Metode Numerik

Definisi Metode Numerik Metode-metode prakomputer Pengembangan perangkat lunak Algoritma Hampiran dan Galat Metode-metode numerik metode

pengurung dan metode terbuka Bagi dua – posisi palsu NR - Secant

SAP/Silabi

Metode numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat diselesaikan dengan operasi perhitungan.

Terdapat berbagai ragam metode numerik SATU KESAMAAN CIRI yakni : mencakup sejumlah besar perhitungan yang MENJEMUKAN

Perkembangan komputer digital yang cepat dan berdayaguna peranan metode numerik dalam penyelesaian masalah rekayasa telah meningkat secara dramatis.

Apa itu metode numerik?

1. Metode analitis atau eksak. penyelesaian ini seringkali berguna untuk memberikan wawasan unggul mengenai perilaku beberapa sistem. Tetapi, peneyelesaian analitis hanya dapat diturunkan untuk sejumlah terbatas kelas-kelas masalah

2. Penyelesaian Grafis. memberikan ciri perilaku sistem. Penyelesaian grafis tanpa bantuan komputer sangat membosankan

3. Kalkulator manual dan Slide rule untuk mengimplementasikan metode numerik. Walaupun dalam teori pendekatan ini sudah cukup sempurna, tetapi dalam kenyataannya ditemukan beberapa kesukaran; dan perhitungan secara manual sangat lambat dan membosankan.

Metode-metode Prakomputer

Komputer hanya berguna jika dilengkapi dengan perintah-perintah yang seksama. Perintah-perintah ini adalah PERANGKAT LUNAK.

Proses pengembangan perangkat lunak

ALGORITMA

Kompilasi Program

Pencarian dan

pengujian

Penyimpanan dan

Perawatan

Dokumentasi

Pengembangan yang mendasari logika program

Penulisan program dalam bahasa komputer

Pemastian bahwa program bebas galat dan

terandalkan

Membuat program mudah digunakan dan dipahami

Menyimpan program dan memperbaikinya sesuai

pengalaman

Algoritma merupakan rentetan langkah loogika yang diperlukan untuk melakukan suatu tugas tertentu seperti misalnya menyelesaikan masalah.

Desain Algoritma

Ciri algoritma yang baik:

Deterministik tidak ada yang tertinggal untuk ditebak

Prosesnya harus selalu berakhir Algoritma harus cukup umum untuk menangani

keperluan apapun.

Bagan alir adalah pernyataan visual atau grafis suatu algoritma.

Bagan alir menggunakan deretan blok dan anak panah, yang masing-masing menyatakan operasi atau langkah tertentu dari sebuah algoritma

Bagan Alir

Lambang-lambang bagan alir

Ujung / terminal

Masukan / keluaran

Proses

Keputusan

Penghubung ke halaman sama

Penyambung ke halaman lain

Contoh

Halaman 1 Halaman 2

Begin

1

1

2

2

End

Bentuk galat numerik:1. Galat Pembulatan Disebabkan oleh fakta bahwa komputer hanya dapat menyatakan

besaran sejumlah berhingga angka2. Galat Pemotongan

Ketidaksesuaian yang diperkenalkan oleh fakta bahwa metode numerik menerapkan suatu hampiran untuk menyatakan operasi-operasi matematis dan besaran yang eksak.

Hampiran dan Galat

Galat yang tidak secara langsung berkaitan dengan metode numerik

1. Kecerobohan2. Galat perumusan atau model3. Ketidakpastian data

Definisi Galat

Galat numerik timbul dari penggunaan hampiran (aproksimasi) untuk menyatakan operasi besaran matematis yang eksak.

Ini mencakup galat pemotongan akan terjadi jika aproksimasi digunakan untuk menyatakan suatu prosedur matematis

Dan galat pembulatan akan terjadi jika bilangan aproksimasi digunakan untuk menyatakan bilangan eksak

Nilai sejati (true value) = aproksimasi + galat

Atau: Et = nilai sejati – aproksimasi Et galat sejati (true error) Kelemahan definisi ini adalah bahwa tingkat

besaran dan nilai yang diperiksa sama sekali tidak diperhatikan. Misalnya: galat 1 cm jauh lebih berarti jika yang diukur adalah paku ketimbang jembatan.

Hubungan antara hasil eksak dan aproksimasi...

Satu cara untuk memperhitungkan besarnya besaran yang sedang dievaluasi adalah menormalkan galat terhadap nilai sejati:

Galat relatif pecahan =

Galat relatif dapat juga dikalikan dengan 100%

εt= x 100%

εt menunjukan persen galat realtif yang sejati

Galat

Nilai sejati

Galat

Nilai sejati

Andaikan anda ditugaskan untuk mengukur panjang sebuah jembatan dan sebuah paku masing-masing 9999 dan 9 cm. Jika nilai sejati masing-masing adalah 10000 dan 10 cm, hitung (a) galat dan (b) persen galat relatif untuk setiap kasus

Penyelesaiana) Galat untuk pengukuran jembatan

Et = 10000 – 9999 = 1 cm

Untuk pakuEt = 10 – 9 = 1 cm

b) Persen galat relatif untuk jembatan

εt = x 100% = 0,01%

untuk paku εt = x 100% = 10%

Contoh

1

10000

1

10

Jadi, walaupun kedua pengukuran mempunyai galat 1 cm, tetapi galat realtif untuk paku jauh lebih besar.

KESIMPULAN pengukuran jembatan telah dikerjakan dengan layak, sedangkan taksiran untuk paku masih perlu dipertanyakan

Dalam metode numerik, nilai sejati hanya akan diketahui bilamana fungsi yang ditangani berupa fungsi yang dapat diselesaikan secara analitis. Kasus yang demikian merupakan kasus yang khas.

Namun dalam dunia nyata, tentu saja jawaban sejati tidak diketahui sebelumnya. Untuk situasi-situasi ini, alternatifnya adalah menormalkan galat dengan menggunakan taksiran terbaik yang tersedia dari nilai sejati, yaitu terhadap aproksimasi itu sendiri, seperti dalam persamaan berikut:

εa = x 100%

Salah satu tantangan metode numerik adalah menentukan taksiran galat tanpa mengetahui nilai sejatinya. Misalnya metode numerik tertentu memakai pendekatan secara iterasi untuk menghitung jawaban.

Galat terhadap aproksimasi

Galat aproksimasi

aproksimasi

Dalam pendekatan yang demikian, suatu aproksimasi sekarang dibuat berdasarkan aproksimasi sebelumnya. Proses ini dilakukan secara berulang, atau ITERASI, dengan maksud secara beruntun menghitung aproksimasi yang lebih dan lebih baik.

Untuk kasus yang demikian, galat seringkali ditaksir sebagai selisih antara aproksimasi sebelumnya dengan yang aproksimasi sekarang.

Jadi persen galat relatif ditentukan sesuai persamaan berikut:

εa = x

100%

Aproksimasi sekarang – aproksimasi sebelumnya

Aproksimasi sekarang

Rumus kuadrat .................... (1)

Untuk menyelesaikan .....................(2)

Nilai-nilai yang dihitung menggunakan persamaan (1)dinamakan akar dari persamaan (2). Akar-akar tersebut menggambarkan nilai-nilai x yang membuat persamaan (2) sama dengan NOL.

Jadi, kita dapat mendefinisikan akar suatu persamaan adalah nilai x yang membuat f(x) = 0.

Berdasarkan alasan ini, kadangkala akar disebut juga titik nol persamaan.

Walaupun rumus kuadrat tersebut cukup ampuh untuk menyelesaikan persamaan (2), tetapi terdapat banyak fungsi lain yang akarnya tidak dapat ditentukan secara demikan mudah.

Untuk kasus-kasus begitu, metode numerik sarana yang efisien untuk mencari jawabannya.

Akar-akar persamaan

Suatu fungsi secara khas berganti tanda di sekitar suatu akar Metode pengurung memanfaatkan fakta ini dalam mencari nilai akar

persamaan Diperlukan dua terkaan awal Terkaan ini harus dapat mengurung atau berada pada kedua sisi dari akar

Metode-metode pengurung

contoh

Gunakan pendekatan grafis untuk menentukan koefisien hambatan c yang diperlukan oleh penerjun payung dengan massa m = 68,1 kg agar mempunyai kecepatan 40 m/detik setelah jatuh bebas untuk waktu t = 10 detik. Percepatan grafitasi adalah 9,8 m/detik2

contoh

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

-20

-10

0

10

20

30

40