KAJIAN SAINS FISIKA IMETODE LAGRANGE DAN MEKANIKA HAMILTON

Diajukan kepada Prof. Dr. Budi Jatmiko, M.Pd

OLEH :Hafsemi Rafsenjani127795061Vantri Pieter Kelelufna127795074Agustina Elizabeth127795077Asty Priantini127795084

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYAPROGRAM PASCASARJANAPROGRAM STUDI PENDIDIKAN SAINS2013KATA PENGANTAR

Syukur dan terima kasih kepada Yang Maha Esa atas bimbingan dan tuntunan sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.Kajian terhadap Metode Lagrange dan Mekanika Hamilton merupakan suatu cara yang mempermudah penyelesaian suatu solusi mekanika klasik. dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tak dapat diketahui melalui pendekatan Newton. Sehingga diperlukan pendekatan baru dengan meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan karakteristik partikel, misal energi totalnyaIsi makalah ini kiranya dapat membantu pembaca dalam memahami Metode Lagrange dan mekanika Hamilton. Tak ada gading yang tak retak maka penulis mengharapkan usul dan saran yang dapat membangun isi tulisan ini.

Awal Juni 2013Hafsemi RafsenjaniVantri Pieter KelelufnaAgustina ElizabethAsty Priantini

DAFTAR ISI

Halaman

Halaman JudulKata PengantarDaftar Isiiiiiii

PENDAHULUAN1

PEMBAHASANA. Metode LagrangeB. Koordinat Umum (Umum)C. Gaya pada Sistem Koordinat UmumD. Gaya Umum untuk Sistem KonservatifE. Contoh Pemakaian Metode LagrangeF. Momentum Koordinat UmumG. Mekanika Hamilton357892428

PENUTUP32

Daftar Pustakaiv

PENDAHULUAN

Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange dapat diperoleh dengan meninjau energi kinetik dan energi potensial partikel tanpa perlu meninjau gaya yang beraksi pada partikel. Energi kinetik partikel dalam koordinat kartesian adalah fungsi dari kecepatan, energi potensial partikel yang bergerak dalam medan gaya konservatif adalah fungsi dari posisi. Jika didefinisikan Lagrangian sebagai selisih antara energi kinetik dan energi potensial.Jika ditinjau gerak partikel yang terkendala pada suatu permukaan bidang, maka diperlukan adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan mempertahankan kontak antara partikel dengan permukaan bidang. Namun, tak selamanya gaya konstrain yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui. Pendekatan Newton memerlukan informasi gaya total yang beraksi pada partikel. Gaya total ini merupakan keseluruhan gaya yang beraksi pada partikel, termasuk juga gaya konstrain. Oleh karena itu, jika dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tak dapat diketahui, maka pendekatan Newton tidak berlaku. Sehingga diperlukan pendekatan baru dengan meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan karakteristik partikel, misal energi totalnya. Pendekatan ini dilakukan dengan menggunakan prinsip Hamilton, dimana persamaan Lagrange yakni persamaan umum dinamika partikel dapat diturunkan dari prinsip tersebut.Dari prinsip Hamilton, dengan mensyaratkan kondisi nilai stasioner maka dapat diturunkan persamaan Lagrange. Persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari koordinat umum, kecepatan umum, dan mungkin waktu. Ketergantungan Lagrangian terhadap waktu merupakan konsekuensi dari hubungan konstrain terhadap waktu atau dikarenakan persamaan transformasi yang menghubungkan koordinat kartesian dan koordinat umum mengandung fungsi waktu. Pada dasarnya, persamaan Lagrange ekivalen dengan persamaan gerak Newton, jika koordinat yang digunakan adalah koordinat kartesian.Dalam mekanika Newtonian, konsep gaya diperlukan sebagai kuantitas fisis yang berperan dalam aksi terhadap partikel. Dalam dinamika Lagrangian, kuantitas fisis yang ditinjau adalah energi kinetik dan energi potensial partikel. Keuntungannya, karena energi adalah besaran skalar, maka energi bersifat invarian terhadap transformasi koordinat.Dalam kondisi tertentu, tidaklah mungkin atau sulit menyatakan seluruh gaya yang beraksi terhadap partikel, maka pendekatan Newton menjadi rumit pula atau bahkan tak mungkin dilakukan. Oleh karena itu, pada perkembangan berikutnya dari mekanika, prinsip Hamilton berperan penting karena ia hanya meninjau energi partikel saja.

PEMBAHASAN

A. Metode LagrangePermasalahan sistem pegas dengan massa yang ada di ujung pegas dapat diselesaikan dengan menggunakan yang dapat dituliskan dengan . Solusi persamaan ini adalah fungsi sinusoidal. Diyakini bahwa untuk menyelesaikan soulusi ini ada metode selain menggunakan adalah hanya memperhatikan kuantitas fisik energi kinetik dan energi potensial.Solusi umum Lagrangian adalah ... (1)dengan, T = energi kinetik ; V = energi potensial

Gambar 2.1 Sistem pegasPada sistem pegas berlaku persamaan Hooke : Persamaan gerak pegas diberikan oleh persamaan :

... (2)atau dapat ditulis,

sehingga, persamaan Euler Lagrangian ... (4)Solusi persamaan gerak menggunakan metode Lagrange dapat dicari dengan melihat persamaan Euler Lagrange dan persamaan gerak pegas di atas yaitu :

Kemudian dicari solusi masing-masing persamaan (5) menjadi :

Jadi solusi persamaan gerak pegas

Dengan metode Lagrange ini kita dapat mencari solusi persamaan gerak dan juga kita dapat mencari persamaan gerak dari solusi persamaan geraknya (lihat persamaan 6), dan persamaan geraknya diberikan oleh persamaan Euler Lagrange (lihat persamaan 4). Diperoleh :

B. Koordinat Umum

Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakan dengan menggunakan tiga jenis koordinat; dapat berupa koordinat Kartesian, koordinat polar atau koordinat silinder. Jika partikel bergerak pada sebuah bidang, atau pada sebuah permukaan yang terbatas, maka hanya dibutuhkan dua koordinat untuk menyatakan posisinya, sedangkan untuk partikel yang bergerak pada sebuah garis lurus atau pada lintasan lengkung cukup dengan menggunakan satu koordinat saja.Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan paling kurang 3N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel. Secara umum, terdapat n jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Koordinat-koordinat tersebut dinyatakan dengan (8)yang disebut dengan koordinat umum (generalized coordinates). Koordinat dapat saja berupa sudut atau jarak. Tiap koordinat dapat berubah secara bebas terhadap lainnya (holonomic). Jumlah koordinat n dalam hal ini disebut dengan derajat kebebasan sistem tersebut.Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak dapat berubah secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa banyaknya derajat kebebasan adalah lebih kecil dari jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Salah satu contoh sistem nonholonomic adalah sebuah bola yang dibatasi meluncur pada sebuah bidang kasar. Lima koordinat diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat untuk menyatakan posisi pusat bola dan tiga koordinat untuk menyatakan perputarannya. Dalam hal ini, koordinat-koordinat tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. Jika bola tersebut menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah. Dalam pembahasan selanjutnya kita akan membatasi diri pada sistem holonomic.Untuk partikel tunggal, fungsi koordinat umum lebih mudah diungkapkan dengan menggunakan koordinat Kartesius: (satu derajat kebebasan gerak pada sebuah kurva) (dua derajat kebebasan gerak pada sebuah permukaan)

(tiga derajat kebebasan gerak pada bidang) Misalkan berubah dari harga awal menuju harga . Perubahan koordinat Kartesius yang bersesuaian adalah: (9) (10) (11)turunan parsial dan seterusnya adalah fungsi dari .Sebagai contoh sebuah partikel bergerak dalam bidang; kita memilih koordinat polar untuk menyatakan konfigurasi sistem, maka dalam hal ini :

Gambar 2.2 Koordinat Polar (12)selanjutnya, (13)dan, (14) (15)Perubahan konfigurasi dari ke konfigurasi di dekatnya menyatakan perpindahan partikel ke dari titik ke titik di dekatnya dimana: (16) (17) (18)Persamaan (16 18) menunjukkan turunan parsialnya merupakan fungsi .Selanjutnya indeks untuk menyatakan koordinat rectangular, dan indeks untuk menyatakan koordinat umum. Simbol dipakai untuk menyatakan sembarang koordinat rectangular. Jadi, untuk sistem yang mengandung partikel, dapat berharga antara 1 dan 3.

C. Gaya pada Sistem Koordinat Umum

Jika sebuah partikel mengalami pergeseran sejauh dibawah pengaruh sebuah gaya aksi , gaya yang bekerja padanya dinyatakan dengan (19)Dalam bentuk yag lebih sederhana dinyatakan dengan (20)Tampak bahwa persamaan di atas tidak hanya berlaku untuk partikel tunggal, tetapi juga untuk sistem banyak partikel. Untuk satu partikel, harga adalah dari 1 sampai 3. Untuk partikel, harga adalah dari 1 sampai 3.Jika pertambahan dinyatakan dalam koordinat umum, maka diperoleh (21) Persamaan di atas dapat ditulis (22)dimana (23)Besaran yang didefinisikan menurut persamaan di atas disebut dengan gaya umum. Oleh karena perkalian memiliki dimensi usaha, maka dimensi adalah gaya jika menyatakan jarak, dan dimensi adalah torka jika menyatakan sudut.

D. Gaya Umum untuk Sistem Konservatif

Jika sebuah gaya bekerja pada sebuah partikel dalam sebuah medan gaya konservatif, besarnya gaya tersebut dinyatakan oleh persamaan (24)dimana V menyatakan sebuah fungsi energi potensial. Oleh karena itu perumusan gaya umum dapat dinyatakan (25)merupakan turunan parsial terhadap , maka (26)Misalkan, kita menggunakan koordinat polar, ;, maka gaya umum dapat dinyatakan dengan ; . Jika merupakan fungsi saja (dalam kasus gaya sentral), maka .

Persamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konservatif dapat dicari jika kita ketahui fungsi Lagrangian dalam bentuk koordinat tertentu. Di sisi lain, jika gaya rampatan tidak konservatif, misalkan nilainya adalah , maka kita dapat menuliskan

(27)Selanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian , dan menuliskan persamaan diferensial gerak dalam bentuk

(28)

(29)Bentuk di atas lebih mudah dipakai jika gaya gesekan diperhitungkan.

E. Contoh Pemakaian Metode Lagrange

Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan diferensial gerak dari sebuah sistem adalah sebagai berikut:1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem.2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta turunannya terhadap waktu.3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak konservatif, cari koordinat umum Qk.4. Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan persamaan di atas.

Beberapa contoh pemakaian metode Lagrange

1. Sebuah pendulum dengan terbuat dari pegas dengan massa m.Pegas terikat kuat pada garis bidang datar (massa pegas diabaikan) dengan panjang pegas adalah kamudian pegas tersebut ditarik sejauh .

Gambar 2.3 Pendulum

Persaman Lagrange

Persamaan gerak

2. Sebuah partikel bermassa m yang bergerak akibat pengaruh gaya sentral pada sebuah bidang.Misalkan koordinat polar (r,) digunakan sebagai koordinat umum (umum). Koordinat Cartesian (r,) dapat dihubungkan melalui :x = r cos y = r sin Energi kinetik partikel

Energi potensial gaya sentral

Persamaan Lagrange untuk sistem ini

dari persamaan Lagrange

substitusi q1 = r dan q2 = , diperoleh:

Dari kedua persamaan di atas diperoleh

Untuk partikel yang bergerak dalam gaya konservatif

jadi,

dari persamaan Lagrange

atau,Hal ini berarti bahwa J merupakan momentum sudut yang nilainya konstan. Integrasi persamaan di atas menghasilkan

= konstanBerdasarkan persamaan di atas dapat dikatakan bahwa dalam medan konservatif momentum sudut J, merupakan tetapan gerak.

3. Osilator HarmonikSebuah osilator harmonik 1-dimensi, dan misalkan padanya bekerja sebuah gaya peredam yang besarnya sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu sistem dapat dipandang tidak konservatif. Jika x menyatakan pergeseran koordinat, maka fungsi Lagrangiannya adalah

L = T - V = dimana m adalah massa dan k adalah tetapan pegas. Selanjutnya:

Oleh karena pada sistem bekerja gaya yang tidak konservatif yang harganya sebanding dengan kecepatan; dalam hal ini Q' = -c, sehingga persamaan gerak dapat ditulis :

Ini tak lain adalah persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi dengan gaya peredam.

4. Parikel yang berada dalam Medan SentralRumuskan persamaan Lagrange gerak sebuah partikel dalam sebuah bidang di bawah pengaruh gaya sentral. Kita pilih koordinat polar q1 = r, q2 = . Maka

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan Lagrange, diperoleh :

Oleh karena sistemnya tidak konservatif, maka persamaan geraknya adalah :

5. Pesawat AdwoodSebuah pesawat Atwood yang terdiri dari dua benda bermassa m1 dan m2 dihubungkan oleh tali homogen yang panjangnya l m dan dilewatkan pada katrol (lihat gambar). Sistem ini memiliki satu derajat kebebasan. Kita ambil variabel x untuk menyatakan konfigurasi sistem, dimana x adalah jarak vertikal dari katrol ke massa m1 seperti yang ditunjukkan pada gambar.

al-xxm1m2

Gambar 2.4 Pesawat Atwood Tunggal

Kecepatan sudut katrol adalah , dimana a adalah jari-jari katrol. Energi kinetik sistem ini adalah :

dimana I adalah momen inersia katrol. Energi potensial sistem adalah :

Anggap bahwa pada sistem tidak bekerja gaya gesekan, sehingga fungsi Lagrangiannya adalah

dan persamaan Lagrangenya adalah

yang berarti bahwa,

atau,

adalah percepatan sistem. Nampak bahwa jika m1>m2, maka m1 akan bergerak turun, sebaliknya jika m1