( Skripsi )

Oleh

Dwi Ratnasari

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

2017

MODEL PERTUMBUHAN PREMI ASURANSI JIWA BERJANGKA DENGANTINGKAT SUKU BUNGA KONSTAN UNTUK KASUS

KONTINU DAN DISKRIT

ABSTRAK

MODEL PERTUMBUHAN PREMI ASURANSI JIWA BERJANGKADENGAN TINGKAT SUKU BUNGA UNTUK KASUS KONTINU DAN

DISKRIT

Oleh

DWI RATNASARI

Dalam asuransi,terdapat istilah yang disebut asuransi jiwa dimana dalam asuransitersebut yang dipertanggungjawabkan adalah kematian. Asuransi jiwa punterdapat berbagai jenis produk, salah satunya yaitu asuransi jiwa berjangka. Jikaseseorang (tertanggung) menandatangani kontrak polis asuransi maka harusmembayarkan premi untuk tiap bulannya sebagai kewajiban atas keikutsertaannyapada asuransi. Premi itu sendiri dapat menaik ataupun menurun untuk tiaptahunnya. Pada pembayaran premi terdapat benefit yang akan diberikan kepada sitertanggung meninggal, jika pemberian benefit dilakukan pada saat tertanggungmeninggal disebut dengan kasus kontinu sedangkan jika benefit dibayarkan padaakhir tahun meninggalnya si tertanggung maka disebut dengan kasus diskrit.Dengan menentukan benefit yang akan diberikan tiap tahunnya untuk kasuskontinu maupun diskrit sehingga dapat mendapatkan model pertumbuhanpremi.Penelitian ini bertujuan untuk memodelkan pertumbuhan premi asuransijiwa berjangka dengan tingkat suku bunga konstan (sama tiap tahunnya) untukkasus kontiu dan diskrit.

Kata kunci : asuransi, asuransi jiwa, premi, benefit, pertumbuhan premi

ABSTRACT

PREMIUM GROWTH MODEL TERM LIFE INSURANCE WITH RATEOF INTEREST IS CONSTANT FOR KONTINU DAN DISKRIT CASE’S

By

DWI RATNASARI

In insurance,available the so called life assurance terminology where in thatinsurance one is laided at the door is death. Life assurance even exists variousproduct type, one of it which is life assurance gets meter. If someone (the insured)sign contracts insurance policy therefore have pay premium for every month it asliabilities on its participation on insurance. That premium is alone gets to ascendor menurun even for per annum it. On premium payment exists benefit who willbe given unto the the insured dies, if benefit's application is done at the momentdeceased the insured is called with kontinu's case whereas if benefit pay on year-end its deceased the the insured therefore so-called with diskrit's case. Bydetermining benefit what do will be given per annum it for kontinu's case and alsodiskrit so gets to get premium growth model. This research intent to model lifeassurance premium growth gets meter with level constant rate of interest (with perannum it) for kontinu's case and diskrit.

Key word: insurance, life assurance, premium, benefit, premium growth

MODEL PERTUMBUHAN PREMI ASURANSI JIWA BERJANGKADENGAN TINGKAT SUKU BUNGA KONSTAN UNTUK KASUS

KONTINU DAN DISKRIT

Oleh

DWI RATNASARI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh GelarSARJANA SAINS

Pada

Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2017

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Rumbia pada tanggal 07Januari 1996. Penulis merupakan anak ketujuh dari

pasangan Bapak Surip dan Ibu Rasminten sertaadik dari Sumaji, Sulastri, Suyono, Bambang

Wicaksono, Dodi Wahyudi, dan Ari Wibowo.

Penulis memulai pendidikan dari Pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 6 Rukti Basukipada

tahun 2001. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 1Rumbia pada tahun 2007.

Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Negeri 1Rumbia pada tahun 2011.

Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN pada

tahun 2013. Pada periode tahun 2013/2014 penulis terdaftar sebagai anggota Biro Dana dan

Usaha Himpunan Mahasiswa Matematika Unila juga sebagai anggota Natural dan Rohani Islam

(ROIS) .

Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah menyelesaikan Kerja

Praktik (KP) di Kantor Dinas Pendapatan UPTD Pendapatan Wilayah I Bandar Lampung dan

ditempatkan di bagian seksiPenagihan Dan Pendanaan selama kurang lebih satu bulan. Penulis

juga telah melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) Tematik pada tahun 2016 selama 40 hari di

Desa Purwodadi Kecamatan Bangun Rejo, Lampung Tengah.

PERSEMBAHAN

Puji dan syukur kepada Allah SWT berkat rahmat dan hidayah-Nya sebuahkarya sederhana namun penuh perjuangan telah terselesaikan

Kupersembahkan Skripsi ini untuk :

Kedua orang tuaku tercinta

Ayahanda Surip & Ibunda Rasminten

Serta Kakak- kakakku tersayang

Sumaji, Suyono, Sulastri, Bambang Wicaksono, Dodi Wahyudi,

Dan Ari Wibowo

Terimakasih atas jasa-jasa yang tak bisa ternilai harganyaTerimakasih atas setiap doa tulus yang kalian panjatkan

Terimakasih atas cinta dan kasih sayang yang kalian berikan

MOTTO

Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow(Albert Einstein)

Man jadda wajadda, man shabara zhafira, man sara ala darbi washala(Animo)

Kesabaran, kegigihan, dan kerja keras menciptakan sebuah kombinasiyang tidak terkalahkan untuk kesuksesan

(Napoleon Hill)

Selalu ada harapan bagi mereka yang sering berdoa, selalu ada jalanbagi mereka yang sering berusaha

(Dwi Ratnasari)

SANWACANA

Puji syukur kehadirat Allah SWT berkat rahmat dan hidayahnya, sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada

junjungan kita Nabi Muhammad SAW, suri tauladan terbaik sepanjang masa.

Pada proses penyusunan skripsi, penulis memperoleh banyak bantuan, dukungan, bimbingan

serta kritik dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu terselesaikan. Oleh karena

itu, dalam kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si., selaku dosen pembimbing utama yang telah membimbing

penulis dengan setulus hati, menyumbangkan ilmunya, memberikan motivasi serta telah

banyak meluangkan waktu ditengah kesibukannya untuk membimbing hingga skripsi ini

terselesaikan.

2. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah

banyak membantu, memberi masukan serta dengan sabar memberikan pengarahan

dalamproses penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Drs. Nusyirwan, M.Si., selaku dosen penguji yang telah memberikan kritikdan saran

yang membangun kepada penulis dalam proses penyelesaian skripsi ini.

4. IbuWidiarti, M.Si.,selaku Pembimbing Akademik.

5. Ibu Dra. Wamiliana, M.A.,Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lampung.

6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A, Ph.D selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.

7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah memberikan ilmu

pengetahuan dan segala bentuk bantuan kepada penulis.

8. Orang tuaku tercinta dan kakak - kakakku tersayang, serta seluruh keluarga yang

senantiasa memberikan kasih sayang yang tiadaterkira, selalu menjadi penyemangat

disaat lemah, selalu memotivasi penulis untuk memberikan yang terbaik, serta tak henti-

hentinya mendoakan untuk keberhasilan penulis.

9. Teman-teman satu bimbingan, vinny, Cinkia, Aiman, Retno, Shintia yang telah banyak

membantu, memberikan perhatian dan dukungan mental kepada penulis.

10. Untuk sahabat KKN, Disti, Melia, Shiska, Vyna, Indra, Yona, Gagah, Mydori terimakasih

telah mendengarkan keluh kesah dan memberikan semangat.

11. Teman-teman satu bimbingan akademik, Dita, Efrizal, dan Dimas yang selalu membantu

penulis, berjuang bersama serta saling mendukung dalam menyelesaikan skripsi ini.

12. Muhammad Adi Yusuf yang rela meluangkan waktunya untuk menemani, membantu dan

memberikan perhatian yang menjadi semangat tersendiri bagi penulis.

13. Keluarga besar HIMATIKAterimakasihataspengalaman yang luarbiasa.

14. Teman-teman seperjuangan Matematika 2013 yang tidak bisa penulis sebutkan satu

persatu, terimakasih atas empat tahun kebersamaan yang bermakna dan kisah-kisah indah

yang takkan terlupakan.

15. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu atas

peran dan dukungannya dalam menyusun skripsi ini.

Bandarlampung, 10 Oktober 2017

Penulis,

Dwi Ratnasari

i

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ........................................................................... iii

DAFTAR SIMBOL ............................................................................. iv

DAFTAR TABEL ............................................................................... vi

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ....................................................... 11.2 Tujuan Penelitian ......................................................................... 31.3 Manfaat Penelitian ....................................................................... 31.4 Batasan Masalah .......................................................................... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Asuransi ...................................................................................... 42.2 Asuransi Jiwa .............................................................................. 52.3 Jenis – Jenis Asuransi Jiwa ......................................................... 62.4 Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function) ...................... 82.5 Peluang Waktu Sisa Hidup (Curtate-Future-Lifetime) ............... 82.6 Laju Tingkat Kematian (Force Of Mortality) ............................. 122.7 Tabel Mortalitas .......................................................................... 152.8 Bunga .......................................................................................... 192.9 Laju Tingkat Suku Bunga (Force Of Interest) ............................ 202.10 Premi Tunggal ............................................................................. 212.11 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Berjangka .................................... 222.12 Fungsi Bilangan Bulat Terbesar .................................................. 252.13 Hubungan Antara Kasus Diskrit Dan Kasus Kontinu

Pada Asuransi Jiwa ...................................................................... 252.14 Premi Asuransi Jiwa Berjangka Menaik (Increasing)

Untuk Kasus Kontinu ................................................................... 272.15 Premi Asuransi Jiwa Berjangka Menurun (Decreasing)

Untuk Kasus Kontinu ................................................................... 28

ii

Halaman

2.16 Premi Asuransi Jiwa Berjangka Menaik (Increasing)Untuk Kasus Diskrit ..................................................................... 29

2.17 Premi Asuransi Jiwa berjangka Menurun (Decreasing)Untuk Kasus Diskrit ...................................................................... 31

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ......................................................... 323.2 Data Penelitian ................................................................................ 323.3 Metode Penelitian ........................................................................... 32

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Menentukan besarnya benefit tiap tahun yang akan diberikankepada tertanggung sesaat ketika meninggal (kontinu) ................. 39

4.2 Menghitung Nilai tpx...................................................................... 424.3 Memodelkan pertumbuhan premi (menaik dan menurun)

untuk kasus kontinu ....................................................................... 424.4 Menentukan besarnya benefit tiap tahun yang akan diberikan

kepada tertanggung pada saat akhir tahun meninggalnyasi tertanggung (diskrit) .................................................................... 51

4.5 Menghitung nilai k|qx dan v................................................................ 554.6 Memodelkan pertumbuhan premi (menaik dan menurun)

untuk kasus diskrit .............................................................................. 56

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 62

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

iv

DAFTAR SIMBOL

Simbol Pengertian

T(x) Sisa umur bagi x

FT(x) Peluang seseorang berusia x tahun akan meninggal sebelum berusia x+ttahun

st(x)(t) Peluang orang berusia x tahun akan hidup mencapai usia x+t tahun

tqx Peluang meninggal seseorang berusia x

tpx Peluang hidup seseorang berusia x

t|uqx Peluang seseorang berusia x akan meninggal antara umur x+t tahun danx+t+u( ) Laju tingkat kematian seseorang berusia x

lx Jumlah orang yang diharapkan masih hidup sampai usia x tahun

l0 Banyaknya bayi yang dilahirkan

L(x) Banyaknya bayi yang hidup sampai dengan usia x

Ij Indikator untuk bayi yang bertahan hidup dari j

dx Banyaknya orang berusia x tahun akan meninggal sebelum mencapai usiax+t tahun

nDx Banyaknya bayi yang meninggal antara usia x sampai dengan usia x+n tahun

ndx Banyaknya orang yang berusia x tahun akan meninggal sebelum mencapaiusia x+n tahun

i(m) Dana yang dibungakan lebih dari satu kali dalam setahun dengan m tahun

Laju tingkat suku bunga (force of interest)I Tingkat suku bungavt Faktor diskon (discount factor)bt Fungsi benefit/santunan

v

Simbol Pengertian

: | Premi yang harus dibayarkan oleh seseorang berusia x dengan jangka waktun tahun untuk kasus kontinu

: | Premi yang harus dibayarkan oleh seseorang berusia x dengan jangka waktun tahun untuk kasus diskrit

vk+1 Fungsi diskon pada kasus diskrit

bk+1 Fungsi benefit pada kasus diskrit⌊ ⌋ Fungsi bilangan bulat terbesar

bt = ⌊ + 1⌋ Besarnya benefit yang akan didapatkan oleh seorang tertanggung pada premimenaik yaitu sebesar t+1 satuan

: |Premi yang harus dibayarkan oleh seseorang berusia x akan menaik tiaptahunnya dalam jangka waktu n tahun

: |Premi yang harus dibayarkan oleh seseorang berusia x akan menurun tiaptahunnya dalam jangka waktu n tahun

k|qx Peluang meninggal seseorang berusia x( + ) Laju tingkat kematian seseorang berusia x sampai dengan x+t tahun

vi

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Life table united states 2002 ............................................................... 382. Nilai tpx................................................................................................ 423. Model premi menaik asuransi jiwa berjangka (kontinu) .................... 454. Premi menaik tiap tahun untuk kasus kontinu .................................... 465. Model premi menurun asuransi jiwa berjangka (kontinu) .................. 496. Premi menurun tiap tahun untuk kasus kontinu .................................. 507. Nilai k|qx dan v...................................................................................... 558. Model premi menaik untuk kasus diskrit ............................................. 579. Premi per tahun menaik untuk kasus diskrit ........................................ 5710. Model premi menaik untuk kasus diskrit ............................................. 5911. Premi per tahun menurun untuk kasus diskrit ..................................... 60

iii

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Sistem pembayaran benefit pada asuransi jiwa berjangka ............... 222. Kenaikan premi untuk kasus kontinu ............................................... 463. Penurunan premi untuk kasus kontinu ............................................ 514. Kenaikan premi untuk kasus diskrit ................................................. 585. Penurunan premi untuk kasus diskrit ............................................... 61

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Dan Masalah

Pada kehidupan saat ini, manusia tidak hanya membutuhkan tiga kebutuhan

( sandang,pangan, dan papan ) saja namun hal lain juga ingin dipenuhi seperti

halnya kebutuhan di hari tua maka manusia sudah menyiapkan dana pensiun

untuk masa yang akan datang serta anak-anak yang belum sekolah sudah

disiapkan dana mulai tingkat dasar hingga perguruan tinggi. Problem yang

ditakuti manusia adalah kemungkinan kematian yang terjadi terlalu dini.

Kematian ini merupakan hal yang pasti namun masalah waktu atau kapan

kematian itu datang adalah suatu hal yang tidak dapat ditentukan oleh manusia.

Salah satu cara untuk mengurangi risiko tersebut yaitu dengan mengalihkan atau

melimpahkan risiko tersebut kepada pihak atau badan usaha lain. Yang dimaksud

pihak atau badan usaha lain ialah suatu lembaga yang menjamin sekiranya timbul

suatu peristiwa yang tidak diinginkan, lembaga ini dikenal dengan apa yang

disebut asuransi.

Salah satu jenis asuransi yang dikenal sekarang ini adalah asuransi jiwa. Asuransi

jiwa merupakan alat sosial ekonomi, yang merupakan cara dari sekelompok orang

untuk dapat bekerjasama meratakan beban kerugian karena kematian sebelum

waktunya dari anggota-anggota kelompok tersebut. Pada asuransi jiwa yang

2

dipertanggungjawabkan ialah disebabkan oleh kematian (death). Terdapat

beberapa jenis asuransi jiwa yang sering ditawarkan oleh perusahaan asuransi

antara lain yaitu asuransi jiwa seumur hidup (whole life insurance), asuransi jiwa

berjangka ( term insurance), asuransi jiwa endowment murni (pure endowmet),

dan asuransi jiwa dwiguna (endowment). Pada saat seseorang menandatangani

kotrak polis asuransi maka akan dibebankan sejumlah premi yang harus

dibayarkan oleh orang tersebut. Premi merupakan sejumlah uang yang mesti

dibayarkan pada setiap bulannya sebagai suatu kewajiban dari yang tertanggung

atas keikutsertaannya pada asuransi.

Nilai besarnya premi dari keikutsertaannya pada asuransi yang mesti dibayarkan

sudah ditetapkan oleh para perusahaa asuransi dengan dapat memperhatikan

segala kondisi dari yang tertanggung. Premi yang dibayarkan bisa menaik ataupun

menurun untuk tiap tahunnya, pertumbuhan premi tersebut dapat dikategorikan

dalam dua kasus yaitu untuk kasus kontinu dan kasus diskrit. Pembayaran premi

dikatakan kasus kontinu ketika perusahaan asuransi memberikan benefit pada saat

tertanggung meninggal sedangkan dikatakan kasus diskrit ketika perusahaan

asuransi memberikan benefit pada saat akhir tahun meninggal si tertanggung.

Pada premi asuransi jiwa berjangka, pertumbuhan premi baik premi menaik

ataupun premi menurun memiliki perumusan tersendiri. Besarnya premi

dipengaruhi dengan lamanya waktu (jangka waktu) dan tingkat suku bunga.

Tingkat suku bunga biasanya sudah ditentukan oleh perusahaan asuransi dan

tingkat suku bunga yang digunakan biasanya akan sama tiap tahunnya (konstan.

Sehingga dari penjabaran masalah sebelumnya, penulis bermaksud untuk

3

membuat model pertumbuhan premi asuransi jiwa berjangka dengan tingkat suku

bunga konstan untuk kasus diskrit dan kontinu. Keuntungan dari pembentukan

model ini sendiri yaitu mempersingkat rumus utama premi menaik/menurun

sehingga mempermudah perhitungan premi tiap tahunnya, sedangkan

kelemahannya yaitu karna bentuk/model berasal dari penjabaran rumus utama

premi menaik/menurun sehingga perhitungan premi harus dilakukan bertahap.

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Membuat model pertumbuhan premi asuransi jiwa berjangka dengan tingkat

suku bunga konstan untuk kasus kontinu dan diskrit

2. Mengetahui pertumbuhan premi menaik dan menurun pada asuransi jiwa

berjangka

1.3 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Dapat memberikan informasi tentang pertumbuhan premi

2. Dapat memberikan informasi tentang model pertumbuhan premi asuransi jiwa

berjangka dengan tingkat suku bunga konstan untuk kasus kontinu dan diskrit

1.4 Batasan Masalah

Penelitian ini dibatasi hanya pada pertumbuhan premi tunggal asuransi jiwa

berjangka secara umum.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Asuransi

Untuk memenuhi kebutuhan yang belum pasti di masa yang akan datang tersebut

maka sebagian manusia memerlukan asuransi. Karena asuransi merupakan salah

satu buah peradaban manusia dan merupakan suatu hasil evaluasi kebutuhan

manusia yang sangat hakiki ialah kebutuhan akan rasa aman dana terlindung,

terhadap kemungkinan menderita kerugian. Asuransi merupakan buah pikiran dan

akal budi manusia untuk mencapai suatu keadaan yang dapat memenuhi

kebutuhannya, terutama sekali untuk kebutuhan – kebutuhannya yang hakiki

sifatnya antara lain rasa aman dan terlindung ( Hartono, 1992).

Disadari bahwa asuransi mempunyai beberapa manfaat antara lain pertama,

membantu masyarakat dalam rangka mengatasi segala masalah risiko yang

dihadapinya. Hal itu akan memberikan ketenangan dan kepercayaan diri yang

lebih tinggi kepada yang bersangkutan. Kedua, asuransi merupakan sarana

pengumpulan dana yang cukup besar sehingga dapat dimanfaatkan untuk

kepentingan masyarakat dana pembangunan. Ketiga, sebagai sarana untuk

mengatasi risiko – risiko yang dihadapi dalam melaksanakan pembangunan.

Selain itu, meskipun banyak metode untuk menangani risiko, asuransi merupakan

5

metode yang paling banyak dipakai. Karena asuransi menjanjikan perlindungan

kepada pihak tertanggung terhadap risiko yang dihadapi perorangan maupun

risiko yang dihadapi oleh perusahaan (Sastrawidjaja, 1993).

Karena dipandang begitu pentingnya asuransi bagi sebagian masyarakat maka

kebutuhan akan jasa perasuransian makin dirasakan, baik oleh perorangan

maupun dunia usaha di Indonesia. Asuransi merupakan sarana finansial dalam

dalam tata kehidupan rumah tangga, baik dalam mengahadapi risiko mendasar

seperti risiko kematian, atau dalam menghadapi risiko atas harta benda yang

dimiliki. Demikian pula dunia usaha dalam menjalankan kegiatannya menghadapi

berbagai risiko yang mungkin dapat mengganggu kesinambungan usahanya

(Darmawi, 2006).

2.2 Asuransi Jiwa

Asuransi jiwa merupakan alat sosial ekonomi, yang merupakan cara dari

sekelompok orang untuk dapat bekerja sama meratakan beban kerugian karena

kematian sebelum waktunya dari anggota - anggota kelompok tersebut. Pada

asuransi jiwa yang dipertanggungkan ialah yang disebabkan oleh kematian

(death). Kematian tersebut mengakibatkan hilangnya pendapatan seseorang atau

suatu keluarga tertentu. Risiko yang mungkin timbul pada asuransi jiwa terutama

terletak pada “unsur waktu (time), oleh karena sulit untuk mengetahui kapan

seseorang meninggal dunia. Untuk memperkecil risiko tersebut, maka sebaiknya

diadakan pertanggungan jiwa ( Darmawi, 2006).

6

Pada dasarnya yang dimaksud dengan asuransi jiwa adalah suatu asuransi yang

bertujuan untuk memberikan proteksi terhadap orang perindividu dan atau

perkelompok (keluarga) atas kerugian financial tak terduga, maksud dari kerugian

financial tak terduga adalah karena terjadi kematian yang mendadak (terlalu

cepat), cacat tetap total, atau sudah tidak produktif (terlalu tua – terlalu lama

hidup) atas seseorang yang mengakibatkan hilangnya penghasilan. Jadi, asuransi

jiwa akan memproteksi keluarga tertanggung jika sewaktu-waktu tertanggung

meninggal dunia atau sudah tidak produktif (karena terlalu tua) lagi, disini

diasumsikan tertanggung adalah tulang punggung keluarga, sehingga jika

tertanggung sudah tidak dapat memperoleh penghasilan lagi, asuransi jiwa akan

memberikan pertanggungan/santunan kepada keluarga yang tertanggung

tinggalkan tersebut (Darmawi, 2006).

2.3 Jenis – Jenis Asuransi Jiwa

Adapun jenis asuransi jiwa yang sering ditawarkan kepada konsumen oleh pihak

asuransi yang disesuaikan dengan kontrak asuransi konsumen, jenisnya sebagai

berikut :

1. Asuransi Jiwa Seumur Hidup

Asuransi jiwa seumur hidup merupakan asuransi yang memberikan proteksi

seumur hidup. Tentu asuransi ini juga memiliki kelemahan dan keuntungannya,

keuntungannya sendiri adalah dengan jangka waktu yang lebih lama jika

dibandingkan dengan term life, selain itu tertanggung (konsumen) juga akan

mendapat uang tunai dari premi yang dibayarkan. Sedangkan kelemahannya,

7

tentu premi yang lebih tinggi, walaupun nanti ada uang tunai yang diterima

dari pembayaran premi,namun jumlahnyatidaklah terlalu tinggi, apalagi nanti

jika mendapat pengurangan dari pajak, akan semakin kecil uang yang akan

diterima.

2. Asuransi Jiwa Berjangka

Asuransi jiwa berjangka adalah asuransi jiwa dengan sistem pertangggungan

berjangka waktu tertentu, artinya ada masa habisnya. Jangka waktu yang

dimaksud bervariasi, bisa 5 tahun, 10, 15, 20, dan seterusnya. Kelemahan

asuransi jiwa ini adalah jika tertanggung meninggal atau tidak produktif setelah

jangka waktunya habis, maka keluarga tidak mendapat pertanggungan.

Sedangkan keunggulannya adalah premi yang rendah, asuransi jiwa term life

adalah asuransi yang paling rendah preminya (paling murah). Walaupun

disebut sebagai asuransi jiwa yang paling murah, namun pertanggungannya

cukup tinggi yaitu mencapai miliaran rupiah.

3. Asuransi Jiwa Dwiguna (Endowment)

Asuransi jiwa dwiguna adalah asuransi dengan dua fungsi, fungsi pertama

adalah sebagai asuransi jiwa berjangka, dan fungsi kedua adalah sebagai

tabungan. Sebagai tabungan artinya tertanggung dapat menarik polis asuransi

jika suatu saat tertanggung memiliki kebutuhan yang mendesak, hal ini bisa

dilakukan dalam jangka waktu beberapa tahun sekali sesuai dengan perjanjian

kepada perusahaan asuransi, selain itu tertanggung juga akan mendapatkan

uang tunai seperti halnya pada asuransi whole life, namun persentasenya lebih

tinggi.

8

2.4 Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function)

Misalkan ( ) adalah seseorang yang berusia tahun pada saat polis asuransi

ditanda tangani dan sedangkan jarak waktu antara ( ) sampai meninggal dunia( ) akan disebut sisa umur bagi ( ), sehingga terdapat peubah acak ( ), yaitu( ) = − untuk ≥ 0. ( ) menyatakan sisa umur bagi ( ). Fungsi

distribusi dari ( ) dinyatakan dengan ( ) dan didefinisikan (Bowers, dkk.,

1997) dengan :

( ) = ( ( ) ≤ ), ≥ 0 (2.4.1)

( ) menyatakan peluang seseorang seseorang yang berusia tahun akan

meninggal sebelum berusia + tahun. Secara umum fungsi kelangsungan hidup

dapat dinyatakan dengan :

( )( ) = 1 − ( ) = ( ( ) > ) ; > 0 (2.4.2)( )( ) adalah peluang orang berusia x tahun akan hidup mencapai usia +

tahun.

2.5 Peluang Waktu Sisa Hidup (Curtate-Future-Lifetime)

Dalam fungsi kelangsungan hidup untuk kasus kontinu, simbol T(x) menyatakan

sisa umur bagi seseorang berusia atau T(x)= X – x. Dengan notasi peluangnya

= ( ( ) ≤ ) (2.5.1)

9

= 1 − = ( ( ) > ) (2.5.2)Sehingga fungsi distribusi dari ( ) nya adalah :

( )( ) = ( ( ) ≤ | > )= ( − ≤ | > )= ( ≤ ≤ + | > )= ( + ) − ( )1 − ( )= (1 − ( + ) − (1 − ( ))( )= ( ) − ( + )( )= ( )( ) − ( + )( )= 1 − ( + )( )= (2.5.3)

Maka

( ( ) > ) = 1 − ( ( ) ≤ )= 1 −= 1 − 1 − ( + )( )

10

= ( + )( )= (2.5.4)

Simbol tqx dapat diinterpretasikan sebagai probabilitas (peluang) bahwa (x) akan

meninggal dalam t tahun, tqx adalah fungsi distribusi pada T(x). Sebaliknya,

tpxdapat diinterpretasikan sebagai peluang bahwa (x) akan hidup sampa umur x+t,

tpx merupakan fungsi survival untuk (x). Dalam kasus tertentu untuk umur hidup

0, maka T(0) = X dan

tp0 = s(x) x ≥ 0 (2.5.5)

Jika t = 1, maka

qx = Pr[(x) akan meninggal diantara 1 tahun]

px = Pr[(x) akan hidup sampai umur x+1]

Berikut simbol khusus untuk kejadian yang lebih umum bahwa (x) akan hidup

selama t tahun dan meninggal diantara u tahun, (x) akan meninggal antara umur

x + t dan x + t + u

t|uqx = Pr[t < T(x) ≤ t + u]

= t+uqx - tqx

= tpx – t+upx (2.5.6)

Seperti sebelumnya, jika u = 1,sehingga u dapat dihapuskan pada t|uqx, dan

kemudian menjadi t|qx.

11

Diasumsikan bahwa observasi dari survival saat umur x akan menghasilkan untuk

survival sebagai perkiraan bahwa seorang bayi akan hidup pada umur x ,

kemudian

tpx = =( )( ) (2.5.7)

tqx = 1 -( )( ) (2.5.8)

dengan pendekatan ini, dan banyak kasus spesial, dapat dituliskan sebagai berikut

t|uqx =( ) ( )( )

=( )( ) ( ) ( )( )

= tpx uqx+t (2.5.9)

Peluang waktu sisa hidup (x) dinotasikan dengan K(x). Karena K(x) adalah

bilangan bulat terbesar dalam T(x), sehingga fungsi probabilitasnya menjadi

Pr[K(x) = k] = Pr[k ≤ T(x) < k+1]

= Pr[k < T(x) ≤ k+1]

= kpx – k+1px

= kpxqx+k

= k|qx ; k = 0, 1, 2, ... (2.5.10)

(Bowers,dkk., 1997).

12

2.6 Laju Tingkat Kematian (Force Of Mortality)

Laju kematian dari seseorang yang baru lahir dan akan meninggal antara usia x

dan x + Δx dengan syarat hidup pada usia x dapat dinyatakan dengan :

( < < + Δx| > ) = ( + Δx) − ( )1 − ( ) (2.6.1)Karena ( + Δx) − ( ) dapat dinyatakan sebagai fungsi limit, maka :

lim→ ( + Δx) − F(x)1 − ( ) = lim→ ( + Δx) − F(x). ΔxΔxlim→ 1 − ( )= lim→ ( + Δx) − F(x)Δx . Δxlim→ 1 − ( )= ( )Δx1 − ( )≌ ( )1 − ( ) (2.6.2)

Untuk setiap usia , laju tingkat kematian dari seseorang yang berusia tahun

dapatdinyatakan dengan

μ( ) = ( )1 − ( ) (2.6.3)atau

μ( + ) = ( )( ) (2.6.4)

13

Dengan μ( + ) adalah probabilitas (peluang) sisa umur hidup seseorang yang

berusia tahun antara + tahun dengan syarat ia masih hidup pada usia

sampai + tahun.

Karena ( ) = 1 − ( ) atau ( ) = 1 − ( ),maka :

( ) = ( ) = − ( ) (2.6.5)

Sehingga diperoleh nilai laju kematian pada usia x adalah :

μ( ) = − ′( )( ) = −1( ) . ( ( ))( )= − ln ( )( ) . ( ( ))( )= − ln ( )( )

μ( ) = − ln ( ) (2.6.6)

Dengan mengganti menjadi , maka diperoleh :

μ( ) = − ln ( ) (2.6.7)

dan dengan menggunakan intergral tertetu pada batas sampai + maka

diperoleh ∫ μ( ) = −∫ ln ( )= − ln ( )|= −{ln ( + ) − ln ( )}= − ln ( + )( )

14

= − ln= ∫ ( ) (2.6.8)

Jika nilai laju kematiannya konstan (μ( + ) = μ)untuk semua ≥ 0, artinya

besarnya nilai dari force of mortality (laju tingkat kematian) adalah sama untuk

semua usia nasabah yang hidup, yang artinya

( ) = = ∫ ( ) = ∫ = (2.6.9)

Diketahui sebelumnya bahwa adalah fungsi distribusi dari ( ), sehingga

fungsi densitas dari ( ) adalah :

( )( ) == 1 −= 1 − ( + )( )= − ( + )( )= − ( + )( )= ( + )( ) . − ′( + )( + )

( )( ) = . μ( + )(2.6.10)(Bowers, dkk., 1997).

15

2.7 Tabel Mortalitas

Pada tabel mortalitas terdapat variabel dan , menyatakan jumlah orang

yang diharapkan masih hidup sampai usia tahun dari sekelompok orang yang

jumlahnya ketika baru lahir. Dalam hal ini, yang menyatakan banyaknya

bayi yang baru dilahirkan diasumsikan mempunyanyi fungsi survival sama

dengan ( ).Misalkan = 100.000, lalu diberi indeks = 1, 2, 3, . . . , (orang ke-1, ke-2, . . .,

ke- ), dan ℒ( ) menyatakan banyaknya bayi yang hidup sampai dengan usia ,

sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut :

ℒ( ) = (2.7.1)dimana adalah indikator untuk bayi yang bertahan hidup dari , dan dapat pula

dinyatakan dengan :

= 1 , ℎ0,karena adalah random variabel, dan berdasarkan asumsi bahwa mempunyai

fungsi survival yang sama dengan ( ), maka akan diperoleh nilai peluangnya

sebagai berikut :

= 1 = ( ) (2.7.2)

= 0 = 1 − ( ) (2.7.3)

16

Dari persamaan (2.7.2) dan (2.7.3), diperoleh nilai harapan dari sebagai

berikut :

= 1. ( ) + 0. 1 − ( ) = ( )Sehingga nilai ekspetasi dari ℒ( ) dapat dinyatakan dengan :

[ℒ( )] === ( ) + ( )+ . . . + ( )= . ( ) (2.7.4)= .= . exp μ (2.7.5)

Selanjutnya, variabel menyatakan banyaknya orang berusia tahun akan

meninggal sebelum mencapat usia + 1 tahun.

Misalkan, menyatakan banyaknya bayi yang meninggal antara usia tahun

sampai dengan usia + tahun, maka berlaku persamaan berikut :

( < < + ) = ( ) − ( + )

17

Selanjutnya indikator yang berlaku adalah sebagai berikut :

= 1, + ℎ0,Karena adalah random variabel, maka akan diperoleh nilai peluangnya sebagai

berikut :

= 1 = ( ) − ( + ) (2.7.6)= 0 = 1 − { ( ) − ( + )} ( 2.7.7)

Dari persamaan (2.7.6) dan (2.7.7) diperoleh nilai harapan dari sebagai berikut :

==

= . { ( ) − ( + )}= . ( ) − . ( + )= − (2.7.8)

dimana menyatakan banyaknya orang yang berusia tahun yang meninggal

sebelum mencapai usia + tahun.

Berdasarkan persamaan (2.7.4) dan (2.7.8) diperoleh persamaan sebagai berikut :

= . ( ) ⇒ ( ) =

18

= (2.7.9)dan

= 1 − = 1 − = − = (2.7.10)Sehingga peluang ( ) akan meninggal sebelum mencapai usia + tahun dapat

dinyatakan dengan :

= 1 −= 1 −= −= (2.7.11)

dan sebuah peluang meninggal yang ditangguhkan atau kondisi yang menyatakan

bahwa akan berlangsung hidup sampai tahun dan meninggal dalam tahun,

didefinisikan sebagai berikut :

| = 1 − | (2.7.12)Jika = 1, maka berdasarkan (2.7.12) diperoleh :

| = −= . = (2.7.13)

19

2.8 Bunga

Bunga merupakan pembayaran yang dilakukan oleh peminjam sebagai balas jasa

atas pemakaian uang yang dipinjam. Secara umum perhitungan bunga dibagi

menjadi dua, yaitu bunga sederhana dan bunga majemuk.

1. Bunga Sederhana (Simple Interest)

Bunga tunggal atau bunga sederhana adalah besarnya bunga dihitung dari

nilai pokok awal dikalikan dengan tingkat bunga dan waktu . Besarnya bunga

sederhana dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

= . . (2.8.1)

dengan :

: interest value (nilai bunga)

: Pokok investasi

: rate of interest annually, tingkat suku bunga

: time, jangka waktu (lama) investasi (tahun)

2. Bunga Majemuk (Compound Interest)

Bunga majemuk adalah perhitungan bunga dimana besar pokok janga

investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya di tambah dengan besar

bunga yang diperoleh . Besar bunga majemuk dapat dihitung dengan

menggunakan rumus :

= . (2.8.2)

20

dengan :

: interest value (nilai bunga)

: Pokok investasi

: rate of interest annuality, tingkat suku bunga

: time, jangka waktu (lama) investasi (tahun)

2.9 Laju Tingkat Suku Bunga (Force Of Interest )

Definisikan bahwa i(m) merupakan nominal interest rate atau yang biasa disebut

dana yang dibungakan lebih dari satu kali dalam setahun dengan m tahun

(Gerber, 1990) . Sehingga dapat dituliskan

1 + ( ) = 1 + (2.9.1)Sehingga

( ) = (1 + ) − 1 (2.9.2)Kemudian dilimitkan dengan → ∞, diperoleh

= lim→∞

( ) (2.9.3)Hal tersebut disebut dengan force of interest (laju tingkat suku bunga) dengan

tingkat suku bunga i.

21

Kemudian dituliskan kembali

( ) = (1 + ) − (1 + )1/ (2.9.4)Terlihat bahwa merupakan derivative function dari (1+i)x pada saat x = 0. Jadi

didapatkan

= ln(1 + ) atau

= 1 +Sehingga jika untuk t tahun maka diperoleh persamaan

(1 + ) = (2.9.5)Diketahui bahwa discount factor untuk periode atau waktu yang sama adalah

= (2.9.6)2.10 Premi Tunggal

Pada asuransi dengan perhitungan kontinu, pembayaran benefit kepada ahli waris

nasabah dilakukan sesaat setelah nasabah meninggal dunia. Jumlah dan waktu

pembayaran benefit pada asuransi jiwa tergantung pada panjang interval dari

dikeluarkannya polis sampai tertanggung meninggal dunia. Berdasarkan uraian

tersebut, asuransi jiwa terdiri dari fungsi benefit atau santunan ( ) dan . Fungsi

adalah nilai sekarang dari pembayaran dan adalah panjang interval pada

saat polis dikeluarkan sampai dengan ( ) meninggal dunia.Keduanya membentuk

22

suatu peubah acak yang dilambangkan dengan yang didefinisikan sebagai

berikut :

= .Karena ( ) adalah peubah acak dari sisa waktu hidup nasabah atau waktu dari

dikeluarkannya polis sampai waktu meninggalnya nasabah, maka adalah fungsi

peubah acak (Actuarial Present Value) pembayaran benefit pada saat polis

asuransi dikeluarkan (Bowers, dkk., 1997).

2.11 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Berjangka

Asuransi jiwa berjangka adalah suatu asuransi yang membayarkan benefit atau

santunan kepada ahli waris nasabah apabila si nasabah meninggal dunia selama

dalam jangka waktu polis asuransi yang telah ditentukan.

Gambar 1. Sistem pembayaran benefit pada asuransi jiwa berjangka

Pada asuransi jiwa berjangka menyediakan pembayaran sebesar satu unit hanya

jika tertanggung meninggal pada jangka n tahun masa asuransi. Jika satu unit

pembayaran pada saat meninggal (x), maka

+ −

23

bt = 1 ≤0 >vt = vt t ≥ 0

z = ≤0 >Definisi ini menggunakan tiga syarat. Pertama, future lifetime merupakan variabel

non-negatif, didefinisikan bt, vt, and z hanya pada nilai non negatif. Kedua, untuk

nilai t dimana bt bernilai 0, nilai vt tidak relevan. Ketiga, kecuali jika, laju tingkat

suku bunga ( force of interest ) diasumsikan konstan. APV ( actuarial present

value ) untuk asuransi jiwa berjangka dengan satu unit pembayaran pada saat

meninggal (x), E[Z], dinotasikan dengan x1: n| . Kemudian dapat dihitung dengan

mengenali Z sebagai fungsi T jadi E[Z] = E[zT]. Kemudian gunakan p.d.f pada T

untuk peroleh

x1: n| = E[Z] = E[zT] = ∫ ( )

=∫ ( )= ∫ ( )= ∫ ∫ ( ) ( ) ( konstan)

= ∫= ∫ ( )= (1 − ( ) )

24

Pada asuransi jiwa berjangka dengan pembayaran benefit pada saat akhir tahun

meninggal fungsi benefit dinotasikan dengan bk+1, dan fungsi diskon vk+1,

sejumlah benefit kan dibayarkan dan faktor diskon diperlukan untuk periode dari

waktu pembayaran saat kejadian polis ketika curtate-future-lifetime tertanggung

adalah k, ketika tertanggung meninggal pada tahun k+1 masa asuransi. Present

value pada kejadian polis dengan pembayaran benefit dinotasikan dengan zk+1

zk+1 =bk+1vk+1

Untuk asuransi jiwa berjangka menyediakan satu unit jumlah benefit yang akan

dibayarkan pada akhir tahun meninggal si tertanggung, diperoleh

bk+1 =1 = 0, 1, … , − 10

vk+1 = vk+1

z == 0, 1, … , − 10

Actuarial Present Value (APV) dari asuransi jiwa berjangka diberikan sebagai

berikut

x1: n|= E[Z] = ∑

(Bowers, dkk., 1997).

25

2.12 Fungsi Bilangan Bulat Terbesar

Di antara fungsi-fungsi yang akan sering digunakan sebagai contoh terdapat dua

fungsi yang sangat khusus yaitu : fungsi nilai mutlak, | |, dan fungsi bilangan

bulat terbesar ⌊ ⌋. Fungsi – fungsi ini didefinisikan oleh :

| x | =≥ 0– < 0

dan

⌊ ⌋ = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.

Jadi, |-3,1| = |3,1|, sedangkan ⌊−3,1⌋ = -4 dan ⌊3,1⌋ = 3. Fungsi nilai mutlak

adalah genap, karena | -x | = | x | sedangkan fungsi bilangan bulat terbesar bukan

fungsi genap atau ganjil (Purcell, dkk., 2003).

2.13 Hubungan Antara Kasus Diskrit Dan Kasus Kontinu Pada Asuransi

Jiwa

Disini akan dibahas hubungan dengan analisis actuarial present value untuk

asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran benefit sebesar satu unit pada

saat tertanggung meninggal, didapatkanx = ∫ ( )∞= ∫ ( ) + ∫ ( )∞

(2.13.1)

Ubah variabel dengan s = t-1 pada integral kedua sehinggax = ∫ ( ) + ∫ ( + 1)∞(2.13.2)

26

Kemudian, dengan basis mortalita( + 1) = ( + + 1) (2.13.3)

Pada (2.13.2) akan menjadi . Pada basis mortalitas kedua akan menjadi

[ ] [ ] . Kembali menggunakan (2.13.2) dan menggunakan notasi

sebelumnya,

diperoleh x = ∫ ( ) + = + (2.13.4)

Dibawah asumsi bahwa umur kematian tiap tahun berdistribusi uniform,( ) = (2.13.5)

Kemudian, = ∫ + = + (2.13.6)

Domain untuk hubungan ini adalah x = 0, 1, ..., - 1, dan nilai awal = 0.Jika ditambahkkan kedua sisi formula (a) dengan , maka didapatkan

= + (2.13.7)

Dengan (a) dan (2.13.6) memiliki bentuk yang sama dan domain sama serta nilai

awal 0 pada saat , adalah solusi untu (2.13.6), dan = (2.13.8)

Formula (2.13.8) diasumsikan berdistribusi uniform. Dengan menggunakan

asumsi ini membuat satuan unit pembayaran benefit pada saat tertanggung

meninggal sama dengan satu unit pembayaran selanjutnya untuk tahun kematian.

Dengan mengingat ke suku bunga, satu unit pembayaran berlanjut seluruh tahun

27

sama dengan pada akhir tahun meninggal. Formula (2.13.8) dapat diperoleh

menggunakan random variabel future-lifetime dengan asumsi berdistribusi

uniform pada usia kematian tiap tahun sehingga dapat dituliskan T = K+S.K dan S

saling bebas dan S berdistribusi uniform diseluruh unit interval. K + 1 dan 1 – S

juga saling bebas, dan 1 – S berdistribusi uniform pada seluruh unit interval.

Kemudian = [ ] = [ (1 + ) ] (2.13.9)

Sehingga dapat digunakan hubungan saling bebas K + 1 dan 1 – S untuk

menghitung [ (1 + ) ] = [ ] [(1 + ) (2.13.10)

Faktor pertama berada pada sisi kanan berada pada . Sudah diketahui bahwa 1-

S berdistribusi uniform di seluruh unit intervalnya, faktor kedua yaitu

[(1 + ) ] = ∫ (1 + ) 1 = (2.13.11)

Sehingga diperoleh kembali = ( ) dibawah asumsi usia kematian pada

tiap tahun berdistribusi uniform (Bowers, dkk.,1997).

2.14 Premi Asuransi Jiwa Berjangka Menaik (Increasing) Untuk Kasus

Kontinu

Kenaikan benefit pada asuransi jiwa berjangka akan berpengaruh dengan kenaikan

premi, jika diasumsikan tertanggung akan mendapatkan benefit sebesar 1 unit,

28

maka tahun kedua akan mendapatkan benefit sebesar 2 unit dan seterusnya,

sehingga

bt = ⌊ + 1⌋ ≤0 >vt = vt

Z = ⌊ + 1⌋ ≤0 >Maka APV nya

(I )x1

: n| = E [Z] = ∫ ⌊ + 1⌋ vttpx µx (t) dt (2.14.1)

(Bowers, dkk., 1997).

2.15 Premi Asuransi Jiwa Berjangka Menurun (Decreasing) Untuk Kasus

Kontinu

Melengkapi kenaikan asuransi jiwa berjangka adalah setiap tahun penurunan

asuransi jiwa berjangka menyediakan benefit sebesar n pada saat meninggal

selama tahun pertama, n-1 pada saat meninggal selama tahun kedua, dan

seterusnya, dengan cakupan berakhir pada n tahun. Berikut fungsi dari asuransi

tersebut :

bt = − ⌊ ⌋ ≤0 >vt = vt t > 0

Z = ( − ⌊ ⌋ ) ≤0 >

29

Sehingga diperoleh APV (Newton, dkk., 1997) sebagai berikut

(D )x1

:n| = ∫ ( − ⌊ ⌋) tpx µx(t) dt (2.15.1)

2.16 Premi Asuransi Jiwa Berjangka Menaik (Increasing) Untuk Kasus

Diskrit

Increasing premi asuransi jiwa berjangka dengan pembayaran pada saat

tertanggung meninggal di akhir tahun disebut dengan kasus diskrit , pada premi

menaik dalam kasus diskrit ini memiliki beberapa fungsi sebagai berikut :

bk+1 =+ 1 = 0, 1, … , − 10 = , + 1,…… .

vk+1 = vk+1

zk+1 =( + 1 ) = 0, 1, … , − 10 = , + 1, …… .

Sehingga memiliki Actuarial Present Value sebagai berikut :

(IA)x1

: n|= ∑ ( + 1) kpx qx+k (2.16.1)

Dalam kasus lain, setiap tahun kenaikan asuransi jiwa berjangka yang dibayarkan

pada saat meninggal. Untuk asuransi ini memiliki present-value sebagai berikut :

Z = ⌊ + 1⌋ <0 ≥ (2.16.2)

30

Dimana ⌊ + 1⌋= K + 1 , kita dapat menggunakan hubungan T = K +S untuk

mengisi

Z = ( + 1 ) <0 ≥ (2.16.3)

Jika W merupakan present-value random variable untuk setiap tahun kenaikan

asuransi berjangka n tahun yang dibayarkan pada akhir tahun meninggal,

W =( + 1 ) = 0, 1, . . , − 10 = , + 1,………… . (2.16.4)

Kemudian

Z = W (1+i) 1-S (2.16.5)

Dan

E[Z] = E[W (1+i)1-S] (2.16.6)

Dimana W adalah fungsi dari K + 1 sendiri dan K+1 dan 1-S saling bebas ,

E[Z] = E[W] E [ (1+i)1-S]

= (IA)x . ∫ (1 + ) . 1= (IA)x

1:n| (2.16.7)

Hasil ini untuk asuransi seumur hidup dan kenaikan asuransi berjangka yang

dibayarkan pada saat meninggal, jika diasumsikan usia kematian di tiap tahun

berdistribusi uniform, dengan bentuk formula sebagai berikut

31

= Ax (2.16.8)

Dan

(I )x1

: n| = (IA)x1

:n| (2.16.9)

(Bowers, dkk.,1997).

2.17 Premi Asuransi Jiwa berjangka Menurun (Decreasing) Untuk Kasus

Diskrit

Setiap tahun peurunan benefit asuransi jiwa berjangka selama periode n tahun

menyediakan benefit pada akhir tahun meninggal dalam jumlah sama untuk n-k

dimana k jumlah tahun lengkap hidup oleh tertanggung karena masalah.

Fungsinya :

bk+1 =− = 0, 1, … , − 10 = , + 1,… .

vk+1 = vk+1 k=0, 1,......

zk+1 =( − ) = 0,1, … , − 10 = , + 1,… . .

Dengan APV

(DA)x1

: n|= ∑ ( − ) kpx qx+k

(Bowers, dkk., 1997).

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Tempat Dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester genap tahun akademik

2016/2017.

3.2 Data Penelitian

Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan data yang diambil dari life

table for the total population: United States, 2002(terlampir). Data yang akan

digunakan yaitu tertanggung yang berusia 25 tahun dengan kontrak asuransi

selama 10 tahun (n = 10). Dengan tingkat suku bunga (i) premi tiap tahunnya

(konstan) sebesar 6% atau 0,06, maka akan diperoleh laju tingkat suku bunga ( )

sebesar 0,058. Dengan perhitungan dibantu dengan Ms.Excel.

3.3 Metode Penelitian

Dengan data yang akan digunakan di atas, maka terdapat langkah-langkah untuk

penelitian ini sebagai berikut :

33

1. Menentukan besarnya benefit tiap tahun yang akan diberikan kepada

tertanggung sesaat ketika meninggal (kontinu)

Diketahui bahwa untuk premi menaik memiliki fungsi benefit sebagai

berikut :

bt =⌊ + 1⌋ ; ≤0 ; >

dengan t = 0, 1, 2, 3, ..., n-1, sehingga ketika tertanggung meninggal pada

tahun ke-t maka akan mendapatkan benefit sebesar t + 1, jika tertanggung

meninggal setelah n tahun (masa waktu berlakunya polis asuransi) maka

tertanggung ataupun keluarga tertanggung tidak akan mendapatkan benefit.

Kemudian untuk premi menurun asuransi jiwa berjangka memiliki fungsi

benefit sebagai berikut :

bt =− ⌊ ⌋ ; ≤0 ; >

dengan t = 0, 1, 2, 3, ..., n-1, ketika tertanggung meninggal pada saat tahun

ke-t maka akan mendapatkan benefit sebesar n – t , jika tertanggung

meninggal setelah n tahun maka tertanggung maupun keluarga tertanggung

tidak akan mendapatkan benefit.

2. Menghitung nilai tpx

Pada rumus premi menaik/menurun, besarnya premi juga dipengaruhi oleh

peluang hidup seseorang berusia x (tpx). Nilai tpxdapat diperoleh dari

34

=3. Memodelkan pertumbuhan premi (menaik dan menurun) untuk kasus kontinu

Diketahui bahwa rumus dari premi asuransi jiwa berjangka menaik dapat

dituliskan sebagai berikut :

bt =⌊ + 1⌋ ; ≤0 ; >

vt = vt

Z =⌊ + 1⌋ ; ≤0 ; >

( Dimana⌊ ⌋ merupakan fungsi bilangan bulat terbesar )

Sehingga premi tunggal untuk premi menaik sebagai berikut :

(I )x1

: n| = E [z] = ∫ ⌊ + 1⌋ vttpx µx (t) dt

Kemudian untuk premi menurun dapat dituliskan :

bt =− ⌊ ⌋ ; ≤0 ; >

vt = vt ; t > 0

Z =( − ⌊ ⌋) ; ≤0 ; >

Sehingga memiliki Actuarial Present Value sebagai berikut :

(D )x1

:n| = ∫ ( − ⌊ ⌋) tpx µx(t) dt

Diasumsikan bahwa x = 25 tahun.

35

4. Menentukan besarnya benefit tiap tahun yang akan diberikan kepada

tertanggung pada saat akhir tahun meninggalnya si tertanggung (diskrit)

Diketahui bahwa untuk premi menaik memiliki fungsi benefit sebagai

berikut :

bk+1 =+ 1 ; = 0, 1, … , − 10 ; = , + 1,…… .

Jika tertanggung meninggal pada tahun ke-k+1 maka tertanggung akan

mendapatkan benefit sebesar k+1, sedangkan jika tertanggung meninggal

melebihi masa kontrak asuransi maka tertanggun maupun keluarga

tertanggung tidak akan mendapatkan benefit.

Kemudian untuk premi menurun memiliki fungsi sebagai berikut :

bk+1 =− ; = 0, 1, … , − 10 ; = , + 1,… .

Jika tertanggung meninggal pada saat tahun ke-k+1 maka akan mendapatkan

benefit sebesar n-k jika meninggal sebelum masa kontrak asuransi, namun

jika meninggal setelah kontrak akan tertanggung tidak akan mendapat benefit.

5. Menghitung nilai | dan v

Dalam perhitungan premi menaik/menurun dipengaruhi dengan nilai | dan

v, sehinggaakan dihitung nilai | dengan :

| =Kemudian akan dihitung nilai v : = (1 + ) ( )

36

6. Memodelkan pertumbuhan premi (menaik dan menurun) untuk kasus diskrit

Diketahui bahwa rumus untuk premi menaik sebagai berikut :

bk+1 =+ 1 ; = 0, 1, … , − 10 ; = , + 1,…… .

vk+1 = vk+1

zk+1 =( + 1 ) ; = 0, 1, … , − 10 ; = , + 1,…… .

Sehingga memiliki Actuarial Present Value untuk premi menaik sebagai

berikut :

(IA)x1

: n|= ∑ ( + 1) kpx qx+k

Kemudian untuk premi menurun memiliki rumus sebagai berikut :

bk+1 =− ; = 0, 1, … , − 10 ; = , + 1, … .

vk+1 = vk+1 ;k=0, 1,......

zk+1 =( − ) ; = 0,1, … , − 10 ; = , + 1,… . .

sehingga memiliki Actuarial Present Value untuk premi menurun sebagai

berikut :

(DA)x1

: n|= ∑ ( − ) kpx qx+k

37

Diketahui bahwa kpx qx+k =k|qx, sehingga dapat disubtitusikan ke rumus premi

menaik dan premi menurun, dapat dituliskan sebagai berikut :

(IA)x1

: n|= ∑ ( + 1) k|qx

Dan

(DA)x1

: n|= ∑ ( − ) k|qx

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian, maka dapat disimpulkan bahwa :

1. Dari model premi menaik asuransi berjangka untuk kasus kontinu( ) : | = E [Z] = ∫ ⌊ + 1⌋ vttpx µx (t) dt

dengan bertambahnya waktu (t) dimana t ≤ n dengan n = 10 serta

meningkatnya benefit tiap tahun sebesar 1 satuan maka premi yang

dibayarkan akan menaik tiap tahunnya dengan besar kenaikan berbeda tiap

tahunnya.

2. Dari model premi menurun asuransi jiwa berjangka untuk kasus kontinu

(D )x1

:n| = ∫ ( − ⌊ ⌋) tpx µx(t) dt

dengan bertambahnya waktu (t) dimana t ≤ n dengan n = 10 namun benefit

tiap tahun menurun 1 satuan, maka premi yang akan dibayarkan tiap tahun

juga menurun dengan besar penurunan berbeda tiap tahunnya.

3. Dari model premi menaik asuransi jiwa berjangka untuk kasus diskrit

(IA)x1

: n|= ∑ ( + 1) kpx qx+k

dengan bertambahnya k dimana k=0,1,…,n-1 dengan n =10 , serta

bertambahnya benefit sebesar 1 satuan tiap tahunnya, maka premi yang akan

63

dibayarkan akan menaik tiap tahunnya dengan besar kenaikan berbeda tiap

tahunnya.

4. Dari model premi menaik asuransi jiwa berjangka untuk kasus diskrit

(DA)x1

: n|= ∑ ( − ) kpx qx+k

dengan bertambahnya k dimana k=0,1,…,n-1 dengan n =10,serta

menurunnya benefit sebesar 1 satuan tiap tahunnya, maka premi yang akan

dibayarkan akan menurun tiap tahunnya dengan besar penurunan berbeda tiap

tahunnya.

5. Pada pensubtitusian data ke dalam model premi menaik dan menurun untuk

kasus diskrit dan kontinu, premi yang harus dibayarkan tiap tahun untuk

kasus kontinu lebih besar dibandingkan dengan premi yang harus dibayarkan

pada kasus diskrit.

DAFTAR PUSTAKA

Bowers, N. L., dkk. 1997. Actuarial Mathematics. The Society Of Actuaries.

Darmawi, Herman. 2006. Manajemen Asuransi. Jakarta, Bumi Aksara. Hal 1.

Gerber, Hans U. 1990. Life Insurance Mathematics. Springer-Verlag Berlin

Heidelberg, New York. First Edition.

Hartono, Sri Rejeki. 1992. Hukum Asuransi Dan Perusahaan Asuransi.

Jakarta, Sinar Grafika

Purcell, Edwin L., dkk. 2003. Calculus 8th Edition.Prentice Hall. Edisi 8.

Rotar, Vladimir I. Actuarial Models :The Mathematics Of Insurance.

New York : Taylor &bFrancis Group. Second Edition

Sastrawidjaja, M. Suparman dan Endang. 1993. Hukum Asuransi. Bandung,

Alumni. Hal 166.