BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, semakin dirasakan interaksinya dengan

bidang-bidang ilmu lainnya, seperti ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi

ini terletak pada struktur ilmu dan peralatan yang digunakan. Ilmu matematika sekarang ini

masih banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti bidang industri, asuransi, ekonomi,

pertanian, dan sosial maupun di bidang teknik.

Kata matematika berasal dari kata “mathema” dalam bahasa Yunani yang diartikan

sebagai “sains, ilmu pengetahuan atau belajar.” Disiplin utama dalam matematika didasarkan

pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan memprediksi peristiwa

dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum

bidang matematika yaitu studi tentang struktur, ruang, dan perubahan. Pelajaran tentang struktur

yang sangat umum dimulai dalam bilangan natural dan bilangan bulat, serta operasi

aritmatikanya, yang semuanya dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih

mendalam dipelajari dalam teori bilangan. Ilmu tentang ruang berawal dari geometri. Dan

pengertian dari perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu hal yang biasa dalam

ilmu alam dan kalkulus.

Dalam kehidupan sehari-hari, mungkin kita pernah mengalami kesulitan dalam beberapa

masalah. Seperti beberapa contoh kasus di bawah ini:

1. Sebuah kolam renang berbentuk persegi memiliki dasar berbentuk oval, berapakah

volume air yang dibutuhkan untuk memenuhi kolam renang tersebut?

2. Sebuah tangki berbentuk trapesium diisi penuh dengan air, berapakah total gaya yang

diperlukan untuk memompa seluruh air pada tangki tersebut, di mana ketinggian tangki

tersebut adalah 3 meter?

Berdasarkan beberapa contoh di atas, perhitungan biasa tidak mungkin bisa menjawab

pertanyaan di atas, untuk menjawabnya kita harus menggunakan salah satu cabang dari kalkulus,

yaitu integral. Integral memiliki peranan yang penting khususnya dalam bidang teknik dan sains.

1

Berdasarkan uraian di atas, maka karya tulis ini bertujuan untuk membahas aplikasi integral pada

kehidupan sehari-hari serta perhitungannya.

1.2     Permasalahan

Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan karya tulis ini adalah:

1.      Bagaimana Matriks dapat diaplikasikan pada kehidupan sehari-hari?

2.      Bagaimana menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang dijumpai sehari-hari dengan

menggunakan matriks?

1.3  Tujuan

Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan daripada karya tulis ini adalah sebagai

berikut:

1. Memberitahukan kepada pembaca aplikasi-aplikasi perhitungan Matriks dalam

kehidupan sehari-hari

2. Memberitahukan cara-cara untuk menyelesaikan  permasalahan yang terkait dengan

integral

2

BAB II

PEMBAHASAN

M A T R I K S

2.1 Pengertian Matriks

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dapatkan sekumpulan bilangan yang tersusun

menurut baris-baris dan kolom-kolom. Kita ambil suatu contoh yang sederhana, misalnya daftar

siswa kelas I Program Akutansi pada suatu SMK seperti berikut.

Jenis Kelamin

Kelas

Putra Putri Jumlah

II Ak 1 28 15 43

II Ak 2 32 10 42

Jumlah 60 25 85

Dalam matematika, himpunan bilangan demikian, yaitu himpunan bilangan yang

tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom sehingga terbentuk persegi panjang, dan

ditempatkan diantara dua kurung disebut matriks.

Tanda kurung yang dipakai : kurung biasa () , kurung siku [ ] , atau kurung bergaris dua ‖‖.

Daftar diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut (28 15 4332 10 4260 25 85 )

Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks

ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.

Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu

matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . . dan seterusnya, sedangkan unsur

matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.

3

Contoh :

A = (1 2 34 5 6 )

Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A

berordo 2×3 ,ditulis A2×3 atau (a23 ) .Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks

tersebut.

2.2 Hubungan Matriks Dengan Matriks.

Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya

baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom

pada matriks B

Contoh :

A = (2 1 30 3 2 )

dan B = (3 2 15 4 6 )

Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2×3

Definisi:

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika :

a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama

b. Unsur-unsur yang seletak pad matriks A dan matriks B sama.

4

←baris ke-1 ←baris ke-2

↓ ↓ ↓Kolom Kolom KolomKe-1 Ke-2 Ke-3

2.3 Macam-Macam Matriks

1. Matriks Baris

Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A = (1 5 3 −2 )

2. Matriks Kolom

Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom

Contoh : A = ( 2

1−3)

3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar

Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah

baris = jumlah kolom

Contoh : A = ( 1 3 5

2 4 0−2 3 7 )

, jumlah baris = jumlah kolom

4. Matriks Nol

Matriks Nol adalah Suatu matriks m×n yang setiap unsurnya 0 berordo m×n ,ditulis

dengan huruf O.

Contoh : O2×3 = (0 0 00 0 0 )

5. Matriks Segi Tiga

Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau

diatas diagonal utama semuanya 0 .

5

Contoh : C = (

2 0 0 03 7 0 0

−9 5 8 04 1 −3 5

) , D =

(8 2 1 −30 6 5 40 0 3 70 0 0 9

) Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

6. Matriks Diagonal

Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali

unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

Contoh : E = (5 0 0 00 7 0 00 0 −2 00 0 0 8

)7. Matriks Skalar

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya

sama.

Contoh : F = (7 0 0 00 7 0 00 0 7 00 0 0 7

)8. Matriks Identitas atau Matriks Satuan

Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada

diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.

Contoh : I3 = (1 0 00 1 00 0 1 )

, I4 = (1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

)6

I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4

9. Matriks Simetris

Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j

sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga a ij=a ji .

Contoh : G = (1 3 2 53 4 6 92 6 7 85 9 10 2

) Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9.

10. Matriks Mendatar

Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom .

Contoh : H2×3= (3 2 15 4 6 )

11. Matriks Tegak

Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

Contoh : K3×2 = (5 62 19 −7 )

12. Matriks Transpos ( notasi At )

Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama

matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga=

elemen baris ketiga matriks A.

7

Misal Matriks A = (1 −2 5 89 1 4 20 3 −2 −3 )

Maka Transpos A adalah At = (

1 9 0−2 1 35 4 −28 2 −3

) Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3

Sifat-sifat matriks transpos

1) ( A + B )t = At + Bt

2) ( At )t = A

3) ( AB )t = Bt At

2.4 Operasi Matriks

1. Penjumlahan dan Pengurangan 2 Matriks.

Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama.

Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat

dijumlahkan atau dikurangkan.

Contoh : Jika A = (3 2 15 4 6 )

dan B = ( 7 5 −3−2 1 0 )

Maka A + B = ( 3+7 2+5 1+ (−3 )5+ (−2 ) 4+1 6+0 )

= (10 7 −2

3 5 6 )

8

A – B = ( 3−7 2−5 1−(−3 )5−(−2 ) 4−1 6−0 )

= (−4 −3 4

7 3 6 )

Beberapa sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks

1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif)

2) (A + B) + C = A + ( B + C) (Sifat Asosiatif)

3) A + 0 = 0 + A = A (Sifat Identitas tambah)

2. Perkalian Bilangan Real dengan Matriks

Jika A suatu ordo m¿ n dan k suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar), maka kA

adalah metriks ordo m¿ n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan memperkalikan setiap

unsur matriks A dengan k. Perkalian seperti ini disebut perkalian skalar.

Jadi, jika A

=(a11 a12

a21 a22), maka: kA

=(ka11 ka12

ka21 ka22)

Contoh : Misal A = (2 −1 01 3 2 )

maka 3A = 3 (2 −1 01 3 2 )

= (6 −3 03 9 6 )

Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real.

Jika a dan b bilangan real, maka :

1) ( a + b )A = aA + bA

2) a ( A + B ) = aA + aB

3) a( bA ) = (ab)A

3. Perkalian Matriks dengan Matriks (Perkalian 2 Matriks)

Matriks A yang berordo m¿ p dangan suatu matriks B yang berordo p¿ n adalah matriks C

yang berordo m¿ n.

9

A m¿ p.B p¿ n = C m¿ n.

Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah :

Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B.

Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.

Secara umum jika A = (a11 a12 a13

a21 a22 a23) → ordo matriks 2¿ 3

B = (b11 b12

b21 b22

b31 b32) → ordo matriks 3¿ 2

C = A . B

= (c11 c12

c21 c22) → ordo matriks 2¿ 2

Dimana c11=a11 .b11+a12 .b21+a13 .b31

c12=a11. b12+a12 . b22+a13 . b32

c21=a21 . b11+a22 . b21+a23 . b31

c22=a21 . b12+a22 .b22+a23 .b32

2.6 Menentukan Determinan dan Invers

1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2

Matriks A = (a bc d )

10

Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal

samping disebut determinan matriks A.

Notasi determinan matriks A adalah |A| atau det A = ad – bc

4. Menentukan Determinan dan Invers

1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2

Matriks A = (a bc d )

Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal

samping disebut determinan matriks A.

Notasi determinan matriks A adalah |A| atau det A = ad – bc

Contoh : Jika A = ( 1 2−3 4 )

maka det A = | 1 2−3 4

|

= ( 1)(4) – (2)(-3)

= 4 +6

= 10

2). Determinan Matriks Persegi Berordo 3

Matriks A = (a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)

Cara menentukan det A sebagai berikut :

Cara 1 : det A =

a11|a22 a23

a32 a33

|−a12|a21 a23

a31 a33

|+a13|a21 a22

a31 a32

|

= a11(a22 .a33−a23 .a32 )−a12 (a21 .a33−a23a31)+a13 (a21a32−a22 a31 )

Cara 2 : menggunakan aturan Saurrus

11

det A =

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

- - - + + +

= a11. a22 .a33+a12 .a23 .a31+a13 .a21 . a32−a13 . a22 . a31−a11 . a23 . a32−a12 .a21 . a33

3). Invers Matriks Bujur Sangkar

Jika A dan B matriks ordo nxn, maka B adalah invers matriks A atau B adalah invers dari

matriks A dan hanya jika AB = BA = I, I adalah matriks identitas.

Contoh : Misal A = (3 51 2 )

dan B = ( 2 −5−1 3 )

Maka BA = ( 2 −5−1 3 )(3 5

1 2 ) =

(1 00 1 )

= I

Dengan demikian, B adalah invers dari A, di tulis B = A-1.Oleh karena BA = I dan B = A-1

maka A-1A = I

Jika A = (a bc d )

maka invers A (ditulis A-1)

dan dirumuskan A−1= 1

ad−bc ( d −b−c a )

Harga (ad –bc) disebut determinan dari matriks A atau det A.

Matriks (a bc d )

mempunyai invers jika dan hanya jika (ad – bc) ¿ 0.

Jika (ad – bc) = 0 maka matriks (a bc d )

tidak mempunyai invers.Matriks yang

12

determinannya = 0, dinamakan matriks Singular.

. Penyelesaian Persamaan Linier Dengan Matriks

1). Penyelesaian Persamaan Linier dua variabel dengan cara determinan

Untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel yang bentuknya seperti berikut

ax+by=cpx+qy=r

Diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi D , Dx dan Dy dengan

D = |a bp q

| = a .q−b . p

Dx = |c br q

| = c .q−b . r

Dy = |a cp r

| =a . r−c . p

Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan x= Dx

D dan y= Dy

D

13

BAB IV

PENUTUP

3.1 Saran

Matriks adalah susunan bilangan dalam suatu persegi panjang yang diatur berdasarkan

baris dan kolom.

Ordo atau ukuran dari suatu matriks adalah banyak baris dan kolom dari suatu matriks

Susunan horizontal disebut dengan baris

Susunan vertical disebut dengan kolom

Am x n

14

DAFTAR PUSTAKA

1. Anton, Howard. 2000. Aljabar Linier. _ :Karisma Publishing Group

2. Johanes,dkk. 2006. Kompetensi Matematika 3A Program IPA. Jakarta : Yudhistira.

3. http://www.slideshare.net/AmriSandy/pertemuan12-10080718

15