MicrosoftWord LATIHAN TriliusSeptalianaKR Aisyah

1 Analisis Real, 2011

Trilius Septaliana KR (20102512011) - Aisyah (20102512023)

LATIHAN 4.1

1. Tentukan sebuah kondisi pada |� − 1| yang akan menjamin bahwa :

a. |�� − 1| < ��

Penyelesaian:

Kita perhatikan |�� − 1| = |� − 1||� + 1| < ��,

Sekarang jika |� − 1| < 1, maka |� + 1| < 3,

Selanjutnya jika |� − 1| < ��, maka

|�� − 1| = |� − 1||� + 1| < 3|� − 1| < 3 ∙ 16 = 12

b. |�� − 1| < ��

Penyelesaian:

Kita perhatikan |�� − 1| = |� − 1||� + 1| < ��,


Selanjutnya jika |� − 1| < ��∙��, maka

|�� − 1| = |� − 1||� + 1| < 3|� − 1| < 3 ∙ 13 ∙ 10�� = 110��

c. |�� − 1| < �� , ∀�∈ ℕ

Penyelesaian:

Kita perhatikan |�� − 1| = |� − 1||� + 1| < �� , ∀�∈ ℕ


Selanjutnya jika |� − 1| < ��, maka

|�� − 1| = |� − 1||� + 1| < 3|� − 1| < 3 ∙ 13� = 1�



d. |�� − 1| < �� , ∀�∈ ℕ

Penyelesaian:

Kita perhatikan |�� − 1| = |� − 1||�� + � + 1| < �� , ∀�∈ ℕ

Sekarang jika |� − 1| < 1, maka |�| < 2,

Akibatnya, |�� + � + 1| < |��| + |�| + 1 < 4 + 2 + 1 = 7,

Jadi, apabila |� − 1| < ��, maka

|�� − 1| = |� − 1||�� + � + 1| < 7|� − 1| < 7 ∙ 17� = 1�

3. Misalkan c sebuah titik cluster pada � ⊆ ℝ dan !: � → ℝ. Buktikan bahwa lim'→( !)�* = +, jika dan hanya jika lim'→(|!)�* − +| = 0. Penyelesaian: )⟹* lim'⟶( !)�* = +, berarti ∀/> 0 ∃ 3 > 0 ∋ 5678 0 < |� − 9| < 3

:878 |!)�* − +| < ;. Karena <|!)�* − +| − 0< = |!)�* − +| < =, bila

0 < |� − 9| < 3 maka <|!)�* − +| − 0< < ;. Jadi, karena ; > 0 sebarang,

maka kita sampaikan lim'→(|!)�* − +| = 0. )⟸* lim'→(|!)�* − +| = 0 berarti ∀/> 0 ∃ 3 > 0 ∋ 5678 0 < |� − 9| < 3 maka

<|!)�* − +| − 0< < ;. Karena |!)�* − +| = <|!)�* − +| − 0< < ;, bila 0 < |� − 9| < 3 maka |!)�* − +| < =. Karena ; > 0 sebarang maka lim'→( !)�* = +.

4. Misalkan !: ? → ℝ dan misalkan 9 ∈ ℝ. Tunjukkan bahwa lim'→( !)�* = +

jika dan hanya jika lim'→� !)� + 9* = +.

Penyelesaian : )⟹* lim'→( !)�* = +,

Ambil sebarang ; > 0, maka � + 9 = @ ∃ 3 > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |� − 9| < 3 maka |!)�* − +| < =. Sekarang misalkan x – c = y maka

apabila 0 < |� − 9| < 3 maka 0 < |@| < 3. Sehingga |!)@ + 9* − +| < ;.

Karena ; > 0 sebarang,



Maka kita simpulkan bahwa limA→�B!)@ + 9*C = lim'→( !)@ + 9* = +. )⟸* lim'→� !)� + 9* = +.

Untuk ; > 0 yang diberikan ∃ 3 > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |�| < 3

maka |!)� + 9* − +| < ;. Misalkan x + c = y.

Apabila 0 < |�| < 3 maka 0 < |@ − 9| < 3, sehingga |!)@* − +| < ;.


maka kita simpulkan limA→( !)@* = lim'→( !)�* = +.

7. Tunjukkan lim'→( �� = 9�, ∀(∈ ℝ.

Penyelesaian : |�� − 9�| = |� − 9||�� + 9� + 9�| < ;. Sekarang apabila |� − 9| < 9 maka |�� + 9� + 9�| < |�|� + 9|�| + 9� < 49� + 9 ∙ 29 + 9� = 79�.

Jadi, untuk ; > 0 yang diberikan. Pilih 3 = :6�D9E, E /�(FG,

apabila 0 < |� − 9| < 3,

maka |�� = 9�| = |� − 9||�� + 9� + 9�| < 79�|� − 9| < 79� ∙ (�(F = ;.

Karena ; > 0 sebarang, maka kita simpulkan lim'→( �� = 9�.

12. Misalkan fungsi !: ? → ℝ mempunyai limit L di 0, dan misalkan 8 > 0. Jika H: ? → ℝ didefinisikan oleh H)�* = !)8�*, ∀'∈ ℝ. Tunjukkan bahwa lim'⟶� H)�* = +.

Bukti :

Fungsi !: ? → ℝ mempunyai limit L di 0, berarti 8 > 0 yang diberikan

terdapat 3� > 0, sedemikian sehingga jika !)�* < 3� maka |!)�* − +| < ;.

Sekarang misalkan x = ay, dan 3� = 83�,

sedemikian sehingga 0 < |8@| < 3� maka |!)8@* − +| < ;.

Kemudian pilih 3 = :6�)3�, 3�*

Selanjutnya jika 0 < |@| < 3 maka |H)@* − +| < ;.

Karena ; > 0 sebarang, kita simpulkan lim'⟶� H)@* = lim'⟶� H)�* = +.



LATIHAN 5.4

1. Tunjukkan bahwa fungsi !)�* = �' adalah kontinu seragam pada himpunan

� ≔ J8E, E∞*, dimana a adalah konstanta positif.

Penyelesaian :

Ambil ; > 0,

Pilih 3 = 8�; > 0, sedemikian sehingga jika �, L ∈ �, |� − L| < 3, maka

|!)�* − !)L*| = M1� − 1LM = |� − L||�||L|

≤ �OF |� − L| < �OF ∙ 8�; = ;

Karena ; > 0 sebarang, maka dapat disimpulkan bahwa !)�* = �' kontinu

seragam pada A.

5. Tunjukkan bahwa jika f dan g adalah kontinu seragam pada � ⊆ ℝ, maka f + g

kontinu seragam pada A.

Bukti :

Ambil ; > 0,

∃3� > 0 ∋ �, L ∈ �, |� − L| < 3� ⟹ |!)�* − !)L*| < ;2

∃3� > 0 ∋ �, L ∈ �, |� − L| < 3� ⟹ |H)�* − H)L*| < ;2

Sehingga, ∃3� > 0 ∋ �, L ∈ �, |� − L| < 3� ⟹ |)! + H*)�* − )! + H*)L*| < ;,

Pilih 3� = :6�D3�, 3�P

Sedemikian sehingga ∀',(∈ �, |� − L| < 3� maka |)! + H*)�* − )! + H*)L*| = |!)�* − !)L* + H)�* − H)L*| ≤ |!)�* − !)L*| + |H)�* − H)L*| ≤ /� + /� = ;



6. Tunjukkan bahwa jika f dan g kontinu seragam pada � ⊆ ℝ dan jika keduanya

terbatas pada A, maka hasil dari fg kontinu seragam pada A.

Bukti :

Ambil ; > 0,

Analisa |)!H*)�* − )!H*)L*| = |!)�*H)�* − !)�*H)L* + !)�*H)L* − !)L*H)L*| ≤ |H)�* − H)L*||!)�*| + |!)�* − !)L*||H)L*| Oleh karena f dan g terbatas pada A, maka ∃ 7 > 0, Q� > 0 ∋ ∀'∈ �, |!)�*| ≤ 7 R8� |H)�*| ≤ Q dengan mengambil Q ≔ SLTDU, Q�P, maka |)!H*)�* − )!H*)L*| ≤ |H)�* − H)L*||!)�*| + |!)�* − !)L*||H)L*| ≤ |H)�* − H)L*| ∙ 7 + |!)�* − !)L*| ∙ Q�

≤ Q|H)�* − H)L*| + Q|!)�* − !)L*| Karena f dan g kontinu seragam pada A, maka :

∃3� > 0 ∋ �, L ∈ �, |� − L| < 3� ⟹ |!)�* − !)L*| < ;2Q

∃3� > 0 ∋ �, L ∈ �, |� − L| < 3� ⟹ |H)�* − H)L*| < ;2Q

Pilih 3 = :6�D3�, 3�P

Sedemikian sehingga bila �, L ∈ �, |� − L| < 3 berlaku |)!H*)�* − )!H*)L*| ≤ Q|H)�* − H)L*| + Q|!)�* − !)L*| < Q ∙ /�V + Q ∙ /�V = ;


maka dapat diambil kesimpulan fg kontinu seragam di A.



15. Jika !�)�* ≔ 1, L�WL7 � ∈ J0,1X, hitunglah polynomial Bernstein pertama

untuk !�. Tunjukkan bahwa !�)�* ≔ 1 bertepatan pada !�. Petunjuk: Teorema

Binomial menyatakan bahwa

)8 + Y*� = Z [�7\ 8]Y��]�]^�

Bukti :

_�)�* = Z ! `7�a [�7\�]^� �])1 − �*��]

_�)�* = Z ! `7�a [�7\�]^� �])1 − �*��]

= ! [��\ B��C��)1 − �*� + ! [��\ B��C��)1 − �*�

= !)0*)1 − �* + !)1*�

_�)�* = Z ! `7�a [�7\�]^� �])1 − �*��]

= ! [��\ B��C��)1 − �*� + ! [��\ B��C��)1 − �*� + ! [��\ B��C��)1 − �*�

= !)0*)1 − �*� + ! [��\ 2�)1 − �* + !)1*��

Jadi, !�)�* ≔ 1 _�)�* = 1)1 − �* + 1� = 1

)8 + Y*� = Z [�7\ 8]Y��]�]^�

Jika,

8 = �, Y = 1 − � ⟹ 1 = Z [�7\ �])1 − �*��]�]^�



6.4 DIFFERENTATION

1. Misalkan f (x) = cos ax untuk x ∈ ? dimana a ≠ 0. Tentukan !)�*)�* untuk

n ∈ N , x ∈ ?.

Jawab:

f (x) = cos ax

f ‘(x) = −8 sin ax

f ‘’(x) = −8� cos ax

f ‘’’(x) =8� sin ax

!bb)�* = c )−1*�� 8� cos 8� , � Hg�8T)−1*�h�� 8� sin 8� , � H8�56jE

2. Misakan H)�* = | �� | untuk x ∈ ?. Carilah H′(�)R8� H′′(�) untuk x ∈ ?,

dan H′′(�) untuk x ≠ 0, sedemikian hingga H′′′(0) tidak ada.

Jawab : H(�) = | �� |

Hb(') = 3��, � > 0

−3��, � < 0 Hb(�) = lim'→� H(�)

= 0 0 ≤ H(�) ≤ |�|� 0 ≤ H(�) ≤ |�|� Hbb(�) = 6 , � > 0

−6 , � < 0

Hbb(0) = lim'→� lm(')'

Hbb(0) = 0 0 ≤ |H(�)| ≤ |3��| 0 ≤ | H(�)� | ≤ 3�



Hbb(�) = 6 , � > 0

−6 , � < 0

Hbbb(0) = lim'→��nH(�) − H(0)� − 0 = lim'→��n 6�� = 6

Hbbb(0) = lim'→��nH(�) − H(0)� − 0 = lim'→��n −6�� = −6

Hbbb(0) ≠ Hbbb(0) → Hbbb(0) tidak ada.

3. Gunakan latihan sebelumnya terdahulu untuk mengaproksimasi √1,2 dan √2

. Berapa ketelitian terbaik yang dapat kamu yakinkan dengan menggunakan

ketidaksamaan itu?

Jawab :

o) √1,2 1 + �� (0,2) − �q (0,2)� ≤ √1,2 ≤ 1 + �� . 0,2

1 + 0,1 − 0,005 ≤ √1,2 ≤ 1 + 0,1

1,094 ≤ √1,2 ≤ 1,1

o) √2 1 + �� . 1 − �q . 1 ≤ √2 ≤ 1 + ��

1 + 0,1 − 0,005 ≤ √1,2 ≤ 1 + 0,1

1,375 ≤ √2 ≤ 1,5

Yang lebih teliti √1,2 sebab

1,1 – 0,095 = 0,005 < 1,5 – 1,375 = 0,125.

4. I himpunan bagian R adalah sebuah interval terbuka, misalkan !: s → ?

diferensiabel pada I, dan andaikan f ‘’(a) ada pada a ∈ s

Tunjukan bahwa

!bb(8) = limt→�!(8 + ℎ) − 2!(8) + !(8 − ℎ)ℎ�

Bukti :

= limt→�!′(8 + ℎ) − !′(8 − ℎ)2ℎ



= limt→�!bb(Oht) + !′′(8 − ℎ)2

= limt→� �� !bb(8 + ℎ) + limt→� �� !bb(8 − ℎ)

= !bb(8).

!(�) = !b(�) pada a = 0

LATIHAN 7.4 INTEGRAL RIEMAN

1. Misalkan f terintegralkan pada [ 0, 1]. Tuunjukkan bahwa

lim�→v [��\ ∑ ! []]\ = x !��]^�

Bukti :

Ambil y� partisi dari [0,1] = ( 0 , ��,

�� , … , �� = 1 )

Pilih ;] = ]� , untuk setiap k = 1, 2, ... , n.

Maka jumlah Riemannya adalah 3 (y� , f ) = ∑ ! (;]) ({]�]^� − {]��)

= �� ∑ ! ( ]� )�]^�

Karena f terintegralkan pada [ 0, 1 ] , maka

x ! = lim�→v 3 �� (y� , f ) = lim�→v �� ∑ ! ( ]� )� ]

Selanjutnya

L ( P, f ) ≤ S (y; !) ≤ } (y; !)

L ( f ) ≤ lim�→v 3 (y; !) ≤ } (!)



2. Tunjukkan bahwa lim�→v [∑ �]F h �F�]^� \ = ~�

Bukti :

lim�→v �Z �7� + ��

]^� � = lim�→v `1�a Z �7� + ��

]^�

= lim�→v �[��\ ∑ �[��\F h��]^� �

= x ��Fh �� R�

= [arc tg � ]��

= ~� − 0 =

~�

3. Misalkan f (x) = x untuk � ∈ [0, Y] dan misalkan y = B�� , �� , … , ��C partisi

dari [0, Y]. Tunjukkan bahwa untuk titik antara ;] = �� (�] + �]��) , k = 1, ... ,

n, bersesuaian dengan jumlah Rieman memenuhi S (y; !) = �� Y�. Bukti : 3 (y� , f ) = ∑ !(;])({] −�]^� {]��)

= Z ! `12a ({] +�]^� {]��) , ( {] − {]��

= Z 12 ( {] +�]^� {]�� ) ( {] − {]�� )

= 12 Z( {]��]^� − {]�� )

= �� ({�� − {��)

= �� Y�



4. Gunakan Teorema 7.4.2 or 7.4.5 untuk memberikqn pembuktian lain dari

Teorema Dasar 7.3.1.

Jawab :

Ambil ; > 0.

Untu setiap P partisi dari I yang memenuhi kesimpulan 7.4.2

Misalkan y = ({� , … , {�)

Dan misalkan F = I → R memenuhi kondisi Teorema 7.3.1 maka untuk setiap

k

Ada :] ∈ [{]��, {]] sedemikian hingga �({]) − �({]��) = �b(:]) 4{] = !(:]) 4{].

Selanjutnya

�(Y) − �(8) = ZB�({]) − �({]��)C = Z !(:]) 4{]�

]^� = S(y; !)�]^�

Oleh karena f terintegralkan, menurut teorema 7.4.2 diperoleh | S(y; !) − x !�O | < ;

Karena S(y; !) = �(Y) − �(8), maka diperoleh| �(Y) − �(8) − x !�O | < ;

Karena ; > 0 , disimpulkan x !�O = �(Y) − �(8)

MicrosoftWord LATIHAN TriliusSeptalianaKR Aisyah

Documents

Transcript of MicrosoftWord LATIHAN TriliusSeptalianaKR Aisyah