MATERI UN 2013 bahan UN 2014

Karyanto, S.Pd

RINGKASAN MATERI UJIAN NASIONAL 2013

(Cuplikan SIAP UN IPA)

MATEMATIKA SMA PROGRAM IPA

Copyright@ http://www.soalmatematik.com 2O12

Di ijinkan memperbanyak untuk kepentingan pendidikan dan tetap mencantumkan alamat penerbit http://www.soalmatematik.com

MATERI UN MATEMATIKA IPA 2013 http://www.soalmatematik.com

Pembahsan lengkapnya ada pada SIAP UN 1

DAFTAR ISI

1. Pangkat, Akar dan Logaritma ..........................................................................................................2

2. Fungsi Kuadrat ................................................................................................................................5

3. Sistem Persamaan Linear...............................................................................................................10

4. Trigonometri I................................................................................................................................11

5. Trigonometri II ............ ......... ........................................................................................................13

6. Logika Matematika........................................................................................................................16

7. Dimensi Tiga .................................................................................................................................18

8. Statistika .......................................................................................................................................21

9. Peluang .........................................................................................................................................26

10. Lingkaran.......................................................................................................................................28

11. Suku Banyak..................................................................................................................................29

12. Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers............................................................................................30

13. Limit Fungsi...................................................................................................................................31

14. Turunan Fungsi (Derivatif)........................................................................................................... 34

15. Integral (Anti Turunan)..................................................................................................................36

16. Program Linear .............................................................................................................................42

17. Matriks...........................................................................................................................................45

18. Vektor ...........................................................................................................................................47

19. Transformasi .................................................................................................................................49

20. Barisan Dan Deret .........................................................................................................................51

21. Fungsi Eksponen dan Logaritma....................... .................... ..... ..................................................53



1. PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA A. Pangkat Rasional

1) Pangkat negatif dan nol

Misalkan a ∈ R dan a ≠ 0, maka:

a) a-n = na

1atau an =

na−1

b) a0 = 1

2) Sifat-Sifat Pangkat

Jika a dan b bilangan real serta n, p, q bilangan bulat positif, maka berlaku:

a) ap × aq = ap+q

b) ap : aq = ap-q

c) ( )qpa = apq

d) ( )nba× = an×bn

e) ( )n

n

b

an

ba =

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/A13

Diketahui a = 4, b = 2, dan c = 2

1. Nilai

21)( −a x 3

4

−c

b = …..

A. 2

1 D.

16

1

B. 4

1 E.

32

1

C. 8

1 Jawab : C

21)( −a x 3

4

−c

b = a – 2⋅b4⋅c3 =

2

34

a

cb ⋅

= ( )2

3

214

4

2 ⋅

= 16

16 81⋅

= 81 ………..(C)



B. Bentuk Akar

1) Definisi bentuk Akar

Jika a bilangan real serta m, n bilangan bulat positif, maka berlaku:

a) n aa n =1

b) n maa nm

=

2) Operasi Aljabar Bentuk Akar

Untuk setiap a, b, dan c bilangan positif, maka berlaku hubungan:

a) a c + b c = (a + b) c

b) a c – b c = (a – b) c

c) ba × = ba×

d) ba + = ab)ba( 2++

e) ba − = ab)ba( 2−+

3) Merasionalkan penyebut

Untuk setiap pecahan yang penyebutnya mengandung bilangan irrasional (bilangan yang tidak

dapat di akar), dapat dirasionalkan penyebutnya dengan kaidah-kaidah sebagai berikut:

a) b

ba

b

b

ba

ba =×=

b) ba

bac

ba

ba

bac

bac

−

−−−

++=×=

2

)(

c) ba

bac

ba

ba

bac

bac

−−

−−

++=×= )(


Bentuk sederhana dari 52

532

−+

adalah…..

A. )10417(3

1 −

B. )10415(3

2 −−

C. )10415(3

2 −

D. )10417(3

1 −−

E. )10417(3

1 +−

Jawab : E

52

532

−+

= 52

52

52

532

++×

−+

= 52

10310532

−++⋅+

= 3

10417

−+

= )10417(3

1 +−

………………...(E)



C. Logaritma

a) Pengertian logaritma

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif (a

> 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0, g ≠ 1), maka: glog a = x jika hanya jika gx = a

atau bisa di tulis :

(1) untuk glog a = x ⇒ a = gx

(2) untuk gx = a ⇒ x = glog a

b) sifat-sifat logaritma sebagai berikut:

(1) glog (a × b) = glog a + glog b

(2) glog ( )ba = glog a – glog b

(3) glog an = n × glog a

(4) glog a = glog

alogp

p

(5) glog a = glog

1a

(6) glog a × alog b = glog b

(7) mg alogn

= nm glog a

(8) ag alogg=

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/C37

Diketahui a=3log5 dan ,4log3 b= Nilai

....15log4 =

A. ab

a+1 D.

a

ab

−1

B. b

a

++

1

1 E.

b

ab

−1

C. a

b

−+

1

1 Jawab : A

4log15 = 4log

15log3

3

= 4log

)53log(3

3 ⋅

= 4log

5log3log3

33 +

= b

a11+

=baa+1

= ab

a+1 ……….(A)



2. FUNGSI KUADRAT

A. Persamaan Kuadrat

1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

2) Akar–akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus:

a

Dbx

22,1±−= , D = b2 – 4ac

3) Jumlah, selisih dan hasil kali akar–akar persaman kuadrat

Jika x1, dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:

a) Jumlah akar–akar persamaan kuadrat : abxx −=+ 21

b) Selisih akar–akar persamaan kuadrat : a

Dxx =− 21 , x1 > x2

c) Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat : ac

21 xx =⋅

d) Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar–akar

persamaan kuadrat

a. 22

21 xx + = )(2)( 21

221 xxxx ⋅−+

b. 32

31 xx + = ))((3)( 2121

321 xxxxxx +⋅−+

Catatan:

Jika koefisien a dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, bernilai 1, maka

1. x1 + x2 = – b

2. Dxx =− 21

3. x1 · x2 = c

4) Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b2 – 4ac

5) Pengaruh determinan terhadap sifat akar:

a) Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda

b) Bila D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional

c) Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar–akar)

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/E25

Persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 mempunyai

akar–akar x1 dan x2. Jika 221

221 xxxx + = 32,

maka nilai p = ... A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 E. 8 Jawab : C

Tentukan jumlah dan hasil kali akar–akar dari x2 + 4px + 4 = 0

221

221 xxxx + = x1x2(x1+x2)

=

−×a

b

a

c

= 21

44 p⋅

32 = 16p

p = 16

32 = 2 …………………..(C)



B. Pertidaksamaan Kuadrat

1) Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah

ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, dan ax2 + bx + c > 0

Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku)

2. Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x1 dan x2 (cari nilai akar–akar persamaan kuadratnya)

3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya:

No Pertidaksamaan Daerah HP penyelesaian Keterangan

a >

Hp = {x | x < x1 atau x > x1}

b ≥

Hp = {x | x ≤ x1 atau x ≥ x1}

• Daerah HP (tebal) ada di tepi, menggunakan kata hubung atau

• x1, x2 adalah akar–akar

persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0

c <

Hp = {x | x1 < x < x2}

d ≤

Hp = {x | x1 ≤ x ≤ x2}

• Daerah HP (tebal) ada tengah

• x1, x2 adalah akar–akar persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/C37

Persamaan kuadrat 042)2(2 =−+−+ mxmx mempunyai akar–akar real, maka batas nilai m yang memenuhi adalah … A. m ≤ 2 atau m ≥ 10 B. m ≤ – 10 atau m ≥ –2 C. m < 2 atau m > 10 D. 2 < m < 10 E. –10 < m ≤ –2 Jawab : A

Persamaan kuadrat

042)2(2 =−+−+ mxmx

memiliki akar–akar real, sehingga D ≥ 0 D = b2 – 4ac

= (m – 2)2 – 4(1)(2m – 4) = m2 – 4m + 4 – 8m + 16 = m2 – 12m + 20 sehingga: m2 – 10m + 20 ≥ 0 (m – 2)(m – 10) ≥ 0

karena tanda pertidaksamaan adalah ≥, maka jawaban yang benar adalah yang menggunakan kata ATAU dengan batas nilai m = {2, 10} yaitu ………………………………………(A)

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + +



B. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika diketahu x1 dan x2 adalah akar–akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka persamaan

kuadrat baru dengan akar–akar α dan β, dimana α = f(x1) dan β = f(x2) dapat dicari dengan cara

sebagai berikut:

1. Menggunakan rumus, yaitu:

x2 – (α + β)x + α β = 0

catatan :

Pada saat menggunakan rumus ini harus Anda harus hafal rumus :

a. ab

21 xx −=+

b. ac

21 xx =⋅

2. Menggunakan metode invers, yaitu jika α dan β simetri, maka persamaan kuadrat baru adalah:

0)()( 121 =++ −− cba ββ , dengan β–1 invers dari β

catatan:

Pada saat menggunakan metode invers Anda harus hafal rumus: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2011 PAKET 12

akar–akar persamaan kuadrat 3x2 – 12x + 2 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (α + 2) dan (β + 2). adalah … a. 3x2 – 24x + 38 = 0 b. 3x2 + 24x + 38 = 0 c. 3x2 – 24x – 38 = 0 d. 3x2 – 24x + 24 = 0 e. 3x2 – 24x + 24 = 0

Jawab : a

Akar–akar persamaan kuadrat baru x1 = α + 2 , x2 = β + 2

Karena x1 dan x2 simetri dan berbentuk penjumlahan, maka persamaan kuadrat baru lebih mudah dicari dengan metode invers. Metode invers a. Invers dari x = α + 2 adalah α = x – 2

b. Persamaan kuadrat baru

Substitusikan nilai α ke persamaan kuadrat awal: 3α 2 – 12α + 2 = 0 ⇔ 3(x – 2)2 – 12(x – 2) + 2 = 0 ⇔ 3(x2 – 4x + 4) – 12(x – 2) + 2 = 0 ⇔ 3x2 – 12x + 12 – 12x + 24 + 2 = 0 ⇔ 3x2 – 24x + 38 = 0 ………………..(a)



C. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat

1. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (xe, ye) dan sebuah titik tertentu (x, y):

2. Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik (x1, 0), (x2, 0), dan melalui sebuah titik tertentu (x, y):

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2008 PAKET A/B Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik A(1, 0), B(3, 0), dan C(0, – 6) adalah … a. y = 2x2 + 8x – 6 b. y = –2x2 + 8x – 6 c. y = 2x2 – 8x + 6 d. y = –2x2 – 8x – 6 e. y = –x2 + 4x – 6

Jawab : b

Karena grafik memotong sumbu X di A(1, 0), B(3, 0), dan memotong sumbu Y di C(0, – 6), maka gunakan rumus:

y = a(x – x1)(x – x2) (i) tentukan nilai a

y = a(x – x1)(x – x2) – 6 = a(0 – 1)(0 – 3) – 6 = 3a a = –2

(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – x1)(x – x2) y = –2 (x – 1)(x – 3)

= –2 (x2 – 4x + 3) = –2x2 + 8x – 6…………………(b)

2. UAN 2004 Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya (2x2 – 8x + 15) ribu rupiah. Bila barang tersebut harus dibuat, biaya minimum diperoleh bila per hari diproduksi sebanyak … unit a. 1 b. 2 c. 5 d. 7 e. 9 Jawab : b

y = 2x2 – 8x + 15

xe = a

b

2− =

)2(2

8

−−

= 2 ……………………(b)

X

(xe, ye)

(x, y)

0 y = a(x – xe)

2 + ye

Y

X (x1, 0)

(x, y)

0 y = a(x – x1) (x – x2)

(x2, 0)

Y



D. Kedudukan Garis Terhadap Kurva Parabola

Kedudukan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = ax2 + bx + c ada tiga kemungkinan seperti pada gambar berikut ini.

TEOREMA

Dimisalkan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = ax2 + bx + c.

Apabila persamaan garis g disubstitusikan ke persamaan parabola h, maka akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat baru yaitu:

yh = yg

ax2 + bx + c = mx + n

ax2 + bx – mx+ c – n = 0

ax2 + (b – m)x + (c – n) = 0………….Persamaan kuadrat baru

Determinan dari persamaan kuadrat baru tersebut adalah:

D = (b – m)2 – 4a(c – n)

Dengan melihat nilai deskriminan persamaan kuadrat baru tersebut akan dapat diketahui kedudukan garis g terhadap parabola h tanpa harus digambar grafiknya terlebih dahulu yaitu:

1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real, sehingga garis g memotong parabola h di dua titik berlainan

2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang kembar, sehingga garis g menyinggung parabola h

3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, sehingga garis g tidak memotong ataupun menyinggung parabola h.

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2009, 2010 PAKET A/B Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah … a. –4 b. –3 c. 0 d. 3 e. 4 Jawab : d

Tentukan Persamaan kuadrat baru f(x) = y

x2 + bx + 4 = 3x + 4 x2 + bx – 3x = 0 x2 + (b – 3)x = 0 ……..pers. kuadrat baru

Agar f(x) menyinggung y maka determinan persamaan kuadrat baru sama dengan nol D = 0 D = (b–3)2 – 4(1)(0) 0 = (b–3)2 0 = b – 3 b = 3 ……………………….…………….(d)

A(x1, y1) g

X 0

Y

B(x2, y2)

X 0

Y

A(x1, y1)

h h

g

X 0

Y

h

g

g memotong h di dua titik g menyinggung h g tidak memotong dan tidak menyingggung h



3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Bentuk umum :

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

2. Dapat diselesaikan dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan determinan.

3. Metode determinan:

D = 22

11

ba

ba= a1b2 – a2b2; Dx =

22

11

bc

bc; Dy =

22

11

ca

ca;

x = D

Dx ; y = D

Dy

B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

1. Bentuk umum :

=++=++

=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

2. Dapat diselesaikan dengan metode eliminasi bertingkat dan determinan.

3. Metode determinan:

D =

333

222

111

cba

cba

cba

=

= (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) –

(a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)

Dx =

333

222

111

cbd

cbd

cbd

; Dy =

333

222

111

cda

cda

cda

; Dz =

333

222

111

dba

dba

dba

;

x = D

Dx ; y = D

Dy; z =

D

Dz


Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah …. A. 86 tahun B. 74 tahun C. 68 tahun D. 64 tahun E. 58 tahun Jawab : C

P = A + 28 ⇔ A = P – 28

B = P – 6 + A + B = 2P – 34 ……………….(1)

A + B + P = 119 …………………………...(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh : (A + B) + P = 119 2P – 34 + P = 119

3P = 153

P = 3

153 = 51

Jadi, A + B = 2P – 34 = 2(51) – 34 = 68 .............................(C)



4. TRIGONOMETRI I

A. Trigonometri Dasar

� sin α = ry

� cos α = rx

� tan α = xy

B. Perbandingan trigonometri sudut Istimewa (30º, 45º, 60º) Nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa dapat dicari dengan menggunakan segitiga siku-siku istimewa (gambar. 1 dan gambar.2)

αº sin cos tan

30 ½ ½ 3 331

45 ½ 2 ½ 2 1

60 ½ 3 ½ 3

gambar 1 gambar 2 C. Perbandingan Trigonometri sudut berelasi

Perbandingan trigonometri sudut berelasi dapat dicari dengan menggunakan bantuan lingkaran satuan seperti pada gambar 3 1. Sudut berelasi (90º – α)

a) sin(90º – α) = cos α b) cos(90º – α) = sin α c) tan(90º – α) = cot α

2. Sudut berelasi (180º – α)

a) sin(180º – α) = sin α b) cos(180º – α) = – cos α c) tan(180º – α) = – tan α

3. Sudut berelasi (270º – α)

a) sin(270º – α) = – cos α b) cos(270º – α) = – sin α c) tan(270º – α) = cot α

4. Sudut berelasi (– α)

a) sin(– α) = – sin α b) cos(– α) = cos α c) tan(– α) = – tan α

gambar 3



D. Rumus–Rumus dalam Segitiga

1. Aturan sinus : rC

cB

bA

a 2sinsinsin

===

Aturan sinus digunakan apabila kondisi segitiganya adalah:

2. Aturan Kosinus : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

Aturan kosinus digunakan jika kondisi segitiganya:

3. Luas segitiga

a) L = ½ a · b sin C : ∆ dengan kondisi “sisi sudut sisi”

b) L = )CBsin(

CsinBsina

+⋅⋅

2

2 : ∆ dengan kondisi “sudut sisi sudut”

c) L = )cs)(bs)(as(s −−− , s = ½(a + b + c) : ∆ dengan kondisi “sisi sisi sisi”

4. Luas segi n beraturan

L = o

×n

rn360

sin221

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/C37 Diketahui segi enam beraturan. Jika jari–jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, Maka luas segienam beraturan tersebut adalah … A. 150 satuan luas

B. 150 2 satuan luas

C. 150 3 satuan luas D. 300 satuan luas

E. 300 2 satuan luas Jawab : C

Luas segi-6

L = o

×n

rn360

sin221

= o

××6

360sin106 2

21

= o60sin300×

= 3300 21×

= 150 3 ………………………………..(C)

c

b

c α

b

a. sisi sisi sisi b. sisi sudut sisi

a

β

α

b

c

β b

a. 2 sudut dan satu sisi b. 2 sisi dan satu sudut di depan sisi sisi



5. TRIGONOMETRI II

A. Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1) sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B

2) cos (A ± B) = cos A cos B m sin A sin B

3) tan (A ± B) = BtanAtan1

BtanAtan

⋅±

m

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/D49

Diketahui nilai sin α cos β = 5

1 dan sin (α –

β ) = 5

3 untuk 0° ≤ α ≤ 180° dan 0° ≤ β ≤

90°. Nilai sin (α + β ) = ….

A. – 5

3 D.

5

1

B. – 5

2 E.

5

3

C. – 5

1 Jawab : C

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

5

3 =

5

1 – cos α sin β

cos α sin β = 5

1 –

5

3 = –

5

2

sehingga diperoleh : sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

= 5

1 + (–

5

2)

= – 5

1 ………………….(C)

B. Perkalian Sinus dan Kosinus

1) 2sin A cos B = sin(A + B) + sin(A – B)

sin A cos B = ½{sin(A + B) + sin(A – B)}

2) 2cos A sin B = sin(A + B) – sin(A – B)

cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)}

3) 2cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B)

cos A cos B = ½{cos(A + B) + cos(A – B)}

4) –2sin A sin B = cos(A + B) – cos(A – B)

sin A sin B = –½{cos(A + B) – cos(A – B)}

SOAL PENYELESAIAN 1. UAN 2003

Nilai dari oo

o

5040

10

coscos

cosadalah …

a. 3 b. 2 c. 1

d. 21

e. 41

Jawab : b

oo

o

50cos40cos

10cos

⇔ )}4050cos()5040{cos(

10cos

21 oooo

o

−++

⇔ 10cos90cos

10cos2

+

o

⇔ 10cos0

10cos2

+

o

= 2 ……………………………..(b)



C. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus, Kosinus dan Tangen

1) sin A + sin B = 2sin ½ (A + B) · cos ½(A – B)

2) sin A – sin B = 2cos½ (A + B) · sin ½(A – B)

3) cos A + cos B = 2cos½ (A + B) · cos ½(A – B)

4) cos A – cos B = –2sin½ (A + B) · sin½(A – B)

5) tan A + tan B = BA

BA

coscos

)sin( +

6) tan A – tan B = BA

BA

coscos

)sin( −


Nilai dari sin 75°– sin 165° adalah …

A. 24

1 D. 2

2

1

B. 34

1 E. 6

2

1

C. 64

1 Jawab : D

sin 75°– sin 165° =2cos½ (75 + 165)° · sin ½(75 –

165)°

= 2 cos 120° sin (–45)°

= )2()(2 21

21 −×−×

= 22

1 ………………………(D)

D. Sudut Rangkap

1) sin 2A = 2sinA·cosA

2) cos 2A = cos2A – sin2A

= 2cos2A – 1

= 1 – 2sin2A

3) tan 2A = A

A2tan1

tan2

−

4) Sin 3A = 3sin A – 4sin3A


Diketahui A sudut lancip dengan cos 2A = 31 .

Nilai tan A = …

a. 331

b. 221

c. 631

d. 552

e. 632

Jawab : b

cos 2A = 1 – 2sin2 A

31 = 1 – 2sin2 A

(2sin2 A = 1 – 31 =

32 ) × 2

1

sin2 A = 31

sin A = 3

1=

r

y ⇒ x = ( ) 22

13 − = 2

maka tan A = x

y =

2

1

= 221 ……………..…….(b)



E. Persamaan Trigonometri

1. sin xº = sin p x1 = p + 360k x2 = (180 – p) + 360k

2. cos xº = cos p x1 = p + 360k x2 = – p + 360k

3. tan xº = tan p x1 = p + 180k x2 = (180 + p) + 180k

4. Bentuk: A trig2 + B trig + C = 0 diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan kuadrat

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/A13 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x – 2sin x = 1; 0 ≤ x < 2π adalah….

A. {0, πππ 2,2

3, }

B. {0, πππ 2,2

4, }

C. {0, ππππ 2,,3

2, }

D. {0, ππ 2, }

E. {0,2

3,

ππ }

Jawab : A

cos 2x – 2sin x = 1 1 – 2 sin2 x – 2 sin x = 1 – 2 sin2 x – 2 sin x = 0 sin2 x + sin x = 1

sin x (sin x + 1) = 0

i) sin x = 0 x = {0, π, 2π}

ii) sin x + 1 = 0 sin x = –1

x = { π2

3}

Jadi, HP = {0, πππ 2,2

3, }

………..…….(A)



6. LOGIKA MATEMATIKA A. Negasi (Ingkaran) Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p

p ~ p B S S B

B. Operator Logika 1) Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “dan”.

p ∧∧∧∧ q : p dan q

2) Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “atau”. p ∨∨∨∨ q : p atau q

3) Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “Jika …, maka …”. p ⇒⇒⇒⇒ q : Jika p maka q

4) Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “… jika dan hanya jika …” p ⇔⇔⇔⇔ q : p jika dan hanya jika q

C. Nilai Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

premis 1 premis 2 konjungsi disjungsi implikasi biimplikasi P q P ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q B B B B B B B S S B S S S B S B B S S S S S B B

Kesimpulan: perhatikan nilai kebenaran yang tercetak tebal

1) Konjungsi akan bernilai benar (B), jika kedua premis benar, 2) Disjungsi akan bernilai salah (S), jika kedua premis salah 3) Implikasi akan bernilai salah (S), jika premis sebelah kiri benar (B) dan kanan salah (S) 4) Biimimplikasi akan bernilai benar (B), jika premis kiri dan kanan kembar

D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Bila terdapat bentuk implikasi p ⇒ q, maka diperoleh tiga pengembangannya sebagai berikut: Implikasi Invers Konvers Kontraposisi

p ⇒ q ~ p ⇒ ~ q q ⇒ p ~ q ⇒ ~ p Kesimpulan yang dapat diambil adalah: 1) invers adalah negasi dari implikasi 2) konvers adalah kebalikan dari implikasi 3) kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi

E. Pernyataan-Pernyataan yang Equivalen 1) implikasi ≡ kontraposisi : p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ~ p 2) konvers ≡ invers : q ⇒ p ≡ ~ p ⇒ ~ q 3) ~(p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q : ingkaran dari konjungsi 4) ~(p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q : ingkaran dari disjungsi 5) ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q : ingkaran dari implikasi 6) p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q 7) ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p) : ingkaran dari biimplikasi



F. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial • Kuantor Universal adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, notasinya “∀x” dibaca

“untuk semua nilai x” • Kuantor Eksistensial adalah suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, notasinya “∃x” dibaca

“ada nilai x” atau “beberapa nilai x”

• Ingkaran dari pernyataan berkuantor 1) ~(∀x) ≡ ∃(~x) 2) ~(∃x) ≡ ∀(~x)

G. Penarikan Kesimpulan Jenis penarikan kesimpulan ada 3 yaitu:

1) Modus Ponens 2) Modus Tollens 3) Silogisme (MP) (MT)

p ⇒ q : premis 1 p ⇒ q : premis 1 p ⇒ q : premis 1 p : premis 2 ~q : premis 2 q ⇒ r : premis 2 ∴q : kesimpulan ∴~p : kesimpulan ∴p ⇒ r : kesimpulan

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/A13 Negasi dari dari pernyataan : “Jika semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah maka Roy siswa teladan.”,adalah… A. Semua siswa SMA Mematuhi disiplin

sekolah dan Roy bukan siswa teladan B. Semua siswa SMA mematuhi disiplin

sekolah dan Roy siswa teladan C. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah

dan Roy bukan siswa teladan D. Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah

dan Roy siswa teladan E. Jika Siswa SMA disiplin maka Roy siswa

teladan Jawab : A

misal : p : siswa SMA mematuhi disiplin sekolah q : Roy siswa teladan sehingga pernyataan tersebut jika di sajikan dalam bentuk lambang menjadi ~(∀p ⇒ q) ≡ ∀p ∧ ~q ................................(A)

Semua siswa SMA Mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan

2. EBTANAS 2002 Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut adalah … P ⇒ q q ⇒ r ∴ …. a. p ∧ r b. p ∨ r c. p ∧ ~ r d. ~ p ∧ r e. ~ p ∨ r

Jawab : e

Jenis penarikan kesimpulannya adalah silogisme

P ⇒ q q ⇒ r ∴ p ⇒ r ≡ ~ p ∨ r ……………………(e)



7. DIMENSI TIGA A. JARAK

1) Garis Tegak Lurus Bidang Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang jika garis itu tegak lurus pada setiap garis di bidang itu.

2) Jarak Titik dan Garis

Jarak titik A dan garis g adalah panjang ruas garis AA’, dengan titik A’ merupakan proyeksi A pada g.

3) Jarak titik dan bidang

Jarak antara titik A dan bidang adalah panjang ruas garis AA’ dengan titik A’ merupakan proyeksi titik A pada bidang.

4) Jarak Antara Dua Garis Sejajar

Menentukan jarak dua garis sejajar adalah dengan membuat garis yang tegak lurus dengan keduanya. Jarak kedua titik potong merupakan jarak kedua garis tersebut.

5) Jarak Garis dan Bidang yang Sejajar

Menentukan jarak garis dan bidang adalah dengan memproyeksikan garis pada bidang. Jarak antara garis dan bayangannya merupakan jarak garis terhadap bidang.

6) Jarak Antar titik sudut pada kubus

CATATAN PENTING Pada saat menentukan jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis–garis bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga sehingga jarak yang ditanyakan akan dapat dengan mudah dicari.

diagonal sisi AC = 2a

diagonal ruang CE = 3a

ruas garis EO = 62

a

a b

a c

a cb +

Dalam segitiga siku-siku berlaku seperti di bawah ini

A B

C

D

AD =BC

ABCA×



SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/A13 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jarak titik H ke bidang ACF adalah….

A. 33

2

cm

B. 33

4

cm

C. 33

11

cm

D. 33

8

cm

E. 33

13

cm Jawab : D

OR = a = 4

FH = 2a = 24

OF = OH = 62

a= 6

2

4= 62

Sehingga

PH = OF

ORFH ×=

62

424 ×

= 3

8= 3

3

8……………(D)

B. SUDUT

1) Sudut Antara Garis dan Bidang Sudut antara garis dan bidang merupakan sudut antara garis dan bayangannya bila garis tersebut diproyeksikan pada bidang.

2) B. Sudut Antara Dua

Bidang Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus garis potong pada bidang α dan β

CATATAN PENTING Pada saat menentukan sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan titik potong antara dua obyek yang akan dicari sudutnya, kemudian buat garis-garis bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga.

A B

C

E F

H G

R O

F H

D

P

O R

4cm

P



SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012/B25

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α = ...

A. 21

B. 21

C. 31

D. 32

E. 43

Jawab : C

AE = a = 4 = 2 4

ER = ½ EG = ½ × 4 2 = 2 2

Diperoleh panjang AR = 26

Sehingga sin α = AR

ER =

62

22=

3

1

= 331 .............(C)

C. VOLUM BANGUN RUANG

SOAL PENYELESAIAN

2. UN 2011 PAKET 46 Limas segitiga T.ABCD dengan AB = 7 cm,

BC = 5cm, AC = 4 cm, dan tinggi = 5 cm. Volum limas T.ABC tersebut adalah …

a. 3035 cm3

b. 3034 cm3

c. 3032 cm3

d. 1532 cm3

e. 1531 cm3

Jawab: b

• Tentukan luas alas ABC

s = ½(4 + 7 + 5) = 8

L = )58)(78)(48(8 −−−

= 3148 ⋅⋅⋅

= 31442 ⋅⋅⋅⋅ = 64

• Volum = 31 L · t

= 31 · 64 · 5

= 3034 ………………………..(b)

A B

C

E F

H G

R E

A

D α

O

4cm

P α

R

A

B

C

T

7 cm 5 cm

4 cm

5 cm



8. STATISTIKA Ukuran Pemusatan Data

A. Rata-rata

1. Data tunggal: n

x...xxxX n321 ++++

=

2. Data terkelompok: Cara konvensional Cara sandi

∑

∑ ⋅=

i

ii

f

xfX c

f

ufsXX

i

ii

∑

∑ ⋅+=

Keterangan: f i = frekuensi kelas ke-i xi = Nilai tengah data kelas ke-i

sX = Rataan sementara , pilih xi dari data dengan fi

terbesar

ui = …, -2, -1, 0, 1, 2 … , disebut kode. 0 merupakan kode untuk sX c = panjang kelas interval

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2005 Berat badan dari 40 siswa dalam kg tercatat pada tabel di samping. Rataan berat badan tersebut adalah …

Berat (kg)

fi

35 – 39 4 40 – 44 11 45 – 49 12 50 – 54 7 55 – 59 4 60 – 64 2

a. 46,20 b. 47 c. 47,25 d. 47,50 e. 49,50

Jawab : c

Untuk menyelesaikannya, terlebih dahulu dibuat tabel distribusi frekuensinya

data xi fi ui fi·ui 35 – 39 4 -2 -8 40 – 44 11 -1 -11 45 – 49 47 12 0 0 50 – 54 7 1 7 55 – 59 4 2 8 60 – 64 2 3 6

Σ 40 2 c = 49,5 – 44,5 = 5

cf

ufsXX

i

ii

⋅+=

∑∑

= 47 + 540

2

= 47 + 104

10

×

= 47 + 0,25 = 47,25 …..……………………………..…(c)



2) Rataan Gabungan (penggabungan rata-rata 2 atau lebih kelompok data)

...

...

321

332211

++++⋅+⋅+⋅

=nnn

xnxnxnX g

dengan n1, n2, n3, … : banyaknya data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst

...,, 111 xxx : nilai rata-rata data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst


Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata kelas adalah 58. Jika rata-rata nilai matematika untuk siswa laki-laki 64 dan rata-rata untuk siswa perempuan 56, maka perbandingan banyak siswa laki-laki dan perempuan adalah … a. 1 : 6 b. 1 : 3 c. 2 : 3 d. 3 : 2 e. 3 : 4 Jawab : b

Kasus dalam soal ini berkaitan dengan rataan gabungan, karena ada dua kelompok data

21

2211

nn

xnxnX g

+⋅+⋅=

58 = ba

ba

+⋅+⋅ 5664

58(a + b) = 64a + 56b 58a + 58b = 64a + 56b 58b – 56b = 64a – 58a

{2b = 6a}× b6

1

b

a

b

b

6

6

6

2 =

b

a=3

1

Jadi, a: b = 1 : 3 …………………………….(b) Smart

L P

58

64 56

2 6

L : P = 2 : 6 = 1 : 3



2) Median Median adalah data yang berada tepat ditengah, setelah data tersebut diurutkan.

a. Data tunggal: x1, x2, x3, …, xn: median merupakan data ke ½(n + 1) atau Me = )1n(

21X +

b. Data terkelompok: Me = Q2

Q2 = cLQ

k

f

fNQ

∑+−

2

21

2

fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil fQ2 = Frekuensi kelas kuartil ke 2 N = Jumlah seluruh data LQ2 = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil ke 2 c = panjang kelas interval

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2010 PAKET B

Perhatikan tabel berikut! Data Frekuensi

10 – 19 2 20 – 29 8 30 – 39 12 40 – 49 7 50 – 59 3

Median dari data pada tabel adalah …

a. 34,5 + 10121016 ×−

b. 34,5 + 9121016 ×−

c. 29,5 + 9121016 ×−

d. 29,5 + 10121016 ×−

e. 38,5 + 10121016 ×−

Jawab: c

Untuk mencari nilai median atau kuartil ke-2 (Q2) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk)

Nilai f i fk 10 – 19 2 2 20 – 29 8 10 30 – 39 12 22 40 – 49 7 29 50 – 59 3 32

i) menentukan letak kuartil Median

XQ2 = N21 = 322

1 × = 16

Data ke-30 terletak di kelas ke-3, karena kelas ke- 3 memuat data ke-11 s.d data ke-22 Dari kelas ke-3 diperoleh data sbb: LQ2 = 30 – 0,5 = 29,5

N21 = XQ2 = 16,

∑ kf = 10

fQ2 = 12, c = 39,5 – 30,5 = 9

ii) Me = cLQ

k

f

fNQ

∑+−

2

21

2

Q2 = 29,5 + 912

1016

−………………….(c)

⇐ Kelas Me



3) Modus Modus adalah data yang sering muncul atau berfrekuensi terbesar.

� Data terkelompok: Mo = cL21

1

ddd

mo

+ +

Lmo = tepi bawah kelas modus d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya


Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut:

Kelas Frekuensi 20 – 29 3 30 – 39 7 40 – 49 8 50 – 59 12 60 – 69 9 70 – 79 6 80 – 89 5

Nilai modus dari data pada tabel adalah ...

A. 7405,49 − D. 7

405,49 +

B. 7365,49 − E. 7

485,49 +

C. 7365,49 + Jawab : D

kelas modus ada di kelas ke-4 karena memiliki frekuensi tertinggi yaitu 12 • Dari kelas ke-4 diperoleh data

Lmo = 50 – 0,5 = 49,5 c = 59,5 – 49,5 = 10 d1 = 12 – 8 = 4 d2 = 12 – 9 = 3

Mo = cL21

1

ddd

mo

+ +

= 49,5 + 1043

4

+

= 49,5 + 740 …………………………….(D)



4) Kuartil Kuartil adalah membagi bentangan data menjadi empat bagian sama panjang setelah data tersebut di urutkan dari yang terkecil (Xmin) sampai yang terbesar (Xmaks), seperti pada bagan di bawah ini.

Xmin, Q1, Q2, Q3, dan Xmaks disebut dengan

statistika 5 serangkai:

a. Data tunggal:

(i) Tentukan median (Q2) dengan cara membagi bentangan data menjadi dua bagian (ii) Q1 (kuartil bawah) merupakan median data bentangan sebelah kiri (iii) Q3 (kuartil atas) merupakan median data bentangan sebelah kanan

b. Data terkelompok

Qi = cLQi

k4i

f

fNQi

+

∑−

i = jenis kuartil (1, 2, atau 3) fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil fQi = Frekuensi kelas kuartil N = Jumlah seluruh data LQi = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil c = panjang kelas interval

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2009 PAKET A/B Perhatikan table berikut! Nilai kuartil atas (Q3) dari data yang disajikan adalah … Nilai Frek

40 – 49 7 50 – 59 6 60 – 69 10 70 – 79 8 80 – 89 9 Jumlah 40

a. 54,50 b. 60,50 c. 78,25 d. 78,50 e. 78,75

Jawab : c

Tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai f i fk

40 – 49 7 7 50 – 59 6 13 60 – 69 10 23 70 – 79 8 31 80 – 89 9 40

Σ 40 i) menentukan letak kuartil atas

XQ3 = N×4

3 = 40

4

3 × = 30

Data ke-30 terletak di kelas ke-4, karena kelas ke- 4 memuat data ke-24 s.d data ke-31 Dari kelas ke-4 diperoleh data sbb: LQ3 = 70 – 0,5 = 69,5

ni

4 = XQ3 = 30

∑ kf = 23

fQ3 = 8 c = 79,5 – 69,5 = 10

ii) Qi = cLQi

k4i

f

fNQi

+

∑−

Q3 = 69,5 + 108

2330

−

= 69,5 + 8

70 = 69,5 +

4

35

= 69,5 + 438

= 69,5 + 8,75

= 78,25 ………………………………..(c)

⇐ Kelas Q3



9. PELUANG A. Kaidah Pencacahan

1. Aturan perkalian Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat a1 cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap ke-n dapat terjadi dalam an cara yang berbeda, maka total banyaknya cara peristiwa tersebut dapat terjadi adalah a1 ×a2 ×a3 × ... ×an.


Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1,2,3,5,6,dan 7. Banyak susunan bilangan dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah … A. 20 B. 40 C. 80 D. 120 E. 360 Jawab : E

S = {1, 2, 3, 5, 6, 7} ⇒ n(s) = 6

Nilai tempat I II III IV 6 5 4 3 : 6×5×4×3 = 360…….(E)

Keterangan I. tempat ribuan ada 6 pilihan bilangan II. tempat ratusan ada 6 – 1 = 5 pilihan bilangan III. tempat puluhan ada 5 – 1 = 4 pilihan bilangan IV. tempat puluhan ada 4 – 1 = 3 pilihan bilangan

2. Permutasi

Permutasi adalah pola pengambilan yang memperhatikan urutan (AB ≠ BA), jenisnya ada 3, yaitu:

a) Permutasi dari beberapa unsur yang berbeda; )!kn(

!nPrn −

=

b) Permutasi dengan beberapa unsur yang sama; !n!n!n

!n,,P nnnn

111321= ,n1 + n2 + n3 + … ≤ n

c) Permutasi siklis (lingkaran); )!n(Psiklisn 1−=


Banyak susunan kata yang dapat di bentuk dari kata”WIYATA” adalah…. A. 360 kata B. 180 kata C. 90 kata D. 60 kata E. 30 kata Jawab : A

Kasus ini diselesaikan dengan metode permutasi berulang karena dari kata ”WIYATA” ada unsur yang sama yaitu: huruf A ada 2 S = {W, I, Y, A, T, A} ⇒ n(S) = 6

Sehingga P = !2

!6= 6 × 5 × 4 × 3 = 360 ………….(A)

3. Kombinasi Kombinasi adalah pola pengambilan yang tidak memperhatikan urutan (AB = BA).

Kominasi dari beberapa unsur yang berbeda adalah !r)!rn(

!nC rn ⋅−

=


Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan. Banyak pilihan yang harus diambil siswa tersebut adalah … a. 10 b. 15 c. 20 d. 25 e. 30 Jawab : b

Karena soal no. 1 s.d no. 4 harus dikerjakan maka siswa tinggal memilih 4 soal lagi dari 6 soal yang belum di tentukan, sehingga banyaknya cara memilih adalah:

4C6 = !4!2

!6

× =

!42

!456

×××

= 3 × 5 = 15 ………….(b)



B. Peluang Suatu Kejadian a) Kisaran nilai peluang : 0 ≤ P(A) ≤ 1

b) P(A) = )S(n

)A(n, n(A) banyaknya kejadian A dan n(S) banyaknya ruang sampel

c) Peluang komplemen suatu kejadian : P(Ac) = 1 – P(A) d) Peluang gabungan dari dua kejadian : P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) e) Peluang dua kejadian saling lepas : P(A∪B) = P(A) + P(B) f) Peluang dua kejadian saling bebas : P(A∩B) = P(A) × P(B)

g) Peluang kejadian bersyarat ( A dan B tidak saling bebas) : P(A/B) = )B(P

)BA(P ∩

CATATAN: Percobaan Melempar 2 Dadu Banyaknya kejadian pada pelemparan dua buah dadu dapat di sajikan dalam table berikut

2 3 4 5 6 7 Jumlah ke-2 mata dadu

12 11 10 9 8

Banyaknya kejadian 1 2 3 4 5 6

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/A13 Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau 7 adalah…

A. 9

1

B. 6

1

C. 18

5

D. 3

2

E. 9

5

Jawab : C

S = ruang sample kejadian melempar 2 dadu n(S) = 6 × 6 = 36 misal kejadian A = muncul mata dadu berjumlah 5 ⇒ n(A) = 4 B = muncul mata dadu berjumlah 7 ⇒ n(B) = 6 (lihat catatan untuk melihat jumlah n(A) atau n(B)) P(A ∪B) = P(A) + P(B)

= )(

)(

)(

)(

sn

Bn

sn

An + = 36

6

36

4 +

= 36

10 =

18

5…………(C)



10. LINGKARAN

A. Persamaan Lingkaran

1) Lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari–jarinya (r) (x – a)2 + (y – b)2 = r2

2) Bentuk umum persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Pusat (– ½ A, –½B) dan jari–jari: r = C)B()A( 2212

21 −+

3) Jarak titik P(x1,y1) terhadap garis ax + by + c = 0 adalah:

2211

ba

cbyaxr

+

++=

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran a) Garis singgung lingkaran: x2 + y2 = r2

x x1 + y y1 = r2

b) Garis singgung lingkaran : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2

c) Garis singgung lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0 xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0

2) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) di luar lingkaran, langkah–langkahnya: 1. Tentukan persamaan garis kutub = garis singgung lingkaran pada a) 2. Substitusikan persamaan garis kutub yang telah diperoleh ke persamaan lingkaran, maka akan

diperoleh dua buah titik singgung pada lingkaran. 3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui kedua titik yang telah diperoleh.

3) Garis singgung lingkaran dengan gradien m diketahui

� Garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m

y – b = m(x – a) ± r 1m2 +


Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ... A. x = 2 dan x = –4 B. x = 2 dan x = –2 C. x = –2 dan x = 4 D. x = –2 dan x = –4 E. x = 8 dan x = –10 Jawab : A

Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memiliki:

Pusat (–1, 3) dan jari–jari r = 9 = 3

Dipotong garis y = 3, dan melalui pusat lingkaran maka garis singgungnya adalah:

x = a – r = –1 – 3 = –4 dan

x = a + r = –1 + 3 = 2

jadi garis singgungnya adalah

x = 2 dan x = –4………………………..(A)



11. SUKU BANYAK

A. Teorema Sisa

1) F(x) = (x – b)· H(x) + S, maka S = F(b)

2) F(x) = (ax – b)· H(x) + S, maka S = F(ab )

3) F(x) : [(x – a)(x – b)], maka S(x) = (x – a)S2 + S1, dengan S2 adalah sisa pembagian pada tahap ke–2 Dengan H(x): Hasil pembagian dan S: sisa pembagian

B. Teorema Faktor

(x – b) adalah faktor dari f(x) bila S = f(b) = 0 C. Akar Rasional Persamaan Suku Banyak

Bentuk umum : axn + bxn –1 + cxn –2 + … + d = 0. Akar–akarnya adalah x1, x2, …, xn.

1) x1 + x2 + …+ xn = ab−

2) x1 · x2 · …· xn = ad (bila berderajat genap)

3) x1 · x2 · …· xn = ad− (bila berderajat ganjil)

4) x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 + … = ac


Suku banyak berderajat 3, Jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (5x – 2), Jika dibagi (x2 – 2x – 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut adalah … A. x3 – 2x2 + x + 4 B. x3 – 2x2 – x + 4 C. x3 – 2x2 – x – 4 D. x3 – 2x2 + 4 E. x3 + 2x2 – 4 Jawab : D

i) f(x) jika dibagi (x2 – x – 6) bersisa (5x – 2) f(x) = (x2 – x – 6)H(x) + (5x – 2)

= (x + 2)(x – 3)H(x) + (5x – 2) f(3) = 5(3) – 2 = 13

ii) f(x) jika dibagi (x2 – 2x – 3) bersisa (3x + 4) f(x) = (x2 – 2x – 3)H(x) + (3x + 4)

= (x + 1)(x – 3)H(x) + (3x + 4) f(3) = 3(3) + 4 = 13

cek poin: jawaban akan benar jika f(3) = 13 D. f(x) = x3 – 2x2 + 4

f(3) = 33 – 2⋅32 + 4 = 13 ................benar



12. FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

A. Domain Fungsi (DF)

1. F(x) = )x(f , DF semua bilangan R, dimana f(x) ≥ 0

2. F(x) = )x(g)x(f

, DF semua bilangan R, dimana g(x) ≠ 0

B. Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

1. (f og)(x) = f(g(x))

2. (f ogoh)(x) = f(g(h(x)))

3. (f og)– 1 (x) = (g– 1o f– 1)(x)

4. f(x) = dcx

bax

++

, maka f– 1(x) = acx

bdx

−+−

5. f(x) = alog x, maka f– 1(x) = ax 6. f(x) = ax, maka f– 1(x) = alog x

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/A13 Diketahui fungsi f(x) = 3x – 1, dan g(x) = 2x2 – 3. Komposisi fungsi (gοf)(x) = … A. 9x2 – 3x + 1 B. 9x2 – 6x + 3 C. 9x2 – 6x + 6 D. 18x2 – 12x – 2 E. 18x2 – 12x – 1 Jawab : E

f(x) = 3x – 1 g(x) = 2x2 – 3. (gοf)(x) = g(f(x))

= g(3x – 1) = 2(3x – 1)2 – 3 = 2(9x2 – 6x + 1) – 3 = 18x2 – 12x – 1 …………….(E)

2. EBTANAS 2002

Jika f(x) = 1x + dan (fog)(x) = 2 1x − , maka fungsi g adalah g(x) = … a. 2x – 1 b. 2x – 3 c. 4x – 5 d. 4x – 3 e. 5x – 4

Jawab : c

(fοg)(x) = f(g(x))

2 1−x = 1)( +xg ….. kuadratkan kedua ruas

4(x – 1) = g(x) + 1

4x – 4 – 1 = g(x)

4x – 5 = g(x) …………………………….(c)



13. LIMIT FUNGSI A. Limit fungsi aljabar

Jika 0

0

)(

)( =ag

af, maka

)(

)(lim

xg

xfax→

diselesaikan dengan cara sebagai berikut:

1. Difaktorkan, jika f(x) dan g(x) bisa difaktorkan

2. Dikalikan dengan sekawan pembilang atau penyebut jika f(x) atau g(x) berbentuk akar

3. Menggunakan dalil L’Hospital jika f(x) dan g(x) bisa di turunkan

� )a('g

)a('f

)x(g

)x(flim

ax=

→

Cara Cepat

1) .limedxc

bxax +−→

= .1

2 c

d

b ⋅×

−

2) .limfex

dcxbax −

+−→

= .2

1

be

c

⋅×

−


Nilai ....93

5lim

0=

+−→ x

xx

F. –30 G. –27 H. 15 I. 30 J. 36 Jawab : A

Cara biasa:

x

xx +−→ 93

5lim

0

⇔ x

x

x

xx ++

++×+−→ 93

93

93

5lim

0

⇔ )9(9

)93(5lim

0 x

xxx +−

++→

⇔ x

xxx −

++→

)93(5lim

0

⇔ )93(5lim0

xx

++−→

= )093(5 ++−

= –5(3 + 3) = –30 …………………..(A)

Cara cepat

x

xx +−→ 93

5lim

0=

1

32

1

5 ××

−

= –30



B. Limit fungsi trigonometri

1. b

a

bx

ax

bx

ax

xx==

→→ sinlim

sinlim

00

2. b

a

bx

ax

bx

ax

xx==

→→ tanlim

tanlim

00

Catatan

Identitas trigonometri yang biasa digunakan

a. 1 – cos A = )(sin2 212 A

b. xsin

1= csc x

c. xcos

1 = secan x

d. cos A – cos B = – 2 sin 21 (A + B) ⋅ sin 2

1 (A – B)

e. cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)}


Nilai ....2tan

2cos1lim

0=−

→ xx

xx

A. –2 D. 1 B. –1 E. 2 C. 0 Jawab : D

Cara Biasa

xx

xx 2tan

2cos1lim

0

−→

= xx

xxx 2tan

sinsin2lim

0

⋅→

= 21

112

⋅⋅⋅

= 1 ………………………..(D) Cara Cepat

xx

xx 2tan

2cos1lim

0

−→

= 21

2221

⋅⋅⋅

= 1



C. Limit Mendekati Tak Berhingga

1. ...dxcx

...bxaxlim

1mm

1nn

x ++++

−

−

∞→= p , dimana:

a. p = c

a, jika m = n

b. p = 0, jika n < m c. p = ∞, jika n > m

2. ( )dcxbaxlimx

+±+∞→

= q, dimana:

a. q = ∞, bila a > c b. q = 0, bila a = c c. q = –∞, bila a < c

3. a

qbrqxaxcbxaxlim

x 222 −=

++−++

∞→

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2009 PAKET A/B

Nilai x

xx

x 4

)9345lim

+−+∞→

= …

a. 0

b. 21

c. 1 d. 2 e. 4 Jawab : a

Soal ini bisa langsung dijawab tanpa perlu dihitung terlebih dahulu. Gunakan rumus C.2) Karena derajat pembilang < derajat penyebut, maka:

x

xx

x 4

)9345lim

+−+∞→

= 0 …………….(a)

2. EBTANAS 2002

Nilai )x5xx(lim2

x−−

∞→= …

a. 0 b. 0,5 c. 2 d. 2,5 e. 5 Jawab : d

)x5xx(lim2

x−−

∞→

⇔ )5(lim 22 xxxx

−−∞→

= 12

)5(0 −−

= 2

5

= 2,5 …………(d) …………lihat rumus C.3 …………………….



14. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus–Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:

1. y = u + v, ⇒ y’ = u’+ v’

2. y = c·u, ⇒ y’= c· u’

3. y = u·v, ⇒ y’= v· u’ + u· v’

4. y = v

u, ⇒ y’= (v· u’ – u· v’) : v2

5. y = un, ⇒ y’= n·un – 1 · u’

6. y = sin u, ⇒ y’= cos u· u’

7. y = cos u, ⇒ y’= – sin u·u’

8. y = tan u, ⇒ y’= sec2 u·u’

9. y = cotan u, ⇒ y’ = – cosec2 u·u’

10. y = sec u, ⇒ y’ = sec u· tan u·u’

11. y = cosec, u ⇒ y’ = –cosec u· cotan u·u’

Keterangan:

y' : turunan pertama dari y u’ : turunan pertama dari u v’ : turunan pertama dari v Identitas trigonometri yang banyak digunakan : 2sin u ⋅⋅⋅⋅ cos u = sin 2u

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2008 PAKET A/B

Diketahui f(x) = 3x3 + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f’(x), maka nilai f’(3) = … a. 85 b. 101 c. 112 d. 115 e. 125 Jawab : a

f(x) = 3x3 + 4x + 8

f’(x) = 9x2 + 4

f’(3) = 9(3)2 + 4

= 81 + 4

= 85 ……………………………………..(a)



B. Aplikasi turunan suatu fungsi

Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya:

1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f’(a)

Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan bergradien m adalah: y – b = m(x – a)

2) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0

3) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0

4) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0 SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/C37 Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya (4x2 – 8x + 24) dalam ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah … K. Rp16.000,00 L. Rp32.000,00 M. Rp48.000,00 N. Rp52.000,00 O. Rp64.000,00 Jawab : B

Fungsi berikut dalam satuan ribuan • biaya per unit : 4x2 – 8x + 24 sehingga biaya

total b(x) = (4x2 – 8x + 24)x = 4x3 – 8x2 + 24x

• pendapatan total p(x) = 40x • Keuntungan total

u(x) = p(x) – b(x) = 40x – (4x3 – 8x2 + 24x) = – 4x3 + 8x2 + 16x

• u(x) maksimal saat u’(x) = 0 u(x) = – 4x3 + 8x2 + 16x u’(x) = –12x2 + 16x + 16

0 = –3x2 + 4x + 4 0 = 3x2 – 4x – 4 = (3x + 2)(x – 2)

x = {3

2− , 2}

pilih x positif (jumlah barang TM negatif) sehingga dipilih x = 2 Jadi: u(2) = {– 4(2)3 + 8(2)2 + 16(2)}ribu

= 32.000 ..........................................(B) 2. EBTANAS 2002

Koordinat titik maksimum dan minimum dari grafik y = x3 + 3x2 + 4 berturut–turut adalah … a. (–2,4) dan (0,3) b. (0,3) dan (–2,4) c. (–2,6) dan (0,5) d. (0,4) dan (–2,8) e. (–2,8) dan (0,4)

Jawab : e

• nilai stasioner pada saat f’(x) = 0 f(x) = x3 + 3x2 + 4 f’(x) = 3x2 + 6x

0 = 3x(x + 2) x = {0, – 2}

• Nilai fungsi pada saat stasioner x = {0, – 2}

f(x) = x3 + 3x2 + 4 f(0) = (0)3 + 3(0)2 + 4 = 4 ………minimum ………………….titik (0,4) f(–2) = (–2)3 + 3(–2)2 + 4

= –8 + 12 + 4 = 8 ………maksimum ……………….titik (–2,8) …………………………………………….(e)



15. INTEGRAL (ANTI DIVERENSIAL)

A. Integral Tak Tentu

1) Rumus–Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri

1. ∫ dx = x + c

2. ∫ a dx = a ∫ dx = ax + c

3. ∫ xn dx = 11

1 ++

nn

x + c

4. ∫ sin ax dx = – a1 cos ax + c

5. ∫ cos ax dx = a1 sin ax + c

6. ∫ sec2 ax dx = a1 tan ax + c

7. ∫ [ f(x) ± g(x) ] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

Catatan

1. Identitas trigonometri yang biasa digunakan

a. 2sinA⋅cosB = sin(A + B) + sin(A – B)

b. –2sinA⋅sinB = cos(A + B) – cos(A – B)

c. sin2A = }2cos1{21 A−

d. cos2A = }2cos1{21 A+

e. sin 2A = 2sin A ⋅ cos A

2. Teknik Penyelesain Bentuk Integran

Jika bentuk integran : ∫ u v dx, dengan u dan v masing–masing adalah fungsi dalam variabel x Teknik pengintegralan yang bisa digunakan adalah:

a. Metode substitusi

jika u dan v memiliki hubungan, yaitu v dx = du

b. Metode Parsial dengan TANZALIN

Jika u dan v tidak memiliki hubungan, yaitu v dx ≠ du




Hasil dari ∫ +−−

72 )723(

13

xx

xdx =…..

A. Cxx

++− 72 )723(3

1

B. Cxx

++− 62 )723(4

1

C. Cxx

++− 62 )723(6

1

D. Cxx

++−

−62 )723(12

1

E. Cxx

++−

−72 )723(12

1

Jawab : D

Gunakan T.I. Substitusi karena derajat: (3x – 1) lebih rendah 1 tingkat dari (3x2 – 2x + 7)

• misal u = 3x2 – 2x + 7 maka

dx

du= 6x – 2 = 2(3x – 1)

∫ +−−

723

132 xx

xdx

⇔ ∫ (3x – 1) (3x2 – 2x + 7)– 7 dx........ (–7 + 1 = –6)

⇔ 62 )723()6()13(2

)13( −+−×−⋅−

−xx

x

x + C

⇔ 12

)723( 62

−+− −xx

+ C

⇔ Cxx

++−

−62 )723(12

1 …………………..(D)

2. UAN 2003

Hasil dx1xx∫ + = …

a. c1x)1x(1x)1x( 232

52 +++−++

b. c1x)2xx3( 2152 ++−+

c. c1x)4xx3( 2152 ++++

d. c1x)2xx3( 2152 ++−−

e. c1x)2xx( 252 ++−+

Jawab : b

Selesaikan dengan metode parsial karena x dx dan (x + 1) tidak memiliki hubungan

dx1xx∫ + = dxxx∫ + 21

)1(

U dv

x ( )21

1+x

1 211

)1(3

2 +x

0 212

)1(5

2

3

2 +× x

Turunkan sampai nol integralkan

Jadi:

dxxx∫ +1

⇔ cxxxxx +++−++ 1)1(1)1( 2154

32

⇔ cxxxx +++−+ 1})1(2)1(5{ 1522

⇔ cxxxxx ++++−+ 1)}12(255{ 15222

⇔ cxxxxx ++−−−+ 1)24255( 15222

⇔ cxxx ++−+ 1)23( 2152 …………….……(b)



2) Penggunaan Integral Tak Tentu Integral tak tentu di gunakan untuk mencari persamaan suatu kurva y = f(x) apabila diketahui turunan pertama dan sebuah titik pada kurva tersebut yaitu: f(x) = ∫f’(x) dx, dengan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x) atau:

y = ∫ dxdxdy , dengan

dxdy adalah turunan pertama y

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2004 Gradien garis singgung suatu kurva adalah

m = dxdy

= 2x – 3. kurva itu melalui titik (3,2).

Persamaan kurva tersebut adalah … a. y = x2 – 3x – 2 b. y = x2 – 3x + 2 c. y = x2 + 3x – 2 d. y = x2 + 3x + 2 e. y = x2 + 3x – 1

Jawab : b

• dxdy

= 2x – 3

dy = (2x – 3)dx y = ∫ (2x – 3)dx

= cxx +− 3222

= cxx +− 32

• Menentuan nilai c karena kurva melalui titik (3, 2), maka f(3) = 2

f(x) = cxx +− 32 f(3) = (3)2 – 3(3) + c 2 = 9 – 9 + c c = 2

Jadi, y = f(x) = 232 +− xx …………………(b)

B. INTEGRAL TENTU

Misalkan kurva y = f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b], maka luas daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, ditentukan dengan rumus:

L = ∫ −==b

a

ba aFbFxFdxxf )()()]([)( , dengan F(x) adalah integral (antidiferensial) dari f(x)

1) Integral Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/A13

Nilai dari ∫ =+−2

1

2 ....)54( dxxx

A. 6

33

B. 6

44

C. 6

55

D. 6

65

E. 6

77

Jawab : D

∫ +−2

1

2 )54( dxxx = 2

1

23 52

1

3

4

+− xxx

maka

F(2) = )2(5)2(2

1)2(

3

4 23 +− = 63

32 + = 3

50=

6

100

F(1) = )1(5)1(2

1)1(

3

4 23 +− = 2

9

3

4 + = 6

35

= 6

65

………………………………………………….(D)




Nilai dari ∫ +π

31

0

)cos32(sin dxxx = ...

A. 3243 +

B. 3343 +

C. )321(41 +

D. )321(42 +

E. )321(43 +

Jawab : E

∫ +π

31

0

)cos32(sin dxxx = π

3

1

0

sin32cos2

1

+− xx

maka

F( π31 ) = )sin(3)(2cos

2

131

31 ππ +−

= 32

13)

2

1(

2

1 ⋅+−⋅− = 32

3

4

1 +

F(0) = )0sin(3)0(2cos2

1 +− = 2

1−

= 32

3

4

3 +

= )321(43 + ...........(E)

2) Penggunan Integral Tentu

a) Untuk Menghitung Luas Daerah

a. Luas daerah L pada gb. 1

L = ∫b

a

dxxf )( ,

untuk f(x) ≥ 0

b. Luas daerah L pada gb. 2

L = –∫b

a

dxxf )( , atau

L = ∫b

a

dxxf )( untuk f(x) ≤ 0

c. Luas daerah L pada gb. 3

L = ∫ −b

a

dxxgxf )}()({ ,

dengan f(x) ≥ g(x)

CATATAN Jika luas hanya di batasi oleh dua kurva dan fungsinya berbentuk kuadrat, maka luas nya bisa di cari dengan menggunakan rumus:

L = 26a

DD, D = determinan persamaan kuadrat dari (f(x) – g(x))




Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 3 dan y = 3 – x adalah…

A. 6

41 satuan luas

B. 3

19 satuan luas

C. 2

9 satuan luas

D. 3

8 satuan luas

E. 6

11 satuan luas

Jawab : C

Luas daerah dibatasi hanya oleh dua kurva, maka luasnya bisa di cari dengan cara cepat

y1 = x2 – 4x + 3 y2 = – x + 3 _

y1 – y2 = x2 – 3x D = b2 – 4ac = 32 – 4(1)(0) = 9 Maka :

L = 26a

DD =

2)1(6

99

= 2

33 ⋅

= 2

9…………………………(C)

Sb) Untuk Menghitung Volume Benda Putar

V = ∫b

a

dxxf 2))((π atau V = ∫b

a

dxy2π V = ∫d

c

dyyg 2))((π atau V = ∫d

c

dyx2π

V = ∫ −b

a

dxxgxf )}()({( 22π atau V = ∫ −b

a

dxyy )( 22

21π V = ∫ −

d

c

dyygyf )}()({ 22π atau V = ∫ −d

c

dyxx )( 22

21π




Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 4x – 3 diputar 360° mengelilingi sumbu X adalah

A. π15

1113 satuan volume

B. π15

413 satuan volume

C. π15

1112 satuan volume

D. π15

712 satuan volume

E. π15

412 satuan volume

Jawab : E

• Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x2

y2 = 4x – 3 _ y1 – y1 = x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3) = 0

x = {1 , 3} Jadi, batas integralnya , bb = 1 dan ba = 3

y1 = x2 ⇒ 21y = x4

y2 = 4x – 3 ⇒ 22y = 16x2 – 24x + 9

21y – 2

2y = x4 – 16x2 + 24x – 9

• Volume benda putar mengelilingi sumbu X

V = π ∫ −+−3

1

24 )92416( dxxxx

= π [ ] 3

123

3165

51 912 xxxx −+−

F(3) = )3(9)3(12)3()3( 233

16551 −+− = 5

243 – 63

F(1) = )1(9)1(12)1()1( 233

16551 −+− = 3

1651 − + 3

= 5242 + 3

16 – 66 = 1599080726 −+ = 15

184− = 15412−

Jadi, V = π15

412

2. UN 2005 Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan y2 = 8x diputar 360º mengelilingi sumbu Y adalah ….

a. 254 π satuan volum

b. 354 π satuan volum

c. 454 π satuan volum

d. 554 π satuan volum

e. 954 π satuan volum

Jawab : c

Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka: (i) Batas Integral

y1 = y2

x2 = x8 x4 = 8x x4 – 8x = 0 x(x3 – 8) = 0 ⇒ x = {0 , 2} karena

y = x2, maka y = {0, 4}

Jadi, batas integralnya y = {0 , 4} (ii) volume benda putar mengelilingi sumbu Y

y = x2 x2 = y (y2 = 8x)2 ⇒ x2 =

64

4y= 4

34

1y

V = dyxxb

a∫ − )( 2

221π

= dyyy∫ −4

0

43

}4

1{π =

4

0

53

221

54

1yy

⋅−π

= π)}0()4(54

1)4({ 5

32

21 −

⋅−

= π}8{ 516− = π}38{ 5

1−

= 454 π………………..…..(c)



16. PROGRAM LINEAR A. Persamaan Garis Lurus

a. Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah:

y – y1 = m(x – x1)

b. Persamaan garis yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah :

)xx(xx

yyyy 1

12

121 −

−−

=−

c. Persamaan garis yang memotong sumbu X di (b, 0) dan memotong sumbu Y di

(0, a) adalah:

ax + by = ab

B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear Untuk menentukan daerah HP pertidaksamaan liniear ax + by ≤ c dengan metode grafik dan uji titik, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

1. Gambarkan garis ax + by = c

2. Lakukan uji titik, yaitu mengambil sembarang titik (x, y) yang ada di luar garis ax + by = c,

kemudian substitusikan ke pertidaksamaan ax + by ≤ c

3. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka HPnya adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c

4. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka HPnya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c

O

ax + by = c

Y

X

a

b

(0, a)

(b, 0)

(x, y)

titik uji

0 b

a

(b, 0) X

Y

(0, a)

0 x2

y2

(x1, y1)

X

Y

(x2, y2)

x1

y1

0 x1

y1 (x1, y1)

X

Y



C. Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum

I. Metode titik Uji 1) Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y)

2) Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum atau minimum

3) Pada gambar HP program linear, titik–titik sudut merupakan titik–titik kritis, dimana nilai minimum atau maksimum berada. Apabila sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua pertidaksamaan, maka titik–titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus digambar grafiknya.

Grafik HP untuk fungsi tujuan maksimum

Grafik HP untuk fungsi tujuan minimum

Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai berikut:

1. Pilih titik potong garis dengan sumbu Y atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q, 0) jika tujuannya maksimumkan atau yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya minimumkan

2. Titik potong antara kedua garis (x, y)

II. Metode garis selidik Misal fungsi tujuan adalah Z = rx + sy, ⇒ mz =

sr

Garis g: ax + by = ab, ⇒ mg = ba

Garis h: px + qy = pq, ⇒ mh = qp

• Fungsi tujuan minimum Perhatikan garis selidik (garis putus-putus) di bawah ini

mz ≤ mg ≤ mh

X Z Y

mg ≤ mz ≤ mh

X Z Y

mg ≤ mh ≤ mz

X Z Y

KESIMPULAN: lihat gradien yang ada di posisi Z Fungsi tujuan maksimum 1. mg di Z dan mz di X, nilai minimum ada pada titik potong garis g dengan sumbu X 2. mh di Z dan mz di Y, nilai minimum ada pada titik potong garis h dengan sumbu Y 3. mz di tengah, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dan garis h

0

a

X

Y

b g

HP p

q

h

(x,y)

(0,p)

(b,0)

0

a

X

Y

b g

HP p

q

h

(x,y)

(0,p)

(b,0)

0

a

X

Y

b g

HP p

q

h

(x,y)

(0,p)

(b,0)

0

a

X

Y

b g

HP p

q

h

(x,y)

(0,p)

(b,0)

Titik kritis ada 3: (0, p), (b, 0) dan

(x, y)

0

a

X

Y

b g

HP

p

q

h

(x,y) (0,a)

(q,0)

Titik kritis ada 3: (0, a), (q, 0) dan

(x, y)



• Fungsi tujuan maksimum Perhatikan garis selidik (garis putus-putus) di bawah ini

mz ≤ mg ≤ mh

X Z Y

mg ≤ mz ≤ mh

X Z Y

mg ≤ mh ≤ mz

X Z Y KESIMPULAN: Fungsi tujuan maksimum : Letaknya berkebalikan dengan fungsi tujuan minimum 1. mg di Z dan mz di X, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dengan sumbu Y 2. mh di Z dan mz di Y, nilai maksimum ada pada titik potong garis h dengan sumbu X 3. mz di tengah, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dan garis h


Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30 gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi,sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp800,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhab anak balita tersebut adalah… A. Rp12.000,00 B. Rp14.000,00 C. Rp18.000,00 D. Rp24.000,00 E. Rp36.000,00 Jawab : B

Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini

kapsul

(x) tablet (y)

kebutuhan

Kalsium 5 2 60 Zat Besi 2 2 30 Harga 1.000 800

• Sistem pertidaksamaannya adalah:

5x + 2y ≥ 60 ……………. ………Kalsium 2x + 2y ≥ 30……………...............Zat besi x ≥ 0, y ≥ 0 ………….jumlah barang tidak

mungkin negative, • Titik kritis daerah HP

Karena fungsi tujuannya minimum maka titik kritis pilih koordinat yang terbesar 1) Titik potong kurva dengan sumbu X dan sumbu Y

Persamaan Titik

potong dg sb Y

Titik potong dg sb X

5x + 2y = 60 (0,30) (12, 0) 2x + 2y = 30 (0, 15) (15,0) Titik kritis (0, 30) (15,0)

2) titik potong antara 2 kurva 5x + 2y = 60 2x + 2y = 30 _

3x = 30 x = 10

maka y = 5 jadi titik potongnya di (10,5)

• Nilai fungsi tujuan f(x, y) = 1.000 x + 800y f (0,30) = 0 + 800(30) = 24.000 f (15,0) = 1.000(15) + 0 = 15.000 f (10,5) = 1.000(10) + 800(5) = 14.000

Jadi, pengeluaran minimum = 14.000 ………...(B)

0

a

X

Y

b g

HP

p

q

h

(x,y) (0,a)

(q,0) 0

a

X

Y

b g

HP

p

q

h

(x,y) (0,a)

(q,0) 0

a

X

Y

b g

HP

p

q

h

(x,y) (0,a)

(q,0)



17. MATRIKS A. Transpose Matriks

Jika A =

dc

ba, maka transpose matriks A adalah AT =

db

ca

B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak

Jika A =

dc

ba, dan B =

nm

lk, maka A + B =

dc

ba+

nm

lk =

++++

ndmc

lbka

C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n

Jika A =

dc

ba, maka nA = n

dc

ba =

dncn

bnan

D. Perkalian Dua Buah Matriks

� Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B (Am×n × Bp×q, jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q.

� Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen–elemen baris A dengan kolom B.

Jika A =

dc

ba, dan B =

pon

mlk, maka

A × B =

dc

ba×

pon

mlk =

++++++

dpcmdocldnck

bpamboalbnak

E. Matriks Identitas (I)

� I =

10

01

� Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I×A = A×I = A

F. Determinan Matriks berordo 2×2

Jika A =

dc

ba, maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) =

dc

ba= ad – bc

Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar

1. det (A ± B) = det(A) ± det(B)

2. det(AB) = det(A) × det(B)

3. det(AT) = det(A)

4. det (A–1) = )det(

1

A



G. Invers Matriks

� Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila A×B = B×A = I, dengan demikian A adalah

invers matriks B atau B adalah invers matriks A.

Bila matriks A =

dc

ba, maka invers A adalah:

−−

−==−

ac

bd

bcad

1)A(Adj

)A(Det

1A 1 , ad – bc ≠ 0

� Sifat–sifat invers dan determinan matriks

1) (A×B)–1 = B–1 ×A–1

2) (B×A)–1 = A–1 ×B–1

H. Matriks Singular

matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama

dengan nol

I. Persamaan Matriks

Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut:

1) A × X = B ⇔ X = A–1 × B

2) X × A = B ⇔ X = B × A–1


Diketahui matriks A =

−15

3 y,

B =

− 63

5x, dan C =

−−9

13

y.

Jika A + B – C =

−− 4

58

x

x,

maka nilai x + 2xy + y adalah ... A. 8 B. 12 C. 18 D. 20 E. 22 Jawab : E

A + B – C =

−15

3 y+

− 63

5x–

−−9

13

y

=

−+−−−++++

96135

1533

y

yx

−− 4

58

x

x=

−−++42

66

y

yx

dari kesamaan di atas diperoleh: • 6 + x = 8 ⇒ x = 2 • 5x = y + 6

5(2) = y + 6 y = 4

jadi, x + 2xy + y = 2 + 2(2)(4) + 4 = 22 ……………………….(E)

2. UN 2011 PAKET 46

Diketahui matriks A =

53

21 dan

B =

−41

23. Jika At adalah transpose dari

matriks A dan AX = B + At, maka determinan matriks X = … a. 46 b. 33 c. 27 d. –33 e. –46 Jawab : b

• C = B + At

=

−41

23+

52

31=

93

14

• det(C) = 4(9) – (3)(1) = 33 • det(A) = 1(5) – 3(2) = –1 • A X = C

X = A–1C

det(X) = )det(

1

A det(C)

= )det(

)det(

A

C=

1

33

− = –33 …………..(b)



18. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri

1. Ruas garis berarah

AB = b – a

2. Sudut antara dua vektor adalah θ

3. Bila AP : PB = m : n, maka:

B. Vektor Secara Aljabar

1. Komponen dan panjang vektor: a =

3

2

1

a

a

a

= a1i + a2j + a3k;

|a| = 23

22

21 aaa ++

2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:

a ± b =

3

2

1

a

a

a

±

3

2

1

b

b

b

=

±±±

33

22

11

ba

ba

ba

; ka = k

3

2

1

a

a

a

=

3

2

1

ka

ka

ka

C. Dot Product

Apabila diketahui a =

3

2

1

a

a

a

dan b =

3

2

1

b

b

b

, maka:

1. a · b = |a| |b| cos θ

= a1b1 + a2b2 + a3b3

2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3

3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos θ = |a|2 + |b|2 + 2 a · b

4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos θ = |a|2 + |b|2 – 2 a · b

5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0

D. Proyeksi Vektor

1. Proyeksi skalar ortogonal Panjang vektor proyeksi b pada a

|p| = |a|ba ⋅

2. Vektor proyeksi ortogonal : vektor proyeksi b pada a

p = a|a|

ba2

⋅⋅




Diketahui vektor ;

6

3

4

;

1

2

−=

−= b

p

arr

dan

−=3

1

2

cr

. Jika ar

tegak lurus br

,

maka hasil dari )2( barr − � )3( c

r adalah…

A. 171 B. 63 C. –63 D. –111 E. –171 Jawab : E

Karena ar

tegak lurus br

, maka ar�br

= 0

• ar�br

= (p 2 –1)�(4 –3 6) = 4p – 6 – 6 = 4p – 12 = 0

4p = 12 p = 3

sehingga ar

= (p 2 –1) = (3 2 –1)

• barr

2− = (3 2 –1) – 2(4 –3 6) = (3 2 –1) – (8 –6 12) = (–5 8 –13)

• cr

3 = 3(2 –1 3) = (6 –3 9)

• )2( barr − � )3( c

r = (–5 8 –13)� (6 –3 9) = –30–24–107 = –171 ……………………….(E)

2. EBTANAS 2002 Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º. Maka | 3a + 2b | = … a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13

Jawab : b

|3a + 2b|2 = |3a|2 + |2b|2 + 2|3a||2b| cos θ

= (3⋅2)2 + (2⋅3)2 + 2(3⋅2)(2⋅3)cos 120°

= 36 +36 + 2 ⋅ 36 ⋅ )( 21−

= 36 + 36 – 36

= 36

|3a + 2b| = 36 = 6 ……………………….(b)



19. TRANSFORMASI

A. Translasi (Pergeseran) ; T =

b

a

+

=

b

a

y

x

'y

'x atau

−

=

b

a

'y

'x

y

x

B. Refleksi (Pencerminan)

1. Bila M matriks refleksi berordo 2 × 2, maka:

=

y

xM

'y

'x atau

=

−'y

'xM

y

x 1

2. Matriks M karena refleksi terhadap sumbu X, sumbu Y, garis y = x, dan garis y = – x dapat dicari dengan proses refleksi titik–titik satuan pada bidang koordinat sbb:

Msb x Msb y My = x My = – x

−10

01

−10

01

01

10

−−01

10

depan tetap

belakang negasi belakang tetap depan

negasi dibalik dibalik dinegasi

3. Refleksi terhadap garis y = n dan x = k

a. A(x,y) → =nyM A’(x’, y’) = A’(x, – y + 2n)

ordinat di negasi + 2n

b. A(x,y) → =kxM A’(x’, y’) = A’(–x + 2k, y)

absis di negasi + 2k C. Rotasi (Perputaran)

R[O, θ] R[O, 90°] R[O, –90°]

−=

y

x

y

x

θθθθ

cossin

sincos

'

'

−=

y

x

y

x

01

10

'

'

−=

y

x

y

x

01

10

'

'

dibalik depan dinegasi dibalik belakang dinegasi

D. D[O, k] Dilatasi (Perbesaran) dengan Faktor Pengali k dan pusat di O

=

y

xk

y

x

'

' ⇒

=

'

'1

y

x

ky

x

0

Y

X (x, y)

(–y, x)

90° 0

Y

X (x, y)

(y, –x)

–90°

0

Y

X

(x, y)

(–y, –x)

y = –x

0

Y

X

(x, y)

(y, x) y = x

0

Y

X

(x, y) (–x, y)

0

Y

X (x, y)

(x, – y)



E. Komposisi Transformasi

P(x, y) → →

sr

qp

dc

ba

P’(x’, y’) ; maka

=

y

x

dc

ba

sr

qp

'y

'x

F. Luas Hasil Transformasi

1. Luas bangun hasil translasi, refleksi, dan rotasi adalah tetap.

2. Luas bangun hasil transformasi

dc

baadalah: L’ =

dc

baL ×

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012/A13 Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 4 bila dicerminkan terhadap garis x = 2

dilanjutkan dengan translasi

−4

3 adalah…

A. x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0 B. x2 + y2 + 2x – 8y + 13 = 0 C. x2 + y2 – 2x + 8y + 13 = 0 D. x2 + y2 + 2x + 8y + 13 = 0 E. x2 + y2 + 8x – 2y + 13 = 0 Jawab : A

Misal titik (x,y) ada pada l, maka:

T1 = (x, y) xnegasiabsis

xM

2

2

+

=(–x + 4, y)

T2 = (–x + 4, y)

−=

4

3T

(–x + 4 – 3 , y + 4)

= (–x +1 , y + 4) = (x’, y’)

jadi: x’ = –x + 1 ⇒ x =1 – x’ y’ = y + 4 ⇒ y = y’ – 4

diperoleh: l : x2 + y2 = 4 l’ : (1 – x’)2 + (y’ – 4)2 = 4

x2 + y2 – 2x – 8y + 1 + 16 – 4 = 0 x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0 …………………(A)

2. EBTANAS 2002 Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah … a. y = x + 1 b. y = x – 1 c. y = ½x – 1 d. y = ½x + 1 e. y = ½x – ½

Jawab : c

T = My = x : dibalik

y = 2x + 2 → =xyMx = 2y + 2

2y = x – 2

y = 21 x – 1 ……………(c)



20. BARISAN DAN DERET

A. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI

U1, U2, U3, … ,Un adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut

Barisan Ciri utama Rumus suku ke-n Suku tengah Sisipan k bilangan

Aritmetika Beda b = Un – Un – 1 Un = a + (n – 1)b

Ut = 21 (a + U2k – 1) ,

k letak suku tengah,

banyaknya suku 2k–1

bbaru = 1k

xy

+−

Geometri Rasio r = 1−n

n

U

U Un = arn–1 Ut = nUa ⋅ ,

dengan t = ½(n + 1)

rbaru = 1kxy+

Catatan :

1. x dan y adalah dua buah bilangan yang akan di sisipkan k buah bilangan

2. U1 = a = suku pertama suatu barisan

3. Pada barisan aritmetika berlaku Um – Uk = (m – k)b

B. DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI

U1 + U2 + U3 + … + Un adalah penjumlahan berurut (deret) suatu barisan dengan ciri khusus sbb

Deret Jumlah n suku pertama

Aritmetika

Sn = 21 n(a + Un) ……………jika a dan Un

diketahui

= 21 n(2a + (n – 1)b) …………..jika a dan b diketahui

Geometri

Sn = 1

)1(

−−

r

ra n

………………… jika r > 1

= r

ra n

−−

1

)1(…………………jika r < 1

Catatan:

1. Antara suku ke-n dan deret terdapat hubungan yaitu :

• Un = Sn – Sn – 1 • U1 = a = S1

2. Terdapat deret takhingga suatu barisan geometri yaitu:

• r1

aS

−=∞




Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2 + 5n. Suku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah… A. 44 D. 38 B. 42 E. 36 C. 40 Jawab : A

Cara Biasa Sn = n2 + 5n

S2 = 22 + 5(2) = 14 U1 = S1 = 12 + 5(1) = 6 _

S2 – S1 = U2 = 8

b = U2 – U1 = 8 – 6 = 2 U20 = a + 19b

= 6 + 19(2) = 44 ………………………(A) Cara Cepat : Sn = n2 + 5n ⇒ Un = 2n + (5 – 1)

= 2n + 4 U20 = 2(20) + 4

= 44 2. UAN 2003

Jumlah sepuluh suku pertama deret log 2 + log 6 + log 18 + log 54 + … adalah … a. 5 log(4·310) b. 5 log(2·39) c. log(4·310) d. log(4·345) e. log(45·345)

Jawab : e

• a = log 2

• b = log 6 – log 2 = )log(26 = log 3

• Sn = 21 n (2a + (n – 1)b)

S10 = 21 · 10(2·log 2 + 9 log 3)

= 5(2·log 2 + 9 log 3) = 5(log 22 + log 39) = 5log (4 ·39) = log (4 ·39)5 = log(45 ·345) ………………………….(e)



21. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

A. Persamaan Eksponen Untuk a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1, maka berlaku

1. Jika af(x) = ap, maka f(x) = p

2. Jika af(x) = ag(x), maka f(x) = g(x)

3. Jika af(x) = bf(x), maka f(x) = 0

4. Jika {h(x)}f(x) = {h(x)} g(x), maka

a) f(x) = g(x)

b) h(x) = 1

c) h(x) = 0 untuk f(x) > 0 dan g(x) > 0

d) h(x) = – 1 untuk f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap

5. Jika { } { } 0CaBaA )x(f2)x(f =++ , maka dapat diselesaikan secara persamaan kuadrat.


Fungsi eksponen yang sesuai dengan grafik berikut adalah ... A. f(x) = 2x D. f(x) = 3x + 1 B. f(x) = 2x+1 E. f(x) = 3x C. f(x) = 2x + 1 Jawab : C

Gunakan cek point Fungsi melalui titik (0,2), (1, 3), maka f(0) = 2, dan f(1) = 3 Jawaban yang benar adalah (C)

f(x) = 2x + 1 i) f(0) = 20 + 1 = 1 + 1 = 2 ⇒ f(0) = 2 ii) f(1) = 21 + 1 = 2 + 1 = 3 ⇒ f(1) = 3

2. EBTANAS 2002

Nilai x yang memenuhi 1x23 + = 9x – 2 adalah … a. 2

b. 2½

c. 3

d. 4

e. 4½

Jawab : e

1x23 + = 9x – 2

⇔ )12(

21

3+x

= 32(x – 2)

⇔ { )12(21 +x = 2(x – 2)} × 2

⇔ 2x + 1 = 4(x – 2) ⇔ 2x + 1 = 4x – 8 ⇔ 4x – 2x = 1 + 8 ⇔ 2x = 9

⇔ x = 214 …………………………..(e)

1

2 3

–2 –1 0 1 2 3

(1,3) (0,2

X

Y



B. Pertidaksamaan Eksponen � Untuk a > 1

1. Jika af(x) > ag(x), maka f(x) > g(x)

2. Jika af(x) < ag(x), maka f(x) < g(x)

� Jika 0 < a < 1

1. Jika af(x) > ag(x), maka f(x) < g(x)

2. Jika af(x) < ag(x), maka f(x) > g(x)


Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x + 1 + 9 – 28⋅3x > 0, x ∈ R adalah… A. x > –1 atau x > 2 B. x < –1 atau x < 2 C. x < 1 atau x > 2 D. x < –1 atau x > 2 E. x > –1 atau x < –2 Jawab : D

32x + 1 + 9 – 28⋅3x > 0

⇔ 3(3x)2 – 28⋅3x + 9 > 0 ⇔ 3

1 {(3 ⋅3x – 1) (3⋅3x – 27)} > 0

⇔ (3⋅3x – 1)(3x – 9) > 0 Pembentuk nol: i) 3⋅3x – 1 = 0

3x = 31 = 3– 1

x = – 1

ii) 3x – 9 = 0 3x = 9= 32 x = 2

Jadi, pembentuk nol x = {–1, 2}

karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau……...(D)

A. Persamaan Logaritma Untuk a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0, g(x) > 0

1. Jika alog f(x) = alog p, maka f(x) = p

2. Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x)


Nilai x yang memenuhi persamaan

1log)3log( 2

122

1

−=−− xx adalah … a. x = –1 atau x = 3 b. x = 1 atau x = –3 c. x = 1 atau x = 3 d. x = 1 saja e. x = 3 saja Jawab : a

1log)3log( 2

122

1

−=−− xx

⇔ 122

2

1

2log)3

log( −=−x

x

⇔ 2log)3

log( 22

2 −=−−x

x

⇔ 232

=−x

x

⇔ x2 – 3 = 2x ⇔ x2 – 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 3) = 0

x = {–1, 3} ……………………………..(a)

Tanda Pertidaksamaan berubah

Tanda Pertidaksamaan tetap



B. Pertidaksamaan Logaritma � Untuk a > 1

1. Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) > g(x)

2. Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) < g(x)

� Jika 0 < a < 1

1. Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) < g(x)

2. Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) > g(x)

SOAL PENYELESAIAN 1. EBTANAS 2002

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan xlog9 < xlog x2 adalah … a. {x | x ≥ 3}

b. {x | 0 < x < 3}

c. {x | 1 < x < 3}

d. {x | x > 3}

e. {x | 1 < x ≤ 3} Jawab : D

xlog9 < xlog x2

(i) syarat numerus x > 0, x ≠ 1

(ii) pertidaksamaan 9 < x2

⇔ {9 – x2 < 0} × (–1) ⇔ x2 – 9 > 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) > 0

Pembentuk nol x = {–3, 3}

berdasarkan persyaratan pada poin (i) maka HP = {x | x > 3}………………………..(d)

Tanda Pertidaksamaan berubah

Tanda Pertidaksamaan tetap

MATERI UN 2013 bahan UN 2014

Documents

Transcript of MATERI UN 2013 bahan UN 2014