 �Jika �s�+�1+�2 < 1 maka didt < 0, yang berarti bahwa penyakit berangsur-angsurmenghilang dari populasi dan tidak akan menyebar. Sebaliknya, jika �s�+�1+�2 > 1maka didt > 0, yang berarti penyakit akan meluas dan menjadi endemik. Sehinggarasio reproduksi dasar dapat dituliskan sebagaiR0 = �s� + �1 + �2 : (4.7)Selanjutnya, saat keadaan setimbang, jika semua individu adalah sus eptibledan tidak ada individu infe ted, nilai s pada persamaan (4.7) didekati dengan titik18

kesetimbangan bebas penyakit, s0. Sehingga nilai R0 dapat ditentukan denganR0 = ��(1� �1)�1 + (1� �2)�2�(�1 + �2)(�1 + �2 + �) : (4.8)4.4 Analisis KestabilanPerilaku penyebaran penyakit dapat diamati berdasarkan kestabilan darititik-titik kesetimbangan yang telah diperoleh. Kestabilan ditentukan berdasarkannilai eigen dari matriks Ja obian yang diperoleh melalui metode linearisasi.Matriks Ja obian baris satu dan dua sistem (4.5) adalahJ = 0� ��i� (�1 + �2) ��s�i �s� (� + �1 + �2) 1A : (4.9)Kestabilan dari titik-titik kesetimbangan E1 dan E2 ditentukan berdasarkan nilaieigen dari matriks Ja obian di titik-titik tersebut.4.4.1 Kestabilan di Titik Kesetimbangan E1Dengan mengevaluasi matriks Ja obian (4.9) di titikE1 = (s0; i0), diperolehJ(E1) = 0�0 ��s00 �s0 � (� + �1 + �2) 1A (4.10)dengan s0 = (1��1)�1+(1��2)�2�1+�2 . Persamaan karakteristik dari J(E1) adalahp(�) = �2 � ��s0 � ( + �1 + �2)��: (4.11)Nilai eigen dari matriks Ja obian (4.10) dapat ditentukan dengan menghitungakar karakterisik dari persamaan (4.11). Ada dua akar karakteristik (4.11), yaitu�1 = 0 atau �2 = �s0 � (� + �1 + �2). Selanjutnya, kestabilan di titik kesetim-bangan ini ditentukan berdasarkan Teorema 2.1.1 dan Tabel 2.1.Diperhatikan kembali de�nisi R0 pada persamaan (4.8). Nilai �2 bertandanegatif jika R0 < 1. Konsekuensinya, titik kesetimbangan E1 = (s0; i0) akanstabil. Sebaliknya, jika R0 > 1 maka nilai �2 bertanda positif sehingga titikkesetimbangan ini tidak stabil. Jadi, titik kesetimbangan bebas penyakit akanstabil jika R0 < 1. Demikian juga sebaliknya, titik kesetimbangan bebas penyakittidak stabil jika R0 > 1. 19

4.4.2 Kestabilan di Titik Kesetimbangan E2Dengan mengevaluasi titik E2 = (se; ie) pada matriks Ja obian (4.9), diper-oleh J = 0� ��ie �(�1 + �2 + �)�ie 0 1A ; (4.12)dengan ie = (1��1)�1�+(1��2)�2��(�1+�2)(�1+�2+�)(�1+�2+�)� . Persamaan karakteristik dariJ(E2) adalah p(�) = �2 + �ie�+ �ie(� + �1 + �2): (4.13)Dengan langkah yang sama, ada dua akar karakteristik persamaan (4.13), yaitu�1;2 = 12���ie+p(��ie)2 � 4�ie(�1 + �2 + �)�:Dari de�nisi R0 pada persamaan (4.8) dan titik kesetimbangan E2, diperolehhubungan �ie = (�1+�2)R0. Nilai diskriminan dari (4.13) akan bertanda negatifketika R0 < 4(�1 + �2 + �)�1 + �2 : (4.14)Kondisi (4.14) memberikan konsekuensi bahwa nilai eigen dari matriks Ja obian(4.12) adalah bilangan kompleks konjugate dengan bagian real bertanda negatif.Berdasarkan Teorema 2.1.1, titik kesetimbangan E2 akan stabil asimptotis.Namun, apabila R0 > 4(�1 + �2 + �)�1 + �2 ;nilai eigen dari matriks Ja obian (4.12) adalah berupa bilangan real. Nilai bilang-an tersebut dapat sama atau tidak sama, dan bertanda sama atau tidak sama.Untuk menentukan kriteria kestabilan ini dapat dilihat berdasarkan Tabel 2.1.4.5 Penerapan KasusPada bagian ini diberikan 1 kasus yang diambil dari Pi ollo dan Billings [13℄,dengan parameter yang telah ditetapkan. Diberikan laju kesembuhan � = 100.Parameter yang digunakan berdasarkan sensus data di kota New York [17℄. Totalpopulasi adalah N = 8 juta, dengan rata-rata banyaknya kelahiran 127 ribu per20

tahun dan rata-rata banyaknya imigran yang masuk 120 ribu per tahun, sehinggalaju kelahiran penduduk adalah �1 = 0:015875 dan laju imigrasi awal �2 = 0:015per tahunnya. Rata-rata kontak adalah � = 1700. Diberikan parameter vaksinasidengan laju vakinasi individu lahir adalah �1 = 0:6 dan laju vasinasi pendudukimigran adalah �2 = 0:5. Jumlah individu awal yang terinfeksi adalah I(0) = 50orang. Dengan demikian, model (4.4) untuk kasus ini disajikan sebagaidSdt = 110800� 0:0002125SI � 0:030875SdIdt = 0:0002125SI � 100:031IdRdt = 136200 + 100I � 0:030875R; (4.15)dengan S(0) = 7999950; I(0) = 50 and R(0) = 0.Model SIR (4.15) yang telah diperoleh diterapkan dalam kasus tersebutuntuk mengetahui proporsi individu sus eptible, infe ted dan re overed. Diten-tukan pola titik kesetimbangan pada model serta analisis kestabilan dari titikkesetimbangan tersebut. Tingkat keparahan dari penyakit diukur berdasarkanbanyaknya individu yang terinfeksi. Pun ak endemik, atau jumlah maksimalindividu infe ted ditentukan untuk menyatakan tingkat endemik. Penyelesaianmodel pada kasus ditentukan dengan menggunakan metode Runge-Kutta ordeempat, dengan bantuan program software Matlab 7.0.Berdasarkan persamaan (4.8), rasio reproduksi dasar pada kasus ini adalahR0 = 16:9948. Karena nilai R0 > 1, dalam kasus ini kemungkinan terjadi en-demik. Artinya, dimungkinkan penyakit infeksi akan menyebar lebih luas. Untukmen egah penyebaran infeksi ini perlu dilakukan program vaksinasi. Selanjutnya,proporsi individu sus eptible, infe ted dan re overed pada ontoh kasus tersebutdisajikan pada Gambar 4.2.Dari Gambar 4.2 tampak bahwa pada awalnya proporsi individu sus epti-ble mendekati 1. Namun, seiring berjalannya waktu jumlah individu sus eptiblesemakin berkurang. Hal ini terjadi karena adanya individu sus eptible yang ter-infeksi. Dengan demikian, terjadi perpindahan kelas dari S ke I.Pada kelas I, pada awalnya proporsi individu infe ted ke il, bahkan mendekatinol. Namun dengan berjalannya waktu terjadi kenaikan jumlah individu infe ted,21

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 105

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

susc

eptib

le, i

nfec

ted,

rec

over

ed

susceptibleinfectedrecovered

Gambar 4.2. Proporsi individu sus eptible (garis tebal), infe ted (garis tipis), danre overed (garis putus-putus)lalu terjadi penurunan kembali. Kenaikan jumlah individu infe ted berasal darikelas S saat terjadi infeksi. Sedangkan penurunan individu infe ted terjadi kare-na terjadi perpindahan ke kelas R. Dalam hal ini, individu infe ted telah banyakyang sembuh.Dengan memperhatikan perilaku gra�k proporsi individu infe ted, yang pa-da awalnya naik kemudian turun kembali, maka penting untuk melihat se ara ermat pun aknya. Pun ak endemik terjadi ketika proporsi individu infe tedmen apai maksimal. Berdasarkan Gambar 4.2, pun ak endemik terjadi disekitari � 0:7. Berikut diberikan 5 proporsi individu infe ted tertinggi yang disajikanpada Tabel 4.1. Berdasarkan Tabel 4.1 pun ak endemiknya yaitu imaks � 0:7746dan terjadi ketika t � 0:7444� 105.Selanjutnya pada kelas R, pada awalnya proporsi jumlah individu re overedadalah nol, kemudian mengalami kenaikan sepanjang berjalannya waktu. Propor-si ini berkebalikan dengan individu sus eptible. Dengan demikian, pada awalnyatidak ada individu yang sembuh dari penyakit. Kemungkinan adanya pemberi-an obat dan program vaksinasi menyebabkan jumlah individu yang sembuh dari22

Tabel 4.1. Proporsi individu infe ted di 5 titik tertinggit i0:7185� 105 0.76740:7315� 105 0.77270:7444� 105 0.77460:7573� 105 0.77370:7702� 105 0.7706penyakit terus bertambah.Titik kesetimbangan ditentukan untuk mengetahui letak di mana laju pe-rubahan jumlah individu pada pada masing-masing kelas adalah nol. Dengankata lain, banyaknya individu pada masing-masing kelas adalah konstan. Pa-da kasus ini hanya terdapat satu titik kesetimbangan, yaitu titik kesetimbanganendemik, di mana se = 0:0588; ie = 0:29049 � 10�3. Dengan demikian, padakeadaan yang sema am ini penyakit masih tetap ada (belum musnah). Nilaieigen dari titik kesetimbangan ini adalah �1 = �3:086�10�8+8:78�10�7i; �2 =�3:086 � 10�8 � 8:78 � 10�7i. Berdasarkan Teorema 2.1.1 dapat disimpulkanbahwa titik kesetimbangan ini stabil asimtotis. Lebih lanjut, kriteria kestabilandi titik kesetimbangan ini digambarkan pada bidang fase sus eptible � infe tedyang disajikan pada Gambar 4.3. Dari Gambar 4.3 tampak bahwa arah trayektoriberbentuk spiral yang menuju titik kesetimbangan sehingga dapat disimpulkanbahwa titik kesetimbangan ini stabil.Makna se ara �sik keadaan ini adalah pada infeksi tingkat awal, sudahterdapat sejumlah individu sehat. Kemudian, terjadi infeksi dan mulai mengalamikenaikan sampai proses ini lebih epat daripada banyaknya individu sehat yangmenjadi bertambah pada populasi. Pada akhirnya, hanya sedikit individu yangdapat menginfeksi, dan penyebaran penyakit akan berhenti. Lalu, individu yangsehat akan bertambah lagi (Pi ollo dan Billings [13℄).Pada kasus ini, individu yang menarik diamati adalah individu infe ted.Hal ini didasarkan pada anggapan bahwa keparahan dari suatu penyakit diukur23

0.05 0.052 0.054 0.056 0.058 0.06 0.062 0.064 0.066 0.0680

2

4

6

8

10

12

14

16x 10

−4

susceptible

infe

cted

Gambar 4.3. Trayektori individu sus eptible, infe tedberdasarkan banyaknya individu yang terinfeksi. Dengan demikian, menjadipenting untuk dapat mengetahui titik pun ak endemik. Dari titik pu ak en-demik, dapat diperkirakan keadaan terparah dari suatu penyebaran penyakit.Selanjutnya, dapat dilakukan suatu antisipasi saat keadaan itu terjadi. Misal-nya, dengan mempersiapkan perawatan yang dibutuhkan kepada individu yangterinfeksi. Hal ini dilakukan agar penyakit tidak semakin menyebar.Dari Gambar 4.2 terlihat bahwa pada awalnya proporsi individu infe tedke il kemudian mengalami kenaikan. Proporsi individu tertinggi, atau pun akendemik terjadi di imaks � 0:7746 dan terjadi ketika t � 0:7444 � 105. Titikpun ak endemik yang diperoleh bukan titik kesetimbangan. Titik pun ak en-demik ini masih bisa berubah dengan melakukan perubahan ke il pada nilai-nilaiparameter. Dari keadaan ini maka perlu dilakukan simulasi. Tujuan dari simu-lasi di sini adalah untuk dapat mengetahui pengaruh perubahan dari paramater-parameter tersebut terhadap pun ak endemik. Dengan demikian, dapat diambilsuatu strategi yang bertujuan untuk menurunkan pun ak endemik. Jika pun akendemik turun, maka keparahan dari penyakit yang terjadi juga berkurang.Ada 6 parameter yang terdapat pada model SIR dengan imigran (4.4). Di24

sini diperhatikan 4 parameter yang akan dilakukan simulasi, yaitu �, �, �1, dan�2. Simulasi � dilakukan untuk mengetahui pengaruh dari laju kontak individuinfe ted dengan sus eptible terhadap pun ak endemik. Sedangkan simulasi �untuk mengetahui pengaruh dari laju kesembuhan. Juga diberikan simulasi �1dan �2 untuk mengetahui pengaruh dari program vaksinasi pada penduduk tetapdan imigran.Hasil eksperimen numerik untuk laju kontak individu infe ted dengan sus- eptible dengan nilai-nilai� = 1700; 1600; 1500 dan 1400 disajikan pada Tabel 4.2.Berdasarkan Tabel 4.2 tampak bahwa semakin ke il nilai �, pun ak endemikakan semakin turun. Pada eksperimen ini, pun ak endemik terendah terjadiketika � = 1400. Dengan demikian, untuk menurunkan pun ak endemik dapatdilakukan dengan menurunkan laju kontak individu infe ted dengan sus eptible.Hal yang dapat dilakukan adalah dengan mengurangi atau menurunkan kontakterhadap individu yang terinfeksi. Dengan tingkat penurunan yang sama padanilai �, tingkat penurunan pun ak endemik terbesar terjadi ketika � = 1400.Tabel 4.2. Nilai pun ak endemik dengan simulasi variasi nilai �� Pun ak endemik (Imaks)1700 6.195639�1061600 6.113067�1061500 6.021657�1061400 5.919684�106Tabel 4.3 menunjukkan eksperimen numerik terhadap nilai � untuk � =100; 150; 200 dan 250. Dari Tabel 4.3 tampak bahwa semakin besar nilai �, pun- ak endemik akan semakin turun. Dengan demikian, untuk menurunkan pun akendemik dapat dilakukan dengan meningkatkan laju kesembuhan. Strategi yangdisarankan adalah dengan meningkatkan perawatan medis dan pemberian nutrisiterhadap individu yang terinfeksi. Dengan tingkat penambahan yang sama padanilai �, tingkat penurunan terbesar terjadi ketika � = 150.Pengaruh dari program vaksinasi terhadap pun ak endemik dapat diamati25

Tabel 4.3. Nilai pun ak endemik dengan simulasi variasi nilai �� Pun ak endemik (Imaks)100 6.195639�106150 5.579767�106200 5.040541�106250 4.568497�106pada Tabel 4.4. Tabel 4.4 kiri menunjukkan pengaruh dari program vaksinasiyang diberikan pada penduduk tetap. Pada kasus, mula-mula diberikan nilai�1 = 0:6. Untuk mengetahui pengaruhnya, simulasi dilakukan dengan menu-runkan dan menaikkan nilai �1. Di sini diambil nilai �1 = 0:4; 0:5; 0:6; 0:7 dan0.8. Dari Tabel 4.4 kiri tampak bahwa semakin besar �1, pun ak endemik se-makin menurun. Dengan demikian, agar penyakit infeksi tidak menyebar, pro-gram vaksinasi pada penduduk tetap masih perlu diadakan. Semakin banyakpenduduk yang divaksin, semakin meningkat pula penduduk yang mempunyaikekebalan tinggi terhadap penyakit infeksi. Sehingga penduduk yang terinfeksijumlahnya akan menurun. Artinya, pun ak endemik juga akan menurun.Tabel 4.4. Nilai pun ak endemik dengan simulasi variasi nilai �1�1 Pun ak endemik (Imaks) �2 Pun ak endemik (Imaks)0.4 6.194881�106 0.3 6.194967�1060.5 6.195442�106 0.4 6.195461�1060.6 6.195639�106 0.5 6.195639�1060.7 6.194657�106 0.6 6.194811�1060.8 6.194036�106 0.7 6.193655�106Hasil simulasi numerik untuk mengetahui pengaruh program vaksinasi pa-da penduduk imigran dapat dilihat pada Tabel 4.4 kanan. Pada kasus diberikannilai �2 = 0:5. Seperti simulasi pada �1, di sini simulasi numerik juga dilakukandengan menurunkan dan menaikkan nilai �2. Diambil nilai �2 = 0:3; 0:4; 0:5; 0:6dan 0.7. Berdasarkan Tabel 4.4 kanan dapat diamati bahwa semakin tinggi la-26

ju vaksinasi terhadap penduduk imigran, pun ak endemik semakin turun. Jadi,program vaksinasi pada penduduk imigran juga dapat menurunkan pun ak en-demik, sebagaimana vaksinasi terhadap penduduk tetap. Dengan demikian, pro-gram vaksinasi untuk penduduk tetap maupun imigran perlu dilakukan untukmenurunkan pun ak endemik. Simulasi pada parameter �1 menunjukkan bahwapenurunan tingkat endemik terbesar terjadi ketika �1 = 0:7. Demikian juga pada�2, penurunan tingkat endemik terbesar terjadi ketika �2 = 0:7.

27

BAB VPENUTUP5.1 KesimpulanDari pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan sebagaiberikut.1. Model SIR dengan imigran dan vaksinasi dapat diekspresikan sebagaidSdt = (1� �1)�1N + (1� �2)�2N � �SIN � (�1 + �2)S:dIdt = �ISN � (� + �1 + �2)IdRdt = (�1�1)N + (�1�2)N + �I � (�1 + �2)RdenganS(t)+I(t)+R(t) = N; �1 � 0; �2 � 0; 0 � �1 � 1; 0 � �2 � 1; � > 0; � > 0:2. Ada dua ma am titik kesetimbangan pada model SIR dengan imigran danvaksinasi, yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit �s0; i0�= � (1��1)�1+(1��2)�2�1+�2 ; 0�dan titik kesetimbangan endemik �se; ie�= ��1+�2+�� ;(1��1)�1�+(1��2)�2��(�1+�2)(�1+�2+�)(�1+�2+�)� �.3. Pada ontoh kasus, titik kesetimbangan yang diperoleh adalah titik kese-timbangan endemik. Berdasarkan kriteria nilai eigen, titik kesetimbangantersebut stabil asimtotis. Lebih lanjut, kriteria kestabilan tersebut dapatjuga disimpulkan berdasarkan gambar trayektori dalam bidang fase.4. Eksperimen numerik menunjukkan bahwa untuk menurunkan pun ak en-demik dapat dilakukan dengan menurunkan laju kontak individu terinfeksi,meningkatkan nilai laju kesembuhan, serta meningkatkan laju vaksinasi pa-da penduduk tetap dan vaksinasi pada imigran.28

5.2 SaranDalam skripsi ini, penulis membahas model SIR yang dipengaruhi faktorimigran dengan keadaan jumlah populasi konstan. Pada model ini tidak ter-dapat pemisahan populasi penduduk tetap dan imigran. Bagi pemba a yangtertarik dengan topik ini, model tersebut dapat dikembangkan dengan memba-gi populasi menjadi dua subpopulasi, yaitu penduduk tetap dan imigran. Halini untuk mengetahui penyebaran penyakit se ara lebih spesi�k pada tiap-tiapkelompoknya.

29

DAFTAR PUSTAKA[1℄ Bellomo, N. and L. Preziosi, Modeling Mathemati al Methods and S ienti� Computation, CRC Press, Florida, 1995.[2℄ Boy e, W. E. and R. C. DiPrima, Elementary Di�erential Equations andBoundary Value Problems, John Wiley and Sons, In ., New York, 1986.[3℄ Budiantoro, F., Analisis Kestabilan Lokal dan Global pada Model SIR denganImigran, Proposal Tugas Akhir Jurusan Matematika (sedang dikerjakan),FMIPA, Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2008.[4℄ Diekmann, O. and J. A. P Heesterbeek, Mathemati al Epidemiology of In-fe tious Diseases, John Wiley and Sons, In ., New York, 2000.[5℄ Weir, M. D., F. R. Giordano and W.P. Fox, A Firts Course in Mathemati alModeling, 3 ed., Brooks/Cole-Thomson Learning, In ., 511 Forest LodgeRoad, Pa i� Grove, USA, 2003.[6℄ Farlow, S. J., An Introdu tion to Di�erensial Equations and Their Appli a-tions, M Graw-Hill, In ., New York, 1994.[7℄ Finizio, N. and G. Ladas, Persamaan Diferensial Biasa dengan PenerapanModern, 2 ed., Alih bahasa: W. Santoso, Erlangga, Jakarta, 1988.[8℄ Grassly, N. C. and C. Fraser, Seasonal Infe tious Disease Epidemiology, Pro- eedings of the Royal So iety B, Department of Infe tious Disease Epidemi-ology, Imperial College London (2006).

30

[9℄ Haberman, R., Mathemati al Models (Me hani al Vibrations, PopulationDynami , and TraÆ Flow), Prenti e-Hall, In ., New Jersey, 1971.[10℄ Heth ote, H. W., Three Basi Epidemiologi al Models, Springer-Verlag BerlinHeidelberg 18 (1989), 119{142.[11℄ Heth ote, H. W., The Mathemati s of Infe tious Diseases, SIAM Review 42(2000), no. 4, 599{653.[12℄ Iannelli, M., The Mathemati al Modeling of Epidemi s, Mathemati s De-partment University of Toronto, 2005.[13℄ Pi ollo, C. III and L. Billings, The E�e t of Va inations in an ImmigrantModel, Mathemati al and Computer Modeling (2005), no. 42, 291{299.[14℄ Lewis, M., Mathemati al Models and Infe tious Disease Dynami s, WieslawKraw ewi z (2004).[15℄ Meyer, W. J., Con epts of Mathemati al Modeling, M Graw-Hill, In ., NewYork, 1984.[16℄ Nugroho, S., Pengaruh Vaksinasi terhadap Penyebaran Penyakit denganModel SIR, Skripsi, Matematika, FMIPA, Universitas Sebelas Maret,Surakarta, 2009.[17℄ New York Department of City Planning, 2000 Cen us Summary,http://www.ny .gov/html/ en us/pop2000.html, 2000[18℄ Ross, S. L.,Di�erential Equations, John Wiley and Sons, In ., New York,1984.[19℄ Shim, E., A Note on Epidemi s Models with Infe tive Immigrants and Va - ination, Mathemati al Bios ien es and Engineering (2006).[20℄ Weisstein, E. W., Sir model, A Wolfram Web Resour e, http://mathworld.wolfram. om/SIRModel.html. 31

[21℄ WHO, Measles, http://www.who.int/media entre/fa tsheets/fs286/en/,2007.[22℄ Wikipedia, Basi reprodu tion number, http://en.wikipedia.org/wiki/Basi reprodu tion number.

32