A B

C

D E

Pada ∆ ABC, jika D dan E berturut – turut pada AC dan BC

sedemikian sehingga DE // AB, maka berlaku

AD : DC = BE : EC

=

+

= ( Terbukti )

A B

C

P

R

Q

Jika suatu garis memotong ketiga sisi

∆ ABC atau perpanjangannya, masing-masing di titik P, Q, dan

R. Maka berlaku:

𝑨𝑸𝑸𝑩

×𝑩𝑹𝑹𝑪

×𝑪𝑷𝑪𝑨

=−𝟏

Misal, (berlawanan)Salah satu AQ/QB, bertanda ( ) QB, bertanda ( )1.

2. 3.

Maka, diperoleh:== (terbukti)

A

B CP

QR

O

Pada ∆ ABC , jika P, Q, dan R berturut-turut pada BC, AC, AB,

sehingga AP, BQ, dan CR berpotongan di titik O, maka

berlaku:

Karena ∆AOR dan ∆BOR memiliki tinggi yang sama, maka:

𝐿∆ 𝐴𝑂𝑅𝐿∆𝐵𝑂𝑅

=𝐴𝑅 . tinggi𝑅𝐵. tinggi

↔𝐿∆ 𝐴𝑂𝑅𝐿∆𝐵𝑂𝑅

=𝐴𝑅𝑅𝐵

… (1)∆ACR dan ∆BCR juga memiliki tinggi yang sama sehingga dengan cara yang sama diperoleh:𝐿∆ 𝐴𝐶𝑅𝐿∆𝐵𝐶𝑅

=𝐴𝑅𝑅𝐵

…(2)

Karena ruas kanan dan sama, maka:

𝐿∆ 𝐴𝐶𝑅−𝐿∆ 𝐴𝑂𝑅=𝐿∆ 𝐴𝑂𝐶𝐴𝑅𝑅𝐵

×𝐿∆𝐵𝐶𝑅−𝐴𝑅𝑅𝐵

×𝐿∆𝐵𝑂𝑅=𝐿∆ 𝐴𝐶𝑅−𝐿∆ 𝐴𝑂𝑅

𝐴𝑅𝑅𝐵

× (𝐿∆𝐵𝐶𝑅−𝐿∆𝐵𝑂𝑅 )=𝐿∆ 𝐴𝐶𝑅−𝐿∆ 𝐴𝑂𝑅

𝐴𝑅𝑅𝐵

=𝐿∆ 𝐴𝐶𝑅−𝐿∆ 𝐴𝑂𝑅  𝐿∆𝐵𝐶𝑅−𝐿∆𝐵𝑂𝑅

↔𝑨𝑹𝑹𝑩

=𝑳∆ 𝑨𝑶𝑪  𝑳∆𝑩𝑶𝑪  

tbc…

A

B CP

QR

O

Pada ∆ ABC , jika P, Q, dan R berturut-turut pada BC, AC, AB,

sehingga AP, BQ, dan CR berpotongan di titik O, maka

berlaku:

Selanjutnya, karena ∆BOP dan ∆POC memiliki tinggi yang sama, maka:𝐿∆𝐵𝑂 𝑃𝐿∆ 𝑃𝑂𝐶

=𝐵𝑃𝑃𝐶

… (3)∆BAP dan ∆PAC juga memiliki tinggi yang sama sehingga dengan cara yang sama diperoleh:𝐿∆𝐵𝐴𝑃𝐿∆ 𝑃𝐴𝐶

=𝐵𝑃𝑃𝐶

… (4 )

Karena ruas kanan dan sama, maka:

𝐿∆𝐵𝐴𝑃−𝐿∆𝐵𝑂𝑃=𝐿∆𝐵𝑂𝐴𝐵𝑃𝑃𝐶

× 𝐿∆𝑃𝐴𝐶−𝐵𝑃𝑃𝐶

×𝐿∆𝑃𝑂𝐶=𝐿∆𝐵𝐴𝑃−𝐿∆𝐵𝑂𝑃

𝐵𝑃𝑃𝐶

× (𝐿∆ 𝑃𝐴𝐶− 𝐿∆ 𝑃𝑂𝐶 )=𝐿∆𝐵𝐴𝑃− 𝐿∆𝐵𝑂𝑃

𝐵𝑃𝑃𝐶

=𝐿∆𝐵𝐴𝑃− 𝐿∆𝐵𝑂𝑃  𝐿∆ 𝑃𝐴𝐶−𝐿∆ 𝑃𝑂𝐶

↔𝑩𝑷𝑷𝑪

=𝑳∆𝑩𝑶𝑨  𝑳∆AOC  

*)sambungan

*)

tbc…

A

B CP

QR

O

Pada ∆ ABC , jika P, Q, dan R berturut-turut pada BC, AC, AB,

sehingga AP, BQ, dan CR berpotongan di titik O, maka

berlaku:

Sama seperti yang sebelumnya, karena ∆COQ dan ∆QOA memiliki tinggi yang sama, maka:𝐿∆𝐶𝑂𝑄𝐿∆𝑄𝑂𝐴

=𝐶𝑄𝑄𝐴

…(5)∆CBQ dan ∆QBA juga memiliki tinggi yang sama sehingga dengan cara yang sama diperoleh:𝐿∆𝐶𝐵𝑄𝐿∆𝑄𝐵𝐴

=𝐶𝑄𝑄𝐴

… (6)

Karena ruas kanan dan sama, maka:

𝐿∆𝐶𝐵𝑄−𝐿∆𝐶𝑂𝑄=𝐿∆𝐵𝑂𝐶𝐶𝑄𝑄𝐴

×𝐿∆𝑄𝐵𝐴−𝐶𝑄𝑄𝐴

×𝐿∆𝑄𝑂𝐴=𝐿∆𝐶𝐵𝑄− 𝐿∆𝐶𝑂𝑄

𝐶𝑄𝑄𝐴

× (𝐿∆𝑄𝐵𝐴−𝐿∆𝑄𝑂𝐴 )=𝐿∆𝐶𝐵𝑄− 𝐿∆𝐶𝑂𝑄

𝐶𝑄𝑄𝐴

=𝐿∆𝐶𝐵𝑄− 𝐿∆COQ  𝐿∆𝑄𝐵𝐴− 𝐿∆𝑄𝑂𝐴

↔𝑪𝑸𝑸𝑨

=𝑳∆𝑩𝑶C  𝑳∆ B𝑶𝑨

**)sambungan (lagi)

**)

tbc…

A

B CP

QR

O

Pada ∆ ABC , jika P, Q, dan R berturut-turut pada BC, AC, AB,

sehingga AP, BQ, dan CR berpotongan di titik O, maka

berlaku:

***)bagian akhir

***)

Dari pembahasan sebelumnya, dapat dituliskan

𝐴𝑅𝑅𝐵

×𝐵𝑃𝑃𝐶

×𝐶𝑄𝑄𝐴

=𝐿∆𝐵𝑂𝐴𝐿∆𝐵𝑂𝐴

𝐴𝑅𝑅𝐵

×𝐵𝑃𝑃𝐶

×𝐶𝑄𝑄𝐴

=1(terbukti)