ABSTRAK

Dalam sistem penyederhanaan fungsi Boolean, metode aljabar dan metode peta karnaugh sangat sulit untuk menyederhanakan fungsi Boolean dengan jumlah variabel maksimum 4(empat) variabel. Karena itu disimulasikan metode Quine-McCluskey yang mampu menyederhanakan fungsi Boolean dengan lebih dari 4(empat) variabel. Maka dari itu untuk menyelesaikan masalah penyederhanaan fungsi boolean digunakan metode Quine-McCluskey. Metode ini merupakan metode tabulasi dengan dua langkah utama yaitu pencarian prime implicant (implikan utama) dan penentuan prime implicant (implikan utama) inti.

Kata kunci : fungsi Boolean, metode Quine-Mccluskey, prime implicant

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Aljabar Boolean, sebagai salah satu cabang matematika, pertama kali

dikemukakan seorang matematikawan Inggris, George Boole, pada tahun 1854.

Boole melihat bahwa himpunan dan logika proposisi mempunyai sifat –sifat yang

serupa. Dalam buku The Law of Thought, Boole memaparkan aturan-aturan dasar

logika (yang kemudian dikenal sebagai Logika Boolean). Aturan dasar logika ini

membentuk struktur matematika yang disebut aljabar Boolean. Pada tahun 1938,

Claude Shannon memperlihatkan penggunaan aljabar Boolean untuk merancang

sirkuit yang menerima masukkan 0 dan 1 dan menghasilkan keluaran juga 0 dan

1. Aljabar Boolean telah menjadi dasar teknologi komputer digital karena

rangkaian elektronik di dalam komputer juga bekerja dengan metode operasi bit, 0

dan 1. Saat ini aljabar Boolean digunakan secara luas dalam perancangan

rangkaian pensaklaran, rangkaian digital, dan rangkaian IC (integrated circuit)

komputer.

Definisi dari sebuah Aljabar Boolean adalah sebuah sistem aljabar yang

terdiri atas himpunan semesta S bersama dengan dua buah operasi yaitu :

penjumlahan/addition (+) dan perkalian/multiplication ( . ). Aturan-aturan yang

ada pada aljabar boolean pada intinya adalah pembentukan persamaan yang

menggunakan beberapa jenis operator (OR, AND, dan Negasi) sehingga aljabar

boolean merupakan alat matematis yang cocok untuk keperluan analisis rangkaian

logika. Untuk mendapatkan rangkaian logika maka diperlukannya metode-metode

penyederhanaan agar fungsi booleannya menghasilkan fungsi yang sederhana

sehingga dapat membentuk rangkaian logika.

Fungsi Boolean seringkali mengandung operasi-operasi yang tidak perlu,

literal atau suku-suku yang berlebihan. Oleh karena itu, diperlukan

penyerderhanaan fungsi Boolean. Menyederhanakan fungsi Boolean sama artinya

mencari bentuk fungsi yang ekivalen tetapi dengan jumlah literal atau operasi

yang lebih sedikit. Dalam pembuatan sirkuit elektronik bentuk yang terbaik ini

dimaksudkan untuk memperoleh biaya minimum dalam pembuatan sirkuit

elektronik dan menghasilkan kinerja yang cepat dalam pengoperasian.

Penyelesain fungsi Boolean disebut juga minimisasi fungsi. Contohnya,

f(x,y) = x’y + xy’ + y’ dapat disederhanakan menjadi f(x, y) = x’ + y’.

Dipandang dari segi aplikasi aljabar Boolean, fungsi Boolean yang lebih

sederhana berarti rangkaian logikanya juga lebih sederhana (menggunakan jumlah

gerbang logika lebih sedikit). Ada tiga metode yang dapat digunakan untuk

menyederhanakan fungsi Boolean :

1. Secara aljabar, menggunakan hukum-hukum aljabar Boolean.

2. Metode Peta Karnaugh.

3. Metode Quine-McCluskey.

Penyederhanaan secara Aljabar, dilakukan dengan memodifikasi persamaan

Boolean dimana dalam penyederhanaannya menggunakan teorema / aksioma

dualitas untuk membuat bentuk yang paling sederhana. Salah satu cara yang dapat

digunakan adalah memanipulasi Aljabar Boolean. Karena metode Aljabar

Boolean bersifat trial and error, maka penyederhanaan dengan metode aljabar ini

tidak digunakan dalam kasus nyata. Metode yang paling banyak digunakan adalah

Peta Karnaugh dimana cara menggambarkannya dengan sejumlah kotak

berbentuk persegi panjang yang berisi minimal term (minterm) dari fungsi

booleannya dan banyaknya kotak bergantung pada banyaknya jumlah input dari

fungsi tersebut. Metode lain yang digunakan adalah metode Quine-McCluskey

atau biasa disebut dengan metode tabulasi.

Pada prakteknya, fungsi boolean yang jumlah variabelnya kurang dari

empat dapat dengan mudah disederhanakan menggunakan metode Aljabar dan

Peta Karnaugh. Sedangkan fungsi boolean yang jumlah variabelnya lebih dari

empat, kedua metode diatas sering kali menghasilkan penyederhanaan fungsi yang

bentuknya tidak sederhana. Metode Quine-McCluskey lebih tepat untuk

menyelesaikan kasus ini. Penyederhanaan dengan menggunakan metode Quine

McCluskey dilakukan dengan cara menyatakan variabel komplemen dengan 0

variabel bukan komplemen dengan 1 dari bentuk baku fungsi booleannya, setelah

itu mengkelompokan suku-suku berdasarkan jumlah 1 lalu mengkombinasikan

suku-suku tersebut dengan kelompok lain yang jumlah 1-nya berbeda satu

sehingga diperoleh bentuk prime yang sederhana untuk mencari prime implicant

serta memilih prime implicant yang mempunyai jumlah literal paling sedikit.

Dari uraian di atas, penulis ingin mengggunakan metode Quine-McCluskey

untuk menyederhanakan fungsi Boolean dengan judul “Menyederhanakan

Fungsi Boolean dengan Menggunakan Metode Quine-McCluskey”.

2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, masalah yang akan dibahas adalah:

Bagaimana cara menyederhanakan fungsi Boolean dengan menggunakan metode

Quine-McCluskey ?

3. Tujuan

Tujuan penulisan pada makalah ini adalah untuk menyelesaikan masalah

penyederhanaan fungsi boolean dengan menggunakan metode Quine-McCluskey.

4. Batasan Masalah

Batasan masalah dalam penulisan Seminar Matematika ini adalah sebagai

berikut : Bentuk baku fungsi boolean yang digunakan adalah Sum Of Product

(SOP).

KAJIAN PUSTAKA

1. Aljabar Boolean

Aljabar Boolean dapat didefinisikan secara abstrak dalam beberapa cara.

Cara yang paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur-unsur

pembentuknya dan operasi-operasi yang menyertainya.

Misalkan terdapat :

- Dua operator biner: + dan

- Sebuah operator uner: ’.

- B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, , dan ’

- 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Maka, tupel

(B, +, , ’)

disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma

atau postulat Huntington berikut:

1. Identitas2. Komutatif3. Distributif4. Komplemen

Terdapat perbedaan antara aljabar Boolean dengan aljabar biasa untuk aritmatika

bilangan riil :

1. hukum distributif yang kedua, a + (b c) = (a + b) (a + c), benar untuk

aljabar Boolean, tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.

2. Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian atau kebalikan

penjumlahan

3. Aksioma nomor 4 mendefinisikan operator yang dinamakan komplemen yang

tidak tersedia pada aljabar biasa.

4. Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan riil dengan elemen yang

tidak berhinggga banyaknya. Sedangkan aljabar Boolean memperlakukan

himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefenisikan, tetapi pada

aljabar Boolean dua-nilai, B didefenisikan sebagai himpunan dengan hanya dua

nilai, 0 dan 1.

Berhubung elemen-elemen B tidak didefenisikan nilainya (kita bebas

menentukan anggota-anggota B), maka untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean,

kita harus memperlihatkan :

1. Elemen-elemen himpunan B,

2. kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner dan operator uner,

3. himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut, memenuhi keempat

aksioma diatas.

2. Fungsi Boolean

Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B

melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai

f : Bn B

yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut

ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B. Setiap ekspresi Boolean tidak

lain merupakan fungsi Boolean. Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah

f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z

Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke

himpunan {0, 1}. Contoh pasangan terurut ganda-3 misalnya (1, 0, 1) yang berarti

x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga

f(1, 0, 1) = 1 · 0 · 1 + 1’ · 0 + 0’ · 1 = 0 + 0 + 1 = 1.

Contoh. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:

1. f(x) = x

2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’

3. f(x, y) = x’ y’

4. f(x, y) = (x + y)’

5. f(x, y, z) = xyz’

Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk

komplemennya, disebut literal. Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di

atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’. Fungsi tersebut berharga 1 jika

x = 1, y = 1, z = 0 sebab

h(1, 1, 0) = 1 · 1 · 0’ = (1 · 1) · 1 = 1 · 1 = 1

dan berharga 0 untuk harga x, y, dan z lainnya. Selain secara aljabar, fungsi

Boolean juga dapat dinyatakan dengan tabel kebenaran dan dengan rangkaian

logika. Tabel kebenaran berisi nilai-nilai fungsi untuk semua kombinasi nilai-nilai

peubahnya.

Jika fungsi Boolean dinyatakan dengan tabel kebenaran, maka untuk fungsi

Boolean dengan n buah peubah, kombinasi dari nilai peubah-peubahnya adalah

sebanyak 2n. Ini berarti terdapat 2n baris yang berbeda di dalam tabel kebenaran

tersebut. Misalkan n = 3, maka akan terdapat 23 = 8 baris tabel. Cara yang praktis

membuat semua kombinasi tersebut adalah sebagai berikut:

1. Untuk peubah pertama, isi 4 baris pertama pada kolom pertama dengan sebuah

0 dan 4 baris selanjutnya dengan sebuah 1 berturut-turut.

2. Untuk peubah kedua, isi 2 baris pertama pada kolom kedua dengan 0 dan 2

baris berikutnya dengan 1, 2 baris berikutnya dengan 0 lagi, dan 2 baris

terakhir dengan 1.

3. Untuk peubah ketiga, isi kolom ketiga secara berselang-seling dengan 0 dan 1

mulai dari baris pertama sampai baris terakhir.

Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel

kebenaran.

Penyelesaian:

Tabel 3.1x y z f(x, y, z) = xy z’0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

3. Bentuk Baku

Pada bentuk ini, suku-suku yang membentuk fungsi dapat mengandung satu,

dua, atau sejumlah literal. Dua tipe bentuk baku adalah bentuk baku SOP dan

bentuk baku POS. Contohnya,

f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz (bentuk baku SOP)

f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’) (bentuk baku POS)

4. Aplikasi Aljabar Boolean

Aljabar Boolean memiliki aplikasi yang luas dalam bidang keteknikan,

antara lain:

1. Jaringan pensaklaran (switching network)

2. Sirkuit Elektronik

5. Penyederhanaan Fungsi Boolean

Ada tiga metode yang dapat digunakan untuk menyederhanakan fungsi

Boolean :

1. Secara aljabar, menggunakan hukum-hukum aljabar Boolean,

Contoh : sederhanakanlah fungsi Boolean f(x, y, z) = xz’ + y’z + xyz’

Penyelesaian :

f(x, y, z) = xz’ + y’z + xyz’

= xz’ · 1 + y’z + xyz’ (Hukum identitas)

= xz’ (1 + y) + y’z (Hukum distributif)

= xz’ · 1 + y’z (Hukum dominansi)

= xz’ + y’z (Hukum identitas)

Pada soal diatas fungsi Boolean diminimumkan dengan trik manipulasi

aljabar dengan prosedur yang cut-and-try yang memanfaatkan postulat, hukum-

hukum dasar, dan metode manipulasi lain yang sudah dikenal. Untuk tiga variabel

saja hukum yang dipakai sudah tiga. Bagaimana untuk enam varibel ke atas?

Terlebih lagi tidak ada aturan khusus yang harus diikuti yang akan menjamin

menuju ke jawaban akhir. Maka metode aljabar hanya cocok untuk

menyederhanakan fungsi Boolean yang jumlah variabelnya kecil misalnya 4

variabel dan akan sangat sulit bila variabelnya lebih dari 4.

2. Metode peta Karnaugh,

Contoh : carilah fungsi sederhana dari f(v, w, x, y, z) = ∑ (0, 2, 4, 6, 9, 11,

13, 15, 17, 21, 25, 27, 29, 31).

Penyelesaian :

Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah :

xyz

vw 000 001 110 010 110 111 101 100

00 1 0 0 1 1 0 0 1

01 0 1 1 0 0 1 1 0

11 0 1 1 0 0 1 1 0

10 0 1 0 0 0 0 1 0

Fungsi minimasi: f(v, w, x, y, z) = wz + v’w’z’ + vy’z

Pada soal diatas peta Karnaugh untuk lima variabel dibuat dengan anggapan

ada dua buah peta empat variabel yang disambungkan, demikian juga untuk enam

variabel. Untuk fungsi Boolean 6 variabel pengerjaan penyederhanaan dengan

peta Karnaugh sudah mulai rumit. Bagaimana untuk variabel 6 ke atas ? Maka

akan semakin rumit, sebab ukuran peta bertambah besar. Selain itu, metode peta

Karnaugh lebih sulit diprogram dengan komputer karena diperlukan pengamatan

visual untuk mengidentifikasi minterm-minterm yang akan dikelompokkan.

Untuk itu diperlukan metode penyerderhanaan yang lain yang dapat

diprogram dan dapat digunakan untuk fungsi Boolean dengan sembarang jumlah

peubah. Metode alternatif tersebut adalah metode Quine-McCluskey (yang akan

dibahas oleh penulis pada Bab Pembahasan).

PEMBAHASAN

Metode Quine-McCluskey

Metode peta Karnaugh hanya cocok digunakan jika fungsi Boolean

mempunyai jumlah peubah paling banyak 6 peubah. Jika jumlah peubah yang

terlibat pada suatu fungsi Boolean lebih dari 6 buah maka penggunaan peta

Karnaugh menjadi semakin rumit, sebab ukuran peta bertambah besar. Selain itu,

metode peta Karnaugh lebih sulit diprogram dengan komputer karena diperlukan

pengamatan visual untuk mengidentifikasi minterm-minterm yang akan

dikelompokkan. Untuk itu diperlukan metode penyederhanaan yang lain yang

dapat diprogram dan dapat digunakan fungsi Boolean dengan sembarang jumlah

peubah. Metode alternatif tersebut adalah metode Quine-McCluskey yang

dikembangkan oleh W.V.Quine dan E.J.McCluskey pada tahun 1950.

Penyederhanaan menggunakan metode Quine-McCluskey memberikan hasil

yang pasti. Metode ini digunakan untuk mempresentasikan minimasi ekspresi

fungsi boolean, dan menyediakan sebuah prosedur sistematis untuk membangun

semua Prime Implicant dan kemudian mengambil sebuah set minimum dari prime

yang ada.

Langkah-langkah metode Quine-McCluskey untuk menyederhanakan fungsi

Boolean dalam bentuk SOP terbagi dalam dua bagian, yaitu :

1. Menentukan term-term sebagai kandidat (Prime Implicant), dengan langkah-

langkah sebagai berikut :

a. Terlebih dahulu buatlah tabel kebenaran

b. Nyatakan tiap minterm (desimal) dalam n variabel menjadi string bit yang

panjangnya n, yang dalam hal ini variabel komplemen dinyatakan dengan

‘0’, variabel yang bukan komplemen dengan ‘1’.

c. Kelompokkan tiap minterm berdasarkan jumlah ‘1’ yang dimilikinya.

d. Kombinasikan minterm dalam n variabel dengan kelompok yang lain yang

jumlah ‘1’-nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima (prime-

implicant) yang terdiri dari n-1 variabel. Minterm yang dikombinasikan

diberi tanda “√”.

e. Kombinasikan minterm dalam n-1 variabel dengan kelompok lain yang

jumlah ‘1’-nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima yang terdiri

dari n-2 variabel.

f. Teruskan langkah diatas sampai diperoleh bentuk prima yang sesederhana

mungkin.

2. Memilih prime implicant untuk mendapatkan ekspresi dengan jumlah literal

paling sedikit. Langkah-langkahnya :

g. Ambil semua bentuk prima yang tidak bertanda “√”. Buatlah tabel baru

yang memperlihatkan minterm dari fungsi Boolean semula yang dicakup

oleh bentuk prima tersebut (tandai dengan “×”). Setiap minterm harus

dicakup oleh paling sedikit satu buah bentuk prima.

h. Pilih bentuk prima yang memiliki jumlah literal paling sedikit namun

mencakup sebanyak mungkin minterm dari fungsi Boolean semula.

Metode Quine-McCluskey biasanya digunakan untuk menyederhanakan

fungsi Boolean yang ekspresinya dalam bentuk SOP, namun metode ini dapat

dimodifikasi sehingga juga dapat digunakan untuk ekspresi dalam dalam bentuk

POS. Contoh dibawah ini akan mengilustrasikan penggunaan metode Quine-

McCluskey untuk menyederhanakan fungsi Boolean dalam bentuk SOP.

Contoh Metode Quine-McCluskeyBerikut ini contoh kasus dengan menggunakan metode Quine McCluskey

yang akan dibahas :

Contoh : Fungsi Boolean dengan delapan variab el

f(h, g, f, e, d, c, b, a) = ∑ (18, 20, 27, 32, 44, 48, 49, 52, 53, 64, 79, 80, 84, 95,

100, 104, 105, 106, 107, 108, 142, 143, 148, 154, 158, 160 ).

Langkah g dan h :

berdasarkan tabel prime implicants diatas, didapatkan label-label prime implicant

terpilih. Bentuk sederhananya adalah :

f(h, g, f, e, d, c, b, a) = z = h’g’f’ed’c’ba’ + h’g’f’edc’ba + h’fe’dcb’a’ +

h’g’fed’b’ + h’gf’d’c’b’a’ + h’gf’dcba +

h’gfe’cb’a’ + h’gfe’dc’ + hg’f’e’dcb +

g’f’ed’cb’a’ + hg’f’edba’ + g’fe’d’c’b’a’ +

h’gf’ed’b’a’

Gambar rangkaian logikanya :

h g f e d c b a

PENUTUP

1. Kesimpulan

Metode Quine Mc.Cluskey menyelesaikan persamaannya dengan

menentukan minterm-minterm sebagai prime implicant dan memilih prime

implicant untuk mendapatkan ekspresi dengan jumlah literal sedikit dengan

beberapa pengulangan minimasi dari tahap penyederhanaan sebelumnya

sampai tidak dapat lagi disederhanakan dan didapat hasil maksimum

peminimasian prime implicant yang terpilih, namun metode ini sangat rumit

langkah-langkahnya contohnya saja dalam menentukan prime implicantnya

dari penyederhanaan 1 ke penyederhanaan selanjutnya selama masih dapat

disederhanakan dan akan berhenti apabila minimasi mintermnya tidak dapat

dilakukan lagi.

2. Saran

Beberapa saran untuk pengembangan penyederhanaan fungsi Boolean

dengan menggunakan metode Quine-McCluskey selanjutnya :

1. Bentuk persamaan fungsi boolean yang diimplementasikan adalah

penjumlahan dari perkalian (Sum Of Product). Diperlukan pengembangan

untuk masukan ekspresi dalam bentuk kalimat perkalian dari penjumlahan

(Product Of Sum).

2. Buatlah listing program aplikasi metode Quine-McCluskey untuk

membantu pengerjaan penyederhanaan fungsi Boolean dengan

menggunakan komputer.

DAFTAR PUSTAKA

Marc Lars Lipson, Seymor Lipschutz, “Seri Penyelesaian Soal Schaum : Matematika Diskrit 1”, Jakarta : Salemba Teknika, Edisi 1, 2001.Munir Rinaldi, “Matematika Diskrit”, Bandung : Informatika Bandung, Cetakan III, 2009.Sudijono Anas, “Pengantar Statistik Pendidikan”, Jakarta : Rajawali Pers, Cetakan 23, 2011.

MENYEDERHANAKAN FUNGSI BOOLEAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE QUINE-MCCLUSKEY (QM)

Oleh :

Nama : Altio Zuhroh

NIM : 09221003

Dosen Pembimbing :

Sujinal Arifin, M.Pd

Dosen Pengampuh :

Agustiany Dumeva Putri, M.Si

JURUSAN TADRIS MATEMATIKA

FAKULTAS TARBIYAH

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI RADEN FATAH

PALEMBANG

2012