METODE NUMERIK

KELAS: IV A

PJ: AULIA RAHMAWATI

IPAH ARTA

NISIYATUSSANI

NURUL KIFAH

1. Diberikan beberapa bilangan titik-kambang yang telaj dinormalkan sebagai berikut:

a=0.4523123 ×10−4

b=0.2365401 ×101

c=0.4520156 ×10−4

d=0.1234567 ×10−3

Bila mesin yang digunakan untuk operasi aritmetika mempunyai tujuh angka bena, hitung hasil komputasi yang diberikn oleh mesin tersebut (dalam bentuk bilangan titik-kambang ternormalisasi):

( i ) a+b+c+d

( ii ) a+c+d+b

(iii ) a−c

( iv ) ab−c

Penyelesaian :

(i ) a+b+c+d

0.4523123 ×10−4

23654.01 ×10−4

0.4520156 × 10−4

1.234567 ×10−4+

23656.1488969 ×10−4

Normalisasi : 0.236561488969 ×101

Chopping: 0.23656 ×101

In-rounding: 0.23656 ×101

( ii ) a+c+d+b

0.4523123 ×10−4

0.4520156 × 10−4

1.234567 ×10−4

23654.01 ×10−4+

23656.1488969 ×10−4

Normalisasi : 0.236561488969 ×101

Chopping: 0.23656 ×101

In-rounding: 0.23656 ×101

(iii ) a−c

0.4523123 ×10−4

0.4520156 × 10−4 -

0.0002967 × 10−4

Normalisasi: 0.2967 × 10−7

Chopping: 0.2967 × 10−7

In-rounding: 0.2967 × 10−7

( iv ) ab−c

0.4523123 ×10−4

0.2365401 ×101 ×

0.10698999667323×10−3

0.04520156 × 10−3-

0.06178843667323×10−3

Normalisasi: 0.6178843667323×10−8

Chopping: 0.61788436 ×10−8

In-rounding: 0.6179 ×10−8

2. Misalkan digunakan mesin hipotetik dengan mantis empat angka bena. Lakukanlah operasi aritmetika untuk bilangan titik kambang ternormalisasi berikut. Normalkan hasilnya.

a. 0,3796 × 102 + 0,9643 × 10-2

b. 0,4561 × 10-2 – 0.6732 ×10-2

c. 0,1234 × 103 x 0,4321 × 10-1

penyelesaian :

a. 0,3796 × 102

0,00009643 × 10 2 +

0,37969643 × 102

Hasil normalisasinya : 0,3797 × 102

b. 0,4561 × 10-2

0,6732 ×10 -2 -

- 0,2171 × 10-2

Hasil normalisasinya : - 0,2171 × 10-2

c. 0,1234 × 103

0,4321 × 10 -1 ×

01234

02468

03702

04936

00000 +

0,05332114 × 102

Hasil normalisasinya : 0,5332 × 103

3. tentukan bilangan kondisi untuk f(x) = sin (x)

Jawab :

Bilangan kondisi ini sangat kecil untuk x=0

Karena BK < 1 berartigalat relaif hampiran fungsi kecil, bisa dikatakan berkondisi baik.

Bukti:

(x) = sin x

f(0,0999) = 0,001743583

f(0,1000) = 0, 0017453284

untuk maka 0, 0000017454

maka terbukti bahwa kondisinya baik karena saat dan

4. Tentukan galat pemotongan maksimum untuk f ( x )=sin (2x ) dengan deret taylor terpotong

sampai orde ke-8 disekitar x0=1, saat x=3,6

Diketahui : f ( x )=sin (2x ) terpotong sampai orde 8

x0=1

x=3,6

Jawab :

f ( x )=sin (2x )

f ' ( x )=2cos (2 x )

f ' ' ( x )=−4 sin (2x )

f ' ' ' (x )=−8 cos (2 x )

f (4 )( x )=16 sin (2 x )

f (5) ( x )=32 cos (2 x )

f (6) ( x )=−64 sin (2 x )

f (7) ( x )=−128 cos (2 x )

f (8) ( x )=256 sin (2 x )

f (9) ( x )=512 cos (2 x )

Untuk x0=1

f (1 )=sin 2 (1 )=0,035

f ' (1 )=2cos2 (1 )=1,999

f ' ' (1 )=−4 sin 2 (1 )=−0,140

f ' ' ' (1 )=−8cos2 (1 )=−7,995

f (4 )(1 )=16 sin 2 (1 )=0,558

f (5) (1 )=32 cos2 (1 )=31,98

f (6) (1 )=−64 sin 2 (1 )=−2,234

f (7) (1 )=−128 sin 2 (1 )=−127,9

f (8) (1 )=256 sin 2 (1 )=8,934Deret Taylor

f ( x )= a=f ( x0 )+( x−x0 )1

1 !∙ f ' ( x0 )+

( x−x0 )2

2 !∙ f ' ' ( x0 )+

( x−x0 )3

3 !∙ f ' ' ' ( x0 )

+…+( x−x0 )n

n!∙ f (n )( x0 )+

( x−x0 )n+1

(n+1)!∙ f (n+1) ( x0 )+…

f ( x )= a=0,035+( x−1 )1

1 !∙ (1,999 )+ ( x−1 )2

2!∙ (−0,140 )+ ( x−1 )3

3!∙ (−7,995 )+ ( x−1 )4

4 !∙ (0,558 )+ ( x−1 )5

5!∙ (31,98 )+ ( x−1 )6

6 !∙ (−2,234 )+ ( x−1 )7

7 !∙ (−127,9 )+ (x−1 )8

8 !∙ ( 8,934 )

f ( x )= a=0,035+( x−1 ) ∙ (1,999 )−0,1402

∙ (x−1 )2−7,9956

∙ ( x−1 )3+ 0,55824

∙ ( x−1 ) 4+ 31,98120

∙ ( x−1 )5−2,234720

∙ ( x−1 )6−127,95040

∙ ( x−1 )7+ 8,93440320

∙ ( x−1 )8

Galat Pemotongan Maksimum

|Rn( x)|<maksimumx0<c<x

|f (x +1)(c )|∙|( x−x0 )n+1

(n+1)! ||R8(x)|<maksimum

1<c<3,6|f (8+1 )(c)|∙|(3,6−1 )8+1

(8+1)! ||R8(x)|<maksimum

1<c<3,6|f (9 )(c)|∙|(2,6 )9

9 ! ||R8(x)|<maksimum

1<c<3,6|512 cos2(c )|∙|0,015|

|R8(x)|<|512cos2 (1)|∙|0,015|

|R8(x)|<7,675

Bukti :

Untuk x=3,6

a=sin (2 x )=sin 2 (3,6 )=sin 7,2=0,125

a=0,035+( x−1 ) ∙ (1,999 )−0,1402

∙ ( x−1 )2−7,9956

∙ ( x−1 )3+ 0,55824

∙ ( x−1 )4+ 31,98120

∙ ( x−1 )5−2,234720

∙ ( x−1 )6−127,95040

∙ ( x−1 )7+ 8,93440320

∙ (x−1 )8

a=0,035+(3,6−1 ) ∙ (1,999 )−0,1402

∙ (3,6−1 )2−7,9956

∙ (3,6−1 )3+0,55824

∙ (3,6−1 )4+ 31,98120

∙ (3,6−1 )5−2,234720

∙ (3,6−1 )6−127,95040

∙ (3,6−1 )7+ 8,93440320

∙ (3,6−1 )8

a=0,035+5,197−0,473−23,42+1,062+31,66−0,958−20,38+0,463

a=−6,814

ε=a−a

ε=0,125−(−6,814 )

ε=6,939