Metode Cross

BEBERAPA VARIASI PERHITUNGAN DENGAN CARA CROSS(THE MOMENT-DISTRIBUTION METHOD)

Oleh: Rony Ardiansyah

ABSTRAKMengingat banyak ragam cara penyelesaian mekanika teknik dengan cara Cross, baik

perjanjian tanda, cara pelepasan momen primer dan momen imbang yang cukup bervariasi,juga mempergunakan kekakuan batang baik yang diselaraskan maupun tidak diselaraskan, serta berbagai istilah dan simbol yang dipergunakan selama ini.

Dalam Artikel ini penulis memadu beberapa sistem, baik sistem atau metode oleh Chu-Kia Wang maupun Sutomo H.M,dimana mereka mempergunakan perjanjian tanda yang berbeda, kekakuan yang berbeda, namun memperoleh suatu hasil akhir yang sama. Kemudian sebagai perhitungan kontrol penulis mempergunakan metode “Single Cycle Moment Distribution Method”. Semua perhitungan diatas mempergunakan bantuan Microsoft Excel.Sasaran yang ingin dicapai dengan mengambil suatu contoh soal, berupa balok diatas beberapa perletakan, adalah untuk menghasilkan suatu hasil perhitungan praktis dengan tingkat akurasi yang cukup,dan dapat dipertanggung-jawabkan

Considering a lot of manner of is way of the solving of engineering mechanics by Cross, good of sign convention, way of release of balancing moment and moment primary (fixed end moment) is which enough variable and also utilize the bar inertia of both for harmonized by and also is not harmonized, and also various term and symbol utilized during the time.

In this Article the writer combine some good system;the system or method by Chu-Kia Wang and also their Sutomo H.M, where utilize the different sign convention, different inertia, but obtain;get the same end result. Later;Then as calculation control of the writer utilize the method " Single Cycle Moment Distribution Method". All above calculation utilize the aid of Microsoft Excel.

The Target which wish reached by taking an example of problem, in the form of above log some placement, is to yield an practical calculation result with the accuration storey;level which enough and can be justified

I. PENDAHULUANMetode distribusi-momen pada mulanya dikemukakan oleh Prof. Hardy Cross pada tahun 1930-an dan dipandang sebagai salah satu sumbangsih terpenting yang pernah diberikan kepada analisa struktur balok –kontinu dan kerangka kaku. Pada hakekatnya metode ini merupakan suatu cara untuk menyelesaikan persamaan-persamaan simultan di dalam metode ubahan sudut dengan pendekatan berturut-turut, dengan derajat

ketelitian berapapun, seiring kehendak (Chu Kia Wang, Analisa Struktur Lanjutan, 1992)

II. ANALISA TEORITIK1. FAKTOR KEKAKUAN (STIFFNESS

FACTOR) 4EI/L

Faktor kekakuan bisa diambil = EI/L atau 4EI/L

Faktor kekakuan yang diselaraskan bisa diambil 0,75 dari 4EI/L.

Gambar 2.1. Faktor kekakuan dan pemindahan

A2 B2

A B1

MA

EI konstan

MB

L

A B

= +A1

MB

EI

LM A

6

.

EI

LM A

3

.

EI

LM B

6

.

EI

LM B

3

.MA

θB = - θB1 + θB2 = 0 = - MAL / 6EI + MBL / 3EI = 0 = - ½ MA + MB = 0 MB = ½ MA θA = + θA1 – θA2 = + MAL / 3EI – MBL / 6EI = 3 MAL / 12EI

MA = 12EI / 3EI (θA) = 4EI / L (θA) 4EI / L Adalah Faktor Kekakuan

½ Adalah Carry Over Factor2. FAKTOR PEMINDAHAN (CARRY OVER

FACTOR)/ FAKTOR INDUKSI = + ½ Faktor perpindahan diberi simbol “CO” Terjadi induksi hanya dalam batang

yang sama CO = +1/2 BAL.

3. FAKTOR DISTRIBUSI (DISTRIBUTION FACTOR) Faktor distribusi dapat disamakan

dengan perbandingan kekakuan. Simbol dari Faktor Distribusi adalah

“FD” Dalam buku Sutomo H.M. dipakai

simbol “miu” (µ)4. MOMEN PRIMER (FIXED END

MOMENT) Simbol momen primer adalah “FEM” Dalam buku Sutomo H.M. dipakai

simbol “M0”. Besarnya momen primer untuk berbagai

jenis pembebanan atau perletakan dapat

dihitung dengan cara putaran sudut atau dapat dilihat pada table momen.

5. PERJANJIAN TANDA Positif “Apabila menyebabkan batang

berputar searah jarum jam” Negatif “ Apabila menyebabkan batang

berputar berlawanan arah jarum jam”.

6. MOMEN-MOMEN PENGIMBANG (BALANCING MOMENT) Apabila momen primer pada titik

kumpul adalah (∑M0) Simbol Balancing Moment adalah

“BAL”. Dalam buku Sutomo H.M. dipakai

simbol “delta M” (∆M)

7. MOMENT CROSS Simbol momen desain sama dengan

momen cross “M” Yang dimaksud Momen Cross dalam

buku Sutomo H.M. adalah Momen Desain tapi berlawanan tanda atau (Mcross= -Mdesain)

M = M0 + ∆M

8. MOMEN DESAIN Momen desain disebut juga “Momen

Ujung”.

III. PEMBAHASAN Kasus ini merupakan balok menerus di atas beberapa perletakan seperti yang terlihat pada gambar 3.1. berikut ini :

Tabel 3.1. Distribusi momen untuk balok kontinu

Titik hubung A B CAnggota AB BA BC CB4EI/L 2EIC 2EIC 1,333EIC 1,333EIC

Faktor distribusi …… 0,600 0,400 1,000

Siklus 1FEM -200 +200 -120 +120BAL 0 -48 -32 -120

Siklus 2CO -24 0 -60 -16BAL 0 +36 +24 +16

Siklus 3CO +18 0 +8 +12BAL 0 -4,8 -3,2 -12

Siklus 4CO -2,4 0 -6 -1,6BAL 0 +3,6 +2,4 +1,6

Siklus 5CO +1,8 0 +0,8 +1,2BAL 0 -0,48 -0,32 -1,2

Jumlah (diakhir siklus 5) -206,6 +186,32 -186,32 0

Proses tersebut dapat diteruskan hingga derajat ketelitian berapapun, seiring kehendak.

Untuk perhitungan cara biasa (kondisi I) dan cara modifikasi (kondisi II) dapat dilihat pada

tabel 3.2 dan tabel 3.3 dengan asumsi perhitungan sebagai berikut :

Perhitungan cara biasa pada tabel 3.2. dihitung berdasarkan asumsi ;

Gambar 3.1. Balok yang ditinjau (sumber Chu-Kia Wang, 1992)

10 m

5Ic 4Ic

6 m 6 m

12 m

24 kN/m 80 kN

CA B

Momen primer pada perletakan sendi jepit diambil sama dengan perletakan jepit-jepit (PL/8)

Kekakuan diambil sama dengan 4EI/L

Perhitungan cara modifikasi pada tabel 3.3. dihitung berdasarkan asumsi ;

Momen primer diambil berdasarkan perletakan sendi-jepit (3PL/16)

Kekakuan diambil sama dengan 0,75 dari 4EI/L

Table 3.2. Distribusi Momen Kondisi I (Cara Biasa)

Joint…… A B CMember… AB BA BC CBK = 4EI/L 2 2 1.33333 1.33333cycle DF 0 0.6 0.4 1

1FEM 200 -200 120 -120

BAL 0 48 32 120

2CO 24 0 60 16BAL 0 -36 -24 -16

3CO -18 0 -8 -12BAL 0 4.8 3.2 12

4CO 2.4 0 6 1.6BAL 0 -3.6 -2.4 -1.6

5CO -1.8 0 -0.8 -1.2BAL 0 0.48 0.32 1.2

6CO 0.24 0 0.6 0.16BAL 0 -0.36 -0.24 -0.16

7CO -0.18 0 -0.08 -0.12BAL 0 0.048 0.032 0.12

8 CO 0.024 0 0.06 0.016

BAL 0 -0.036 -0.024 -0.016

9 CO -0.018 0 -0.008 -0.012

BAL 0 0.0048 0.0032 0.012

10CO 0.0024 0 0.006 0.0016

BAL 0 -0.0036 -0.0024 -0.0016

11CO -0.0018 0 -0.0008 -0.0012BAL 0 0.00048 0.00032 0.0012

12CO 0.00024 0 0.0006 0.00016BAL -0.00036 -0.00024 -0.00016

Total206.66684 -186.66668 186.66668 0

CheeckChange 6.66684 13.33332 66.66668 120

-1/2 (change)… -6.66666 -3.33342 -60 -33.33334

Sum………….. 0.00018 9.9999 6.66668 86.66666

0 rel = sum/(-K) -9E-05 -4.99995 -5.00001 -64.999995

Check Check Check

Table 3.3. Distribusi Momen Kondisi II (Cara Modifikasi)Joint…… A B CMember… AB BA BC CBK= 4EI/L 2 2 1.3333 1.3333K. MODIFIKASI (0,75) 2 2 1 0cycle DF 0 0.6667 0.3333 0

1FEM 200 -200 180 0BAL 6.6667 13.33333 6.666667 0

Total 206.6667 -186.6667 186.6667 0.0000Cheeck Change 6.6667 13.3333 6.6667 0.0000-1/2 (change)… -6.6667 -3.3333 0.0000 -3.3333Sum………….. 0.0000 10.0000 6.6667 -3.33330 rel = sum/(-K) 0.0000 -5.0000 -5.0000 2.5000

Check Check Check

KETERANGAN :

1. PELEPASAN SERENTAK2. TIDAK ADA INDUKSI PADA TITIK KE "C "3. " K " MODIFIKASI ( K.CD = K. DC = 1,3333)

Sebagai bahan perbandingan perhitungan analisa statika dengan cara Cross ini yaitu antara kondisi I dengan kondisi II (modifikasi), maka perhitungan distribusi momen dengan cara biasa (Kondisi I) disajikan dalam beberapa macam siklus dapat ditampilkan pada tabel 3.4., tabel 3.5. dan tabel 3.6. berikut ini :

Table 3.4. Distribusi Momen Kondisi I (Cara Biasa) dengan 3 Siklus.

Joint…… A B CMember… AB BA BC CBTotal 206 -183.2 183.2 0Cheeck

Change 6 16.8 63.2 120-1/2 (change)… -8.4 -3 -60 -31.6Sum………….. -2.4 13.8 3.2 88.40 rel = sum/(-K) 1.2 -6.9 -2.4 -66.33

Check Check Check


Joint…… A B CMember… AB BA BC CBTotal 208.4 -186.8 186.8 0Cheeck

Change 8.4 13.2 66.8 120-1/2 (change)… -6.6 -4.2 -60 -33.4Sum………….. 1.8 9 6.8 86.60 rel = sum/(-K) -0.9 -4.5 -5.1 -64.95

Check Check Check


Joint…… A B CMember… AB BA BC CBTotal 206.684 -186.668 186.668 0Cheeck

Change 6.684 13.332 66.668 120-1/2 (change)… -6.666 -3.342 -60 -33.334Sum………….. 0.018 9.99 6.668 86.6660 rel = sum/(-K) -0.009 -4.995 -5.001 -64.9995

Check Check Check

Dari tabel-tabel distribusi momen dengan cara biasa (kondisi I) terlihat pada siklus yang lebih sedikit terdapat perbedaan putaran sudut yang berbeda. Semakin banyak siklus distribusi momen maka putaran sudut yang dihasilkan akan semakin akurat. Hasil-hasil ini dapat

dilihat pada tabel 3.4 dengan 3 siklus., tabel 3.5 dengan 4 siklus dan tabel 3.6 dengan 8 siklus.

Kemudian pada tabel 3.2 yang menampilkan distribusi momen dengan kondisi I terlihat bahwa hasil perhitungan semakin akurat. Dimana pada tabel ini, distribusi momen dihitung hingga siklus ke-12.

Sementara itu perhitungan distribusi momen pada kondisi II atau cara modifikasi hanya memerlukan 1 (satu) siklus saja untuk menghasilkan putaran sudut yang sangat akurat.

Sebagai perhitungan kontrol, digunakan metode Single Cycle Moment Distribution Method yang ditampilkan pada tabel 3.7 berikut ini:

Table 3.5. Distribusi Momen dengan Single Cycle

Siklus ke… Titik A B CFD 0 0.6 0.4 1FEM 200 -200 120 -120

Siklus 1 Dist. At. A 60 IND 120Dist. At. B 6 IND 12 8 IND 4Dist. At. C 0 IND 0Momen 206 -188 188 4

Siklus 2 Dist. At. A -2 IND -4Dist. At. B 0.6 IND 1.2 0.8 IND 0.4Dist. At. C 0 IND 0Momen 206.6 -186.8 186.8 0.4

Siklus 3 Dist. At. A -0.2 IND -0.4Dist. At. B 0.06 IND 0.12 0.08 IND 0.04Dist. At. C 0 IND 0Momen 206.66 -186.68 186.68 0.04



Siklus 6 Dist. At. A -0.0002 IND -0.0004Dist. At. B 6E-05 IND 0.00012 8E-05 IND 4E-05Dist. At. C 0 IND 0Momen 206.6667 -186.667 186.6667 4E-05

Siklus 7 Dist. At. A -2E-05 IND -4E-05Dist. At. B 6E-06 IND 1.2E-05 8E-06 IND 4E-06Dist. At. C 0 IND 0Momen 206.6667 -186.667 186.6667 4E-06




Keterangan : 1. Disini "single cycle moment distribution"

sebagai perhitungan control2. Perataan momen baru bisa mencapai

konvergen pada siklus ke - 10

3. Sebelum konvergen perhitungan ti-dak boleh dihentikan

IV. KESIMPULAN DAN SARANDari hasil pembahasan diatas dapat ditarik beberapa kesimpulan antara lain sebagai berikut :

1. Pada ujung balok, balok kontinu dengan perletakan sendi , apabila dihitung dengan kekakuan yang diselaraskan maka besar “K” yang diselaraskan adalah sama dengan 0,75 K.

2. Besarnya momen primer akan berbeda dalam perhitungan pada perhitungan cara kekakuan yang diselaraskan dengan yang tidak diselaraskan.

3. Perhitungan dengan perlepasan momen primer atau momen penimbang, dengan cara perlepasan satu titik akan menghasilkan perhitungan yang lebih singkat dan lebih akurat dibandingkan dengan cara perlepasan serentak.

4. Sebagai kontrol pada ujung perletakan jepit besarnya momen harus sama dengan nol.

5. Kontrol perhitungan dengan “The Single Cycle Moment Distribution” yang menghasilkan momen desain yang sama, adalah disebabkan metode ini juga diturunkan dari metode putaran sudut.

6. Dari hasil perhitungan pada kondisi I diperoleh hasil yang hampir sama antara putaran sudut θBA dengan θAB, tetapi hasil ini baru diperoleh pada siklus ke-12.

7. Dari hasil perhitungan pada kondisi II (modifikasi) diperoleh hasil yang sama antara putaran sudut θBA dengan θAB, hanya pada siklus pertama.

8. Dengan hasil kedua perhitungan tersebut penulis menyarankan agar menggunakan perhitungan dengan cara modifikasi/kondisi II. Dimana cara ini dinilai lebih praktis, karena hanya memerlukan satu siklus saja untuk mendapatkan hasil perhitungan yang cukup akurat.

V. DAFTAR PUSTAKA

H. M. Soetomo Ir., Perhitungan Cara Cross,

penerbit Departemen Sipil ITB –

HMS ITB, Bandung

Wang C. K., Ph.D.,Analisa Struktur Lanjutan,

Jilid , edisi mahasiswa, penerbit

Erlangga, Jakarta, 1992

Yudhiantoro D., Trik dan Teknik

Menggunakan Microsoft Excel,

penerbit Andi Yogyakarta, 2002.

Metode Cross

Documents

Transcript of Metode Cross