Mixture Autoregressive(MAR)

Eni Sumarminingsih, SSI, MM

Model Mixture Autoregressive (MAR) merupakan gabungan dari K Gaussian model AR.

Keunggulan model MAR adalah kemampuan model ini untuk memodelkan data yang bersifat heteroskedastik dengan fungsi distribusi kumulatif bersyarat

Secara umum model MAR adalah

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa fungsi distribusi kumulatif bersyarat dari Yt merupakan gabungan dari K komponen normal model AR(p) yang mempunyai rata – rata dan ragam

Dengan K adalah banyaknya komponen pk adalah orde model AR ke k

p adalah max (p1, p2, …, pK)

= fungsi distribusi kumulatif bersyarat dari Yt, yang diketahui informasi sebelumnya

= fungsi distribusi

kumulatif dari distribusi normal bakuα1, α2, …, αK = proporsi mixture dengan syarat

α1+ α2+ …+ αK = 1 dan αk > 0

Secara alternatif, yt dapat disusun sebagai berikut :

Dengan ek,t = sisaan komponen ke – k

Model MAR dengan dua komponen , masing –masing berorde 1 atau AR (1) dengan proporsi masing – masing komponen adalah α1 dan α2 dapat ditulis sebagai model MAR (2;1,1) sebagai berikut

Dengan kondisi stasioner model MAR (2;1,1) dan

Salah satu karakteristik model MAR adalah distribusi bersyarat dari model tersebut merupakan multimodal, sehingga memiliki k rata – rata (k,t)

Fungsi harapan bersyarat

Fungsi ragam bersyarat dari yt yang bergantung pada kt adalah

Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter dilakukan menggunakan metode Maximum Likelihood dan diselesaikan menggunakan metode Expectation Maximization

Fungsi likelihood :

Fungsi log likelihood

dimana

Algoritma Expectation Maximization(EM)

Algoritma EM terdiri dari dua tahap yaitu E-step dan M-step. Tahapan algoritma EM

a. E-step• Menentukan nilai awal • Menghitung nilai harapan fungsi loglikelihood

dan nilai harapan bersyarat dari Xt,k, yaitu t,k.

Nilai harapan fungsi log likelihood dapat ditulis sebagai berikut:

dengan

i menunjukkan langkah iterasi algoritma(i) menunjukkan vektor parameter pada iterasi

ke-i

b. M-stepTahap ini digunakan untuk mendapatkan nilai

parameter yang baru dengan cara memaksimumkan nilai Q(| (i))yaitu dengan menurunkan Q(| (i)) terhadap masing – masing parameter dan menyamakan dengan nol

Persamaan penduga parameter k adalah

• Persamaan penduga parameter k adalah

• Persamaan penduga parameter 𝜙kj dan 𝜙k0 adalahDimana t-1 merupakan vektor berukuran (1x(p+1)) sehingga

Proses pendugaan parameter diperoleh dengan mengiterasikan ketiga persamaan penduga parameter tersebut sampai didapatkan nilai yang konvergen yaitu saat

Uji Signifikansi Model MAR

H0 : = 0

H1 : 0

Statistik uji yang digunakan

Diagnostik Model MAR

Gunakan Uji Ljung Box Q

Peramalan

Ramalan satu periode ke depan