Logika Matematika Aljabar Boolean

TEKNIK INFORMATIKA

UNIVERSITAS PASUNDAN

TAHUN AJARAN 2007/2008

Pertemuan ke-5

Oleh : Mellia Liyanthy

1

Bentuk Kanonik dan Bentuk baku atau standar

Fungsi boolean yang setiap sukunya

memiliki literal lengkap (mengandung

semua variabel yang didefinisikan pada

fungsi tersebut), maka disebut fungsi

boolean dalam bentuk kanonik, jika tidak

demikian, maka disebut bentuk standar.

2

Bentuk Kanonik

Terdapat dua macam bentuk kanonik :

1. Minterm atau Sum Of Product (SOP),

yaitu penjumlahan dari hasil perkalian, sehingga setiap

sukunya merupakan hasil operasi perkalian, kemudian

antara satu suku dengan suku yang lainnya dipisahkan

oleh operator penjumlahan.

2. Maxterm atau Product Of Sum (POS),

yaitu perkalian dari hasil penjumlahan, sehingga setiap

sukunya merupakan hasil operasi penjumlahan, kemudian

antara satu suku dengan suku yang lainnya dipisahkan

oleh operator perkalian.

3

Bentuk Standar

Terdapat dua macam bentuk Standar :

1. Sum Of Product (SOP),

yaitu penjumlahan dari hasil perkalian, sehingga setiap

sukunya merupakan hasil operasi perkalian, kemudian

antara satu suku dengan suku yang lainnya dipisahkan

oleh operator penjumlahan.

2. Product Of Sum (POS),

yaitu perkalian dari hasil penjumlahan, sehingga setiap

sukunya merupakan hasil operasi penjumlahan, kemudian

antara satu suku dengan suku yang lainnya dipisahkan

oleh operator perkalian.

4

Contoh :

1. f (x, y, z) = x’ y’ z + x y’ z’ + xyz

kanonik SOP

2. f (x, y, z) = (x + y + z)(x’ + y + z)

kanonik POS

3. f (x, y, z) = x’ y’ z + x y’ z’ + yz

standar SOP

4. f (x, y, z) = x( y + z)

standar POS 5

Minterm atau SOP

f ( x , y ) = x’ y + x y’ + x’ y’

Setiap suku dipisahkan oleh operator penjumlahan

Setiap suku memiliki literal

lengkap

Setiap suku merupakan hasil perkalian

6

Maxterm atau POS

f ( x , y ) = (x’+ y) . (x+ y’) . (x’+ y’)

Setiap suku dipisahkan oleh operator perkalian

Setiap suku memiliki literal

lengkap

Setiap suku merupakan hasil penjumlahan

7

Minterm (SOP) dan Maxterm (POS)

Minterm dan Maxterm untuk dua variabel :

x y Minterm Maxterm

Suku Lambang Suku Lambang

0 0 x’ y’ m0 x + y M0

0 1 x’ y m1 x + y’ M1

1 0 x y’ m2 x’ + y M2

1 1 x y m3 x‘ + y’ M3

8

Minterm (SOP) dan Maxterm (POS)

Minterm dan Maxterm untuk tiga variabel :

x y z Minterm Maxterm

Suku Lambang Suku Lambang

0 0 0 x’ y’ z’ m0 x + y + z M0

0 0 1 x’ y’ z m1 x + y + z’ M1

0 1 0 x’ y z’ m2 x + y’ + z M2

0 1 1 x’ y z m3 x + y’ + z’ M3

1 0 0 x y’ z’ m4 x’ + y + z M4

1 0 1 x y’ z m5 x’ + y + z’ M5

1 1 0 x y z’ m6 x’ + y’ + z M6

1 1 1 x y z m7 x’ + y’ + z’ M7

9

Contoh Nyatakan fungsi berikut dalam bentuk Kanonik SOP dan POS !

a b c f (a, b, c)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

SOP : f (a,b,c) = a‟b‟c + a‟bc + ab‟c + abc‟ + abc

atau f (a,b,c) = m1 + m3 + m5 + m6 + m7 = (1, 3, 5, 6, 7)

POS : f (a,b,c) = (a+b+c) (a+b‟+c) (a‟+b+c)

atau f (a,b,c) = M0 ● M2 ● M4 = (0, 2, 4) 10

Perlu dipahami, bahwa ....

“ Untuk membentuk minterm, tinjau kombinasi variabel-

variabel yang menghasilkan nilai 1. “

“ Untuk membentuk maxterm, tinjau kombinasi variabel-

variabel yang menghasilkan nilai 0. “

“ Notasi dan berguna untuk mempersingkat penulisan

ekspresi dalam bentuk SOP dan POS “

“ Lambang untuk minterm menggunakan huruf m,

sedangkan untuk maxterm menggunakan huruf M ”

11

Latihan

Nyatakan fungsi boolean

f (a,b,c) = a + b’c dalam bentuk kanonik SOP

dan POS !

13

Solusi untuk SOP....

Lengkapi literal untuk setiap sukunya.

f (a,b,c) = a + b’c

a = a . 1 hk. identitas

= a . ( b + b’ ) hk. komplemen

= (a.b) + (a.b’ ) hk. Distributif

= ab + ab’ perjanjian kita

Sehingga bentuk fungsinya menjadi :

f (a,b,c) = ab + ab’ + b’c

a 14

Latihan

Apakah sudah terbentuk SOPnya ?

15

Solusi untuk SOP....

Lengkapi lagi literal untuk setiap sukunya.

f (a,b,c) = ab + ab’ + b’c

ab = ab . 1 hk. identitas

= ab . ( c + c’ ) hk. komplemen

= (a.b.c) + (a.b.c’ ) hk. Distributif

= abc + abc’ perjanjian kita

Sehingga bentuk fungsinya menjadi :

f (a,b,c) = abc + abc’ + ab’ + b’c

ab 16

Solusi untuk SOP....

Lengkapi lagi literal untuk setiap sukunya.

f (a,b,c) = abc + abc’ + ab’ + b’c

ab’= ab’ . 1 hk. identitas

= ab’ . ( c + c’ ) hk. komplemen

= (a.b’.c) + (a.b’.c’ ) hk. Distributif

= ab’c + ab’c’ perjanjian kita

Sehingga bentuk fungsinya menjadi :

f (a,b,c) = abc + abc’ + ab’ c + ab’c’ + b’c

ab’ 17

Solusi untuk SOP....

Lengkapi lagi literal untuk setiap sukunya.

f (a,b,c) = abc + abc’ + ab’ c + ab’c’ + b’c

b’c = b’c . 1 hk. identitas

= b’c . ( a + a’ ) hk. komplemen

= (a.b’.c) + (a’.b’.c) hk. Distributif

= ab’c + a’b’c perjanjian kita

Sehingga bentuk fungsinya menjadi :

f (a,b,c) = abc + abc’ + ab’ c + ab’c’ + ab’c + a’b’c

b’c 18

Solusi untuk SOP....

f (a,b,c) = abc + abc’ + ab’ c + ab’c’ + a’b’c = m7 + m6 + m5 + m4 + m1

= ( 1, 4, 5, 6, 7 )

f (a,b,c) = abc + abc’ + ab’ c + ab’c’ + ab’c + a’b’c

Sehingga bentuk SOP fungsi tersebut menjadi :

f (a,b,c) = a + b’ c

Jika terdapat lebih dari satu suku yang memiliki literal yang sama, maka tuliskan salah satunya saja.

Periksa literal untuk setiap sukunya.

19

Latihan

Tapi ingat anda masih harus membentuk

POSnya !

20

Solusi untuk POS....

Ubah menjadi bentuk standar POS.

f (a,b,c) = a + b’c

a + b’c = a + (b’.c) perjanjian kita

= (a+ b’ ) (a+c) hk. Distributif

Sehingga bentuk standar POSnya menjadi :

f (a,b,c) = (a + b’ ) (a + c)

21

Solusi untuk POS....

Lengkapi literal untuk setiap sukunya.

f (a,b,c) = (a + b’ ) (a + c)

a + b’ = a + b’ + 0 hk. identitas

= a + b’ + (c.c’ ) hk. komplemen

= (a+b’+c) (a+b’+c’ ) hk. Distributif

Sehingga bentuk fungsinya menjadi :

f (a,b,c) = (a + b’ + c) (a + b’ + c’) (a + c)

a+b’ 22

Solusi untuk POS....

Lengkapi lagi literal untuk setiap sukunya.

f (a,b,c) = (a + b’ + c) (a + b’ + c’) (a + c)

a + c = a + c + 0 hk. identitas

= a + c + (b.b’ ) hk. komplemen

= (a+b+c) (a+b’+c) hk. Distributif

Sehingga bentuk fungsinya menjadi :

f (a,b,c) = (a+b’+c) (a+b’+c’) (a+b+c) (a+b’+c)

a+c 23

Solusi untuk POS....

f (a,b,c) = (a+b’+c) (a+b’+c’) (a+b+c) = M2 . M3 . M0

= ( 0, 2, 3 )

f (a,b,c) = (a+b’+c) (a+b’+c’) (a+b+c) (a+b’+c)

Sehingga bentuk POS fungsi tersebut menjadi :

f (a,b,c) = (a + b’ ) (a + c)

Jika terdapat lebih dari satu suku yang memiliki literal yang sama, maka tuliskan salah satunya saja.

Periksa literal untuk setiap sukunya.

24

Solusi Akhir....

Sehingga bentuk kanonik SOP dan POS dari :

f (a,b,c) = a + b’c

SOP :

f (a,b,c) = ( 1, 4, 5, 6, 7 )

POS :

f (a,b,c) = ( 0, 2, 3)

25

Konversi antar Bentuk Kanonik

Kita dapat memperoleh fungsi boolean dalam

bentuk kanonik POS dari suatu fungsi kanonik

SOP.

Langkah – langkahnya :

1. Cari fungsi komplemen dari fungsi tersebut,

2. Gunakan hukum de Morgan.

27

Contoh :

Ubah kedalam bentuk kanonik POS !

f (x,y,z) = (1, 4, 5, 6, 7)

Solusi :

1. Cari fungsi komplemennya :

f ’ (x,y,z) = (0, 2, 3) = m0 + m2 + m3

2. Gunakan hk. De Morgan

(f ‘ (x,y,z))’ = (m0 + m2 + m3 )‟

= m0„ . m2 „ . m3 „

= (x‟y‟z‟)‟ . (x‟yz‟)‟ . (x‟yz)‟

= (x+y+z) . (x+y‟+z) . (x+y‟+z‟)

= M0 . M2 . M3 = (0, 2, 3) 28