METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTERS UNTUKPERAMALAN DATA DERET WAKTU MUSIMAN

(Studi Kasus Data Jumlah kedatangan Wisatawan Mancanegara MelaluiBandara Ngurah Rai Tahun 2008-2016)

(Skripsi)

Oleh

DEBI ANGGITA SASTI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2017

ABSTRAK

METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTERS UNTUKPERAMALAN DATA DERET WAKTU MUSIMAN

Oleh

Debi Anggita Sasti

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui model-model peramalan danmenentukan model terbaik untuk peramalan data jumlah kedatangan wisatawanmancanegara di Bandara Ngurah Rai menggunakan metode pemulusaneksponensial Holt-Winters berdasarkan nilai MAPE dan MAD yang terkecil.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa peramalan jumlah kedatangan wisatawanmancanegara melalui Bandara Ngurah Rai menggunakan metode pemulusaneksponensial Holt-Winters model aditif lebih baik dibandingkan dengan modelmultiplikatif.

Kata kunci: Holt-Winters, Aditif, Multiplikatif.

ABSTRACT

HOLT-WINTERS EXPONENTIAL SMOOTHING METHOD FORFORECASTING SEASONAL TIME SERIES DATA

By

Debi Anggita Sasti

The aim of this study is to determine the forecasting models and the best modelfor the number of foreign tourist arrivals in Ngurah Rai airport using Holt-Winterexponential smoothing method based on the value of MAPE and MAD.

The results showed that the number of foreign tourist arrivals in Ngurah RaiAirport using Holt-Winters additive model of exponential smoothing method ismore appropriate than multiplicative model.

Key Words: Holt-winters, Additive, Multiplicative.

METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL HOLT-WINTERS UNTUK

PERAMALAN DATA DERET WAKTU MUSIMAN

(Studi Kasus Data Jumlah kedatangan Wisatawan Mancanegara Melalui

Bandara Ngurah Rai Tahun 2008-2016)

Oleh

DEBI ANGGITA SASTI

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2017

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan pada tanggal 01 Juni 1995 di Desa Sudimoro, Kecamatan

Semaka, Kabupaten Tanggamus, sebagai anak ketiga dari tiga bersaudara

pasangan Bapak Shobri dan Ibu Suminah.

Penulis telah menyelesaikan jenjang pendidikan mulai dari Pendidikan Taman

Kanak-Kanak di TK Riyadush Shalihin Baleendah lulus pada tahun 2001,

Sekolah Dasar (SD) Negeri 1 Sudimoro Bangun diselesaikan pada tahun 2007,

Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Semaka diselesaikan pada tahun

2010, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Pringsewu diselesaikan pada

tahun 2013.

Tahun 2013 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur

SNMPTN. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif diberbagai organisasi

kemahasiswaan tingkat jurusan dan fakultas diantaranya pernah menjabat

sebagai Anggota Gematika 2013-2014, Anggota Bidang Eksternal HIMATIKA

periode 2014-2015, Anggota Departemen Media dan Informasi BEM FMIPA

unila periode 2014-2015.

Pada tahun 2016 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Kantor Pelayanan

Pajak Pratama Metro. Sebagai bentuk pengabdian mahasiswa, penulis telah

melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Tempuran, Kecamatan

Trimurjo, Kabupaten Lampung Tengah.

Dengan mengucap Alhamdulillah,

Sujud syukurku kusembahkan kepada Allah yang Maha Pengasih lagi Maha

Penyayang, atas takdirMu telah Kau jadikan aku manusia yang senantiasa berpikir, berilmu, beriman

dan bersabar dalam menjalani kehidupan ini. Semoga keberhasilan ini menjadi satu langkah awal

untuk meraih cita-cita besarku.

Kupersembahkan sebuah karya kecil ini untuk :

Ayahanda dan Ibundaku tercinta

Terimakasih Ayah, Ibu yang tiada pernah hentinya selama ini memberiku semangat, doa, dorongan,

nasehat dan kasih sayang serta pengorbanan... dalam hidupmu demi hidupku kalian ikhlas

mengorbankan segala perasaan tanpa kenal lelah yang tak akan pernah tergantikan hingga aku selalu

kuat menjalani setiap rintangan yang ada didepanku. Karena atas ridho kalianlah Allah selalu

memudahkan setiap langkah yang ku tapaki.

Kedua kakakku serta seluruh keluarga dekat yang telah mendukung dan senantiasa berdoa untuk

keberhasilanku.

Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa dalam mengarahkan, membimbing, menasihati,

dan memberi motivasi kepada penulis.

sahabat-sahabat tercinta yang selalu ada. Terima kasih atas kebersamaan, keceriaan, semangat, serta

motivasi yang diberikan.

Almamater kebanggaan Universitas Lampung

KATA INSPIRASI

Hiduplah seperti kamu akan mati esok dan berbahagialah sepertikamu akan hidup selamanya.

(B.J. Habibie)

“Cukuplah Allah menjadi Penolong kami dan Allah adalahsebaik–baiknya Pelindung”

(QS. Ali ‘Imran: 173)

“Dia mengajarkan manusia apa yang tidak diketahuinya”

(Al-‘Alaq: 5)

You must do the things you think you cannot do.(Eleanor Roosevelt)

Punggung pisaupun jika diasah akan menjadi tajam.(Debi Anggita Sasti)

SANWACANA

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas berkat

rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta

salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW.

Skripsi yang berjudul “Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winters Untuk

Peramalan Data Deret Waktu Musiman” disusun sebagai salah satu syarat

memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) di Universitas Lampung. Dalam

kesempatan ini rasa terima kasih yang setulus-tulusnya penulis ucapkan kepada:

1. Ibu Netti Herawati, Ph.D. selaku dosen pembimbing I yang selalu

mengarahkan, membimbing dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan

skripsi ini.

2. Bapak Tiryono Ruby, Ph.D. selaku dosen pembimbing II, terima kasih untuk

bimbingan dan masukannya selama penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Nusyirwan, M.Si. selaku dosen penguji yang telah memberikan saran

dan nasehatnya dalam menyelesaikan skripsi ini.

4. Bapak Warsono, Ph.D. selaku Pembimbing Akademik atas bimbingan dan

pembelajarannya selama ini.

5. Bapak Tiryono Ruby, Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Bapak Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas

Lampung.

7. Seluruh Dosen dan staf Jurusan Matematika yang telah memberikan Ilmu dan

bantuan yang berguna bagi penulis.

8. Orang tua tercinta yang senantiasa mendoakan, menyayangi, memberi

semangat dan nasehat, serta kedua kakak dan keluarga dekat yang senantiasa

berdoa untuk keberhasilan penulis.

9. Della, Dian, Eno, Yucky, Annisa, Winda, Mita, Ayu, Bunga, Reni, Lita,

Besti, Citra, Heni, Tina, Sabti, Wuri, Nando, Agi, Qadapi, Radit, Afif,

terimakasih atas kebersamaan, keceriaan dan dukungannya selama ini.

10. Teman-teman satu bumbingan atas bantuan, semangat dan dukungannya

dalam menyelesaikan skripsi ini.

11. Teman – Teman angkatan 2013 yang tidak dapat disebutkan satu persatu

terimakasih atas keakraban dan kebersamaan selama ini.

12. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu-

persatu, atas dukungan dan doanya selama penyelesaian skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam skripsi ini. Oleh

karena itu, kritik dan saran dari pembaca akan sangat bermanfaatbagi penulis.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membaca

Bandar Lampung, Februari 2017Penulis

Debi Anggita Sasti

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ................................................................................ xi

DAFTAR TABEL .................................................................................... xii

I. PENDAHULUAN1.1. Latar Belakang dan Masalah .................................................... 11.2. Tujuan Penelitian...................................................................... 21.3. Manfaat Penelitian.................................................................... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA2.1 Peramalan ............................................................................... 42.2 Analisis Deret Waktu .............................................................. 52.3 Komponen Deret Waktu .......................................................... 5

2.3.1 Pola Kecenderungan (T)............................................... 62.3.2 Pola Musiman (S)......................................................... 62.3.3 Pola Siklis (C) .............................................................. 72.3.4 Pola Acak (I) ................................................................ 8

2.4 Stasioneritas ............................................................................ 82.5 Fungsi Autokovariansi ............................................................ 102.6 Fungsi Autokorelasi ................................................................. 142.7 Fungsi Autokorelasi Parsial ..................................................... 162.8 Uji Akar Unit............................................................................ 202.9 Fungsi Eksponensial................................................................. 222.10 Metode Pemulusan Eksponensial............................................. 232.11 Metode Pemulusan Eksponensial Tunggal .............................. 242.12 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda ................................. 252.13 Metode Pemulusan Eksponensial Holt-winters........................ 26

2.13.1 Holt-winters Aditif ....................................................... 282.13.2 Holt-winters Multiplikatif ............................................ 30

2.14 Proses Inisialisasi .................................................................... 322.15 Indeks Musiman ...................................................................... 342.16 Kriteria Kebaikan Model.......................................................... 35

III. METODOLOGI PENELITIAN3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 373.2 Data Penelitian ......................................................................... 37

3.3 Metode Penelitian..................................................................... 38

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN4.1 Plot Data Deret Waktu ........................................................... 424.2 Uji Asumsi Data ....................................................................... 43

4.2.1 Uji Stasioner ................................................................. 434.2.2 Uji Kecenderungan....................................................... 444.2.3 Uji Musiman................................................................. 45

4.3 Penentuan Nilai Awal .............................................................. 474.4 Pendugaan Parameter α, β, dan γ ............................................ 494.5 Peramalan Data Jumlah Kedatangan Wisatawan Mancanegara

Melalui Bandara Ngurah Rai pada Bulan Juli 2016-Juni 2017.. 53

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

V. KESIMPULAN

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Data Jumlah Kedatangan Wisatawan MancanegaraMelalui Bandara Ngurah Rai Tahun 2008-2016 ................................ 37

2. Nilai Pengujian Asumsi Data Memiliki Akar Unit denganMenggunakan E-views ........................................................................ 44

3. Nilai Indeks Musiman.......................................................................... 46

4. Nilai Peramalan Holt-Winters Aditif ................................................... 56

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Pola Data Kecenderungan .................................................................... 6

2. Pola Data Musiman ............................................................................... 7

3. Pola Data Siklis ..................................................................................... 7

4. Stasioner dalam Rata-rata dan Varians ................................................. 9

5. Nonstasioner dalam Rata-rata ............................................................... 9

6. Stasioner dalam Varians........................................................................ 9

7. Contoh Plot Data Model Aditif ............................................................. 28

8. Contoh Plot Data Model Multiplikatif .................................................. 31

9. Plot Data Deret Waktu Jumlah Kunjungan WisatawanMancanegara melalui Bandara Ngurah Rai tahun 2008-2016 .............. 42

10. Plot Autokorelasi Data Deret Waktu Jumlah Kunjunganwisatawan Mancanegara melalui Bandara Ngurah Rai tahun2008-2016 ............................................................................................. 43

11. Plot Analisis Kecenderungan Data Deret Waktu JumlahKunjungan Wisatawan Mancanegara melalui Bandara NgurahRai tahun 2008-2016............................................................................. 45

12. Grafik Model Pemulusan Eksponensial Holt-Winters Aditif................ 51

13. Grafik Model Pemulusan Eksponensial Holt-WintersMultiplikatif .......................................................................................... 52

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Peramalan merupakan suatu cara untuk memprediksi apa yang akan terjadi dimasa

yang akan datang. Untuk dapat memprediksi sebuah nilai dimasa yang akan

datang, dibutuhkan data deret waktu. Data deret waktu merupakan data hasil

pencatatan secara terus-menerus dari waktu ke waktu, biasanya dalam interval

waktu yang sama. Terdapat banyak metode peramalan yang dapat digunakan,

namun tidak semua metode yang ada benar-benar tepat untuk memprediksi

kejadian dimasa mendatang. Sebagaimana diketahui, data riil yang ada di

lapangan tentu saja tidak akan selalu sama. Untuk menentukan metode peramalan

pada data deret waktu perlu diketahui pola dari data tersebut sehingga peramalan

dengan metode yang sesuai dengan pola data dapat dilakukan.

Karena suatu data pasti memiliki pola tertentu, maka identifikasi awal harus

dilakukan. Pola suatu data deret waktu antara lain terjadi kenaikan atau

penurunan, pola musiman, pola siklus dan pola yang tidak beraturan. Untuk jenis

data stasioner maupun nonstasioner namun tidak megandung pola musiman maka

dapat dilakukan peramalan dengan menggunakan metode rata-rata bergerak dan

metode pemulusan eksponensial tunggal dan ganda.

2

Tetapi apabila data mengandung pola musiman metode tersebut akan

menghasilkan peramalan yang buruk. Oleh karena itu, untuk meminimalisir

terjadinya kesalahan pada hasil peramalan perlu menentukan metode yang tepat

untuk pola data musiman. Metode pemulusan eksponensial Holt-Winters

merupakan salah satu metode yang tepat untuk meramalkan data yang

mengandung pola musiman.

Pada penelitian terdahulu (Sudrimo, 2015) telah dibahas peramalan data

penumpang Bandara Juanda tahun 2008-2014 dengan metode pemulusan

eksponensial triple, pada penelitian ini akan membahas peramalan data jumlah

kedatangan wisatawan mancanegara melalui Bandara Ngurah Rai tahun 2008-

2016 dengan menggunakan model Aditif dan model Multiplikatif dalam metode

eksponensial Holt-Winters.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Mengetahui model-model peramalan data jumlah kedatangan wisatawan

mancanegara melalui Bandara Ngurah Rai tahun 2008-2016 yang ada

dalam metode pemulusan eksponensial Holt-Winters.

2. Menentukan model terbaik untuk meramalkan data jumlah kedatangan

wisatawan mancanegara melalui Bandara Ngurah Rai tahun 2008-2016.

3

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Memberikan pengetahuan baru tentang model-model yang ada dalam

metode pemulusan eksponensial Holt-Winters untuk peramalan data deret

waktu musiman.

2. Dapat menjadi referensi bagi pembaca apabila ingin melakukan penelitian

mengenai peramalan dengan data yang mengandung musiman.

4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Peramalan

Definisi dari peramalan adalah memperkirakan besarnya atau jumlah sesuatu pada

waktu yang akan datang berdasarkan data pada masa lampau yang dianalisis

secara alamiah khususnya menggunakan metode statistika (Sudjana, 1986).

Peramalan biasanya dilakukan untuk mengurangi ketidakpastian terhadap sesuatu

yang akan terjadi di masa yang akan datang. Suatu usaha untuk mengurangi

ketidakpastian tersebut dilakukan dengan menggunakan metode peramalan.

Menurut (Makridakis, dkk., 1999) metode peramalan dibagi ke dalam dua

kategori utama, yaitu metode kualitatif dan metode kuantitatif. Metode kualitatif

dilakukan apabila data masa lalu tidak ada sehingga peramalan tidak bisa

dilakukan. Dalam metode kualitatif, pendapat–pendapat dari para ahli akan

menjadi pertimbangan dalam pengambilan keputusan sebagai hasil dari peramalan

yang telah dilakukan. Namun, apabila data masa lalu tersedia, peramalan dengan

metode kuantitatif akan lebih efektif digunakan dibandingkan dengan metode

kualitatif.

5

Peramalan dengan metode kuantitatif dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu

model deret waktu dan model kausal. Model deret waktu didasarkan pada data

yang dikumpulkan, dicatat, atau diamati berdasarkan urutan waktu dan

peramalannya dilakukan berdasarkan pola tertentu dari data. Model kausal

didasarkan pada hubungan sebab–akibat dan peramalan dilakukan dengan dugaan

adanya hubungan antar variabel yang satu dengan yang lain (Santoso, 2009).

2.2 Analisis Deret Waktu

Analisis deret waktu merupakan metode peramalan kuantitatif untuk menentukan

pola data pada masa lampau yang dikumpulkan berdasarkan urutan waktu dalam

suatu rentang waktu tertentu, yang disebut data deret waktu. Jika waktu

dipandang bersifat diskrit (waktu dapat dimodelkan bersifat kontinu), frekuensi

pengumpulan selalu sama. Dalam kasus diskrit, frekuensi dapat berupa detik,

menit, jam, hari, minggu, bulan atau tahun (Montgomery, 2008).

2.3 Komponen Deret Waktu

Analisis deret waktu meliputi identifikasi komponen-komponen yang

menyebabkan terjadinya fluktuasi dalam serangkaian data historis. Komponen

komponen tersebut adalah sebagai berikut:

6

2.3.1. Pola Kecenderungan (T)

Jika dalam suatu deret terdapat gerakan naik ataupun turun dalam jangka panjang,

maka deret tersebut dikatakan deret yang mengandung unsur kecenderungan

(Makridakis, dkk., 1992).

Gambar 1. Pola Data Kecenderungan

2.3.2. Pola Musiman (S)

Komponen musiman juga merupakan fluktuasi periodik, tetapi periode waktunya

sangat singkat yaitu satu tahun atau kurang. Gerakan musiman merupakan

gerakan yang mempunyai pola-pola tetap atau identik dari waktu ke waktu dengan

waktu yang kurang dari satu tahun. Dengan demikian jelas bahwa variasi

musiman adalah suatu pola yang berulang dalam jangka pendek (Box, 1976).

7

Gambar 2. Pola Data Musiman

2.3.3. Pola Siklis (C)

Pola data yang menunjukkan gerakan naik turun di sekitar garis kecenderungan

dalam jangka panjang. Gerakan siklis ini bisa berulang setelah jangka waktu

tertentu, misalnya setiap 3 tahun, 5 tahun atau bahkan lebih, tetapi bisa juga tidak

berulang dalam jangka waktu yang sama. Dalam kegiatan bisnis dan ekonomi,

gerakan-gerakan hanya dianggap siklis apabila timbul kembali setelah jangka

waktu lebih dari 1 tahun (Cryer, 2008).

Gambar 3. Pola Data Siklis

8

2.3.4. Pola Acak (I)

Komponen ini memperlihatkan fluktuasi yang acak sebagai akibat adanya suatu

perubahan yang mendadak. Gerakan yang tidak teratur atau gerakan acak adalah

gerakan yang bersifat sporadis atau gerakan dengan pola yang tidak teratur dan

tidak dapat diperkirakan dalam waktu singkat. Gerakan ini disebabkan oleh

peristiwa-peristiwa yang terjadi secara kebetulan seperti banjir, pemogokan,

pemilihan umum, dan perubahan pemerintahan (Supangat, 2007).

2.4 Stasioneritas

Dalam analisis deret waktu asumsi yang penting adalah kestasioneran data yang di

peroleh. Deret waktu yang stasioner adalah deret waktu yang mempunyai rata-

rata dan variansi konstan sepajang waktu. Dengan kata lain data deret waktu yang

stasioner adalah data yang tidak mengalami kenaikan atau penurunan yang

signifikan atau secara matematis dapat dikatakan bahwa data yang dimiliki

berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata atau berada di antara dua standar galat

(Soejoeti, 1987).

Data deret waktu dikatakan stasioner dalam rata–rata jika rata–ratanya tetap (tidak

terdapat pola kecenderungan). Gambar 4 merupakan contoh plot data deret waktu

yang stasioner dalam rata–rata dan varians. Gambar 5 menunjukkan plot data

deret waktu yang nonstasioner dalam rata–rata.

9

Data deret waktu dikatatan stasioner dalam varians jika fluktuasi datanya tetap

atau konstan (horizontal sepanjang sumbu waktu), seperti pada Gambar 6.

Gambar 6. Stasioner dalam varians

Gambar 4. Stasioner dalam rata-rata dan varians

Gambar 5. Nonstasioner dalam rata-rata

10

Tidak stasionernya data akan mengakibatkan kurang baiknya model yang

diestimasi dan data tersebut dipertimbangkan kembali validitas dan kestabilannya.

Salah satu penyebab tidak stasionernya sebuah data adalah adanya autokorelasi.

Bila data distasionerkan maka autokorelasi akan hilang dengan sendirinya, karena

itu transformasi data untuk membuat data yang tidak stasioner menjadi stasioner

sama dengan transformasi data untuk menghilangkan autokorelasi (Makridakis,

dkk., 1992).

2.5 Fungsi Autokovariansi

Bila himpunan waktu yang diamati, di dalam dan adalah hasil

pengamatan pada saat , maka { , ∈ } disebut proses stokastik. Misal, , ⋯ , adalah pengamatan pada saat , , ⋯ , dari proses

stokastik { , ∈ } dan distribusi peluang gabungan yang berkaitan adalah( , , ⋯ , ) jika dipenuhi :

( , , ⋯ , ) = ( , , ⋯ , ) (2.1)

untuk setiap pergeseran waktu sebesar , maka proses stokastik { , ∈ }disebut proses stokastik stasioner. Akibatnya ( , , ⋯ , ) tidak

bergantung waktu sehingga proses stokastik stasioner mempunyai rata-rata dan

varians yang konstan yaitu :

( ) = ( ) = (2.2)( ) = ( − ) = ( − ) = (2.3)

(Soejoeti, 1987)

11

1. ( ) =Bukti :

( ) = . ( )( ) = . 1√2( ) = 1√2 .

Misalkan : − =Maka : = +=dan = ( + )= + 2 +Sehingga : ( ) = 1√2 ( + ) . ( )

( ) = √2 . ( ) + √2 ( )( ) = √2 . ( ) +

Misalkan :12 ( ) ==Maka : ( ) = √2 +

( ) = √2 ∞−∞ +( ) =

12

2. ( ) = ( − ) =Bukti : ( ) = ( − ) =( ) = − 2 +( ) = − (2 ) + ( )( ) = − (2 ) + ( )( ) = − 2 +( ) = − (2.4)

Karena nilai belum diketahui maka terlebih dahulu menghitung nilai

sebagai berikut :

= . ( )= . 1√2= 1√2 .= 1√2 ( + ) .= √2 + 2 += √2 . ( ) + 0 += 2√2 Г 2 + 122 12 += 2√2 Г 32 2√2 +

13

= 2√2 √2 2√2 += + (2.5)

Dengan mensubtitusikan persamaan (2.5) ke dalam persamaan (2.4) diperoleh

hasil sebagai berikut :( ) = + −( ) =Fungsi autokovariansi adalah himpunan autokovariansi dari berbagai lag { : =0, 1, 2, . .. }. Lag ke- adalah pergeseran data sebanyak langkah dari data

awalnya baik maju maupun mundur. Fungsi autokovariansi proses stokastik{ , ∈ } adalah :( , ) = ( , )= [( − )( − )] (2.6)

Untuk proses stokastik stasioner fungsi autokovariansi hanya bergantung pada

selang waktu antara dan . Sehingga untuk proses stasioner fungsi

autokovariansi lag adalah :( ) = ( , )= [( − )( − )] (2.7)

14

2.6 Fungsi Autokorelasi

Dalam analisis deret waktu selain fungsi autokovariansi terdapat pula fungsi

autokorelasi (ACF) yang merupakan alat utama untuk menentukan model yang

cocok untuk data yang dimiliki. Nilai Auto Correlation (AC) mengukur korelasi

antar pengamatan dengan beda kala (lag) ke-k. Koefisien autokorelasi perlu diuji

untuk menentukan apakah secara statistik nilainya berbeda secara signifikan

dengan nol atau tidak .

Fungsi autokorelasi { : = 0, 1, 2, . .. }, diperoleh dengan definisi := ( , )( ) ( ) = (2.8)

Dimana merupakan rata-rata data, merupakan autokovarians pada lag ke ,

dan merupakan autokorelasi pada lag ke , serta t = waktu pengamatan ke

untuk semua adalah 1, 2, ..., dst.

ini diestimasi oleh :

= ∑ ( ̅)( ̅)∑ ( ̅) (2.9)

dimana : = autokorelasi pada lag ke-= data pengamatan ke̅ = rata-rata data= data pengamatan ke +

15

Menurut (wei, 2006) fungsi autokovariansi dan fungsi autokorelasi

memiliki sifat-sifat sebagai berikut :

1. = ( ); = 1. (2.10)

2. │ │ ≤ ;│ │ ≤ 1. (2.11)

3. = dan = (2.12)

untuk semua k, dan adalah fungsi yang sama dan simetrik lag ke-k = 0. Sifat

tersebut diperoleh dari perbedaan waktu antara dan . Oleh sebab itu, fungsi

autokorelasi sering hanya diplotkan untuk lag non negatif. Plot tersebut kadang

disebut korrelogram.

Untuk mengetahui apakah koefisien autokorelasi signifikan atau tidak, perlu

dilakukan uji. Pengujian koefisien autokorelasi dapat dilakukan dengan

menggunakan statistik uji := (2.13)

dimana : = uji= autokorelasi pada lag ke-= galat baku autokorelasi pada saat lag ke-k

dengan : = √ (2.14)

dimana : = galat baku autokorelasi pada saat lag ke-k= banyak observasi dalam data deret waktu(Montgomery, 2008)

16

dengan hipotesis :

H0 : = 0 (Koefisien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan)

H1 : ≠ 0 (Koefisien autokorelasi berbeda secara signifikan)

Kriteria keputusan : tolak H0 jika nilai > , , dengan derajat bebas

= − 1, n merupakan banyaknya data (Pankratz, 1991).

2.7 Fungsi Autokorelasi Parsial

Autokorelasi parsial (PACF) digunakan untuk mengukur korelasi antara dan

setelah menghilangkan peubah , , . fungsi autokorelasi

parsial merupakan alat lain untuk mengidentifikasi model yan sesuai dengan data

pengamatan. Menurut (Wei, 2006) fungsi autokorelasi dapat dinotasikan dengan :

( , , , ⋯ )Misalkan adalah proses yang stasioner dengan ( ) = 0 selanjutnya dapat

dinyatakan sebagai model linear dengan variabel terikat dan variabel bebas, , ⋯, dan yaitu :

= ∅ + ∅ +⋯+ ∅ + (2.15)

Dengan ∅ merupakan parameter regresi ke untuk = 1,2, . . . dan

merupakan nilai kesalahan yang tidak berkorelasi dengan dengan =1,2, . . . . Untuk mendapatkan nilai PACF, langkah pertama yang dilakukan

adalah dengan mengalikan pada kedua ruas persamaan (2.15) diperoleh :

17

= ∅ + ∅ +⋯+ ∅ +(2.16)

Selanjutnya, nilai harapan dari persamaan (2.16) yaitu :( ) = ∅ ( ) + ∅ ( ) + ⋯+∅ ( ) + ( ) (2.17)

Dimisalkan ( ) = , = 1,2, . . . dan karena = 0, maka

diperoleh : = ∅ + ∅ + ⋯+ ∅ (2.18)

Persamaan (2.18) dibagi dengan :

0 = ∅ 1 −10 + ∅ 2 −20 + ⋯+ ∅ −0 (2.19)

Dari persamaan (2.19) diperoleh := ∅ + ∅ + ⋯+ ∅ (2.20)

dan diberikan = 1. Untuk = 1,2, . . . , diperoleh sistem persamaan berikut := ∅ + ∅ + ⋯+ ∅ ,= ∅ + ∅ + ⋯+ ∅ , (2.21)⋮ = ∅ + ∅ + ⋯+ ∅Sistem persamaan (2.21) dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer.

Persamaan (2.21) untuk = 1,2, . . . digunakan untuk mencari nilai-nilai fungsi

autokorelasi parsial lag yaitu Ø , Ø ,…Ø .

18

a. Untuk lag pertama ( = 1) dan ( = 1) diperoleh sistem persamaan sebagai

berikut := Ø , karena = 1 sehingga = Ø yang berarti bahwa fungsi

autokorelasi parsial pada lag pertama akan sama dengan fungsi autokorelasi

pada lag pertama.

b. Untuk lag kedua ( = 2) dan ( = 1,2) diperoleh sistem persamaan= Ø + Ø= Ø + Ø (2.22)

persamaan (2.22) jika ditulis menjadi matriks akan menjadiØØ == 1 1 , = 1

, dan dengan menggunakan aturan Cramer

diperoleh

Ø = det( )det( ) = 11 1c. Untuk lag ketiga ( = 3) dan ( = 1,2,3) diperoleh sistem persamaan= Ø + Ø + Ø= Ø + Ø + Ø= Ø + Ø + Ø (2.23)

persamaan (2.23) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadiØØØ =

19

= 1 1 1 , = 1 1 , dan dengan menggunakan aturan

Cramer diperoleh

Ø = det( )det( ) =1 1 11 1

d. Untuk lag = 1, 2, 3,⋯ , diperoleh sistem persamaannya adalah= Ø + Ø + Ø +⋯+ Ø= Ø + Ø + Ø +⋯+ Ø= Ø + Ø + Ø +⋯+ Ø⋮ = Ø + Ø + Ø +⋯+ Ø (2.24)

persamaan (2.24) jika dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi

⎣⎢⎢⎢⎡ 1

⋮ 1⋮ 1⋮………⋱… ⋮1 ⎦⎥⎥⎥

⎤⎣⎢⎢⎢⎡ØØØ⋮Ø ⎦⎥⎥

⎥⎤ = ⎣⎢⎢⎢⎡⋮ ⎦⎥⎥⎥⎤

dengan aturan Cramer diperoleh

= ⎣⎢⎢⎢⎡ 1

⋮ 1⋮ 1⋮………⋱… ⋮ ⎦⎥⎥⎥

⎤

20

Nilai autokorelasi lag hasilnya adalah

Ø = det( )det( ) =1⋮ 1⋮ 1⋮

………⋱… ⋮1⋮ 1⋮ 1⋮

………⋱… ⋮1dengan Ø disebut PACF antara dan

(Wei, 2006)

2.8 Uji Akar Unit

Uji akar unit merupakan pengujian yang sangat populer dan dikenalkan oleh

David Dickey dan Whyne Fuller. Uji Akar Unit dengan metode ADF

(Augmented Dickey Fuller) dapat dilakukan dengan melihat secara grafis sehingga

dapat diketahui apakah pada variabel mengandung kecenderungan atau tidak.

Pada prinsipnya, uji ini dimaksudkan untuk mengamati apakah koefisien tertentu

dari model Autoregresi (AR) mempunyai nilai satu atau tidak. Dalam uji ini

dibentuk persamaan regresi dari data aktual pada periode ke-t dan ke- t−1 . Untuk

mencari uji akar unit, pertama kita menghitung nilai dari model persamaan

berikut: = + (2.25)

21

Dimana adalah nilai galat dan merupakan nilai autoregresinya(−1 < < 1).

Jika = 1, maka deret tersebut mengandung akar unit (mengandung

kecenderungan). Sedangkan apabila < 1, maka deret tersebut tidak mengandung

akar unit (stasioner).

Namun, kita tidak bisa memperkirakan persamaan 2.25 oleh Ordinary Least

Square (OLS) dan menguji hipotesis bahwa = 1 dengan uji t biasanya karena

uji tersebut sangat bias dalam kasus akar unit. Oleh karena itu kita memanipulasi

persamaan 2.25 dengan mengurangkan setiap sisi persamaan dengan ,

sehingga persamaan menjadi:− = − + (2.26)∆ , = ( − 1) + (2.27)∆ , = + (2.28)

dengan, ∆ adalah selisih antara Yt dan ∆ , = − serta = − 1.

dimana: ∆ = hasil difference data pada periode ke-t= data aktual periode ke-t= data aktual periode ke-t-1= Koefisien regresi= galat yang white noise, degan mean = 0 dan varians =

Pada tahap ini sudah dilakukan pembedaan sebagai metode untuk menanggulangi

masalah ketidakstasioneran data dan kemudian data akan diuji kembali. Hipotesis

yang digunakan untuk menentukan apakah data deret mengandung akar unit,

yaitu:

H0 : = 0 (Mengandung akar unit atau tidak stasioner atau memiliki

kecenderungan)

22

H1 : ≠ 0 (tidak mengandung akar unit atau stasioner)

Apabila | | < | |, maka H0 diterima, yang artinya data deret tidak

stasioner (Gujarati and Porter, 2009). Jika hipotesis = 0 ditolak dengan derajat

kepercayaan α maka = 1 artinya terdapat akar unit, sehingga data deret waktu

tidak stasioner. Dengan membentuk persamaan regresi antara Δ dan

akan diperoleh koefisien regresinya, yaitu . Hipotesis dalam uji akar unit

menjelaskan bahwa apabila hasil uji menyatakan nilai Augmented Dickey-Fuller

uji statistik lebih kecil nilai kritis pada derajat kepercayaan tertentu atau nilai

tingkat signifikansinya lebih kecil dari derajat kepercayaan α = 0,05, maka

hipotesis nol yang menyatakan bahwa data tersebut tidak stasioner ditolak dan

demikian sebaliknya (Wei, 2006).

2.9 Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponen diperkenalkan pertama kali oleh Leonhard Euler dengan

lambang . Fungsi eksponen didefinisikan bahwa huruf menyatakan bilangan

real positif unik sedemikian rupa sehingga ln = 1.

Fungsi eksponensial merupakan fungsi yang mempunyai satu konstanta baris dan

satu peubah eksponen, disebut fungsi eksponensial.== exp(ln )= exp( ln )= (2.29)

Persamaan 2.29 disebut fungsi eksponensial berbasis dan sebagai eksponen.

23

Untuk > 0 dan sebarang bilangan real , maka :=(Purcell, dkk., 2004)

Bobot yang diberikan untuk setiap data pada model pemulusan eksponensial

menurun secara eksponensial, sebagaimana persamaan sebagai berikut:= + (1 − ) + (1 − ) +⋯+ (1 − ) (2.30)

Sehingga bobot pemulusan adalah ( ) = , (1 − ), (1 − )2, …, dst dan

membentuk suatu deret pangkat.

Secara umum persamaan 2.30 dituliskan sebagai berikut:( ) = (1 − )n (2.31)

yang menurun secara eksponensial (Makridakis, dkk., 1983).

2.10 Metode Pemulusan Eksponensial

Pemulusan eksponensial merupakan suatu model peramalan rata-rata bergerak

yang melakukan pembobotan terhadap data masa lalu dengan cara eksponensial

sehingga data paling akhir mempunyai bobot atau timbangan lebih besar dalam

rata-rata bergerak. Metode pemulusan eksponensial telah digunakan selama

beberapa tahun sebagai suatu metode yang sangat berguna pada begitu banyak

situasi peramalan.

Pada tahun 1957 C. C. Holt mengusulkan metode pemulusan eksponensial yang

berlaku untuk data deret waktu yang tidak memiliki unsur kecenderungan dan

musiman. Kemudian pada tahun 1957 diusulkan suatu prosedur pemulusan

24

eksponensial untuk data deret waktu yang mengandung pola kecenderungan yang

kemudian biasa disebut metode penghalusan eksponensial ganda dua parameter

dari Holt. Pada tahun 1965 Winters mengembangkan metode dua parameter dari

Holt tersebut untuk kasus yang memiliki unsur musiman. Winters menambahkan

operasi penghalusan ketiga dan parameter ketiga untuk unsur musiman. Metode

penghalusan eksponensial tripel dari Winter lebih dikenal sebagai metode Holt-

Winters (Makridakis, dkk., 1999).

2.11 Metode Pemulusan Eksponensial Tunggal

Pemulusan eksponensial tunggal dikenal juga sebagai pemulusan eksponensial

sederhana yang digunakan pada peramalan jangka pendek. Model

mengasumsikan bahwa data berfluktuasi di sekitar nilai mean yang tetap, tanpa

kecenderungan atau pola pertumbuhan konsisten (Makridakis, dkk., 1999).

Rumus untuk pemulusan eksponensial sederhana adalah sebagai berikut := ( − ) += ( − ) += − += + (1 − ) (2.32)

dimana

= Pemulusan eksponensial pada tahun ke-= Pemulusan eksponensial pada tahun ke- − 1= Data ke-

= konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1)

25

Nilai α disebut pemulusan konstan, dalam model pemulusan eksponensial tunggal,

nilai α bisa ditentukan secara bebas, artinya tidak ada suatu cara yang pasti untuk

mendapatkan nilai α. Pemilihan nilai α dapat dilakukan dengan cara coba-coba,

akan tetapi untuk mencari nilai α yang optimal dapat dilakukan dengan bantuan

software (Brockwell, 2002).

2.12 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda

Pada metode pemulusan eksponensial tunggal tidak dapat digunakan untuk data

yang mengandung pola kecenderungan, sehingga Holt (1957) mengembangkan

metode ini dengan memasukkan unsur kecenderungan pada persamaan tersebut

yang kemudian biasa disebut metode pemulusan eksponensial ganda dua

parameter dari Holt. Rumus untuk pemulusan eksponensial ganda adalah sebagai

berikut : = ( − − ) + += ( − − ) + += ( − − ) + += − + − += + (1 − ) + (1 − )= + ( − 1)( + ) (2.33)

dimana:

= Pemulusan eksponensial pada tahun ke-= Pemulusan eksponensial pada tahun ke- − 1= Data ke-

= konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1)= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke- − 1

26

Untuk menghitung pemulusan unsur kecenderungannya digunakan persamaan

sebagai berikut: = ( − ) + (1 − )= ( − ) + (1 − ).

.

.= ( − ) + (1 − ) (2.34)

dimana:

=konstanta pembobot pemulusan unsur kecenderungan (0 < < 1)= Pemulusan eksponensial pada tahun ke-= Pemulusan eksponensial pada tahun ke- − 1= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke-= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke- − 1

Karena menggunakan dua konstanta pemulusan yaitu dan , maka dari itu

metode tersebut dikenal metode pemulusan eksponensial ganda (Makridakis, dkk.,

1999).

2.13 Metode Pemulusan Eksponensial Holt-Winters

Pada metode pemulusan eksponensial ganda hanya dapat digunakan untuk data

yang mengandung unsur kecenderungan tapi tidak dapat digunakan untuk data

yang mengandung musiman. Metode Holt-Winters merupakan metode yang dapat

menangani faktor musiman dan unsur kecenderungan yang muncul secara

sekaligus pada sebuah data deret waktu (Kalekar, 2004).

27

Metode ini didasarkan atas tiga unsur yaitu unsur stasioner, unsur kecenderungan

dan musiman untuk setiap periode dan memberikan tiga pembobotan dalam

prediksinya, yaitu α, β,dan γ. Menurut (Mulyana, 2004) α, β,dan γ tersebut adalah

sebagai berikut :

1. Alpha (α) merupakan parameter yang mengontrol penghalusan relatif pada

pengamatan yang baru dilakukan. Jika alpha bernilai mendekati 1 maka hanya

pengamatan terbaru yang digunakan secara eksklusif. Sebaliknya bila alpha

mendekati 0 maka pengamatan yang lain dihitung. dengan bobot sepadan

dengan yang terbaru.

2. Beta (β) merupakan parameter yang mengontrol penghalusan relatif pada

pengamatan yang baru dilakukan untuk mengestimasi kemunculan unsur

kecenderungan. Nilai beta berkisar dari 0 sampai 1.

3. Gamma merupakan parameter yang mengontrol penghalusan relatif pada

pengamatan yang baru dilakukan untuk mengestimasi kemunculan unsur

musiman. Nilai gamma berkisar dari 0 sampai 1.

Besarnya koefisien α, β, γ, memiliki jarak diantara 0 dan 1 yang ditentukan secara

subjektif atau dengan meminimalkan nilai kesalahan dari estimasi tersebut

(Makridakis, dkk., 1999). Terdapat dua model Holt-Winter yang dapat

digunakan, yaitu model Holt-Winter Aditif dan model Holt-Winter Multiplikatif

(Kalekar, 2004).

28

2.13.1. Holt-Winters Aditif

Model musiman aditif cocok untuk prediksi deret berkala yang dimana amplitudo

atau ketinggian pola musimannya tidak tergantung pada rata-rata level atau

ukuran data (Montgomery, 2008).

Gambar 7. contoh plot data model aditif

Menurut (Makridakis, dkk., 1999), rumus untuk pemulusan eksponensial Holt-

Winter Aditif adalah sebagai berikut := ( − − )+ + −= + + ( − − − )= + + − − −= − + (1 − ) + (1 − )= ( − ) + (1 − )( + ) (2.35)

dimana :

= Pemulusan eksponensial pada tahun ke-= Pemulusan eksponensial pada tahun ke- − 1= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke-= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke- − 1= Data ke-

= konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1)= pemulusan faktor musiman= panjang musiman( = 3, = 4, = 6 atau = 12)

29

Persamaan untuk menghitung pemulusan unsur kecenderungan ditulis sebagai

berikut: = ( − ) + (1 − )= ( − ) + (1 − ).

.

.= ( − ) + (1 − ) (2.36)

dimana:

=konstanta pembobot pemulusan unsur kecenderungan (0 < < 1)= Pemulusan eksponensial pada tahun ke-= Pemulusan eksponensial pada tahun ke- − 1= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke-= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke- − 1

Persamaan untuk menghitung pemulusan musiman ditulis sebagai berikut:= ( − ) + (1 − )= ( − ) + (1 − ).

.

.= ( − ) + (1 − ) (2.37)

dimana:

= Data ke-= Pemulusan eksponensial pada tahun ke-= konstanta pembobot pemulusan musiman (0 < < 1)= pemulusan faktor musiman= panjang musiman( = 3, = 4, = 6 atau = 12)

Peramalan menggunakan metode pemulusan eksponensial tripel yaitu dengan

menghitung pemulusan eksponensial, pemulusan unsur kecenderungan, dan

pemulusan musiman. Setelah ketiga faktor ditemukan nilai pemulusannya,

30

langkah terakhir adalah peramalan data pada periode m yang akan datang dengan

rumus: = + 1. += + 2. += + 3. +...= + + (2.38)

dimana:

= Nilai yang ingin diramalkan= Pemulusan eksponensial pada tahun ke-= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke-= pemulusan faktor musiman= panjang musiman( = 3, = 4, = 6 atau = 12)= periode waktu yang akan diramalkan

2.13.2. Holt-Winters Multiplikatif

Model musiman multiplikatif cocok untuk prediksi deret berkala yang dimana

amplitudo atau ketinggian dari pola musimannya proporsional dengan rata-rata

level atau tingkatan dari deret data (Montgomery, 2008). Dengan kata lain, pola

musiman membesar seiring meningkatnya ukuran data. Pada kenyataan di

lapangan, model multiplikatif lebih banyak dan lebih efektif dipakai.

31

Gambar 8. contoh plot data model multiplikatif

Seperti halnya pada model Holt-Winter Aditif, model Holt-Winter Multiplikatif

juga memiliki tiga persamaan dengan sedikit perbedaan. Persamaan untuk

pemulusan eksponensial Holt-Winter Multiplikatif adalah sebagai berikut := + (1 − )( + ) (2.39)

dimana :

= Pemulusan eksponensial pada tahun ke-= Pemulusan eksponensial pada tahun ke- − 1= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke- − 1= Data ke-

= konstanta pembobot pemulusan eksponensial (0 < < 1)= pemulusan faktor musiman= panjang musiman( = 3, = 4, = 6 atau = 12)

Persamaan untuk menghitung pemulusan unsur kecenderungan ditulis sebagai

berikut: = ( − ) + (1 − ) (2.40)

dimana:

=konstanta pembobot pemulusan unsur kecenderungan (0 < < 1)= Pemulusan eksponensial pada tahun ke-= Pemulusan eksponensial pada tahun ke- − 1= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke-= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke- − 1

32

Persamaan untuk menghitung pemulusan musiman ditulis sebagai berikut:= + (1 − ) (2.41)

dimana:

= pemulusan faktor musiman= konstanta pembobot pemulusan musiman (0 < < 1)= Data ke-= Pemulusan eksponensial pada tahun ke-= panjang musiman( = 3, = 4, = 6 atau = 12)

peramalan data pada periode m yang akan datang dengan rumus:= ( + ) (2.42)

dimana:

= Nilai yang ingin diramalkan= Pemulusan eksponensial pada tahun ke-= Pemulusan unsur kecenderungan pada tahun ke-= pemulusan faktor musiman= panjang musiman( = 3, = 4, = 6 atau = 12)= periode waktu yang akan diramalkan

2.14 Proses Inisialisasi

Proses inisialisasi atau penentuan nilai awal pada peramalan dengan metode

pemulusan eksponensial Holt-Winters ini diperlukan paling sedikit satu kelompok

data musiman lengkap yaitu periode untuk menetukan estimasi awal dari indeks

musiman , dan perlu juga untuk menaksir faktor kecenderungan dari satu

periode ke periode selanjutnya. Berikut adalah metode yang digunakan untuk

menentukan nilai awal :

33

Untuk model Aditif nilai awal untuk pemulusan total yaitu dengan menghitung

rata-rata pada data ditahun pertama. Jika ditulis dalam notasi adalah sebagai

beriku: = ( + + +⋯+ ) (2.43)

dimana :

= Nilai awal pemulusan eksponensial= Data ke-t= panjang periode musiman ( = 3, = 4, = 6, atau = 12)

Nilai awal untuk pemulusan unsur kecenderungan yaitu := + +⋯+= + +⋯+= 112 −12 + −12 +⋯+ −12= + +⋯+ (2.44)

dimana :

= Nilai awal untuk faktor kecenderungan= Data ke-= panjang periode musiman ( = 3, = 4, = 6, atau = 12)

Nilai awal untuk pemulusan musiman yaitu := −= −= −..= − (2.45)

dimana :

= Nilai awal untuk faktor musiman ke-

34

= Data ke-t= periode musiman ( = 1,2, . . . )= Nilai awal pemulusan eksponensial

Untuk model multiplikatif, nilai awal yang digunakan sama dengan aditif kecuali

untuk penghalusan musiman dimana pada model multiplikatif menggunakan := . (2.46)

(Montgomery, 2008)

2.15 Indeks Musiman

Indeks musiman merupakan angka yang menunjukkan nilai relatif dari variabel Y,

dimana Y adalah data deret waktu selama seluruh bulan dalam satu tahun. Rata-

rata angka indeks musiman untuk satu periode adalah 100%. Dengan kata lain

indeks musiman adalah suatu angka yang bervariasi terhadap nilai dasar 100.

Untuk mencari indeks musiman dapat menggunakan metode rata-rata sederhana,

yaitu dengan rumus

Indeks musiman = × 100% × 12 (2.47)

dimana, merupakan rata-rata data bulan ke- tiap tahun ( = 1, 2, . . . , 12) dan

merupakan rata-rata data tiap bulan pada tahun ke- ( = 1, 2, . . . , ).

Jika suatu periode musiman mempunyai nilai indeks 100 maka ini menujukkan

bahwa data tersebut tidak dipengaruhi oleh pengaruh musiman (Yulianto, 2012).

35

2.16 Kriteria Kebaikan Model

Penggunaan metode peramalan tergantung pada pola data yang akan dianalisis.

Jika metode yang digunakan sudah dianggap benar untuk melakukan peramalan,

maka pemilihan metode peramalan terbaik didasarkan pada tingkat kesalahan

prediksi (Santoso, 2009). Seperti diketahui bahwa tidak ada metode peramalan

yang dapat dengan tepat meramalkan keadaan data di masa yang akan datang.

Oleh karena itu, setiap metode peramalan pasti menghasilkan kesalahan.

Jika galat yang dihasilkan semakin kecil, maka hasil peramalan akan semakin

mendekati tepat. Besarnya galat tersebut dapat dihitung melalui ukuran galat

peramalan, sebagai berikut :

a. Mean Absolute Deviation (MAD)

Simpangan rata-rata MAD mengukur akurasi peramalan dengan meratakan

nilai absolut galat peramalan. Nilai galat diukur dalam unit yang sama seperti

pada data aslinya.

= 1 −dimana :

n= banyaknya data yang diamati= peramalan ke-t

Yt = data ke-t

b. Mean Absolut Percentage Error (MAPE)

Persentase galat rata – rata mutlak (MAPE) memberikan petunjuk seberapa

besar galat peramalan dibandingkan dengan nilai sebenarnya.

36

= 1 − 100dimana :

n= banyaknya data yang diamati= peramalan ke-t

Yt = data ke-t

Dimana suatu model data akan memiliki kinerja yang sangat baik apabila nilai

MAPE dibawah 10%.

c. Mean Squared Deviation (MSD) Atau Mean Squared Error (MSE)

Pada metode ini hampir mirip dengan metode MAD, rumus MSE adalah :

= 1 − Ŷdimana :

n= banyaknya data yang diamati= peramalan ke-t

Yt = data ke-t

37

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil dan semester genap Tahun Ajaran

2016/2017 bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.

3.2 Data Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data jumlah kedatangan

wisatawan mancanegara melalui Bandara Ngurah Rai tahun 2008-2016. Data

tersebut merupakan data sekunder yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik

(BPS). Data tersebut adalah sebagai berikut:

Tabel 1. Data Jumlah Kedatangan Wisatawan Mancanegara Melalui BandaraNgurah Rai Tahun 2008-2016

TahunBulan

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

Januari 147319 173919 178358 208337 249728 229561 278685 288755 343663

Februari 159681 146192 191362 201457 209160 236971 269367 333072 367024

Maret 159886 168036 191125 202539 222950 247024 268418 294758 354778

April 154777 188189 184230 224423 222657 239400 277925 309888 367370

Mei 167342 190697 199401 208832 220508 244874 285965 287141 394443

38

Tabel 1. Lanjutan

TahunBulan

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

Juni 178258 200503 224695 245248 241108 275452 329654 357712 405686

Juli 190662 235042 252110 279219 271371 297723 358907 381890

Agustus 195758 232164 243222 252698 253970 309051 336628 298638

September 189247 218245 232516 252855 255717 305429 352017 379397

Oktober 189142 225606 229651 244421 252716 266453 339200 366759

November 172813 184622 196856 220341 237874 296990 293858 262180

Desember 176901 221604 222497 248336 264366 292961 341111 363780

3.3 Metode Penelitian

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah :

1. Membuat Plot Data Deret Waktu

2. Menguji Asumsi

A. Stasioner

1) Mengidentifikasi dengan grafik ACF.

2) Menggunakan uji akar unit dengan metode uji statistik Augmented

Dickey-Fuller.

a) Menentukan nilai thit ADF dengan uji statistik dengan

menggunakan software E-Views.

b) Menentukan nilai kritik dengan nilai taraf uji 1%, 5%, dan 10%

menggunakan software E-Views.

c) Menguji hipotesis untuk masing-masing .

B. Pola Kecenderungan

Menyajikan grafik analisis kecenderungan. Apabila grafik analisis

kecenderungan menunjukkan kecenderungan naik atau turun, maka data

mengandung unsur kecenderungan..

39

C. Musiman

1) Menyajikan grafik deret waktu

2) Uji data musiman menggunakan indeks musiman yang dapat dihitung

dengan metode rata-rata sederhana.

3. Mengolah data dengan menggunakan metode pemulusan eksponensial Holt-

Winters

1) Menentukan nilai awal pemulusan

Nilai awal menggunakan metode eksponensial Holt-Winters aditif sama

dengan multiplikatif kecuali pada nilai awal pemulusan musimannya.

a) Nilai awal untuk pemulusan eksponensial= ( + + +⋯+ ) (2.43)

b) Nilai awal untuk pemulusan trend= + +⋯+ (2.44)

c) Nilai awal untuk pemulusan musiman

Model aditif : = − (2.45)

Model multiplikatif := . (2.46)

40

2) Pendugaan parameter α, β, dan γ

Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter model ialah

dengan cara simulasi, yakni mensimulasikan kisaran nilai α, β, dan γ

pada interval (0,1).

3) Penentuan parameter α, β, dan γ

Memilih Parameter α, β, dan γ terbaik dengan mempertimbangkan nilai

MAPE dan MAD.

4) Menghitung nilai pemulusan eksponensial Model Aditif

a) Pemulusan eksponensial= ( − ) + (1 − )( + ) (2.35)

b) Pemulusan pola kecenderungan= ( − ) + (1 − ) (2.36)

c) Pemulusan musiman= ( − ) + (1 − ) (2.37)

5) Menghitung nilai pemulusan eksponensial Model Multiplikatif

a) Pemulusan eksponensial= + (1 − )( + ) (2.39)

b) Pemulusan pola kecenderungan= ( − ) + (1 − ) (2.40)

c) Pemulusan musiman= + (1 − ) (2.41)

41

6) Menghitung Peramalan pemulusan eksponensial

Model aditif := + + (2.38)

Model multiplikatif := ( + )(2.42)

4. Memilih model terbaik antara model aditif dan model multiplikatif dilihat

dari kesalahan ramalan yang terkecil dengan mempertimbangkan nilai

perhitungan MAPE dan MAD untuk dua model tersebut.

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan dan analisis data deret waktu jumlah kunjungan

wisatawan mancanegara melalui bandara Ngurah Rai periode Januari tahun 2008

sampai dengan Juni 2016 dengan menggunakan metode pemulusan eksponensial

Holt-Winters, dapat disimpulkan sebagai berikut :

1. Terdapat dua model dalam metode pemulusan eksponensial Holt-Winters

yaitu model aditif dan multiplikatif. Kombinasi α, β, dan γ yang

meminimumkan MAPE dan MAD untuk model aditif yaitu α = 0,3, β = 0,55,

dan γ = 0 dengan nilai MAPE = 5,43 dan MAD = 14426,33, sedangkan pada

model multiplikatif nilai α, β, dan γ dengan kombinasi α = 0,3 , β = 0,5, dan γ

= 0,05 dengan nilai MAPE = 5,52 dan MAD = 14711,68.

2. Dari dua model tersebut ternyata model aditif lebih baik untuk digunakan

pada data kunjungan wisatawan mancanegara melalui bandara Ngurah Rai

periode Januari tahun 2008 sampai dengan Juni 2016.

DAFTAR PUSTAKA

Box, G.E.P. and Jenkins. 1976. Time Series Analysis: Forecasting and Control.

Holden-Day, San Francisco.

Brockwell, J.P. and Davis, A.R. 2002. Introduction to Time Series and

Forecasting. Springer, New York.

Cryer, J.D. dan Chan, K.S. 2008. Time Series Analysis with Applications in R.

Springer, New York.

Gujarati, D.N. and Porter, D.C. 2009. Basic Econometrics. McGraw-Hill, New

York.

Kalekar, P.S. 2004. Time Series Forecasting using Holt-Winters Exponential

Smoothing. Kanwal Rekhi School of Information Technology, India.

Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. 1983. Forecasting :

Methods and Applications. John Wiley & Sons. Inc., Canada.

Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. 1992. Metode dan Aplikasi

Peramalan. Edisi Kedua. Terjemahan Untung Sus Andriyanto. Erlangga,

Jakarta.

Makridakis, S., Wheelwright, S.C., & McGee, V.E. 1999. Forecasting Methods

and Application. Erlangga, Jakarta.

Montgomery, D.C. 2008. Introduction to Time Series Analysis and Forecasting.

John Wiley & Sons. Inc., New Jersey.

Mulyana. 2004. Analisis Data Time series. Universitas Padjadjaran, Bandung.

Pankratz, A. 1991. Forecasting with Dynamic Regression Models. Willey

Intersciences Publication, Canada.

Purcell, E.J., Varberg, D., and Rigdon, S.E. 2004. Kalkulus, Jilid 2. Erlangga,

Jakarta.

Santoso, P.B. dan Hamdani, M. 2007. Statistika Deskriptif dalam Bidang

Ekonomi dan Niaga. Erlangga, Jakarta.

Santoso, S. 2009. Business Forecasting: Metode Peramalan Bisnis Masa Kini

dengan MINITAB dan SPSS. PT. Elex Media Komputindo, Jakarta.

Sudjana. 1986. Metode Statistika. Tarsito, Bandung.

Sudrimo, S.N. 2015. Peramalan Data Deret Berkala Menggunakan Metode

Pemulusan Eksponensial Triple (Studi Kasus Data Penumpang Bandara

Juanda 2008-2014). Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung, Lampung.

Supangat, A.M. 2007. Statistika Dalam Kajian Deskriptif. Gramedia Pustaka

Utama, Jakarta.

Soejoeti, Z. 1987. Analisis Runtun Waktu. Karunia Jakarta, Jakarta.

Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods.

2nd

edition. Pearson Prentice Hall, New Jersey.

Yulianto, M.A. 2012. Analisa Time Series. Diakses pada 15 November 2016.

https://digensia.wordpress.copm/2012/08/24/analisa-time-series.