Dasar-Dasar Mekanika Fluida

Ainul Ghurri Ph.D.

Jurusan Teknik Mesin Universitas Udayana2 0 1 4

Dasar-D

asar M

ekanika

Fluida

Ain

ul Ghur

ri 201

4

i

Dasar-Dasar Mekanika Fluida Ainul Ghurri Ph.D.

Hak Cipta 2014 oleh Jurusan Teknik Mesin – Universitas Udayana. Dilarang mereproduksi dan mendistribusi bagian dari publikasi ini dalam bentuk maupun media apapun tanpa seijin Jurusan Teknik Mesin – Universitas Udayana. Dipublikasikan dan didistribusikan oleh Jurusan Teknik Mesin – Universitas Udayana, Kampus Bukit Jimbaran, Bali 80362, Indonesia.

ii

KATA PENGANTAR Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena berkat ide,

pengetahuan dan kekuatan yang diberikanNYA maka penulisan buku diktat “Dasar-Dasar Mekanika Fluida” ini dapat terselesaikan.

Diktat ini bisa dikatakan merupakan kumpulan dari penggalan-penggalam materi kuliah mekanika fluida, yang disusun dari berbagai sumber materi antara lain buku teks, handbook, jurnal ilmiah dan diperkaya dengan hasil penelitian. Diktat ini digunakan untuk mata kuliah Mekanika Fluida 1, namun juga bermanfaat untuk mata kuliah lain yang berhubungan dengan aliran fluida. Pada bagian materi presentasi/hand-out meskipun pada dasarnya merupakan versi untuk pemaparan dalam perkuliahan, namun kadang-kadang juga merupakan bagian yang memperkaya isi diktat.

Diktat ini masih jauh dari ideal, baik secara materi maupun dalam detail penjelasan dan perincian sub-babnya. Kami berharap dapat melaksanakan pembaruan dalam waktu dekat di masa mendatang. Kami berterima kasih kepada dosen-dosen dalam grup pembelajaran Mekanika Fluida, dan kepada pihak jurusan yang telah membantu penerbitan diktat ini. Terakhir, semoga diktat ini memberi manfaat terutama bagi mahasiswa sebagai materi pembuka cakrawala pengetahuan tentang mekanika fluida baik secara teori dan praktis.

Denpasar, 03 November 2014

Penulis,

Ainul Ghurri Ph.D.

iii

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ii Daftar Isi iii Bab 1 Konsep-Konsep Dasar Dalam Mekanika Fluida 1.1. Definisi Mekanika Fluida 1 1.2. Shear Stress dan Shear Strength 5 1.3. Gaya Geser dan Lapisan Geser pada Fluida 6 1.4. Pengkategorian dalam Mekanika Fluida 8 1.5. Ide-ide dasar yang mendefinsikan “fluida” 10 1.6. Dimensi dan Satuan 14 Bab 2 Fluida Statis 2.1. Persamaan Dasar Fluida Statis 15 2.2. Variasi Tekanan Dalam Fluida Statis Akibat Gaya Gravitasi 16 2.3. Pengukuran Tekanan 17 2.4. Alat Ukur Tekanan 19 2.5. Gaya hidrostatik pada permukaan yang terendam 22 2.6. Gaya Apung [Bouyant Force] 28 2.7. Fluida Dalam Benda Rigid Yang Bergerak 29 Bab 3 Persamaan-Persamaan Dasar dalam bentuk Integral untuk “Volume Kontrol” 3.1. Sistem dan Volume Kontrol (Volume atur) 38 3.2. Hukum-hukum dasar untuk sistem 40

iv

3.3. Penurunan persamaan volume atur 42 3.4. Penerapan persamaan volume atur 45 3.5. Analisis Diferensial Volume Kontrol 51 3.6. Soal-Soal 63 Bab 4 Analisis Dimensional dan Keserupaan Dinamik 4.1. Keserupaan Dimensional dan Dinamik 64 4.2. Teori BUCKINGHAM PI 66 4.3. Prosedur Menentukan Grup Non-Dimensional (π) 67 Handout/Materi Presentasi Perkuliahan [81 hal]

Bab 1

KONSEP-KONSEP DASAR

DALAM MEKANIKA FLUIDA

1.1. Definisi Mekanika Fluida

Mekanika adalah cabang ilmu yang menelaah hal-hal yang berkaitan dengan gaya dan gerakan.

Fluida adalah zat yang berada dalam keadaan cair (liquid) dan gas. Zat cair adalah zat yang untuk

jumlah massa tertentu akan memiliki volume tertentu yang tidak tergantung pada bentuk benda

dimana zat cair tersebut ditempatkan. Untuk mengukur volume zat cair biasanya dilakukan dengan

mengukur volume kontainer dimana zat cair itu berada. Namun volume yang sebenarnya hanyalah

sesuai jumlah yang mengisi kontainer tersebut. Jika volumenya lebih kecil dari kontainer, maka akan

terbentuk permukaan bebas; misalnya pada danau dan tandon yang tidak terisi penuh. Sebaliknya,

gas dengan jumlah massa tertentu bisa memiliki volume yang bervariasi sesuai dengan wadah dimana

gas itu berada. Gas akan mengisi dan memenuhi seluruh wadah dimana gas berada (lihat Gambar

1.1). Bahan bakar dalam tabung LPG senantiasa memiliki volume yang sama, sejak awal pemakaian

sampai isinya hampir habis. Namun massa LPG semakin berkurang seiring dengan pemakaian LPG

tersebut. Digabung menjadi satu, mekanika fluida memiliki definisi cabang ilmu yang menelaah gaya

dan gerakan yang terjadi dalam fluida. Gaya dapat menghasilkan gerakan, dan sebaliknya, gerakan

dapat menghasilkan gaya. Gaya dan gerakan selalu berkaitan dengan momentum dan energi. Kincir

angin, adalah mesin fluida (fluid machinery) yang mengekstrak energi kinetik yang dimiliki oleh udara

yang bergerak, untuk kemudian menyimpannya dalam bentuk energi listrik; atau bisa juga dikonversi

secara langsung menjadi energi mekanis untuk memompa air. Sebaliknya, kipas angin adalah mesin

fluida yang mengonversikan energi listrik menjadi gerakan udara. Udara dapat digerakkan oleh kipas

angin dengan menggunakan sudu-sudu dengan desain yang sedemikian hingga fluida dapat dialirkan

dan diarahkan dengan baik dalam jumlah sesuai yang dibutuhkan. Pada fluida yang tidak bergerak

(statis), gaya yang terjadi adalah akibat tekanan fluida pada batas/dinding dimana fluida berada.

(a). Volume zat cair pada wadah yang berbeda

(b). Gas selalu mengisi seluruh ruangan

Gambar 1.1. Zat cair dan gas

Dalam pendefinisian mekanika fluida di bagian awal, pembahasan tidak diarahkan pada struktur

molekul. Fluida dianggap sebagai satu kesatuan materi yang kontinyu (fluid as continuum) yang dapat

dibagi secara tak terbatas dengan mengabaikan perubahan perilaku molekul secara individual.

Sejumlah molekul fluida tersebut diamati perilaku dan perubahannya sebagai satu kesatuan secara

makroskopik.

Untuk memahami konsep kontinyum, perhatikan beda antara struktur molekul material padat,

cair dan gas; pada Gambar 1.2 di bawah ini. Dalam material padat, atom diikat secara ketat oleh gaya

intermolekular. Dalam zat cair gaya intermolekular menjaga kedekatan antar molekul; tapi gaya

intermolekular tersebut tidak merata dan seketat pada material padat. Adanya gangguan gaya yang

kecil saja memungkinkan satu atau beberapa atom terlepas dari yang lainnya. Anggapan fluida

sebagai material kontinyum mengabaikan perubahan molekuler tersebut. Fluida dianggap material

kontinyu dengan ikatan yang merata seperti halnya material padat; dan dengan demikian properti

fluida seperti tekanan, kecepatan, dan temperatur didefinisikan pada semua bagian dengan

mengabaikan perbedaan struktur molekular antar bagian tersebut.

(a). Padat; (b). Cairan; (c). Gas

Gambar 1.2. Ikatan molekul material padat, cair dan gas

Studi mekanika fluida memiliki kemiripan dengan bidang mekanika yang lain, misalnya mekanika

material padat (rigid) dan mekanika dalam ilmu Fisika. Hukum Newton II, hukum konservasi massa

dan hukum Termodinamika I & II juga digunakan dalam mekanika fluida.

Gambar 1.3. Mekanika fluida sebagai bagian dari mekanika material kontinyum

Mekanika fluida termasuk dalam studi mekanika kontinyum (continuum mechanics). Seperti yang

ditunjukkan dalam diagram pada Gambar 1.3 di atas, mekanika kontinyum adalah studi fisik dari

materi kontinyu; terdiri dari mekanika fluida dan mekanika material padat. Studi mengenai materi

yang memiliki karakteristik mendua antara fluida dan material padat disebut rheology. Material yang

demikian hanya bisa mengalir jika tegangan geser mencapai nilai kritis untuk material tersebut;

misalnya pasta gigi dan bahan dempul. Fluida Newtonian adalah sebutan untuk fluida yang akan

mengalir secara kontinyu berapapun gaya geser diberikan padanya. Gaya geser yang terjadi pada

fluida ini akan selalu berbanding lurus secara linier dengan gradien kecepatan pada arah tegak lurus

bidang gaya geser. Fluida non-Newtonian mengalir tidak kontinyu; jika dikenai tegangan geser,

misalnya dengan mengaduknya, maka akan timbul area kosong yang kemudian perlahan akan terisi

kembali. Contoh fluida non-Newtonian adalah bahan puding (yang masih cair) dan cairan cat.

Pengadukan pada fluida non-Newtonian bisa menurunkan viskositasnya, misalnya cat cair. Dalam

keadaan tertentu pasir juga bisa dikategorikan sebagai fluida non-Newtonian. Pasir dan cat cair

memiliki sifat yang sangat berbeda; hal pokok yang membuat keduanya dikategorikan sebagai fluida

non-Newtonian adalah bahwa keduanya tidak mengalir secara kontinyu.

Mekanika

kontinyum

Mekanika

material

padat

Mekanika

fluida

Material elastis, yang akan kembali ke bentuk semulai

setelah dikenai tegangan.

Material plastis, yang akan mengalami deformasi permanen jika dikenai

tegangan yang lebih besar dari yield strength-nya.

Fluida Newtonian

Fluida non-Newtonian

Material dengan karakteristik gabungan padat dan fluida; misalnya pasta

dan dempul.

Gaya yang bekerja pada fluida dikelompokkan menjadi 2; pertama, gaya pemukaan (surface

force) yaitu gaya yang bekerja pada batas/permukaan fluida melalui kontak fisik, terdiri dari gaya

tekan atau tekanan dan gaya geser; kedua, gaya badan (body force) yaitu gaya yang bekerja tanpa

kontak fisik dimana gaya tersebut didistribusikan ke seluruh elemen fluida, terdiri dari gaya gravitasi,

gaya sentrifugal, gaya Coriolis dan gaya elektromagnetik. Pada semua pembahasan dalam buku ini,

gaya-gaya yang diperhitungkan adalah tekanan, gaya geser dan gravitasi, sedang yang lainnya

diabaikan.

Di samping definisi di atas, ada pengertian yang lebih esensial yang harus dipahami tentang

fluida. Dalam pengertian ini, fluida didefinisikan sebagai zat yang akan bergerak dan mengalami

perubahan secara kontinyu jika dikenai tegangan geser atau shear stress (ττττ, dibaca ‘tau’). Perubahan

yang dimaksud adalah perubahan struktur zat, atau deformasi. Beberapa material seperti bahan

dempul dan pasta gigi hanya akan bergerak/mengalir jika tegangan geser dikenakan padanya

mencapai nilai kritis tertentu. Pada zat padat, plastik misalnya, jika dikenai tegangan atau tarikan

maka ia akan mengalami peregangan (memanjang). Jika tarikan tersebut dihilangkan maka plastik

tersebut akan kembali ke keadaan semula. Plastik tersebut tidak mengalami deformasi. Namun jika

tegangan tarik diperbesar sampai melewati batas kekuatan luluh atau yield strength-nya (σyield), dan

kemudian tegangan tersebut dihilangkan plastik tersebut molor atau patah dan tidak bisa kembali ke

keadaan semula. Plastik tersebut dikatakan mengalami deformasi. Plastik dan benda padat lain

memerlukan gaya dalam jumlah tertentu untuk mengalami deformasi. Gaya dengan jumlah tertentu

untuk mendeformasi zat padat tersebut kita kenal sebagai yield strength (σσσσyield; σ dibaca ‘sigma’).

Fluida tidak memiliki batas tegangan tersebut. Fluida mengalami deformasi yang terus menerus jika

dikenai tegangan geser, sekecil apapun tegangan geser tersebut. Definisi fluida dikaitkan dengan

tegangan geser, bukan jenis tegangan yang lain.

Apa itu tegangan geser? Gambar 1.2 menunjukkan tegangan geser dan tegangan lain yang

bekerja pada suatu elemen fluida. Tegangan normal, tegangan tarik, dan tegangan tekan memiliki

arah tegak lurus terhadap permukaan elemen fluida, sedang tegangan geser menyinggung

permukaan zat atau elemen fluida. Jadi, definisi fluida dibanding zat padat dikaitkan dengan

karakteristik deformasinya. Fluida akan mengalami perubahan secara terus-menerus jika dikenai

tegangan geser. Fluida senantiasa berdeformasi, setiap kali menerima tegangan geser. Sedangkan zat

padat memiliki reaksi deformasi yang terbatas jika menerima tegangan, yaitu baru mengalami

deformasi jika tegangan yang diberikan lebih besar dari σσσσyield nya. Dengan kata lain zat padat

memerlukan sejumlah gaya tertentu untuk menghasilkan deformasi.

Sebagai catatan, sebutan umum untuk gaya persatuan luas adalah stress atau tegangan atau

tekanan, dengan simbol σ. Tegangan tersebut kemudian akan mendapat simbol atau istilah yang

berbeda sesuai penggunaannya; misalnya σgeser menjadi τ, σnormal menjadi P, dsb.

Gambar 1.2. Tegangan atau stress pada permukaan material

1.2. Shear Stress dan Shear Strength

Tegangan geser atau shear stress adalah tegangan pada arah paralel atau tangensial

(menyinggung) sisi atau permukaan material; kebalikan dari tegangan normal yang tegak lurus

permukaan. Tegangan geser menyatakan gaya geser per satuan luas, dengan satuan N/m2. Rumus

tegangan geser dinyatakan sebagai berikut:

A

F=τ (1.1)

dengan F = Gaya geser (N)

A = Luasan yang paralel dengan gaya geser (m2)

Gambar 1.3 menunjukkan objek yang mengalami tegangan geser. Pada Gambar 1.3 (a) sebuah

baut yang mengikat 2 plat mengalami tegangan geser per satuan luas baut yang paralel dengan arah

tarikan kedua plat. Pada Gambar 1.3 (b) selembar kertas menerima tegangan geser dari gaya geser

akibat pergerakan dua sisi mata gunting pada tempat yang akan dipotong.

Shear strength atau kekuatan geser adalah batas kekuatan suatu material untuk menerima

tegangan geser; mempunyai satuan yang sama dengan shear stress yaitu N/m2. Baut pada Gambar

1.3 (a) akan patah jika gaya geser per satuan luas baut yang diberikan melebihi shear strength

material baut. Sedangkan gunting pada Gambar 1.3 (b) akan berhasil memotong kertas jika tegangan

geser akibat gerakan dua sisi mata gunting telah melebihi kekuatan geser kertas. Berapa kekuatan

geser fluida? Karena fluida selalu berdeformasi jika dikenai tegangan geser, maka kekuatan gesernya

adalah nilai minimum tegangan geser berapapun yang mampu dibangkitkan, asalkan di atas nol.

Gambar 1.3. Gaya geser pada (a). Baut; (b). Kertas

σnormal

σgeser

σtekan

σgeser

σtekan

F F

Istilah stress (menggunakan simbol ττττ) digunakan untuk tegangan atau gaya yang bekerja pada

luasan tertentu, antara lain tensile stress (tegangan tarik), compressive stress (tegangan tekan), dan

shear stress. Sedangkan istilah strength (menggunakan simbol σσσσ) digunakan untuk menyatakan batas

kekuatan material untuk menahan jenis beban atau gaya tertentu tanpa mengalami deformasi

permanen; misalnya yield strength (kekuatan luluh), tensile strength (kekuatan tarik), fatigue strength

(kekuatan lelah), dan compressive strength (kekuatan tekan). Istilah-istilah tersebut digunakan dalam

kaitan dengan kekuatan material (strength of material).

1.3. Gaya Geser dan Lapisan Geser pada Fluida

Sesuai definisi fluida, deformasi terjadi secara terus-menerus sekecil apapun gaya geser

diberikan. Dari definisi fluida tersebut, selanjutnya kita akan mengenal istilah lapisan geser (shear

layer) yang merupakan topik yang sangat penting dalam pembahasan fluida dalam berbagai macam

keadaan aliran. Perhatikan Gambar 1.4 di bawah ini. Jika gaya F menyebabkan plat bergerak dengan

kecepatan U, dan menimbulkan gaya geser sesuai persamaan (1.1); sedang zat yang berada di antara

plat dan permukaan padat memiliki kecepatan du ≠ U yang bervariasi pada arah y, maka zat tersebut

telah mengalami deformasi. Maka, zat tersebut adalah fluida.

dengan F = Gaya pada plat (N)

U = Kecepatan gerak plat (m/s)

Y = Ketinggian zat (m)

A = Luas permukaan plat (m2)

Gambar 1.4. Gradien kecepatan pada fluida

Fluida yang berada dalam keadaan seperti di atas akan membentuk lapisan-lapisan geser yang

akibat terjadinya gradien kecepatan arah vertikal (du/dy) yang besarnya sebanding dengan gaya geser

pada lapisan tersebut. Lapisan geser tersebut bisa digambarkan sebagai profil variasi kecepatan pada

arah aliran sumbu y. Kecepatan fluida pada dinding permukaan padat sama dengan nol, sedangkan

pada dinding plat sama besar dengan kecepatan plat. Iantara permukaan padat dan plat, besarnya

kecepatan antara 0 dan U. Zat yang bukan fluida tidak menghasilkan profil kecepatan atau lapisan

geser ini.

Plat

Zat

du

dy

x

U

y

F

Y

Tegangan geser (τ) yang bekerja pada fluida tersebut dapat dirumuskan:

τ = A

F ≈

dy

du (1.2)

τ = µ dy

du (1.3)

Persamaan (1.3) dibaca: “tegangan geser yang dialami fluida sebanding dengan gradien

kecepatan pada arah vertikal, dengan faktor proporsionalitas sebesar µµµµ”. Besarnya µ (dibaca ‘miu’)

berbeda-beda untuk setiap fluida. Faktor kesebandingan µ disebut viskositas (kekentalan) mutlak

atau viskositas dinamik fluida. Jika dikaitkan dengan jenis fluida; maka setiap fluida yang memenuhi

persamaan (1.3) adalah fluida Newtonian; dan yang tidak memenuhi persamaan (1.3) tergolong

sebagai fluida non-Newtonian.

Contoh lapisan geser ditunjukkan pada Gambar 1.5 dan 1.6 di bawah ini. Gambar 1.5

menunjukkan pencampuran fluida dari dua cabang pipa menuju saluran utama. Fluida yang datang

dari dua pipa yang berbeda dengan kecepatan yang berbeda akan menghasilkan profil kecepatan

yang mungkin tidak seragam, yang selanjutnya akan mempengaruhi keberhasilan proses

pencampuran atau keakuratan perhitungan kapasitas aliran, kerugian tekanan maupun perpindahan

panas dalam pipa tersebut.

Gambar 1.5. Profil kecepatan pada aliran campuran

Gambar 1.6. Profil kecepatan aliran melintasi airfoil

Gambar 1.6 menunjukkan profil kecepatan pada dua posisi aliran melintasi airfoil. Penampang

melintang berbentuk airfoil antara lain mewakili sayap pesawat dan sudu turbin. Profil kecepatan

tersebut sangat menentukan kinerja airfoil karena mempengaruhi gaya angkat dan gaya hambat yang

dibangkitkan oleh airfoil.

V1

V2

1.4. Pengkategorian dalam Mekanika Fluida

Secara garis besar mekanika fluida dibagi menjadi dua, yaitu fluida statis (fluida diam, tidak

bergerak); dan fluida dinamis (fluida bergerak). Pengkategorian dan peristilahan dalam mekanika

fluida dijelaskan pada diagram pada Gambar 1.7 bawah ini.

Gambar 1.7. Pengkategorian dalam Mekanika Fluida

Aliran fluida inviscid adalah aliran dengan viskositas nol, atau dianggap nol, atau aliran dimana

perbedaan tegangan geser antar lapisan fluida nol (gradien kecepatan arah vertikal sudah tidak

terjadi). Fluida inviscid selalu digunakan dalam mekanika fluida yang murni teoritis (hidrodinamika).

Persamaan-persamaan dalam hidrodinamika senantiasa mengabaikan viskositas. Pada aliran inviscid,

kecepatan fluida tidak dipengaruhi oleh permukaan padat. Pada fluida statis tidak terjadi tegangan

geser, dengan demikian fluida statis adalah fluida inviscid.

Untuk aliran fluida viskos, kecepatan tepat pada permukaan padat yang tidak bergerak adalah

nol. Atau dapat dikatakan bahwa tidak terjadi slip pada permukaan benda tempat fluida mengalir

tersebut (no-slip condition). Sampai batas ketebalan tertentu dari permukaan tempat mengalir terjadi

gradien kecepatan sampai jarak vertikal tertentu dimana kecepatannya sama dengan kecepatan

aliran bebas. Pada bagian dimana kecepatan fluida sudah sama dengan kecepatan aliran bebas, fluida

dapat dianggap inviscid.

Aliran laminer adalah aliran dimana partikel fluida bergerak sejajar dalam layer atau serat aliran

fluida. Sedangkan aliran turbulen aliran dimana partikel fluida bergerak ke segala arah dengan

kecepatan sama atau berbeda terhadap proyeksi sumbu x, y dan z. Partikel fluida berpindah dari satu

layer ke layer lainnya dengan gerakan yang acak. Profil kecepatan aliran laminer lebih tumpul;

sedangkan aliran turbulen lebih datar (flat) karena kecepatannya lebih seragam; seperti terlihat pada

Gambar 1.8. Tingkat turbulensi yang terjadi bergantung pada kekentalan fluida, berat jenis, kecepatan

pergerakan partikel itu sendiri, dan geometri tempat fluida mengalir.

Mekanika Fluida

Fluida statis Fluida dinamis

Fluida inviscid Fluida viskos

Kompresibel

Inkompresibel

Laminer

Turbulen

Laminer

Kompresibel

Inkompresibel

Internal

Eksternal Turbulen

Kompresibel

Inkompresibel

Internal

Eksternal

Fluida compressible atau mampu mampat adalah fluida yang densitas atau kerapatan massanya

bisa berubah-ubah; densitas meningkat jika menerima tekanan, dan menurun jika mengalami

ekspansi. Fluida incompressible atau tak mampu mampat adalah fluida yang jika dikenai tekanan

perubahan kerapatan massanya sangat kecil sehingga diabaikan dan dianggap tidak bisa berubah

densitasnya. Udara mampu dimampatkan oleh kompresor; sedangkan udara yang mengalir di sekitar

bodi mobil atau kipas angin umumnya dianggap inkompresibel. Udara yang bergerak cepat, akan

mengalami kompresi; namun biasanya baru dianggap kompresibel jika kecepatannya melebihi

sepertiga dari kecepatan suara. Air dalam berbagai macam aplikasi selalu dianggap inkompresibel

karena perubahan densitasnya sangat kecil.

Gambar 1.8. Aliran Laminer dan Turbulen

Aliran internal adalah aliran fluida yang dibatasi oleh permukaan padat, misalnya aliran dalam

pipa. Sedangkan aliran eksternal adalah aliran fluida di sekitar benda padat; dimana benda tersebut

dilingkupi atau direndam oleh aliran fluida, misalnya aliran di sekitar bodi mobil dan aliran melintasi

gedung/bangunan. Sebuah kategori lain yang tidak termasuk dalam aliran internal maupun eksternal

adalah aliran dalam saluran terbuka (open channel flow); misalnya aliran melalui sungai.

Selain istilah-istilah sesuai pengkategorian di atas, kita akan sering menggunakan istilah aliran

stedi (steady) dan tidak stedi (unsteady) serta aliran seragam (uniform) dan tidak seragam (non

uniform). Bila properti-properti fluida di suatu posisi dalam medan aliran tidak berubah menurut

waktu, aliran tersebut disebut aliran stedi atau aliran stasioner.Pada aliran stedi, variabel-variabel

aliran bisa berubah dari satu posisi ke posisi lainnya, tetapi nilai variabel tersebut harus tetap di posisi

yang sama setiap saat. Sedangkan aliran tidak stedi adalah aliran dimana propertinya berubah

terhadap waktu. Suatu aliran dikatakan seragam bila kecepatan pada arah tegak lurus terhadap

penampang saluran sama besar di seluruh bagian permukaan penampang tersebut. Dalam

kebanyakan eksperimen aliran fluida, aliran dikondisikan dalam keadaan seragam.

Dalam analisis mekanika fluida ada juga istilah fluida ideal (ideal fluids) dan fluida sempurna

(perfect fluids). Fluida ideal adalah fluida yang tanpa viskositas dan tidak bisa dimampatkan; fluida

yang diidealkan ini sebenarnya tidak ada. Sedangkan fluida sempurna adalah fluida tanpa viskositas,

tapi bisa dimampatkan.

Aliran Aliran

1.5. Ide-ide dasar yang mendefinsikan “fluida”

a. Tegangan Geser (ττττ)

Tegangan geser (τ) adalah komponen gaya yang menyinggung permukaan (F) dibagi luas

permukaan (A).

τ = A

F

Jika F menyebabkan plat bergerak dengan kecepatan U, sedang zat yang berada di antara plat dan

permukaan padat memiliki kecepatan du ≠ U, maka zat tersebut telah mengalami deformasi.

Maka, zat tersebut adalah fluida.

b. Lapisan geser (shear layers)

Fluida yang berada dalam keadaan seperti di atas akan menghasilkan lapisan geser yang memiliki

tebal (arah y) dan besar kecepatan tertentu. Lapisan geser tersebut membentuk variasi atau profil

kecepatan pada arah aliran fluida. Kecepatan fluida pada dinding permukaan padat sama dengan

nol, sedangkan pada dinding plat sama besar dengan kecepatan plat. Zat yang bukan fluida tidak

menghasilkan profil kecepatan atau lapisan geser ini. Contoh terjadinya lapisan geser ditunjukkan

pada Gambar 1.5 dan 1.6 di atas.

Profil shear layer menghasilkan efek yang mempengaruhi efisiensi volumetris suatu aliran,

mempengaruhi kerugian tekanan, perpindahan panas, dsb. Pada pesawat atau kendaraan antara

mempengaruhi kestabilan dan efek suara.

c. Karakteristik deformasi

Fluida akan mengalami deformasi terus menerus jika dikenai tegangan geser. Fluida tidak mampu

menerima tegangan geser tanpa berubah bentuk (deformasi). Sedangkan zat padat memiliki

reaksi deformasi yang terbatas jika menerima tegangan, yaitu baru mengalami deformasi jika

F = Gaya pada plat (N)

U = Kecepatan gerak plat (m/s) Y = Ketinggian zat (m) A = Luas permukaan plat (m2)

Pelat

Zat

du

dy

x

U

y

F

Y

Fluida Lapisan geser

tegangan yang diberikan lebih besar dari ττττyield nya. Dengan kata lain zat padat memerlukan

sejumlah gaya tertentu untuk menghasilkan deformasi.

Sehari-hari bersama “FLUIDA”

� Gunung, bukit, pasir dan lembah terjadi akibat gaya-gaya yang ditimbulkan aliran udara atau air

yang menemui halangan.

� PDAM harus menyuplai air dengan debit dan tekanan yang memadai untuk mengatasi hambatan

aliran di sepanjang pipa aliran agar airnya sampai ke rumah tinggal konsumen.

� Air pendingin radiator harus dialirkan dengan kecepatan tertentu untuk memindahkan panas

secara efektif.

� Kincir angin berputar karena digerakkan oleh aliran udara, sebaliknya kipas angin berputar untuk

menggerakkan udara dan menghasilkan aliran udara. Baling-baling kapal dan pesawat berputar

untuk menghasilkan aliran fluida dan gaya dorong (sebagai gaya reaksinya).

� Kita dapat merasakan hambatan aerodinamik wajah dan tubuh kita ketika berjalan menentang

angin yang kencang.

� Lambung kapal, sayap dan body pesawat dibuat halus untuk mengurangi gaya hambat; bola golf

dibuat kasar juga untuk mengurangi hambatan terhadap gerakannya.

� Letupan cambuk merupakan gelombang kejut karena ujung cambuk bergerak dengan kecepatan

supersonik.

� Jantung koroner terjadi akibat penyempitan pembuluh darah (≈ pipa) sehingga suplai darah (≈

fluida) ke jantung (≈ pompa) terganggu. Biomechanic engineering mengembangkan teknologi

agar aliran darah ke jantung tidak turbulen tetapi supaya laminer, sehingga organ-organ jantung

tidak menerima aliran darah yang berat.

Histori “MEKANIKA FLUIDA”

Pada jaman prasejarah orang melontar batu, lembing, anak panah yang sudah memiliki bentuk

aerodinamis tertentu. Sistem irigasi ditemukan di antara puing-puing sejarah Mesir dan

Mesopotamia (3000 SM).

Saluran air dibangun bangsa Romawi (abad 4 SM). Archimedes merumuskan hukum mengenai

benda terapung (abad 3 SM).

Galileo (1564-1642) berjasa bagi ilmu mekanika; Newton (1642-1772) untuk hukum tentang

gerak.

Sejak abad pertengahan, muncul 2 aliran dalam ilmu fluida:

� Hidrolika. Penganutnya adalah orang-orang yang bekerja di lapangan yang bereksperimen

secara empirik. Rumus-rumus dan kesimpulan disusun berdasar pengujian/eksperimen murni.

Tokoh-tokohnya a.l. Castelli, Torricelli, Pitot, Venturi, Weber, Coriolis, Coulomb, Froude, dll.

� Hidrodinamika (Matematika-Mekanika Fluida). Aliran ini membahas gerakan fluida (misalnya

pusaran air, tornado, dsb.) secara teoritis murni berdasar persamaan matematis. Tokoh-

tokohnya a.l. Bernoulli, Euler, d’Alembert, Lagrange, Laplace, Poisson, Navier, Stokes,

Rayleigh, Reynold, Kelvin,dll.

Tahun 1904 Ludwig Prantl (1875-1953) memperkenalkan teori yang mengkompromikan 2 aliran

tersebut, yaitu teori mengenai Lapisan Batas (Boundary Layer), yang menerangkan perbedaan

perilaku fluida sejati yang diamati pakar hidrolika dan prediksi-prediksi dari teori fluida tidak

viscous (tidak kental)-nya pakar hidrodinamika.

Konsep Boundary Layer ini kemudian menyatukan berbagai cabang Mekanika Fluida modern:

aerodinamika, hidrolika, dinamika gas, perpindahan panas konvektif, dsb.

Boundary Layer

Perhatikan gambar diatas:

Fluida mengalir dengan kecepatan seragam sebesar U∞ (kecepatan aliran bebas). Sewaktu

melewati permukaan padat terbentuklah shear layers yang menghasilkan profil kecepatan seperti

tampak dalam gambar. Pada titik A dan A’ fluida memiliki kecepatan nol (disebut no-slip

condition). Pada titik B dan B’ fluida memiliki kecepatan sebesar U∞, dimana yB’ > yB . Pada 0 ≤ y ≤

yB dan 0 ≤ y ≤ yB’ besarnya kecepatan dinyatakan 0 ≤ U ≤ U∞ . Pada y > yB dan y > yB’ harga U =

U∞ , ini berarti tidak ada gradien kecepatan, atau dengan kata lain gaya geser yang bekerja = 0.

Boundary layer (lapisan batas) adalah lapisan dimana efek viskositas fluida masih terjadi atau

gradien kecepatan pada arah vertikal masih terjadi. Di atas boundary layer fluida mengalir

dengan kecepatan seragam sebesar U∞∞∞∞.

Boundary layer merupakan keadaan hipotetis yang dinyatakan sebagai layer dimana kecepatan

aliran fluida sebesar 0.99 U∞∞∞∞.

U∞

U∞

U∞

O

y B’

B

A’ A

Boundary layer

x

Sebelum teori boundary layer diperkenalkan, penganut hidrolika menganggap efek viskositas (gaya

geser) tetap terjadi pada jarak vertikal sampai berapapun. Sedangkan penganut hidrodinamika, tidak

pernah memperhitungkan adanya efek viskositas dalam persamaan-persamaan yang mereka

gunakan. Prandtl menyatakan bahwa efek viscous itu ada, tapi terjadi hanya sampai lapisan batas

(boundary layer) saja.

Viskositas

Perhatikan gambar lapisan batas di atas.

τ = A

F ≈

dy

du

= µ dy

du

Berdasar rumus di atas, dapat disimpulkan: untuk tegangan geser yang sama fluida dengan viskositas

tinggi akan mengalami deformasi dalam tingkat yang lebih kecil dibandingkan fluida dengan viskositas

lebih rendah (= lebih encer).

Faktor-faktor yang mempengaruhi viskositas:

� Kohesi: gaya tarik menarik antara molekul fluida.

� Transfer momentum molekuler. Dalam fluida yang mengalir, terjadi transfer momentum yang

melintasi shear layer. Perpindahan momentum tersebut mengakibatkan layer yang berdekatan

memiliki kecepatan yang cenderung sama. Parameter yang mewakili transfer molekuler adalah

du/dy. Pada fluida diam atau fluida yang bergerak sedemikian hingga tidak terjadi gerak relatif

antara layer terdekat du/dy = 0.

Viskositas cairan lebih didominasi kohesi (akibat molekul yang rapat). Gaya kohesi semakin kecil jika

temperatur mengalami kenaikan, sehingga viskositas cairan menurun akibat peningkatan temperatur.

Viskositas gas lebih dipengaruhi oleh transfer momentum (gerak molekuler). Viskositas gas

meningkat akibat peningkatan temperatur.

dy

du = Gradien kecepatan pada arah vertikal, atau laju

deformasi fluida

µ = Faktor kesebandingan antara τ dan dy

du yang nilainya

tergantung pada jenis fluidanya.

= disebut Viskositas (=kekentalan)

Satuan Viskositas

dydu

τ=µ

=

s.m

kg

m

s.N2

disebut viskositas mutlak atau viskositas dinamik

ρ

µ=ν disebut viskositas relatif atau viskositas kinematik

s

m2

1.6. Dimensi dan Satuan

Dimensi adalah ukuran yang digunakan untuk mengekspresikan secara kuantitatif suatu variabel

fisik. Satuan adalah cara untuk mengaitkan suatu angka atau jumlah kepada dimensi kuantitatif.

Dengan pengertian tersebut, panjang adalah dimensi dari variabel-variabel seperti jarak, panjang

langkah, lebar, ketinggian, diameter, defleksi, dll; sedangkan meter atau feet merupakan satuan

untuk menyatakan dimensi panjang tersebut.

Untuk mendeskripsikan suatu keadaan atau variabel secara terukur, kita membutuhkan suatu

ukuran kuantitatif untuk keadaan tersebut. Angka-angka dalam matematika bersifat abstrak, dan

belum mempunyai makna fisik sebelum angka itu dilengkapi dengan ukuran kuantitatif dan

satuannya. 5+5 = 10, adalah pernyataan matematika yang abstrak; namun jika kita mengatakan

bahwa 5+5 = 10 adalah pernyataan untuk dimensi panjang, makna fisik dari angka tersebut baru

terdefinisi dengan nyata. Jika kita menggunakan ‘meter’ sebagai satuan dalam perhitungan di atas

berarti kita telah memilih salah satu standar sistem satuan atau cara untuk menyatakan dimensi

kuantitatif panjang tersebut.

Sistem satuan yang digunakan dalam dunia rekayasa/keteknikan ada tiga macam; yaitu System

International (SI), British Gravitational (BG), dan English Engineering (EE). Sistem satuan EE bisa

dikatakan sudah mati dan tidak digunakan lagi.

BBaabb 22

FFLLUUIIDDAA SSTTAATTIISS

2.1. Persamaan Dasar Fluida Statis

Fluida statis adalah fluida dalam keadaan diam atau fluida bergerak yang tidak terjadi --atau

diasumsikan tidak terjadi-- perbedaan kecepatan relatif antara lapisan-lapisan geser dalam fluida

tersebut. Pada fluida statis, nilai tekanan sama dalam semua arah. Suatu elemen fluida δA yang

terendam dalam fluida diam akan mendapat gaya yang konstan, yang bekerja pada sisi-sisinya.

Gambar 1 di bawah ini dan penurunan rumusnya membuktikan bahwa tekanan dalam fluida statis

sama ke semua arah.

y

Ps cos θ δs Psδs

Px δy δy δs Ps sin θ δs δx θ Py δx

2

γ.δxδy

Gambar 2.1. Gaya Pada Elemen Fluida Statis

ΣFx = m.ax

Px.δy – Ps.sin θ.δs = xρ.a.2

δx.δy ≈ 0

= δy

Px.δy – Ps.δy = 0 Px = Ps

ΣFy = m.ay

Py.δx – Ps.cos θ.δs - 2

γ.δx.δy = yρ.a.

2

δx.δy ≈ 0

= δx ≈ 0

Py.δx – Ps.δx = 0 Py = Ps

Px = Py = Ps

2.1. Variasi Tekanan Dalam Fluida Statis Akibat Gaya Gravitasi

Arah sumbu X : P.∂y.∂z – (P + x

p

∂∂∂∂

∂∂∂∂.δx).∂y.∂z = 0

x

p

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = 0

Arah sumbu Y : P.∂x.∂z – (P + y

p

∂∂∂∂

∂∂∂∂.δy).∂x.∂z = 0

y

p

∂∂∂∂

∂∂∂∂ = 0

Arah sumbu Z : P.∂x.∂y – (P + z

p

∂∂∂∂

∂∂∂∂.δz).∂x.∂y - ρ.g.δx.δy.δz = 0

-z

p

∂∂∂∂

∂∂∂∂.δz - ρ.g.δz = 0

∂p = - ρ.g.∂z P – P0 = - ρ.g (z – z0)

Jika z0 = 0 maka P = P0 - ρ.g.z

atau P = P0 + ρ.g.z ; Jika kedalaman dianggap sebagai ketinggian negatif.

∴∴∴∴ Tekanan total pada fluida statis merupakan penjumlahan dari tekanan atmosferik yang

bekerja pada permukaan fluida (P0) dan tekanan akibat gaya gravitasi pada ketinggian z.

∴∴∴∴ P – P0 = ρ.g.z jika ∆P = P – P0 ; ρ.g = γ

∆P - γ.z ≈ P/γ + z = 0

Suku P/γ disebut Pressure Head

Suku z disebut Potential Head

ρ.g.δx.δy.δz

P+ δy

z

p

∂∂∂∂

∂∂∂∂

P Y

P+ δx

x

p

∂∂∂∂

∂∂∂∂

P

P

P+ δz

z

p

∂∂∂∂

∂∂∂∂

Z

X

P/γ + z disebut Piezometric Head

Persamaan di atas dapat ditulis )(γ

PP12

12zz −−−−−−−−====

−−−−yang menyatakan bahwa peningkatan

pressure head sama dengan penurunan potensial head.

Jika dituliskan 22

11 z

γ

Pz

γ

P++++====++++ ; persamaan ini menyatakan bahwa Piezometric head dalam

zat cair diam yang homogen adalah konstan. Lihat gambar di bawah ini.

Z=0 Bidang datum

Jika dalam suatu wadah terdapat beberapa zat cair dengan ρ yang berbeda dan tidak saling

bereaksi atau saling melarutkan maka akan terbentuk lapisan, dimana fluida dengan ρ tertinggi terletak paling bawah.

2.3. Pengukuran Tekanan Kebanyakan alat ukur tekanan menyatakan nilai “tekanan relatif” atau “pressure gauge” atau “selisih tekanan”, yaitu selisih antara tekanan di titik yang diukur dengan tekanan atmosferik. Jadi, Pgauge = 1 atm adalah sama dengan Pabs = 1 atm + 1 atm atau Pabs = 2 atm. Tekanan atmosferik adalah tekanan lingkungan dimana pengukuran dilakukan. Keadaan atmosfer standar berbeda antara satu tempat dengan tempat yang lain. Keadaan atmosfer untuk standar Amerika ditunjukkan dalam Tabel di bawah ini.

Properti Simbol Nilai

Temperatur

Tekanan

Densitas

Kekentalan mutlak

T

P

ρ

µ

15 oC

101.3 kPa (abs)

1.225 kg/m3

1.781x10-5

kg/(m.s)

(Pa.s)

∴Tekanan terukur = Tekanan relatif = Tekanan mutlak – Tekanan atmosfer

h3

h2

h1

P3

P2

PB/γ

B

A

PA/γ

ZB

ZA

P1

PA/γ > PB/γ ; zA < zB tapi piezometric head keduanya sama.

PA/γ + zA = PB/γ + zB ; sebagaimana ditunjukkan

oleh tinggi kolom zat cair yang terhubung A

dan B sama.

P1 = P0 + ρ1.g.h1

P2 = P1 + ρ2.g.h2 = P0 + ρ1.g.h1+ ρ2.g.h2 ; dst.

Piezometric head di semua lapisan tidak sama.

Kemungkinan keadaan hasil pengukuran ditunjukkan di bawah ini. a. Tekanan di titik pengukuran < tekanan atmosfer.

Pgauge = Patm - Pabs Patm Tekanan terukur di A (bernilai negatif atau vacuum) PAabs A Tekanan Nol Mutlak Misal, tekanan absolut (harga tekanan di atas tekanan nol mutlak) di titik A adalah 0.8 atm, maka tekanan di titik A dapat dinyatakan sebagai berikut:

� PA(abs) = 0.8 atm (abs) � PA(gauge) = - 0.2 atm � PA(gauge) = 0.2 atm (vacuum)

b. Tekanan di titik pengukuran > dari tekanan atmosfer.

Pgauge = Pabs - Patm Pabs B Tekanan terukur di B Patm Tekanan Nol Mutlak

Satuan Tekanan

� 1 atmosfer = 1 atm , menyatakan nilai standar tekanan di permukaan laut. � bar , merupakan singkatan dari ‘barometer’. � Tekanan dinyatakan sebagai gaya per satuan luas.

P = F/A = N/m2 = Pascal ; lbf/inc

2 CC dsb.

� kPa (abs) artinya kilo pascal absolut atau tekanan absolut dalam satuan kPa. � kPa (gauge) artinya tekanan gauge (relatif) dalam satuan kPa. � ata artinya atmosfer absolut. � psia artinya pound square inc absolute = tekanan absolut dalam lbf/inc

2.

� psig artinya pound square inch gauge. � psfa artinya pound square feet absolute ( lbf/ft

2 abs).

� psfg artinya pound square feet gauge. Konversi Satuan � 1 bar = 100000 Pa = 100 kPa = 10

5 N/m

2

� 1 atm = 1.01325 x 105 Pa = 14.7 lbf/inc

2 (=psi) = 760 mmHg

Misal tekanan absolut di titik

B adalah 1.2 atm; maka

tekanan B dapat dinyatakan

sbb:

� PB(abs) = 1.2 atm (abs)

� PB(gauge) = 0.2 atm

Contoh Soal

Batas kedalaman yang aman bagi seorang penyelam adalah 50 meter. Berapa intensitas

tekanan pada kedalaman tersebut dalam air tawar dan air laut (SG air laut = 1.025).

Pair tawar = ρ.g.h = 1000 kg/m3 . 9.81 m/s

2 . 50 m

= 4.91x105 Pa

Nilai tekanan tersebut merupakan nilai tekanan relatif. Untuk mendapatkan nilai tekanan

absolut harus dijumlahkan dengan tekanan atmosfer (1 atm = 1.01325 x 105 Pa) yang bekerja

pada permukaan air.

Pair laut = ρ1.g.h dimana ρ1 = ρ.SGair laut

= 1.025 . 1000 . 9.81 . 50

= 5.03 x 105 Pa (gauge)

2.4. Alat Ukur Tekanan

� Tabung Bourdon merupakan alat ukur yang mengukur tekanan relatif, ditunjukkan

dengan jarum penunjuk tekanan yang bekerja secara mekanis.

� Alat ukur yang menggunakan “panjang kolom” fluida

� Barometer air raksa, digunakan untuk mengukur Patm lokal

Uap Hg

Hg cair hR hA = hV + hR ; hV = tekanan uap

A dinyatakan dalam mmHg.

� Manometer : mengukur perbedaan tekanan

h

•A •A •A

fluida A

hA = h x SGA hA = - h x SGA

SG = specific gravity SG1 = SG fluida 1

SG1

SG2

h1 h2

hA + h2SG1 - h1SG2 = 0

PA + h2γ1 – h1γ2 = 0

Jika tekanan di A dan B dinyatakan dalam panjang kolom air, maka dapat ditulis sebagai berikut:

PA + h1γ1 – h2γ2 –h3γ3 = PB

PA – PB = - h1γ1 + h2γ2 + h3γ3 atau

hA – hB = -h1S1 + h2S2 + h3S3 (S = SG = Specific gravity ; γ = ρ.g)

� Mikromanometer (manometer mikro). � Inclined manometer (manometer miring).

Contoh Soal Manometer

Air mengalir melalui pipa A dan B. Oil dengan SG 0.8 berada pada bagian atas pipa

manometer pada sisi yang berbentuk U terbalik. Air raksa (SG = 13.6) berada pada bagian

bawah bengkokan manometer. Hitung PA – PB !

Dengan mengikuti prosedur di atas, kita peroleh:

PA + ρH2O.g.h1 - ρHg.g.h2 + ρOil.g.h3 - ρHg.g.h4 - ρH2O.g.h5 = PB

PA - PB = g (-ρH2O.h1 + 13.6.ρH2O.h2 – 0.8ρH2O.h3 + 13.6.ρH2O.h4 + ρH2O.h5)

= g. ρH2O (-h1 + 13.6. h2 – 0.8.h3 + 13.6.h4 + h5)

= g. ρH2O [(-250 +1020 – 80 + 1700 + 200)mm] = 9.81 m/s

2 x 1000 kg/m

3 x 2.59 m

= 25.4 kPa Jadi : PA - PB = 25.4 kPa

Prosedur perhitungan: � Titik A sebagai acuan.

� Tanda + jika posisi ketinggian fluida berikutnya lebih rendah dari acuan sebelumnya; dan sebaliknya.

Gambar bulat atau kotak pada titik pengukuran A atau B menyatakan penampang melintang pipa atau

saluran yang diukur tekanannya.

Lihat gambar di samping:

h1 = 250 mm

h2 = 75 mm

h3 = 100 mm

h4 = 125 mm h5 = 200 mm

h1

H2O

Hg

Oil

H2O

h2 h3 h4

h5 A

B

h1

h2

h3

SG1

SG2

SG3

+A

+B

SOAL TUGAS

���� A

B C 2 m Udara 1.5 m Gasoline 1 m Glyserin Z = 0

���� 15 lbf/inch

2

Udara

2 ft

Oil 2 ft B Air 2 ft C

Pengukur tekanan A menunjukkan angka 1.5

kPa (gage). Hitung ketinggian ZB dan ZC pada

tabung !

Data-data: γudara = 12 N/m3 ;

γgasoline = 6670 N/m3

γglycerin = 12360 N/m3

Pengukur tekanan A menunjukkan angka 15 lbf/inc2.

Jika pada pengukur tekanan B terukur 1.25 psi lebih

kecil daripada C, hitunglah γoil dan tekanan yang

terbaca pada C !

Data: γudara = 0.0767 lbf/ft3

2.5. Gaya hidrostatik pada permukaan yang terendam

Informasi yang komplet mengenai resultan gaya yang bekerja pada permukaan yang terendam

meliputi:

- Besarnya gaya

- Arah gaya

- Garis kerja gaya

Gaya Hidrostatik Pada Permukaan Datar

∧

= kdxdyAdr

ApdFdrr

−= → arah positif vektor Adr

sama dengan arah sumbu Z positif

Resultan gaya: ∫ −=A

R ApdFrr

→ dp = ρ g dh

p-po = ρ g ∫h

0

dh

p = po + ρ g h → h = y sin θ

p = po + ρ g y sin θ

Titik kerja resultan gaya RFr

adalah titik dimana momen akibat resultan gaya terhadap suatu sumbu =

Total momen akibat gaya-gaya yang terdistribusi terhadap sumbu yang sama.

∫ ∫−==′A

R AxpdrFxdrFxrrrrrrr

→ r ′r

: vektor posisi dari suatu pusat koordinat

� Fluida dalam keadaan

statis, sehingga tidak

ada shear stress (dalam

persamaan tidak ada

komponen viskositas µ); gaya bekerja pada arah

normal terhadap

permukaan.

� Luas elemen permukaan ∧

= kdxdyAdr

X

Z

Y

Y

O

po

θθθθ h

dy dx

y’

x’

dA

O

d Ar

RFr

Titik Kerja RFr

(Pusat tekanan)

Fluida dengan

densitas ρρρρ Bidang XY

tampak atas

d Fr

dA

sembarang yang dipilih terhadap titik kerja

resultan gaya RFr

dimana yjxir ′+′=′∧∧r

∧

= k dAAdr

yjxir∧∧

+=r

∧

−= kFF RR

r

Ad dengan arah berlawanan bekerja FR

rr

Substitusikan ke persamaan sebelumnya:

∧∧∧∧∧∧∧∧

∫ ∫

+−=

+=

−

′+′ kpdA x yjxiFd xyjxikFxyjxi

A

R

r

∧∧∧∧∧∧∧∧

−−=′−′− kpdA x yjkpdA x xikF x yjkF x xi RR

Berdasarkan operasi hasil kali vektor:

∧∧∧

−= jk x i ∧∧∧

= ik x j

Sehingga diperoleh:

∫

−=′−′

∧∧∧∧

A

RR dA p yip xjFyiFxj

Persamaan di atas merupakan persamaan vektor sehingga komponen-komponenya sama, sebagai

berikut:

∫=′A

R dA p yF y

∫=′A

R dA p xF x

Ringkasan: untuk permukaan data yang terendam berlaku:

� Besarnya resultan gaya, ∫==A

RR pdAFFrr

� Arah RFr

normal terhadap permukaan

� Pada bidang XY garis kerja RFr

melalui pusat tekanan ( )y,x ′′ dimana ∫=′A

R dA p yF y dan

∫=′A

R dA p xF x

Soal.Soal.Soal.Soal. Sebuah permukaan miring diengsel sepanjang sisi A dengan lebar w = 5 m. Tentukan

resultan gaya RFr oleh air dan udara pada permukaan miring tersebut.

h

30o

D = 2 m

L = 4 m

A A

Z

Y

RFr

Resultan gaya: ∫ −=A

R ApdFrr ; dp = ρ g dh ;

∧= k dy wAd

r

� ∫∫∧

−=−=

AA

R kpwdyApdFrr

� p = patm + ρgh → Pada sisi bawah permukaan juga bekerja tekanan atmosferik sehingga patm dari permukaan dan bawah saling

meniadakan, atau bisa dihilangkan dari persamaan

p = ρgh → h = D + y sin 30o

∧+∫ ∫−=−=

k dy w o30 sin yD

A

L

0 g Ad p RF ρ

rr

∧∧

+−=

+= k30 sin

2

LDLρgw k30 sin

2

yDy ρgw o

2L

0

o2

∧

+= k

2

1 x m

2

16 2mx4m 5m .

s

m 9.81 .

m

kg999 2

23

∧∧

−=−= k kN 588 k s

kg.m 10 x 588

23

RFr bekerja sebesar 588 kN pada arah sumbu Z negatif !

Menentukan garis kerja RFr; A (0,0,0) ditentukan sebagai pusat sumbu.

∫=′A

R dA p yF y dan ∫=′A

R dA p xF x

→ y’y’y’y’ [ ] dy 30 sin yD yF

gw dy w p y

F

1 dA p y

F

1

A

o

L

0R

L

0RR ∫ ∫∫ +===

ρ

+=

+= o

32

R

L

0

o32

R

30 sin 3

L

2

DL

F

ρgw 30 sin

3

y

2

Dy

F

ρgw

+=

2

1 .

3

m 64

2

m 16 . m 2

N 588.10

1 . 5m .

s

m 9.81 .

m

kg 999

32

323

y’ = 2.22 my’ = 2.22 my’ = 2.22 my’ = 2.22 m

→ x’x’x’x’ x F . F

1 . x A . p .

F

1 . x dA p

F

1 x dA p x

F

1 R

RA

RRA

R

===== ∫∫ � x = w/2

(luas elemen konstan)

= w/2 = 5/2 = 2.5 m

� ∧

+∧

=′ k 2.22 i 2.5 rr

Garis kerja RFr berada pada arah sumbu

Z negatif dan melalui r ′r.

Gaya HidrostatGaya HidrostatGaya HidrostatGaya Hidrostatik Pada Permukaan ik Pada Permukaan ik Pada Permukaan ik Pada Permukaan Melengkung Melengkung Melengkung Melengkung (Curved Surface)(Curved Surface)(Curved Surface)(Curved Surface)

Gaya pada elemen Adryang sangat kecil:

Ad p Fdrr

−=

Resultan gaya:

∫−=A

Ad p RFrr

zRF k

yRF j

xRF i RF

rrrr ∧+

∧+

∧=

∫=∫−=∫∧

−=∫∧

=∧

= xdF

xAxdA p

Ai . dA p idF. i.RF xR

Fr

∫=∫−=∫∧

−=∫∧

=∧

= ydF

yAydA p

Aj . dA p jdF. j.RF yR

Fr

∫=∫−=∫∧

−=∫∧

=∧

= zdF

zAzdA p

Ak . dA p kdF. k.RF zR

Fr

→ dFdFdFdFzzzz = = = = ---- p dAp dAp dAp dAzzzz

= = = = ---- ρρρρ g h dAg h dAg h dAg h dAzzzz

= = = = ---- ρρρρ g dVg dVg dVg dV

FFFFzzzz = = = = ---- ρρρρ g Vg Vg Vg V

���� Garis kerja FGaris kerja FGaris kerja FGaris kerja Fzzzz melalui pusat gravitasi volume cairan antara permukaan terendam melalui pusat gravitasi volume cairan antara permukaan terendam melalui pusat gravitasi volume cairan antara permukaan terendam melalui pusat gravitasi volume cairan antara permukaan terendam

dan permukaan bebas cairan.dan permukaan bebas cairan.dan permukaan bebas cairan.dan permukaan bebas cairan.

���� Untuk permukaan melengkung,Untuk permukaan melengkung,Untuk permukaan melengkung,Untuk permukaan melengkung, resultan gaya TIDAK dinyatakan sebagai SATU resultan gaya TIDAK dinyatakan sebagai SATU resultan gaya TIDAK dinyatakan sebagai SATU resultan gaya TIDAK dinyatakan sebagai SATU

GAYA TUNGGAL, tapi dlaam komponenGAYA TUNGGAL, tapi dlaam komponenGAYA TUNGGAL, tapi dlaam komponenGAYA TUNGGAL, tapi dlaam komponen----komponennya.komponennya.komponennya.komponennya.

dA

dAx

dAz

dAy

Z

Y

X

VRF = Komponen vertikal resultan gaya= Komponen vertikal resultan gaya= Komponen vertikal resultan gaya= Komponen vertikal resultan gaya

HRF = Komponen horisontal resultan gaya= Komponen horisontal resultan gaya= Komponen horisontal resultan gaya= Komponen horisontal resultan gaya

Lihat gambar di samping ini.Lihat gambar di samping ini.Lihat gambar di samping ini.Lihat gambar di samping ini.

� ∫−= Ad p FR

rr; dp = ρ g dh → p = p = p = p = ρρρρ g h ; pg h ; pg h ; pg h ; patmatmatmatm bekerja pada pintu air dan permukaanbekerja pada pintu air dan permukaanbekerja pada pintu air dan permukaanbekerja pada pintu air dan permukaan

bebas air, sehingga tak ada selisih tekanan bebas air, sehingga tak ada selisih tekanan bebas air, sehingga tak ada selisih tekanan bebas air, sehingga tak ada selisih tekanan

atmosferik.atmosferik.atmosferik.atmosferik.

� ∫=D

0

R dy w p FH

; ∫=

4

2D

Y

0

R dx w p F

� x2 4x y 4

y x

2

==→=

� Lihat gambar. Variasi kedalaman air bisa dinyatakan sebagai berikut:

h = D h = D h = D h = D –––– y = D y = D y = D y = D ---- 2222SSSSxxxx

Penyelesaian !Penyelesaian !Penyelesaian !Penyelesaian !

� [ ]∫∫∫∫ −====

D

0

D

0

D

0

D

0

R dy yD w g ρ dy h w g ρ dy w h g ρ dy w p FH

[ ]2

D w g ρ D D w g ρ

2

y y D w g ρ

22

212

D

0

2

=−=

−=

2

3223 s

mkg. 10 . 392 m

2

16 . m 5 .

s

m 9.81 .

m

kg 999 ==

= 392 kN

� ∫∫∫ ===

4

2D4

2D4

2D

V

000

R dx h w g dx w h g dx w p F ρρ

[ ] 4

2D

23

4

2D

00

x . 3

2 . 2 x D w g ρ dx x2 D w g ρ

−=−= ∫

Soal.Soal.Soal.Soal. Pintu air mempunyai lebar w = 5 m. Persamaan permukaan lengkung

pintu air tersebut 4

yx

2

= ; kedalaman

air D = 4 m. Hitung komponen horisontal dan vertikal resultan gaya akibat tekanan fluida dan garis kerjanya!

4

yx

2

=

Y

X

h

D = 4 m

Y

X

VRF

HRF

y’ x’

Komponen Komponen Komponen Komponen

horisontal gaya horisontal gaya horisontal gaya horisontal gaya

resultanresultanresultanresultan

12

D w g ρ

4

D .

3

4

4

D w g ρ

333

23

=

−=

2

3323 s

kg.m 10 x 261.34

12

1 . m 64 . m 5 .

s

m 9.81 .

m

kg 999 ==

= 261.34 kN

���� Garis kerja Garis kerja Garis kerja Garis kerja HR

F

∫∫∫ ===′

D

0R

D

0R

AR

dy w h g ρ y F

1 dy w p y

F

1 dA p y

F

1 y

HHx

H

[ ]D

0

32

R

D

0R 3

y

2

Dy

F

ρgw dy yD y

F

ρgw

HH

−=−= ∫

m 1.33 m 3

4

3

D

ρgwD

2 .

6

ρgwD

F

1 .

6

ρgwD

6F

ρgwD

2

3

R

3

R

3

HH

======

���� Garis kerja Garis kerja Garis kerja Garis kerja VR

F

[ ] 4

2D

25

V

4

2D

V

4

2D

Vy

V 0

2

R0

R0

RA

yR

x 5

4 x

2

D

F

ρgw dx x2 D x

F

ρgw dx w h g ρ x

F

1 dA p x

F

1 x

−=−===′ ∫∫∫

m 1.2 40

3x16

40

3D

ρgwD

12 .

160

ρgwD

F

1 .

160

ρgwD

160F

ρgwD

2

3

5

R

5

R

5

VV

======

Komponen Komponen Komponen Komponen vertikalvertikalvertikalvertikal

gaya resultangaya resultangaya resultangaya resultan

2.6. Gaya Apung [Bouyant Force]

- “Kalau suatu benda atau permukaan yang terendam dalam atmosfer maka gaya-gaya akibat

tekanan atmosfer akan bekerja padanya. Kalau suatu benda terendam dalam air maka gaya

hidrostatik akibat kedalaman air akan bekerja terhadap benda tersebut.” Bagaimana dengan

benda yang terapung? Bagaimana sebuah kapal berukuran raksasa terbuat dari logam bisa

terapung? Apakah kapal itu menerima gaya hidrostatik dari air tempatnya mengapung?

- Gaya apung adalah resultan gaya yang bekerja terhadap suatu benda oleh fluida statik tempat

benda itu terendam atau terapung.

- Gaya apung beraksi vertikal ke atas.

- Pada benda yang terendam, gaya apung sama dengan beda antara komponen vertikal gaya

tekanan terhadap sisi bawah benda dan komponen vertikal gaya tekanan terhadap sisi atas

benda.

Gaya ke atas = berat cairan ABCEFA

Gaya ke bawah = berat cairan dalam

ADCEFA

Beda / selisih kedua gaya ersebut adalah

gaya vertikal ke atas yang disebabkan oleh berat fluida ABCD yang dipindahkan oleh

benda padat itu.

γ.VFB = FB = Gaya apung

V = Volume yang dipindahkan

γ = Berat jenis fluida

[ ] VAAB hppF δγδγδδ ...12 ==−=

∫ ==V

B VdVF .γγ

∫ =V

xVxdV γγ atau ∫=V

xdVV

x1

_

x = Jarak dari titik acuan ke garis kerja gaya apung (pusat apung)

B

C

D

E F

A

p1 δδδδA

p2 δδδδA

δA

x

h O

Diskusi.Diskusi.Diskusi.Diskusi. Bagaimana sebuah kapal induk seberat seratus ribu ton dapat mengapung

di atas air? Kita tahu bahwa jika benda itu terbuat dari baja padat ia akan tenggelam,

dan kapal induk tidak padat tapi berongga. Akan tetapi bagaimana air yang berada

di bawahnya tahu bahwa kapal induk itu berongga? Harus seberapa ringankah

sebuah benda agar dapat mengapung? Dengan menggunakan konsep gaya apung di

atas, jawab dengan detail dan diskusikan pertanyaan berikut ini: �.Mengapa kapal

induk seberat itu bisa mengapung? �.Mengapa hanya sebagian badan kapal yang

melesak ke dalam air? �.Bagaimana dengan kapal selam yang kadang-kadang

tenggelam (menyelam) dan kadang naik (mengapung) ke permukaan?

Penggunaan Asas Gaya ApungPenggunaan Asas Gaya ApungPenggunaan Asas Gaya ApungPenggunaan Asas Gaya Apung

- Menentukan berat / volume benda

WVF =+ 11 .γ

WVF =+ 22 .γ

12

21

γγ −

−=∴

FFV

12

1221 ..

γγγγ

−

−=∴

FFW

- Mengukur gravitasi jenis fluida

Fluida I : S = 1.0

Vo.γ = W

Fluida II :

( ) WSVV =∆− γ.0

2.7. Fluida Dalam Benda Rigid Yang Bergerak

Fluida yang berada didalam benda rigid (kaku) yang bergerak diklasifikasikan sebagai

fluida statis jika tidak terjadi (dianggap tidak terjadi) deformasi fluida akibat efek viscous

atau tidak ada perbedaan tegangan geser relatif antara lapisan – lapisan fluidanya. Sehingga

gaya yang bekerja adalah tekanantekanantekanantekanan dan gravitasigravitasigravitasigravitasi.

F1

Vγγγγ1

W

Fluida I

F2

Vγγγγ2

W

Fluida II

W

Voγγγγ

W

(Vo - ∆∆∆∆V)S.γγγγ

∆∆∆∆h

Fluida IFluida IFluida IFluida I Fluida IFluida IFluida IFluida IIIII

Suatu elemen volume fluida yang padanya bekerja tekanan dan gaya gravitasi mempunyai

kesetimbangan gaya:

dVgpgraddF ).( ρ+−= pz

ky

jx

ipgrad

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∴

gpgraddV

dF.ρ+−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=z

pk

y

pj

x

pi

.

.

.

.

.

.

Hukum Newton II : dVadmadF ... ρ==

ρ.adV

dF=

Sehingga: agpgrad .. ρρ =+−

pressure force body force mass x acceleration

Persamaan ini berlaku untuk masing – masing komponen koordinat:

arah x ; xx agx

p.ρρ =+

∂∂

−

arah y ; xy agy

p.ρρ =+

∂∂

−

arah z ; zz agz

p.ρρ =+

∂∂

−

KasusKasusKasusKasus.... Fluida dalam bejana yang diberi percepatan linier konstan

h0 = kedalaman awal cairan

h1 = Kedalaman diatas h0 (setelah bergerak)

b = Lebar bejana rigid

a = Percepatan linier

Pada masing – masing sumbu berlaku :

Sumbu z ; 000 ===∂∂

zz agz

p ; ;

Sumbu x ; 0=xg

Sumbu y ; 0; =−= yy agg

gy

pa

x

px .. ρρ −=

∂∂

∴−=∂∂

∴

b x

ax

a

ho

∆h

h1

y

Jadi untuk kasus di atas perubahan gaya – gaya yang bekerja merupakan fungsi perubahan

posisi x dan y nya.

dyy

pdxx

pdp

∂∂

+∂∂

=

Permukaan bebas mempunyai nilai tekanan yang konstan; dp = 0

dyy

pdxx

pdp

∂∂

+∂∂

= = 0

0.... =−− dygdxa x ρρ

g

a

dx

dy x= � Merupakan nilai gradien garis permukaan cairan

(dalam keadaan bergerak).

Persamaan garis permukaan fluida menjadi sbb:

dxg

ady x= atau x

g

ay

x=

KasusKasusKasusKasus.... Fluida dalam bejana yang diberi percepatan linier konstan pada arah y (ay)

0)(.. =+−−= dyagdxadp yx ρρ

ga

a

dx

dy

y

x

+−=

Misalkan dianggap terjadi perubahan tekanan di permukaan ( 0≠dp )

dyagdxadp yx )(.. +−−= ρρ

dyagdxapp yxo )(.. +−−=− ρρ

)( y

o

y

x

ag

ppdx

ga

ady

+

−+

+−=

ρ

untuk yo = 0 dan xo = 0 � Persamaan garis permukaan menjadi:

)(

0

yy

x

ag

ppx

ga

aY

+

−+

+−=

ρ

ddddθθθθ/2/2/2/2 pppp

rrrr

ddddrrrr

ddddθθθθ/2/2/2/2

Fluida Dalam Bejana Yang Diputar Dengan Kecepatan Sudut Konstan (ωωωω)

Kecepatan sudut = ω

- Percepatan, a = ω2.R

- Sistem koordinat polar (r,θ,z)

- p merupakan fungs r dan z ; p = p(r,z)

Perubahan tekanan antara 2 titik (r,θ,z)dan (r+dr,θ,z + dz)

dinyatakan sebagai berikut:

dzz

pdr

r

pdp

rz

∂∂

+

∂∂

=

Hukum Newton II untuk arah Z:

zz

r

agdzz

p.. ρρ =+

∂∂

−

Karena gz = -g dan az = 0 maka:

gz

p

r

.ρ−=

∂∂

− →→→→ ((((IIII))))

Perhatikan gambar perubahan elemen r fluida berikut ini:

Hukum Newton II arah r

∑ == dVradmrardF ... ρ

= -ω2 r ρ dV

= - ω2 r ρ dθ dr dz → �

rrrr

zzzz

ωωωω

hhhhoooo hhhh1111

gggg

RRRR

p dr dzp dr dzp dr dzp dr dz

dzddr

rdr

r

pp θ

−

∂

∂−

22

p dr dzp dr dzp dr dzp dr dz

dzddr

rr

r

pp θ

+

∂

∂

∂+

22

ddddθθθθ/2/2/2/2 p dr dzp dr dzp dr dzp dr dz

2sin

θdpdrdz

Dari gambar:

2sin2

2222

θθθ

dpdrdzdzd

drr

dr

r

ppdzd

drr

dr

r

ppdFr +

+

∂∂

+−

−

∂∂

−=∑ ≈≈≈≈ ddddθθθθ/2/2/2/2

Perkalian antar suku diatas menghasilkan:

+

∂∂

−∂∂

−−−

∂∂

+∂∂

−−=∑ pdrdr

r

pdr

r

pr

drppr

dr

r

pdr

r

pr

drpprdzddFr

22

222222θ

∂∂

−=∑ drr

prdzddFr θ → �

� = �

dzddrrdzddrr

pr θρωθ 2−=

∂∂

−

rr

p 2ρω=∂∂

→→→→ ((((IIIII)I)I)I)

Sebelumya, diketahui bahwa:

drr

pdz

z

pdp

zr

∂∂

+

∂∂

= = (I) + (II)(I) + (II)(I) + (II)(I) + (II)

dzgdrrdp ρωρ −= 2

Beda tekanan antara suatu titik acuan ( ro,zo ) dengan nilai tekanan po dan sembarang titik

(r,z) dengan tekanan p adalah:

∫∫∫ −=z

z

r

r

p

p

p dzgdrrd000

... 2 ρωρ

( ) ( )0

2

0

2

2

0 .2

.zzgrrpp −−−=− ρ

ωρ

Titik referensi pada permukaan bebas sumbu silinder:

p0 = patm ; r0 = 0 ; z0 = h1

( )1

22

.2

..hzg

rpp atm −−=− ρ

ωρ

Karena pada permukaan bebas tekanannya konstan [p = patm], maka;

( ) 0.2

..1

22

=−− hzgr

ρωρ

( )g

rhz

.2

.2

1

ω+= (Persamaan permukaan bebas!)

Sehingga ketinggian permukaan maksimum (pada sisi bejana);

g

Rhz

.2

.2

0

2

1

ω+=

Persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai fungsi ho (ketinggian fluida saat bejana diam

atau tidak berotasi).

Dalam kondisi diam V1 = π R2 ho

Dalam kondisi berputar ∫ ∫ ∫==R z R

drrdrdzrV0 0 0

2 22 ππ

∫

+=

+=

R

0

R

0

422

1

22

1 8g

rω

2

rh2πrdr

2g

rωh2π

+=

+=

4g

RωRhπ

8g

Rω

2

Rh2π

42

2

1

422

1

V1 = V2

+=

g

RRhhR o

4

422

1

2 ωππ

( )g

Rhh o

4

2

1

ω−=

( )

2g

ωrhz

2

1 −=

( ) ( )

2g

ωr

4g

ωRh

22

0 +−=

rrrr

zzzz

ωωωω

hhhhoooo hhhh1111

gggg

RRRRoooo

g

Ro

2

22ω

( )

−−=22

0 R

r

2

1

2g

ωRhz

1. Sebuah tangki silinder terbuka, tinggi 6 ft, diameter 3 ft, berisi air setinggi 4.5ft ;

silinder tersebut kemudian diputar pada sumbu y.

� Berapa kecepatan sudut agar air tidak tumpah

� Berapa tekanan pada titik C dan D jika ω = 6 rad/sec.

a. Volume tangki yang tidak terisi air, 0

2

1 4

.h

DV ⋅=

π

Volume parabolid diputar = setengah volume yang melingkupi

2

1

4

.2

2 ⋅

⋅= Y

DV

π V1 = V2

24

.5.1

4

.22YDD

⋅=⋅ππ

Y = 3 ft

g

RY

2

22ω=

2.322

5.13

22

⋅⋅

=ω

sec/26.9 rad=ω

b. ω = 6 rad/sec 26.12

2

2

1 == Rg

Yω

Penurunan dari titik S = ½ Y = 0.63 ft

Ketinggian titik s dari dasar tangki : hC = 4.5 – 0.63 = 3.87 ft

Kedudukan tertinggi di bagian tepi : hD = 4.5 + 0.63 = 5.13 ft

psfhp cc 24287.34.62 =⋅=⋅= γ

psfhp DD 32013.54.62 =⋅=⋅= γ

Y R

S

ω

ho=1.5’

h1=4.5’

Y

ω

SSSS

CCCC

DDDD

YYYY1111

ω = 6 rad/s

2. Soal seperti no.1 tapi silinder dalam keadaan tertutup. Tekanan dalam tangki 15.5 psia ;

ω = 12 rad/sec. Berapa tekanan pada titik C dan D jika keadaan air dalam tangki seperti

gambar.

2

2

2

0

2

42

1

4

.Y

Dh

D⋅

⋅⋅=⋅∴ππ

(1)

g

RY

2

2

2

2

2

ω= (2)

Substitusikan Y2 ke persamaan 1

R2 = 1.32 ft & Y2 = 3.89 ft

Yc = 6 – Y2 = 2.11 ft

YD = Yc + Y1 →→→→ ftg

RY 02.5

2.322

5.112

2

2222

1 =⋅⋅

==ω

= 2.11 + 5.02 = 7.13 ft

psia

hpc

4.16144

11.24.625.15

5.15

=⋅

+=

⋅+= γ

psia

hpD

6.18144

13.74.625.15

5.15

=⋅

+=

⋅+= γ

3. Soal seperti no.2 Keadaan air dalam tangki seperti pada gambar;

a. Berapa ω

b. Tekanan di titik D.

YYYY1111

ω = 12 rad/s

YYYY2222

SSSS

CCCC DDDD

DDDD2222

a. 2

2

2

0

2

42

1

4

.Y

Dh

D⋅

⋅⋅=⋅ππ

D2 = 2.25 ; R2 = 1.125 ft

g

RY

2

2

2

2

2

ω=

ω 2 = 343

ω = 18.6 rad/sec

b. ftg

RY 1.12

2.322

5.16.18

2

2222

1 =⋅

⋅==

ω

psiapD 7.20144

1.124.625.15 =

⋅+=

4. Sebuah kontainer D = 6m ; T = 1.8 m ; L = 2.1m Terisi air h = 0.9 m. Akselerasi linier

sepanjang tangki 2.45 m/s2. Hitung gaya yang bekerja pada sisi tangki dan selisih gaya

yang menyebabkan tetap adanya akselerasi.

014

25.0

=

=

==

θ

θg

axtg

dx

dy

Lihat gambar :

Y1 = 0.9 – Y = 0.9 – 3.tgθ

= 0.9 - 0.75 = 0.15 m

Y1 = ketinggian air pada sisi CD

Ketinggian air pada sisi AB = 0.9 + 0.75 = 1.65 m

)(28000

)1.265.1(2

65.19810

.....

23

ABsisipadagayaN

mmm

N

AhAhgF BA

=

⋅⋅⋅=

==− γρ

N

AhF DC

230

)1.215.0(2

15.09810

..

=

⋅⋅⋅=

=− γ

Gaya untuk akselerasi, F = m.a = Ns

m

sm

mm

N

2870045.281.9

)9.01.26(9810

2

2

33

=⋅⋅⋅⋅

Atau, F = FA-B – FC-D = 28000 – 230 = 27770 N.

ω

YYYY1111

YYYY2222

RRRR2222

θ

0.9 m

1.8 m Y

Y1

3 m

Bab 3

PERSAMAAN-PERSAMAAN DASAR DALAM BENTUK

INTEGRAL UNTUK “VOLUME KONTROL”

3.1. Sistem dan Volume Kontrol (Volume atur)

Sistem adalah suatu kumpulan zat yang memiliki massa tertentu yang konstan, dan dibatasi oleh

permukaan tertutup. Dalam pengertian umum sistem adalah kesatuan komponen-komponen yang

memiliki karakteristik dan fungsi masing-masing dan bersama-sama bekerja untuk suatu tujuan.

Sistem tersebut unik dan berbeda dengan lingkungan dan sistem lainnya.

Dalam bab ini pembahasan tentang “sistem” dan “volume atur” berkaitan dengan fungsinya sebagai

pendekatan dalam menganalisis dan menyelesaikan suatu masalah. Lihatlah contoh sebuah sistem

pemanasan gas dalam silinder di bawah ini.

Batas sistem bisa suatu yang bergerak atau tidak.

Batas sistem memisahkan sistem dari lingkungannya.

Jika gas dipanaskan, piston akan bergerak ke atas,

batas sistem juga bergerak. Tapi massanya tetap

karena tidak ada massa yang melintas masuk

ataupun keluar dari sistem.

Volume atur (control volume = volume kontrol = volume kendali, disebut juga sistem terbuka) adalah

suatu volume atau daerah tertentu yang dipilih secara sembarang untuk menganalisis perubahan-

perubahan keadaan yang terjadi dalam volume atau area yang dipilih tersebut akibat adanya aliran

massa. Batas volume atur atau permukaan atur tidak bergerak, tapi massa fluida dapat mengalir

melalui permukaan atur. Permukaan atur berupa sisi masuk (inlet) dan keluar (outlet) dimana massa

mengalir. Volume atur bisa dipilih secara sembarang, sesuai atau berdasarkan data yang tersedia atau

berdasar pertimbangan keadaan tertentu misalnya dimana fase fluida tidak mengalami perubahan.

Hal itu perlu dipertimbangkan untuk tujuan mempermudah/mempertajam analisis atau untuk

mendapatkan keakuratan yang lebih baik. Perbedaan antara analisis dengan pendekatan sistem dan

pendekatan volume kontrol dapat dilihat di bawah ini.

GasGasGasGas

QQQQ

SilinderSilinderSilinderSilinder BebanBebanBebanBeban

Gambar 3.1. Sistem Pemanas Gas

Gambar 2 menunjukkan sistem pembangkit daya

menggunakan turbin uap. Sistem ini terdiri dari 4

komponen dengan fungsi masing-masing dengan

tujuan bersama menghasilkan energi mekanis dalam

bentuk putaran turbin yang kemudian dijadikan

energi listrik.

Kita bisa menganalisis sistem ini secara keseluruhan

dengan menganggap tidak ada aliran massa yang masuk ataupun keluar. Fluida dalam siklus

tersebut bisa berupa cairan (yaitu dalam kondensor dan pompa) dan gas atau uap sewaktu

berada dalam boiler dan turbin. Namun dalam analisis sistem tetap dianggap tidak ada

perubahan massa, hanya fasenya saja yang berubah.

Analisis volume kontrol untuk 2 komponen dari sistem tersebut yaitu boiler (ketel uap) dan

turbin uap ditunjukkan dalam Gambar 3 di bawah ini. Dalam volume kontrol ini massa masuk

berupa cairan memasuki boiler sebesar m1 dan uap yang keluar dari turbin uap sebesar m2.

Gambar 3.3. Pemilihan Volume Atur Boiler dan Turbin Uap

Kita bisa memilih komponen yang lain, ataupun memilih satu komponen saja misalnya boiler, dimana

massa masuk berupa cairan dan massa keluar berupa uap. Analisis volume kontrol digunakan untuk

mengamati perkembangan/perubahan yang terjadi pada elemen fluida secara lebih detail misalnya

perubahan energi, interaksi panas dan kerja yang dialami. Semakin spesifik volume atur yang dipilih,

misalnya aliran uap di sekitar sudu turbin saja, akan semakin detail dan rinci juga informasi yang

dihasilkan. Dalam hal ini, hal terpenting pertama adalah memilih volume kontrol yang akan dianalisis.

Pemilihan volume kontrol dan aplikasinya dalam menyelesaikan suatu persoalan bisa berbeda

tergantung cara pemilihan volume kontrolnya (Baca artikel: On Choosing and Using Control Volume:

Six Ways of Applying the Integral Mass Conservation Theorem to A Simple Problem).

Qin

PompaPompaPompaPompa

KondensorKondensorKondensorKondensor

TurTurTurTurbinbinbinbin

BoilerBoilerBoilerBoiler

Win

Wout

Qout

Gambar Gambar Gambar Gambar 3.3.3.3.2. Sistem Turbin Uap2. Sistem Turbin Uap2. Sistem Turbin Uap2. Sistem Turbin Uap

Studi mengenai gerakan fluida biasanya dimulai dengan mengembangkan persamaan dasar yang

berlaku dalam sistem dalam bentuk integral, untuk kemudian diaplikasikan pada volume kontrol.

Mengapa harus formulasi volume kontrol dan bukan formulasi untuk sistem? Ada 2 alasan; Pertama,

karena fluida mengalami distorsi dan deformasi secara terus menerus dan meningkat sejalan

terhadap waktu, mengakibatkan sulit sekali untuk mengidentifikasi dan mengikuti perkembangan

sejumlah massa fluida tertentu yang sama pada keseluruhan selang waktu yang diamati (hal ini harus

dilakukan untuk pendekatan sistem). Kedua, kita sering tertarik bukan pada gerakan sejumlah massa

tertentu fluida tapi lebih pada efek gerakan fluida terhadap peralatan atau struktur dimana fluida

mengalir. Sehingga lebih tepat untuk mengaplikasikan persamaan-persamaan dasar terhadap sebuah

volume tertentu dalam ruang, menggunakan analisis volume kontrol.

3.2. Hukum-hukum dasar untuk sistem

Hukum-hukum dasar untuk sistem akan disajikan secara singkat dengan alasan akan muncul

pada bagian berikutnya dimana setiap persamaan dasar disajikan dalam persamaan laju

perubahan terhadap waktu.

� Konservasi (Kekekalan) Massa

Secara definisi, sistem adalah kumpulan sembarang materi dengan identitas tertentu,

maka sebuah sistem pada setiap saat yang diamati terdiri dari kuantitas materi tertentu

yang sama. Konservasi massa mengharuskan massa sistem, M, konstan. Dalam basis laju

perubahan terhadap waktu (rate basis), dinyatakan:

0=

sistemdt

dM dimana

∫∫∀

∀==)()(

sistemsistemmassa

sistem ddmM ρ

� Hukum Newton Kedua

Untuk suatu sistem yang bergerak relatif terhadap referensi yang diam, Hukum Newton II

menyatakan bahwa penjumlahan seluruh gaya eksternal terhadap sistem sama dengan

perubahan momentum linier sistem terhadap waktu.

sistemdt

PdF

=

rr

Dimana momentum linier sistem, Pr

, diberikan sebagai berikut:

∫∫∀

∀==)()(

sistemsistemmassa

sistem dVdmVP ρrrr

� Prinsip Momentum Angular

Prinsip momentum angular untuk suatu sistem menyatakan bahwa perubahan

momentum angular sistem sama dengan penjumlahan seluruh torsi yang bekerja

terhadap sistem.

sistemdt

HdT

=

rr

Dimana momentum angular sistem didefinisikan sebagai:

∫ ∫∀

∀==)( )(

sistemmassa sistem

sistem dVxrdmVxrH ρrrrrr

Torsi dapat dihasilkan pleh gaya permukaan dan gaya badan, dan juga oleh poros yang

melintang terhadap batas sistem, sehingga:

∫ ++=)(

sistemmassa

shafts TdmgxrFxrTrrrrrr

� Hukum Termodinamika Pertama

Hukum Pertama Termodinamika merupakan pernyataan kekekalan energi suatu sistem:

dEWQ =−δδ

Dalam bentuk persamaan laju perubahan terhadap waktu dapat ditulis:

sistemdt

dEWQ

=−••

Dimana total energi sistem dinyatakan: ∫ ∫∀

∀==)( )(

sistemmassa sistem

sistem dedmeE ρ

Dan

zgV

ue 2

2

++=

Dalam persamaan di atas, •

Q positif jika panas ditambahkan dari lingkungan ke dalam

sistem, •

W positif jika kerja dilakukan oleh sistem terhadap lingkungan; u adalah energi

internal spesifik; V adalah kecepatan; z adalah ketinggian relatif terhadap datum partikel

zat yang memiliki massa dm.

� Hukum Termodinamika Kedua

Jika sejumlah panas Qδ ditransfer terhadap suatu sistem pada temperatur T, Hukum

Kedua Termodinamika menyatakan bahwa perubahan Entropi dalam sistem, dS,

memenuhi persamaan:

T

QdS

δ≥

Dalam basis laju prubahan terhadap waktu:

•

≥

Q

Tdt

dS

sistem

1

Dimana entropi total dalam sistem dinyatakan sbb:

∫∫∀

∀==)()(

sistemsistemmassa

sistem dsdmsS ρ

Dalam persamaan-persamaan hukum dasar di atas, jika ditulis dalam laju perubahan

terhadap waktu maka akan dihasilkan sifat-sifat ekstensif sistem (massa total sistem,

momentum angular sistem, energi sistem dan entropi sistem). Untuk mengembangkan

persamaan volume kontrol sifat-sifat ekstensif tersebut kita beri simbol N, dan sifat intensif

yang mengikutinya (N per satuan massa) kita nyatakan sebagai η. Dengan demikian:

Jika N = M; maka η = 1

N = Pv

; maka η = Vr

N = Hr

; maka η = Vxrrr

N = E; maka η = e

N = S; maka η = s

3.3. Penurunan persamaan volume atur3.3. Penurunan persamaan volume atur3.3. Penurunan persamaan volume atur3.3. Penurunan persamaan volume atur

Perhatikan suatu keadaan aliran dimana telah diketahui kecepatan fluida relatif terhadap

sistem koordinat xyz. Misalkan N = jumlah total suatu sifat (massa, energi, momentum) di

dalam sistem pada saat t. η = jumlah sifat-sifat tersebut per satuan massa. Laju pertambahan

N terhadap waktu akan dirumuskan untuk volume atur yang dipilih.

(a). Waktu t (b). Waktu t + δt

Gambar Gambar Gambar Gambar 3.3.3.3.4. Sistem dan Volume Kontrol4. Sistem dan Volume Kontrol4. Sistem dan Volume Kontrol4. Sistem dan Volume Kontrol

(a). Sub(a). Sub(a). Sub(a). Sub----Region III Region III Region III Region III (b). Sub(b). Sub(b). Sub(b). Sub----Region IRegion IRegion IRegion I

Gambar 3.5. Sub-Region III (permukaan aliran keluar) dan I (permukaan aliran masuk)

Perhatikan Gambar 4; dimana batas sistem bergerak sedangkan batas volume kontrol tidak

bergerak. Pada waktu t sistem menempati volume II. Pada t + δt sistem terdiri dari volume II

dan III. Pertambahan sifat N dalam sistem selama δt :

tIIttII III

ttt dddNsNs

∀−

∀+∀=− ∫∫ ∫

+

+ ρηρηρηδ

δ

Tambah dan kurangkan ruas kanan dengan

ttI

d

δ

ρη+

∀∫ , kemudian

kalikan kedua ruas dengan tδ

1 sehingga menjadi :

IIIIIIIIIIII IIIIIIII

IIII

Volume kontrolVolume kontrolVolume kontrolVolume kontrol

SistemSistemSistemSistem

xxxx

yyyy

zzzz

IIIIIIII

Streamline (garis aliran)Streamline (garis aliran)Streamline (garis aliran)Streamline (garis aliran)

Volume kontrolVolume kontrolVolume kontrolVolume kontrol

SistemSistemSistemSistem

xxxx

yyyy

zzzz

Sub region ISub region ISub region ISub region I

Sub region IIISub region IIISub region IIISub region III

αααα VVVV dAdAdAdA

Control surfaceControl surfaceControl surfaceControl surface IIIIIIIIIIII

Batas sBatas sBatas sBatas siiiistem padstem padstem padstem pada t + a t + a t + a t + δδδδtttt

StreamlineStreamlineStreamlineStreamline

dAdAdAdA

dAdAdAdA VVVV αααα

Batas sBatas sBatas sBatas siiiistem pada t + stem pada t + stem pada t + stem pada t + δδδδtttt

Control surfaceControl surfaceControl surfaceControl surface IIII

dAdAdAdA

44344214434421444444 3444444 2143421IV

ttI

III

ttIII

II

tIIttII I

I

ttt

t

d

t

d

t

d

t

dd

t

NsNs

δ

ηρ

δ

ηρ

δ

ηρ

δ

ηρηρ

δδδδδ ++++

∀

−

∀

+

∀

−

∀+∀

=−

∫∫∫∫ ∫

Suku I adalah laju pertambahan rata-rata terhadap waktu untuk N dalam sistem selama tδ .

Untuk tδ mendekati nol, dT

dN

t

NsNs

t

Limttt =

−→

+

δδδ

0

Suku kedua adalah jumlah N di dalam volume atur pada t + tδ dan jumlah N di dalam volume

atur pada waktu t.

Limit suku ke II adalah : ∫ ∀∂∂

va

dt

ρη

va = volume atur = volume kontrol = volume kendali

Suku ke III merupakan laju aliran terhadap waktu untuk N yang keluar dari volume atur. Nilai

limitnya adalah :

∫∫∫

==

∀

→+

dAvVdAt

d

t

Lim

keluarluas

ttIII cos

0αρηρη

δ

ρη

δδ

dA → Vektor yang menunjukkan elemen luas permukaan aliran keluar. Vektor ini mempunyai

arah tegak lurus terhadap elemen luas permukaan volume atur. Arah keluar bertanda

positif. α adalah sudut antara vektor kecepatan dan vektor elemen luas permukaan.

Suku ke IV merupakan laju alir N ke dalam volume kontrol, dalam bentuk limit :

∫∫∫

−==

∀

→+

dAvdAVt

d

t

Lim

masukluas

ttI cos

0αρηρη

δ

ρη

δδ

Tanda minus diperlukan karena v dA , atau cos α adalah negatif untuk aliran masuk.

Suku III dan IV jika digabungkan merupakan integral pada seluruh control surface atau

permukaan volume atur (pa), sehingga:

∫∫∫∫

−==

∀

−

∀

→++

papa

ttIttIII

dAvdAVt

d

t

d

t

Lim cos

0αρηρη

δ

ρη

δ

ρη

δδδ

pa = Permukaan atur = permukaan kontrol =

control surface

Persamaan volume atur secara keseluruhan menjadi:

∫∫ +∀∂∂

=pava

dAVdtdt

dN ρηρη �

Persamaan ini selanjutnya akan diterapkan untuk hukum-hukum dasar yang telah

dijelaskan pada bagian sebelumnya.

Arti fisik (physical meaning)(physical meaning)(physical meaning)(physical meaning) persamaan diatas :

Laju pertambahan N terhadap waktu dalam suatu sistem adalah sama dengan laju

pertambahan N terhadap waktu dalam volume atur yang dipilih ditambah dengan

laju bersih aliran keluar N melintasi batas volume atur tersebut.

dt

dN → Laju perubahan total sifat ekstensif (extensive property) dalam sistemdalam sistemdalam sistemdalam sistem.

∫ ∀∂∂

va

dt

ρη → Laju perubahan sifat ekstensif dalam volume kontrol; dalam persamaan

ditunjukkan integral diaplikasikan dalam volume kontrol atau volume volume volume volume

aturaturaturatur ((((vavavava)))).

∫pa

dAV ρη → Laju bersih perubahan sifat ekstensif yang melintasi permukaan aturmelintasi permukaan aturmelintasi permukaan aturmelintasi permukaan atur,

dalam persamaan ditunjukkan notasi papapapa pada tanda persamaan

integrasinya.

3.4. Penerapan persamaan volume atur

� Persamaan KontinuitasPersamaan KontinuitasPersamaan KontinuitasPersamaan Kontinuitas

Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa massa di dalam suatu sistem konstan

terhadap waktu.

0=dt

dm jika N = m (massa) ; η = massa per satuan massa = 1 maka persamaan �

menjadi :

∫∫ +∀∂∂

=pava

dAVdt

0 ρρ

Untuk aliran steady suku pertama ruas kanan sama dengan nol, sehingga:

0 =∫pa

dAVρ

Persamaan di atas menyatakan bahwa laju bersih aliran dari volume atur tersebut = 0.

Lihat gambar volume atur berikut ini, pada sisi 1 laju bersih aliran masuk :

111111 dAVdAV ρρ −= (aliran masuk negatif)

Pada sisi 2 (aliran keluar positif):

222222 dAVdAV ρρ =

Karena tidak ada laju bersih massa (terhadap waktu) :

222111 dAVdAV ρρ =

Aliran dalam tabung :

222111 dAVdAVm ρρ ==&

2211 ρρ QQm ==&

Q = debit atau kapasitas aliran.

Untuk aliran steady incompressible : 2211 VAVAQ ==

Perhatikan baik-baik satuan persamaan di atas. •

m adalah laju alir massa (kg/s); V adalah

kecepatan (m/s); Q adalah debit atau kapasitas aliran (m3/s).

SoalSoalSoalSoal. Di area 1 sebuah pipa, air mengalir dengan

kecepatan 3 ft/s , d1 = 2 ft. Di area 2 memiliki d2 =

3 ft. Berapa debit aliran dan kecepatan pada sisi 2 ?

Q = V1 A1 = sft /42,94

23 32

=⋅π

V2 = sftA

Q/33,1

25,2

42,9

2

==π

VVVV1111

VVVV2222 dAdAdAdA2222

dAdAdAdA1111

AAAA1111

VVVV1111

ρρρρ1111

AAAA2222

VVVV2222

ρρρρ2222

AAAA2222

VVVV2222

ρρρρ2222

AAAA1111

VVVV1111

ρρρρ1111

Volume KontrolVolume KontrolVolume KontrolVolume Kontrol Untuk Penurunan Persamaan KontiUntuk Penurunan Persamaan KontiUntuk Penurunan Persamaan KontiUntuk Penurunan Persamaan Kontinuitas 3D nuitas 3D nuitas 3D nuitas 3D –––– KoordKoordKoordKoordinat Cartesiusinat Cartesiusinat Cartesiusinat Cartesius

Persamaan dasar volume kontrol untuk kontinuitas:

( ){

0=+∀∂∂

III

dAVdt

ρρ321

(I) → zyxt

zyxt

δδδρ

δδδρ ) (∂∂

=∂∂

(II) → Laju alir massa bersih volume atur :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )yxz

z

wwyxz

z

wwzxy

y

vv

zxyy

vvzyx

x

uuzyx

x

uu

δδδρ

ρδδδρ

ρδδδρ

ρ

δδδρ

ρδδδρ

ρδδδρ

ρ

∂

∂+−

∂

∂−+

∂∂

+

−

∂∂

−+

∂

∂+−

∂

∂−

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Setelah penjumlahan dan pengurangan, persamaan di atas dibagi dengan volume zyx δδδ ,

menjadi :

( ) ( ) ( )

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

z

w

y

v

x

u

t

ρρρρ

zz

ww δ

δρ

ρ21.

)(∂−

zz

ww δ

δρ

ρ21.

)(∂+

xx

uu δ

δρ

ρ21.

)(∂+ x

x

uu δ

δρ

ρ21.

)(∂−

yy

vv δ

δρ

ρ21.

)(∂−

yy

vv δ

δρ

ρ21.

)(∂+

x

y z

u = komponen kecepatan arah sumbu x

v = komponen kecepatan arah sumbu y

w = komponen kecepatan arah sumbu z

Persamaan kontinuitas di atas berlaku untuk aliran unsteady 3D. Untuk aliran steady dimana

tidak ada perubahan terhadap waktu atau

=∂∂

0t

ρ, fluida incompressible (ρ konstan) :

0=∂

+∂

+∂ z

w

y

v

x

u ρρρ

� Persamaan Momentum Linear

Berdasar persamaan Hukum Newton II untuk sistem yang bergerak relatif terhadap koordinat

sistem inersial:

sistemdt

PdF

=

rr

dimana momentum linier sistem, Pr

, diberikan sebagai berikut:

∫∫∀

∀==)()(

sistemsistemmassa

sistem dVdmVP ρrrr

; sedangkan gaya resultan Fr

terdiri dari gaya permukaan

dan gaya badan yang bekerja terhadap sistem, atau BS FFFrrr

+= .

Jika ∫ ∫∀

∀==)( )(

sistemmassa sistem

sistem ddmN ρηη ; untuk menurunkan persamaan volume kontrol

Hukum Newton II kita set PNr

= dan Vr

=η ; maka persamaan umum sistem dan volume

kontrol � menjadi:

∫∫ +∀∂∂

=

pavasistem

dAVVdVtdt

Pd rrr

r

ρρ

Karena ) ) kontrolvolumeterhadapsistemterhadap

sistem

FFdt

Pd

rrr

==

maka:

BS FFFrrr

+= ∫∫ +∀∂∂

=pava

dAVVdVt

rrr

ρρ

Persamaan ini mempunyai arti fisik sebagai berikut: “Gaya resultan yang bekerja terhadap

suatu volume atur = laju perubahan momentum linier terhadap waktu dalam volume atur +

laju bersih aliran fluks momentum melintasi permukaan atur”.

Persamaan ini dapat diaplikasikan untuk setiap komponen sumbu dalam sistem koordinat.

Untuk arah sumbu x :

∫∫∑ +∀∂∂

=pa

x

va

xx dAVVdVt

F rrr

ρρ

Lihat gambar di bawah ini.

Untuk aliran steady:

Fx = ρ2 A2 V2 Vx2 - ρ1 A1 V1 Vx1

Fx = ρ Q (Vx2 – Vx1)

Soal.Soal.Soal.Soal. Sebuah pompa jet yang mengalirkan air ditunjukkan gambar di bawah ini. Aliran jet

mengalir melalui sisi �. Tekanan aliran jet � dan aliran sekunder � dianggap sama.

Estimasi profil kecepatan aliran jet dan aliran sekunder diperlihatkan dalam gambar.

Hitung kapasitas aliran sekunder (Q2) dan besarnya tekanan pada sisi outlet.

Solusi.Solusi.Solusi.Solusi.Persamaan volume kontrol untuk kontinuitas massa:

QQAV

AρVAρVAρV

0ρVdAρVdAρVdA

0ρVdAρVdAρVdA

ρVdAρdt

0

32jj

33ssjj

AoutAsAj

outinpa

pava

=+

=+

=+

+−

=+=

+∀∂∂

=

∫∫∫

∫∫∫

∫∫

VVVV1111

dAdAdAdA2222 VVVV2222

dAdAdAdA1111

VVVVx2x2x2x2

VVVVx1x1x1x1

� Aliran Jet

Aliran Sekunder

Daerah Campuran

Qout =Q3 = 0.574 m3/menit

�

�

�

D1 = Djet = 10 mm

D3 = Dout = 30 mm

V1 = 20.3 m/s

P����≈≈≈≈P���� = 95.2 kPa

≈ 0, steady state

Catatan:Catatan:Catatan:Catatan:

Aliran masuk (-)

Aliran keluar (+)

Aj = Luasan jet = A1

As = Luasan sekunder = A2

Aout = A3

( )

/sm10 x 7,973

10 x 1,594 -10 x 9,567

m10 x 7,85 x m/s 20,3 - /sm 10 x 9,567

/sm 10 x 9,567/minm 0,574Q

m 10 x 7,854

0,01 x 3,14

4

πDA

AVQQ

3 3-

3- 3-

2 5-33-

333

3

2522

j

jj32

=

=

=

==→

===→

−=

−

−

Persamaan momentum linier:Persamaan momentum linier:Persamaan momentum linier:Persamaan momentum linier:

[ ]

( )[ ]( )[ ]

( )

kPa

kPaPP

kPaA

PP

NAxPP

NF

AVAVAV

sm

A

QVV

m

AAAA

smA

QV

mD

A

mA

sm

AVAVAV

AVAV

AVVAVVdAVV

dAVVVt

F

out

ssjj

s

js

j

j

ssjj

ininoutout

pA

pAVA

x

615.96

415.12.95

415.1

415.110065.7

11

1

1)001.0(1000

101.003.013.0 1000

..

/696.12

1028.6

10973.7

1028.6

1085.710065.7

/54.13

10065.74

.

1085.7

/3.20V

......

....

...

13

431

31

22

3

2

3

4

3

2

22

24

54

32

3

33

242

3

3

25

22

3

2

3

22

111222

=

+=

+=

−=⋅

=−=−

−=−

−=−⋅=

+−=

+−=

=

⋅

⋅===

⋅=

⋅−⋅=

−==

==

⋅==

⋅=

=−⇒

+−=

−=

−==

+∂∀∂∂

=

−

−

−

−

−−

−

−

∑

∫

∫∫∑

ρ

π

ρρρ

ρρ

ρρρ

ρρ

::::data

data

data

data

Data

Data

Data

Data

≈≈≈≈ 0, 0, 0, 0, steady statesteady statesteady statesteady state

Diskusi.Diskusi.Diskusi.Diskusi. ����. . . . Pompa jet bekerja berdasarkan efek jet yang terjadi di sekitar nosel dimana jet

disemburkan. Ketika jet disemburkan, di sekitar ujung nosel aliran mempunyai kecepatan

sangat tinggi, akibatnya juga terbentuk daerah bertekanan rendah yang akan menghisap

aliran dari pipa atau saluran sekunder. Kedua aliran (jet dan sekunder) selanjutnya menjadi

satu di daerah campuran. (Lihat cara kerja pompa jet pada movie file yang tersedia.) Hasil

pengujian pompa jet yang dilakukan di Teknik Mesin UNUD menunjukkan pemanfaatan

efek jet ini menghasilkan kapasitas alir 2.5 kali (250%) dibandingkan tanpa jet. Pompa jet

diaplikasikan pada pompa bahan bakar pesawat, pada pendingin reaktor, pompa

pembuangan, pompa untuk kedalaman tinggi, dsb.

�. Perhitungan di atas dilakukan sepenuhnya secara teoritis. Hasil pengujian atau

pengukuran yang sebenarnya tidak sama persis dengan hasil di atas, karena kenyataannya

aliran campuran pada pompa jet tersebut sangat kompleks karena terdapat belokan, terjadi

sirkulasi dan ketidakseragaman yang menyebabkan kerugian aliran. Kondisi aliran

sebenarnya secara skematis ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Posisi jet serta rasio

diameter jet terhadap diameter sekunder memegang peranan penting terhadap pola

sirkulasi yang terjadi. Dalam kajian pompa jet yang lebih mendalam anda akan

menemukan koefisien aliran atau konstanta, atau persamaan-persamaan empiris yang

merupakan kontribusi dari hasil pengujian empiris pompa jet dengan desain dan ukuran

tertentu.

3.5. Analisis Diferensial Volume Kontrol

Pada bagian sebelumnya telah dibahas contoh persamaan kontinuitas dan momentum

yang diaplikasikan pada volume kontrol yang terbatas (finite, berhingga). Volume kontrol

yang dipilih untuk analisis tidak harus terbatas atau tertentu ukurannya. Berikut ini akan

dijelaskan aplikasi pada volume kontrol diferensial (yang berubah) sepanjang alirannya.

Aplikasi ini akan mengarahkan pada hubungan beberapa sifat medan aliran yang sangat

penting. Untuk kasus aliran steady, inkompresibel, tanpa gesekan sepanjang suatu garis alir

Sirkulasi 2

Sirkulasi 1

Aliran Jet

Aliran Sekunder

Daerah Campuran

(streamline), integrasi persamaan diferensial tersebut menghasilkan hubungan yang sangat

penting antara kecepatan, tekanan dan elevasi dalam medan aliran. Kasus di bawah ini

akan menjelaskan penggunaan volume kontrol diferensial.

Aplikasikan persamaan kontinuitas dan momentum pada aliran steady, inkompresibel dan

tanpa gesekan seperti ditunjukkan gambar. Volume kontrol yang dipilih berada dalam

ruang dan dibatasi oleh garis aliran (streamlines) yang merupakan elemen dari streamtube.

Panjang volume kontrol adalah ds.

Gambar Gambar Gambar Gambar 3.3.3.3.6. Volume kontrol diferensial untuk analisis momentum melalui 6. Volume kontrol diferensial untuk analisis momentum melalui 6. Volume kontrol diferensial untuk analisis momentum melalui 6. Volume kontrol diferensial untuk analisis momentum melalui streamtubestreamtubestreamtubestreamtube

Asumsi untuk keadaan ini adalah: (1). Aliran steady

(2). Tak ada aliran melintasi streamlines (garis alir)

(3). Aliran inkompresibel, ρ = konstan

(4). Tak ada gesekan.

Persamaan kontinuitas:Persamaan kontinuitas:Persamaan kontinuitas:Persamaan kontinuitas:

∫∫ +∀∂∂

=pava

dAVdt

0 ρρ

Selanjutnya: { } { }dAAdVVAV sss +++−= )((0 ρρ

))(( dAAdVVAV sss ++= ρρ

sss dAdVAdVdAV ++=0 → hasil kali diferensial dAdVs dapat diabaikan.

ss AdVdAV +=0

Persamaan momentumPersamaan momentumPersamaan momentumPersamaan momentum

sBsS FFF

rrr+= ∫∫ +∀

∂∂

=pa

s

va

s dAVVdVt

rr

ρρ

Karena tak ada gesekan gaya permukaan (Fs) hanya dipengaruhi oleh tekanan (ingat

bahwa gesekan terjadi dikarenakan gaya geser atau viskositas).

≈ 0, steady state

≈ 0, steady state

dpdAAdpdAdp

pdAAdpppAFsS 2

1

2))(( −−=

++++−= ♥

Gaya badan pada arah s :

dsdA

AgdgF ssB

+−=∀=2

)sin( θρρ → sin θ ds = dz

dzdA

AgFsB

+−=2

ρ ♦

Karena tak ada fluks massa melintas garis alir, fluks momentum menjadi:

{ } { }dAAdVVdVVAVVdAVV ssssss

pa

s ++++−=∫ )(()( ρρρr

sssssss AdVVAVdVVAVV ρρρ =++−= ))(()( ♠

Gabungkan ketiga persamaan ♥♦♠ di atas:

ss dVAVdzdAgdzAgdAdpdpA 21

21 ρρρ =−−−−

Bagi dengan ρA dan abaikan hasil kali diferensial, diperoleh:

==−−

2

2

sss

VddVVgdz

dp

ρ atau 0

2

2

=+

+ gdz

Vd

dp s

ρ

Hasil integrasi persamaan ini (dan dengan menghilangkan subskrip s):

tan2

2

konsgzVp

=++ρ

atau

2

2

221

2

11

22gz

Vpgz

Vp++=++

ρρ → memiliki satuan mmmm2222/s/s/s/s2222

Atau 2

2

221

2

11

22gz

Vpgz

Vp ρρρρ ++=++ → memiliki satuan kPakPakPakPa

Atau 2

2

221

2

11

22z

g

V

g

pz

g

V

g

p++=++

ρρ

ρρ

→ memiliki satuan metermetermetermeter.

Hasil integrasi di atas merupakan bentuk ““““PePePePersamaan Bernoullirsamaan Bernoullirsamaan Bernoullirsamaan Bernoulli”””” yang menyatakan

persamaan energi aliran yang terdiri dari energi tekanan, kecepatan dan elevasi. Satuan

apapun yang dipakai, itu merupakan satuan energisatuan energisatuan energisatuan energi.

Soal.Soal.Soal.Soal. Air mengalir secara stedi melalui nosel horisontal, dibuang ke atmosfer. Pada sisi

inlet diameter nosel D1, dan pada sisi outlet D2. Turunkan persamaan untuk beda tekanan

minimum yang dibutuhkan pada nosel untuk menghasilkan kapasitas aliran tertentu Q.

Hitung tekanan sisi inlet jika D1 = 75 mm, D2 = 25 mm dan Q yang diinginkan 0.2 m3/s.

Solusi. Solusi. Solusi. Solusi. D1 = 75 mm, D2 = 25 mm, p2 = patm

Persamaan dasar:

2

2

221

2

11

22gz

Vpgz

Vp++=++

ρρ;

∫∫ +∀∂∂

=pava

dAVdt

0 ρρ

Asumsi: Stedi, inkompresibel, tak ada gesekan (frictionless), aliran sepanjang streamline, z1

= z2, aliran seragam pada bagian 1 dan 2.

Berdasarkan persamaan Bernoulli antara titik 1 dan 2:

−

=−=−=−= 1

2)(

2)(

2

1

22

1

2

1

2

22111V

VVVVppppgagep atm

ρρ

Berdasar persamaan kontinuitas diperoleh: Q = V1A1 = V2A2 atau 2

1

1

2

A

A

V

V= dan

1

1A

QV =

Selanjutnya:

−

= 1

2)(

2

2

1

2

1

2

1A

A

A

Qgagep

ρ; A =

4

2Dπ;

−

= 1

8)(

4

2

1

4

1

2

2

1D

D

D

Qgagep

πρ

Dengan D1 = 75 mm, D2 = 25 mm, dan ρ = 999 kg/m3

[ ]mkg

sNxQ

mx

m

kgxgagep

.

.13

)075.0(

1999

8)(

242

44321 −=π

2

229

1

.1005.2)(

m

sNQxgagep =

Pada Q = 0.2 m3/s diperoleh p1 (gage) = 820 kPa.

Hitung:

a. p1 (gage) sebagai fungsi Q

b. p1 (gage) jika Q =0.2 m3/s

≈ 0, steady state

Pemakaian Persamaan BernoulliPemakaian Persamaan BernoulliPemakaian Persamaan BernoulliPemakaian Persamaan Bernoulli

� Statika FluidaStatika FluidaStatika FluidaStatika Fluida

Persamaan dalam statika fluida merupakan hal khusus dari persamaan Bernoulli,

dimana kecepatan fluida = nol.

ghpp

zzgpp

ppgzpgzp

ρ

ρ

ρρ

+=

−+=

=→+=+

01

1201

212211

)(

� Menghitung kecepatan aliran padaMenghitung kecepatan aliran padaMenghitung kecepatan aliran padaMenghitung kecepatan aliran pada lubang di bagian bawah bejana lubang di bagian bawah bejana lubang di bagian bawah bejana lubang di bagian bawah bejana

22

2

220

2

110

vgzp

vgzp

ρρ

ρρ ++=++

0;;0 1212 ≈⟩⟩= vdanAAjikaz

2

2

200

vpgzp

ρρ +=+

ghv 22 =

� Alat ukur venturiAlat ukur venturiAlat ukur venturiAlat ukur venturi

Alat ini dipergunakan untuk mengukur besarnya kecepatan aliran fluida dalam suatu

pipa.

Titik 1 dan 2 mempunyai ketinggian sama (satu garis aliran).

( )

22

22

22

2

2

2

1

2

2

2

121

2

22

2

11

vvgh

vvpp

vp

vp

ρρρ

ρρ

ρρ

=+

=+−

+=+

Persamaan kontinuitas A1 V1 = A2 V2 2

112

A

VAV =→

1111

2222

2222

1111

AAAA1111

VVVV1111

AAAA2222

VVVV2222

hhhh

2

2

112

1

2

2

11

2

1

2

22

=+

=+

A

VAVgh

A

VAvgh

ρρρ

2

2

2

1

21

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

22

12

AA

ghAV

AA

Agh

A

AA

ghV

VA

Agh

−=

−=

−=

−

=

� Tabung PitotTabung PitotTabung PitotTabung Pitot

Alat ini dipergunakan untuk mengukur kecepatan angin atau aliran gas, atau juga

aliran cairan. Misalnya gas mengalir dengan kecepatan V, rapat massa gas ρ. V1

mendekati sama dengan V, dan V2 = 0

cairzat massarapat 012 =→+= ρρ ghpp

ρρ

ρρ

ρρ

ρ

ghv

ghv

ghpvp

pvp

01

02

1

01

2

11

2

2

11

2

2

2

1

2

1

=

=

+=+

=+

V

Udara

hhhh

1111 2222

Tentang Persamaan BernoulliTentang Persamaan BernoulliTentang Persamaan BernoulliTentang Persamaan Bernoulli

Dalam persamaan Bernoulli dinyatakan bahwa energi aliran terdiri dari :

� energi tekanan ( P )

� energi kecepatan/kinetik ( V )

� energi potensial ( Z )

Hukum kekekalan energi tetap berlaku dalam persamaan Bernoulli tersebut.

E1 = E2 ; besarnya masing-masing komponen

berbeda, dititik 1 energi potensial lebih

dominan. Di titik 2 energi kecepatan lebih

dominan, dst.

Seperti yang sudah ditunjukkan sebelumnya, anda mungkin menemukan ekspresi persamaan

Bernoulli yang berbeda seperti diatas di beberapa buku yang berbeda. Persamaan persamaan

tersebut hanya berbeda cara menyatakannya saja.

Persamaan Bernoulli dengan input energi, output dan losses energi :

ElossEoutZ2g

v

gρ

PEinZ

2g

v

gρ

P2

2

2

2

2

1

2

1

1

1 ++++=+++

Ein = misal input energi dari pompa

Eout = misal energi output karena pemasangan turbin

� Persamaan Persamaan Persamaan Persamaan EnergiEnergiEnergiEnergi

Aplikasi persamaan energi untuk volume kontrol dilakukan dengan mensubstuitusikan N =

E dan η = e ; maka persamaan � menjadi :

∫∫

∫∫

+∀∂∂

==−

+∀∂∂

=

••

pava

pava

dAVedetdt

dEWQ

dAVedetdt

dE

ρρ

ρρ

Dimana zgV

ue 2

2

++=

Kerja yang dilakukan oleh volume kontrol dikelompKerja yang dilakukan oleh volume kontrol dikelompKerja yang dilakukan oleh volume kontrol dikelompKerja yang dilakukan oleh volume kontrol dikelompooookkan dalam 4 klasifikasi:kkan dalam 4 klasifikasi:kkan dalam 4 klasifikasi:kkan dalam 4 klasifikasi:

othershearnormals WWWWW•••••

+++=

→→→→ Kerja porosKerja porosKerja porosKerja poros

Ws adalah kerja poros yang ditransfer melalui permukaan atur dari putaran poros

dalam sistem.

→→→→ Kerja oleh tegangan normal pada perKerja oleh tegangan normal pada perKerja oleh tegangan normal pada perKerja oleh tegangan normal pada permukaan aturmukaan aturmukaan aturmukaan atur

zzzz

Air terjunAir terjunAir terjunAir terjun

1111

2222

Kerja membutuhkan gaya yang digerakkan dalam jarak tertentu. Kerja yang dilakukan

dinyatakan: sdFWrr

⋅=δ

Untuk mendapatkan laju kerja yang dilakukan oleh gaya:

t

sdF

t

WW

tt ∆

⋅=

∆=

→∆→∆

•rr

00

limlimδ

atau VFWrr

⋅=•

Laju kerja yang dilakukan terhadap luasan dA permukaan volume kontrol oleh

tegangan normal: VAdVFd nn

rrrr⋅=⋅ σ

Karena kerja melintasi batas volume kontrol adalah negatif (kerja dilakukan terhadap

volume kontrol) :

∫ ∫ ⋅=⋅−=•

va va

nnnnnormal AdVVAdWrrrr

σσ

→→→→ Kerja oleh tegangan geser Kerja oleh tegangan geser Kerja oleh tegangan geser Kerja oleh tegangan geser pada volume kontrolpada volume kontrolpada volume kontrolpada volume kontrol

Gaya geser yang bekerja pada elemen area permukaan atur dinyatakan sebagai:

dAF ⋅= τrr

dimana τr

adalah tegangan geser pda bidang dA. Selanjutnya:

∫∫∫ ⋅−=⋅=⋅=•

papapa

shear dAVdAVVdAW rrrrrr

τττ

Tanda negatif harus diberikan karena kerja ini dilakukan terhadap volume kontrol.

Integral ini secara lebih lengkap dinyatakan dalam 3 suku:

∫ ∫ ∫∫ ⋅−⋅−⋅−=⋅−=•

)( )( )(

shaftA cesolidsurfaA portsApa

shear dAVdAVdAVdAVWrrrrrrrr

ττττ

Suku pertama sudah diperhitungkan pada bagian sebelumnya (Wshaft). Pada permukaan

padat, Vr

= 0, sehingga suku kedua bernilai nol (untuk volume kontrol yang tetap).

Sehingga:

∫ ⋅−=•

)(

portsA

shear dAVWrr

τ

Suku yang terakhir ini dapat dibuat nol dengan memilih permukaan atur yang tepat.

Jika kita memilih sebuah permukaan atur yang memotong melintang sisi tegak lurus

terhadap aliran, sehinggga Adr

paralel terhadap Vr

. Karena τr

berada dalam bidang dA,

τr

tegak lurus terhadap Vr

. Dengan demikian untuk permukaan atur yang tegak lurus

Vr

berlaku:

0=⋅Vrr

τ dan 0=•

shearW

→→→→ Kerja lainKerja lainKerja lainKerja lain----lainlainlainlain

Energi listrik dapat ditambahkan pada volume kontrol, juga energi elektromagnetik,

misalnya dalam radar atau sinar laser, dapat diserap. Dalam kebanyakan situasi

kontribusi energi ini tidak terjadi, tapi kita bisa mencatatnya dalam formulasi umum.

Dengan seluruh kerja yang telah dievaluasi diperoleh:

∫••••

++⋅−=pa

othershearnns WWAdVWWrr

σ

Selanjutnya persamaan volume kontrol untuk energi menjadi;

•

Q ∫•••

−−⋅+−pa

othershearnns WWAdVWrr

σ ∫∫ +∀∂∂

=pava

dAVedet

ρρ

∫∫∫ ⋅−⋅+∀∂∂

=−−−••••

pa

nn

papa

othershears AdVAdVedet

WWWQrrrr

σρρ

Karena ρ = 1/υ dimana υ = volume spesifik, persamaan di atas dapat ditulis:

∫∫∫ ⋅−⋅+∀∂∂

=−−−••••

pa

nn

papa

othershears AdVAdVedet

WWWQrrrr

ρυσρρ

∫∫ ⋅−+∀∂∂

=−−−••••

pa

nn

pa

othershears AdVedet

WWWQrr

) ( ρυσρ

Efek viskos dapat membuat tegangan normal nnσ berbeda dari nilai negatif tekanan

termodinamik, - p. Akan tetapi dalam kebanyakan kasus engineering, pnn −≅σ ; sehingga:

∫∫ ⋅++∀∂∂

=−−−••••

papa

othershears AdVpedet

WWWQrr

) ( ρυρ

Akhirnya dengan mensubstitusikan zgV

ue 2

2

++= ; kita memperoleh persamaan hukum

termodinamika pertama untuk volume kontrol:

∫∫ ⋅++++∀∂∂

=−−−••••

papa

othershears AdVV

pudet

WWWQrr

) gz2

( 2

ρυρ

Soal.Soal.Soal.Soal. Udara pada 101 kPa (abs), 21oC, memasuki kompresor dengan kecepatan yang dapat

diabaikan, kemudian dibuang pada tekanan 350 kPa (abs), 38oC, melalui pipa dengan luas

penampang 0.09m2. Laju alir massanya 10 kg/s. Daya input kompresor 450 kW. Tentukan

laju perpindahan panas yang terjadi.

Solusi.

∫∫ +∀∂∂

=pava

dAVdt

0 ρρ

∫∫ ⋅++++∀∂∂

=−−−••••

papa

othershears AdVV

pudet

WWWQrr

) gz2

( 2

ρυρ

Asumsi-asumsi: 1. Steady flow

2. Aliran dan sifat-sifat seragam

3. Udara sebagai gas ideal

4. Tegangan geser tegak lurus terhadap kecepatan

5. z1 = z2

6. Energi kinetik sisi masuk diabaikan.

υρυ puhAdVV

puWQpa

s +≡→⋅+++=− ∫••

) gz2

(2 rr

) gz2

(2

∫ ⋅+++=••

pa

s AdVV

hWQrr

ρ , selanjutnya

{ } { } 2

h-2

2222

2

221111

2

11 AVgz

VAVgz

VhWQ s ρρ

+++

+++=

••

Dari persamaan kontinuitas diperoleh:

{ } { } atau 0 - 222111222111

•

===+ mAVAVAVAV ρρρρ selanjutnya

−++−+=

•••

)(2

)( 12

2

212 zzg

VhhmWQ s

Kemudian dengan asumsi bahwa udara bertindak sebagai gas ideal, maka h2 – h1 = Cp (T2-

T1) →

+−+=

•••

2)(

2

212

VTTCpmWQ s

Dari persamaan kontinuitas: 22

2 AmV ρ

•

= dan 222 RTp ρ= →

pppp1111=101 kPa (abs)=101 kPa (abs)=101 kPa (abs)=101 kPa (abs)

VVVV1111 = 0= 0= 0= 0

TTTT1111=21=21=21=21ooooCCCC

pppp2 2 2 2 ==== 101 kPa (abs)101 kPa (abs)101 kPa (abs)101 kPa (abs)

AAAA2222 = 0= 0= 0= 0.09 m.09 m.09 m.09 m2222

TTTT1111 ==== 38383838ooooCCCC

CVCVCVCV ≈ 0, steady state

≈ 0 ≈ 0, steady state

≈ 0

≈ 0

≈ 0

kN

mxKx

Kkg

Jx

mx

s

kg

p

RT

A

mV

350 311 287

09.0

1 10

2

2

2

2

2

2⋅

==

•

= 28.3 m/s

Diketahui daya input terhadap CV 450 kW; nilai ini harus bertanda negatif karena berupa

kerja terhadap volume kontrol.

+−+=

•••

2)(

2

212

VTTCpmWQ s

=2

2

2

22

2

3.28 1017 1000 10450

mkg

sJx

s

mx

s

kgKx

Kkg

Jx

s

kgkW

⋅

⋅+

⋅+

= -276 kJ/s

Jadi laju perpindahan panas yang terjadi adalah pembuangan panas ke lingkungan sebesar

276 kJ/s atau 276 kW.

ContohContohContohContoh----Contoh Soal.Contoh Soal.Contoh Soal.Contoh Soal.

Sebuah tangki 0.5 m3 berisi udara bertekanan. Sebuah katup digunakan untuk

mengeluarkan udara tersebut dengan kecepatan 300 m/s melalui suatu saluran output

dengan luas area 130 mm2. Temperatur udara yang melalui katup tersebut -150C, tekanan

350 kPa(abs). Hitung perubahan densitas udara dalam tangki tersebut.

Data: υ = 0.5 m3

V = 300 m/s

Aout = 130 mm2 = 130x10-6 m2

T = -150 C = 258 K

P = 350 kPa

RT

p=ρ p = 350x103 Pa

T = 258 K

R = 287 N.m/Kg.K

(Hati hati dalam memilih R, sesuaikan dengan sistem satuan yang

dipergunakan.)

ρ = 4.73 kg/m3

0.

0..

=+

∂∂

=+∂∂

∫∫

∫∫

pAVA

pAVA

VdAdvt

VdAdvt

ρρ

ρρ

Dalam kasus ini yang ditanyakan adalah Dalam kasus ini yang ditanyakan adalah Dalam kasus ini yang ditanyakan adalah Dalam kasus ini yang ditanyakan adalah

perubahan densitas terhadap waktu, jadi, ini perubahan densitas terhadap waktu, jadi, ini perubahan densitas terhadap waktu, jadi, ini perubahan densitas terhadap waktu, jadi, ini

adalah persoalan adalah persoalan adalah persoalan adalah persoalan unsteadyunsteadyunsteadyunsteady sehingga suku sehingga suku sehingga suku sehingga suku

pertama persamaan dasar tidak bipertama persamaan dasar tidak bipertama persamaan dasar tidak bipertama persamaan dasar tidak bisasasasa

dihilangkan.dihilangkan.dihilangkan.dihilangkan.

s

mKg

AV

t

daberkeluaraliranVAt

3

6

111

111

369.0

5.0

1013030073.4

tan 0

−=

⋅⋅⋅−=

∀−=

∂∂

+→=+∀∂∂

−ρρ

ρρ

Jadi setiap detik pelepasan udara mengakibatkan pengurangan jumlah udara dalam tangki

sehingga menyebabkan terjadinya penurunan densitas sebesar 0.369 kg/m3.

Dalam gambar di bawah ini, sebuah beban 700 N secara sempurna diimbangi oleh jet air

secara steady. Berapa kecepatan jet yang diperlukan untuk mengimbangi beban tersebut?

Djet = 5 cm

= 0 (steady)

∫∫∑ ∂ρ+ϑ∂ρ∂

∂=

PAVA

y A.V.V..V.t

F

∫∑ ∂ρ=PA

y A.V.V.F →→→→ W = ρ.Vj.Vj.Aj (jet ke arah kiri dan kanan saling meniadakan)

W = ρ.(Vj)2.Aj

Vj = jA.

W

ρ=

2

405.0..1000

700

π= 18.9 m/s

VVVVjjjj = 18.9 m/s= 18.9 m/s= 18.9 m/s= 18.9 m/s

W = 700 N

DataDataDataData----data:data:data:data:

W = 700 N

Djet = 5 cm

Ditanya: Vjet = ?

3.6. Soal-Soal

Salah satu bagian dari suatu sistem perpipaan seperti gambar di bawah ini. Luas sisi inlet

dan outlet masing-masing 1 m2, sedangkan luas permukaan bebas yang terbuka terhadap

atmosfer 2 m2. pada suatu saat tertentu V1 = 3 m/s, dan air mengalir keluar 4 m3/s. Hitung

laju perubahan ketinggian air pada permukaan bebas.

Sebuah bidang pengarah membelokkan jet air seperti tampak pada gambar di bawah ini.

Jika Djet = 10 cm dan Vjet = 8 m/s, hitunglah gaya F yang dibutuhkan untuk menahan

dorongan akibat jet tersebut!

Udara pada kondisi standar memasuki kompresor dengan kecepatan 75 m/s dan

meninggalkan sisi buang pada kecepatan 125 m/s, 200 kPa (abs) dan 345 K. Laju alir massa

udara 1 kg/s. Air pendingin di selubung kompresor membuang panas sebesar 18 kJ/s.

Hitung daya yang dibutuhkan oleh kompresor.

Sebuah pompa horisontal memompa air dengan kapasitas 57 m3/jam. Abaikan losses energi,

berapa daya yang dibutuhkan pompa (kW) untuk mengalirkan air tersebut ? (Petunjuk:

hitung Vin dan Vout dalam m/s; hitung hpompa; Daya pompa P = γ Q hpompa)

Pin = 120 kPa Pout = 400 kPa Din = 9 cm Pompa Dout = 3 cm

@ g

1111 2222

3333

F Djet , Vjet

Bab 4

ANALISIS DIMENSIONAL

dan KESERUPAAN DINAMIK

Dalam bidang keteknikan, metode penyelesaian atau pemecahan masalah pada umumnya

mempergunakan tiga metode meliputi:

1. Analitis

Pendekatan ini merupakan pendekatan secara teoritis dan matematis. Pendekatan ini banyak

melibatkan asumsi-asumsi yang sebenarnya merupakan faktor signifikan. Contoh: analisis

control volume dan persamaan Fluida Sempurna yang mengabaikan gravitasi atau friksi

(karena tidak terjangkau oleh pendekatan teoritis).

2. Empiris atau Eksperimental

Pendekatan ini lebih menitikberatkan pada pengukuran, pengumpulan data lalu dianalisis

mempergunakan persamaan yang ada, baik persamaan teoritis maupun empiris.

3. Kombinasi antara Analitis-Empiris.

4.1. Keserupaan Dimensional dan Dinamik

Problem-problem dalam Mekanika Fluida, dan engineering pada umumnya melibatkan geometri dan

parameter-parameter aliran yang kompleks sehingga menimbulkan kesulitan pengujian

eksperimental, meliputi:

� Banyaknya variabel atau parameter yang harus dikontrol.

� Pelaksanaan pengujian harus memiliki keserupaan dinamik (keserupaan model dan keadaan

aliran) antara model yang diuji dengan prototipe benda uji.

Keserupaan dinamik berarti:

1. Terdapat keserupaan geometris.

2. Perbandingan tekanan-tekanan dinamik pada titik-titik yang berkesesuaian adalah konstan.

3. Garis-garis alirannya secara geometris serupa.

Ilustrasi

Anda diminta menganalisis gaya hambat drag sebuah profil bola yang ditempatkan dalam

sebuah aliran yang uniform. Berapa banyak eksperimen yang harus dilakukan untuk

menentukan gaya hambat tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita harus

mengidentifikasi parameter-parameter penting yang mempengaruhi gaya hambat.

Gaya hambat sebuah objek/benda tergantung pada parameter-parameter berikut: dimensi

bola (dinyatakan sebagai diameter, D); kecepatan alir fluida,V; viskositas, µ; dan

densitas, ρρρρ. Gaya hambat, F, kita rumuskan sebagai berikut:

F = f (D, V, µ, ρ)

Persamaan atau fungsi tersebut mengandung parameter-parameter yang dapat dikontrol

dan diukur dalam eksperimen laboratorium. Sedangkan parameter lain yang penting

seperti kekasaran permukaan kita abaikan karena menyulitkan dalam

memformulasikannya dalam persamaan.

Sekarang, bayangkan kita akan melakukan serangkaian eksperimen untuk mengetahui

ketergantungan F terhadap D, V, µ, dan ρ. Setelah peralatan percobaan selesai dibuat,

eksperimen segera dimulai. Untuk mendapatkan grafik F vs V pada nilai D, µ, dan ρ yang

tetap, misalnya kita menguji sebanyak 10 nilai V. Untuk mengetahui pengaruh diameter,

D, kita membutuhkan 10 diameter yang berbeda. Jika prosedur ini diberlakukan juga

untuk 10 nilai µ dan ρ secara bergiliran, secara sederhana kita tahu bahwa kita

membutuhkan 104 pengujian yang berbeda. Jika setiap pengujian membutuhkan waktu ½

jam dan kita bekerja 8 jam sehari, secara keseluruhan pengujian membutuhkan waktu 2 ½

tahun. Kita juga mengalami kesulitan dalam mempresentasikan data. Untuk memplotkan

grafik F vs V dengan D sebagai parameter untuk tiap kombinasi µ dan ρ, dibutuhkan 100

grafik. Jadi, untuk mengatasi kerumitan ini apa yang harus dilakukan?

Untuk mengatasi hal tersebut diatas maka dipergunakan analisis dimensional untuk

mengurangi jumlah variabel yang dikontrol (mengurangi jumlah pengujian) dan

menghasilkan keserupaan dinamik.

Seluruh data untuk gaya hambat, F, tersebut dapat diplotkan sebagai hubungan fungsional

antara 2 parameter nondimensional dalam bentuk:

=

µρ

ρVD

fDV

F22

Fungsi tersebut memang masih harus diuji secara eksperimental. Akan tetapi kita bisa

mengurangi keharusan melaksanakan 10000 eksperimen menjadi 10 eksperimen saja,

waktu yang dihemat sangat besar, dan kita tidak perlu mencari fluida dengan 10 macam µ

dan ρ, tidak juga harus menggunakan 10 diameter atau kecepatan. Yang kita butuhkan

hanya 10 macam nilai

µρVD

, yang secara sederhana dapat dilakukan dengan

memvariasikan V atau D.

Prosedur untuk mendapatkan fungsi tersebut di atas dibahas dalam Analisis Dimensional

& Keserupaan Dinamik.

Contoh : Mengukur gaya hambat (drag force).

Gaya hambat misalnya pada mobil, gedung, kapal selam, pesawat,dsb dipengaruhi oleh

ukuran obyek (dimensi), kecepatan aliran fluida (V), massa fluida (ρ) dan viskositas fluida (μ).

Permasalahannya ada empat parameter dan pengujian skala penuh yang tidak

memungkinkan. Empat parameter tersebut membentuk satu group bilangan tak berdimensi

yang disebut Bilangan Reynolds.

Re = µ

ρVD

Selanjutnya pelaksanaan pengujian mengacu pada Bilangan Reynolds tersebut, sehingga dua

pengujian yang berbeda bisa menghasilkan keadaan aliran yang serupa (Re yang sama).

Masing-masing disesuaikan dengan fluida, peralatan dan besar ruangan yang dimiliki.

4.2. Teori BUCKINGHAM PI

Teori Buckingham Pi merupakan sebuah pernyataan mengenai hubungan antara sebuah

fungsi yang diekspresikan dalam parameter dimensional dan sebuah fungsi lain yang

diekspresikan dalam fungsi parameter nondimensional. Teori Buckingham PI digunakan

untuk mendapatkan bilangan atau angka nondimensional.

Suatu problem fisik mempunyai “n” parameter; salah satunya merupakan parameter tak

bebas, maka hubungan parameter-parameter tersebut dinyatakan:

q1 = f (q2 , q3,………qn)

dimana; q1 = variabel tak bebas

q2, q3,…..qn = n-1 variabel bebas.

Pernyataan matematis yang ekuivalen:

g (q1, q2, q3,……qn) = 0

dimana: g berbeda dari f

Untuk kasus Drag Force :

Re = f ( D, V, ρ, μ )

g( Re, D, V, ρ, μ )

Teori Buckingham PI menyatakan : Dalam suatu soal fisik dengan n besaran dimana terdapat

m dimensi (kecuali beberapa kasus), maka akan terdapat n-m parameter tanpa dimensi atau

disebut π parameter, yang memenuhi persamaan :

G (π1, π2,………πn-m ) = 0

π = G1 ( π2, π3,……...πn-m )

Hubungan antara parameter π ( bilangan tak berdimensi ) tersebut ditentukan secara

eksperimental, tidak memakai teori Buckingham PI.

π bukan variable tak berdimensi bebas, apabila dapat dibentuk oleh

parameter-parameter π lainnya.

5π = 32

12

πππ

; 6π = 2

3

4

3

1

π

π 5π ; 6π tidak bebas!

4.3. Prosedur Menentukan Grup Non-Dimensional (π)

Contoh: Tentukan group tak berdimensi untuk problem gaya hambat ( F ) yang tergantung

pada V, D, ρ, μ.

Data ; F = f ( ρ, V, D, μ ) untuk obyek dengan profil bulat.

1) Susun seluruh variabel yang terlibat.

F V D ρ μ n = 5 variabel.

2) Tulis dimensi-dimensi primer variable di atas.

Dipilih : M L T

3) Tulis seluruh dimensi variabel sesuai dimensi primer yang dipakai.

F V D ρ μ

2t

ML

t

L L

3L

M

Lt

M r = 3 dimensi primer.

4) Pilih “variabel berulang “ dengan jumlah yang sama dengan r dan semua dimensi

primer ada pada variabel berulang.

Variabel berulang : variabel yang digunakan pada perhitungan seluruh π groups.

Variabel-variabel berulang bisa muncul dalam π , jadi jangan salah pilih variabel tak

bebas sebagai variabel berulang.

ρ V D m = r = 3 variabel berulang

5) Susun ( n-m ) persamaan untuk mendapatkan dimensionless groups.

n - m = 2 ; sehingga terdapat 2 group tak berdimensi.

1π→ = FDV cbaρ = ( )

23

t

MLL

t

L

L

M c

ba

= 000 tLM

Tentukan a, b, c berdasar eksponen M, L, t dikedua ruas :

M : a + 1 = 0 a = -1

L : -3a + b + c + 1 = 0 b = -2 1π = 22 DV

F

ρ

t : -b – 2 = 0 c = -2

1π→ =22 DV

F

ρ = F

2

2

2

4 1

LL

t

Ft

L

= 1 atau

= M L t2− M

1− L

3+ t

2 L

2− L

3− = 1

2π→ = µρ fed DV =

Lt

ML

t

L

L

M f

ed

3 =

000 tLM

M : d + 1 = 0 d = -1

L : -3d + e + f – 1 = 0 f = -1 2π = VDρµ

t : -e – 1 = 0 e = -1

2π = VDρµ

= LL

t

Ft

L

L

Ft 12

4

2 = 1

Hubungan fungsional : 1π = f

VDρµ

Fungsi f ditentukan secara eksperimental.

Menentukan π groups jika variabel-variabel dapat dinyatakan dalam sistem dimensi

yang berbeda.

Contoh: Jika sebuah pipa kecil dicelupkan dalam liquid yang tidak mengalir, tegangan

permukaan menyebabkan timbulnya efek kapilaritas yang menyebabkan cairan dalam pipa

naik atau turun terhadap permukaan bebas tergantung sudut kontak antar muka liquid – solid –

gas. Eksperimen menunjukkan ( ∆ h) merupakan fungsi diameter pipa (D) , berat jenis liquid

(γ) , gaya tarik permukaan (σ). Tentukanlah π !

Data : ∆ h = ( D, γ, σ )σ )σ )σ )

1. variabel-variabel ∆ h, D, γ, σ. n = 4

2. dimensi primer M L t dan F L t

3. M L t F L t

∆ h D γ σ ∆ h D γ σ

L L 22tL

M

2t

M L L

3L

F

L

F

r = 3 dimensi primer r = 2 dimensi primer

m ditentukan dengan menghitung nilai determinan matrik dimensional.

∆ h D γ σ ∆ h D γ σ

M 0 0 1 1 F 0 0 1 1

L 1 1 -2 0 L 1 1 -3 1

t 0 0 -2 -2

nilai m = orde matrik yang mempunyai determinan non zero (det ≠ 0) terbesar.

220

021

110

−−

− 13

11

−−

= 0 – ( )21 −∗ + ( )21 −∗ =0 = -1 + 3 = 2 ≠ 0

22

02

−−

− = 4 ≠ 0 m = 2 m = r

m = 2 → m ≠ r

4. m = 2 ; D, γ sebagai variabel berulang.

5. n – m = 2 group tak berdimensi.

D

∆h

1π = hD ba ∆γ = LtL

ML

b

22

2 1π = hD fe ∆γ = L

L

FL

f

3

= 000 tLF

= 000 tLM

M : b + 0 = 0 F : f = 0

L : a – 2b+1 = 0 L : e – 3f + 1 = 0

t : -2b + 0

b = 0 f = 0

a = -1 e = -1

1π→ =D

h∆ 1π→ =

D

h∆

2π = σγ dcD =222

t

M

tL

ML

c

2π = σγ hgD =

L

F

L

FL

h

g

3

= 000 tLM = 000 tLF

M : d + 1 = 0 F : h + 1 = 0

L : c – 2d = 0 L : g - 2h – 1 = 0

t : -2d – 2 = 0

d = -1 h = -1

c = -2 g = -2

2π→ =γ

σ2D

2π→ =γ

σ2D

1π = ( )2πf

D

h∆=

γσ

2Df

Contoh soal :

Gaya hambat sebuah “sonar transducer” diprediksi berdasarkan data tes wind tunnel.

Prototipe-nya berdiameter 300 mm ditarik dengan kecepatan 5 knot (nautical miles per hour ;

1 nautical mile = 1852 m) didalam air laut pada 50 C. Modelnya berdiameter 150 mm.

Tentukan kecepatan tes yang disyaratkan di udara (dengan fluida udara). Jika gaya hambat

model pada kondisi tes itu adalah 24,8 N. Dan tentukan pula gaya hambat prototype!

Prototipe Model

Re model = Re prototype

Model dan Prototype mempunyai Keserupaan Dinamik

� Air laut pada 5 0C ρ = 1025 3m

kg

ν = 1,4 . 610− 2s

m

Vp = 5 knot = ⋅⋅

h

m18525

3600

h= 2,57

sm

Rep = p

pp DV

ν =

6104,1

3,057,2−⋅

⋅ = 51051,5 ⋅

� Udara standar ρ = 1,23 3mkg

ν = s

m51045,1

−⋅

Rem = Rep = m

mm DV

ν

mV = m

mp

D

νRe

mV = 15,0

1045,11051,5 55 −⋅⋅⋅ =53,3

sm

Dp = 300 mm

Fp

Vp = 5 knot

Sea water 5 oC

Dm = 150 mm

Fm = 24.8 N Vm

Udara

Gaya drag prototipe :

22

ppp

p

DV

F

ρ =

22

mmm

m

DV

F

ρ

Fp = 2

2

2

2

m

p

m

p

m

p

D

D

V

V

ρ

ρ =

2

2

2

2

15,0

3,0

3,53

57,2

23,1

10258,24 ⋅

= 192 N

4.4. Arti Fisik Bilangan Tak Berdimensi

� Reynold Number.

Re = µ

ρVD =

µρVL

= ( ) 2

22

LL

V

LV

µ

ρ

=areastressviscous

areapressuredynamic

⋅⋅

_

_

forcesviscous

forcesinertia

_

_≈

� Mach Number.

M = c

V =

2

2

c

V

ρρ

forcesilitycompressib

forcesinertia

_

_≈

� Froude Number

Fr = gL

V → Fr

2 =

gL

V 2

= 3

22

gL

LV

ρρ

forcesgravity

forcesinertia

_

_≈

� Pressure Coefficient.

Ev = Cp = 2

21 V

p

ρ

∆

streamfreeofenergykinetic

pressurefreestreampressurelocal

−−

≈___

__

Soal-soal

1. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa penurunan tekanan (pressure drop) pada aliran

fluida melalui penyempitan luas penampang aliran (sudden contraction) dapat

diekspresikan sebagai ∆P = p1 – p2 = f(ρ, µ, V, d, D). Anda diminta untuk menyusun dan

mengumpulkan data penelitian. Tentukan bilangan tak berdimensi (nondimensional =

dimensionless) untuk kasus ini.

V D d

1 2

2. Persamaan perpindahan kalor konveksi dinyatakan sebagai berikut

Q = h A ∆T -----------dimana Q = Laju perpindahan panas [(J/s)=Watt]

A = Luas permukaan perpindahan panas (m2)

∆T = Beda temperatur , oC

h = Koefisien perpindahan panas W/(m2.oC)

Bilangan tak berdimensi yang merupakan fungsi h disebut Bilangan Stanton, yang juga

merupakan fungsi densitas fluida yang memindahkan panas ρ (kg/m3), panas jenis

fluida Cp (J/(kg.oC)dan kecepatan aliran fluida V (m/s). Jadi Bilangan Stanton = f(h, ρ,

Cp, V). Tentukan formula Bilangan Stanton tersebut !

3. Ketika diuji dalam air 20 oC (ρ = 998 kg/m

3; µ = 0.001 kg/m.s) berkecepatan alir 2 m/s,

sebuah bola berdiameter 8 cm menerima gaya hambat sebesar 5 N. Berapa kecepatan

fluida dan gaya hambat pada bola (balon) berdiameter 1.5 m yang berada dalam

udara atmosfer (ρ = 1.2255 kg/m3; µ = 1.78 x 10

-5 kg/m.s) yang mempunyai kondisi

dinamik yang sama dengan bola yang diuji ?

Entah anda pikir anda bisa atau anda pikir anda tidak bisa

--- anda sepenuhnya benar.

-- Henry Ford --

Keberhasilan sebuah pengambilan keputusan, lebih tergantung pada sikap si

pengambil keputusan, bukan pada pilihan yang tersedia.

-- G.A.G. --

∆P = p1 – p2 = penurunan tekanan[(N/m2)=Pa]

ρ = densitas fluida (kg/m3)

µ = viskositas absolut [(N.s/m2)=(Pa.s) V = Kecepatan rata-rata fluida (m/s)

D = Diameter pipa kecil (m)

d = Diameter pipa besar (m)