Materi Un Ips 2013

Karyanto, S.Pd

RINGKASAN MATERI UJIAN NASIONAL 2013

(Cuplikan SIAP UN IPS)

MATEMATIKA SMA PROGRAM IPS

Copyright@ http://www.soalmatematik.com 2O12

Di ijinkan memperbanyak untuk kepentingan pendidikan dan tetap mencantumkan alamat penerbit http://www.soalmatematik.com

MATERI UN MATEMATIKA IPS 2013 http://www.soalmatematik.com

Pembahasan lengkapnya ada pada SIAP UN 1

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ................................................................................................................................1

1. Pangkat , Akar dan Logaritma ..............................................................................................2

2. Fungsi Kuadrat.......................................................................................................................5

3. Sistem Persamaan Linear.....................................................................................................12

4. Logika Matematika..............................................................................................................14

5. Statistika ..............................................................................................................................17

6. Peluang ................................................................................................................................23

7. Fungsi Komposisi Dan Invers..............................................................................................28

8. Limit Fungsi.........................................................................................................................29

9. Turunan Fungsi....................................................................................................................30

10. Integral.................................................................................................................................32

11. Program Linear ....................................................................................................................34

12. Matriks.................................................................................................................................39

13. Barisan Dan Deret................................................................................................................43



1. PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA A. Pangkat Rasional

1) Pangkat negatif dan nol

Misalkan a ∈ R dan a ≠ 0, maka:

a) a–n = na

1atau an =

na−1

b) a0 = 1

2) Sifat–Sifat Pangkat

Jika a dan b bilangan real serta n, p, q bilangan bulat positif, maka berlaku:

a) ap × aq = ap+q

b) ap : aq = ap–q

c) ( )qpa = apq

d) ( )nba × = an×bn

e) ( )n

n

b

an

ba =

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012 IPS/A13

Bentuk sederhana dari

2

23

35

4

2

−

−

yx

yxadalah ….

A. 16

10

4x

y

B. 16

2

2x

y

C. 4

2

4x

y

D. 16

10

2x

y

E. 16

2

4x

y

Jawab : A

2

23

35

4

2

−

−

yx

yx……………………..sifat 1a

2

53

23

2

⋅⋅⇔

xx

yy……………………..sifat 2a

2

53

23

2

⇔

+

+

x

y

2

8

5

2

⇔

x

y…………………..……..sifat 2c

16

10

4x

y⇔ ……………………..……..(A)

2. UN BHS 2009 PAKET A/B Nilai x yang memenuhi persamaan

243327115 =−x adalah …

a. 103

b. 51

c. 101

d. 101−

e. 103−

Jawab : c

2433 27115 =−x

⇔ 53

15 33

13 =−x

⇔ 25

333 315 ⋅= −−x

⇔ 212315 33

+−− =x

⇔ 21

33 15 −− =x

⇔ 2115 −=−x

⇔ 5x = 121 +− =

21

⇔ x = 52

1⋅ =

101 ……………………….(c)



B. Bentuk Akar

1) Definisi bentuk Akar

Jika a bilangan real serta m, n bilangan bulat positif, maka berlaku:

a) n aa n =1

b) n maa nm

=

2) Operasi Aljabar Bentuk Akar

Untuk setiap a, b, dan c bilangan positif, maka berlaku hubungan:

a) a c + b c = (a + b) c

b) a c – b c = (a – b) c

c) ba × = ba×

d) ba + = ab)ba( 2++

e) ba − = ab)ba( 2−+

3) Merasionalkan penyebut

Untuk setiap pecahan yang penyebutnya mengandung bilangan irrasional (bilangan yang tidak

dapat di akar), dapat dirasionalkan penyebutnya dengan kaidah–kaidah sebagai berikut:

a) b

ba

b

b

ba

ba =×=

b) ba

bac

ba

ba

bac

bac

−

−−−

++=×=

2

)(

c) ba

bac

ba

ba

bac

bac

−−

−−

++=×= )(

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012 BHS/A13

Bentuk sederhana dari 53

4

+adalah …

A. 3 + 5

B. 3 – 5

C. 5 – 3

D. 5 + 4

E. 4 + 5 Jawab : B

53

4

+ ………………………….. rumus 3b

Sekawan (3 + 5 ) adalah (3 – 5 ) sehingga

53

4

+=

53

)53(42 −−

= 59

)53(4

−−

= 4

)53(4 −= 3 – 5 ……………..(B)

2. UN BHS 2010 PAKET B

Hasil dari 1275 − = …

a. 3

b. 2 3

c. 3 3

d. 4 3

e. 5 3 Jawab : c

1275 − = 34325 ×−×

= 5 3 – 2 3

= 3 3 …………………….(c)



C. Logaritma

a) Pengertian logaritma

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif (a

> 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0, g ≠ 1), maka: glog a = x jika hanya jika gx = a

atau bisa di tulis :

(1) untuk glog a = x ⇒ a = gx

(2) untuk gx = a ⇒ x = glog a

b) sifat–sifat logaritma sebagai berikut:

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012 IPS/C37

Jika 3log 2 = p, maka 8log 81 adalah …. A. 4p B. 3p

C. p3

4

D. 3

4p

E. 4+3p Jawab : D

8log 81 = 42 3log3

= 3log3

4 2

= p

1

3

4 ⋅

= p3

4……………………(D)

2. UN 2012 BHS/A13 Bentuk sederhana dari 3log 81 + 3log 9 – 3log 27 adalah … A. 3log 3 B. 3log 9 C. 3log 27 D. 3log 63 E. 3log 81 Jawab : C

3log 81 + 3log 9 – 3log 27 ………..sifat 2,3

⇔

×27

981log3 =

××27

9327log3

= 3log 27 ……………..(C)

3. UN BHS 2009 PAKET A/B Nilai dari 2log 3 – 2log 9 + 2log 12 = … a. 6 b. 5 c. 4 d. 2 e. 1 Jawab : d

2log 3 – 2log 9 + 2log 12

⇔ 2log ( )9123× = 2log 4

= 2log 22 ………………sifat 1, 4 = 2 2log 2 = 2 × 2log 2 = 2 × 1= 2 ………………….(d)

(5) glog g = 1

(6) glog (a × b) = glog a + glog b

(7) glog ( )ba = glog a – glog b

(8) glog an = n × glog a

(9) glog a = glog

alogp

p

(1) glog a = glog

1a

(2) glog a × alog b = glog b

(3) mg alogn

= nm glog a

(4) ag alogg=



2. FUNGSI KUADRAT

A. Persamaan Kuadrat

1. Bentuk umum persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

2. Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b2 – 4ac

3. Akar–akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus:

a2

Dbx 2,1

±−=

4. Pengaruh determinan terhadap sifat akar:

a. Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda

b. Bila D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional

c. Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar–akar)

5. Jumlah, selisih dan hasil kali akar–akar persaman kuadrat

Jika x1, dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:

a. Jumlah akar–akar persamaan kuadrat : abxx −=+ 21

b. Selisih akar–akar persamaan kuadrat : a

Dxx =− 21 , x1 > x2

c. Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat : ac

21 xx =⋅

d. Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar–akar persamaan kuadrat

1) 22

21 xx + = )(2)( 21

221 xxxx ⋅−+ = ( ) ( )

ac

ab 2

2 −− = 2

2 2

a

acb −

2) 32

31 xx + = ))((3)( 2121

321 xxxxxx +⋅−+ = ( ) ( )( )

ab

ac

ab −− − 3

3 =

3

3 3

a

abcb +−

3) 21

11

xx+ =

21

21

xx

xx

⋅+

= acab−

= c

b−

4) 22

21

11

xx+ =

22

21

22

21

xx

xx

⋅+

=2

21

212

21

)(

2)(

xx

xxxx

⋅⋅−+

=

2

2

2

2 2

ac

aacb −

= 2

2 2

c

acb −

Catatan:

Jika koefisien a dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, bernilai 1, maka

1. x1 + x2 = – b

2. Dxx =− 21 , x1 > x2

3. x1 ⋅ x2 = c



SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012 IPS/D49

Diketahui x1 dan x2 adalah akar–akar persamaan x2 – 3x – 4 = 0 dan x1 > x2. Nilai 2x1 + 5x2 = ….

A. 22 B. 18 C. 13 D. 3 E. –22

Jawab : D

Gunakan metode pemfaktoran 1 x2 – 3x – 4 = 0

(x + 1)(x – 4) = 0 x = {–1, 4}

karena x1 > x2, maka x1= 4, x2 = –1, 2x1 + 5x2 = 2(4) + 5(–1)

= 8 – 5 = 3 ……………….(D) 2. UN 2012 BHS/B25

Jika persamaan kuadrat px2 + 30x + 25 = 0 mempunyai akar–akar sama, maka nilai p = … A. 10 D. 7 B. 9 E. 6 C. 8 Jawab : B

Persamaan kuadrat memiliki 2 akar sama jika D = 0 Persamaan : px2 + 30x + 25 = 0 memiliki a = p, b = 30, c = 25 sehingga: D = b2 – 4ac = 302 – 4(p)(25)

0 = 900 – 100p …… semua suku dibagi 100

0 = 9 – p p = 9 ………………………...(B)

3. UN 2009 BAHASA PAKET A/B

Persamaan kuadrat x2 + (2m – 2)x – 4 = 0 mempunyai akar–akar real berlawanan. Nilai m yang memenuhi adalah …. a. –4 b. –1 c. 0 d. 1 e. 4

Jawab : d

• Persamaan x2 + (2m – 2)x – 4 = 0, memiliki nilai a = 1, b = 2m – 2, dan c = – 4

• Akar–akar nya saling berlawanan, maka: x1 = – x2 ⇒ x1 + x2 = 0

x1 + x2 = a

b−

0 = –(2m – 2) 0 = 2m – 2 2m = 2 m = 1 ………………………….(d)

B. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika diketahu x1 dan x2 adalah akar–akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka persamaan

kuadrat baru yang dengan akar–akar α dan β, dimana α = f(x1) dan β = f(x2) dapat dicari dengan cara

sebagai berikut:

1. Menggunakan rumus, yaitu:

x2 – (α + β)x + α β = 0

catatan :

Pada saat menggunakan rumus ini harus Anda harus hafal rumus :

a. ab

21 xx −=+

b. ac

21 xx =⋅

2. Menggunakan metode invers, yaitu jika α dan β simetri, maka persamaan kuadrat baru adalah:

0)()( 121 =++ −− cba ββ , dengan β–1 invers dari β

catatan:

Pada saat menggunakan metode invers Anda harus hafal rumus: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

–4

–3 – 1 4 ×

=




Misalkan x1 dan x2 adalah akar –akar persamaan x2 – 3x – 4 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya 2x1 dan 2x2 adalah …. A. x2 + 6x – 16 = 0 B. x2 – 6x – 16 = 0 C. x2 + 6x + 16 = 0 D. 2x2 – 6x – 16 = 0 E. 2x2 + 6x – 16 = 0 Jawab : B

Cara I Gunakan rumus jumlah dan hasil kali

1x2 – 3x – 4 = 0

(x + 1)( x – 4) = 0 x = {–1, 4}

misal α = 2x1 = 2(–1) = –2 β = 2x2 = 2(4) = 8

persamaan kuadrat baru: x2 – (α + β)x + α β = 0

⇔ x2 – (–2 + 8)x + (–2)(8)= 0 ⇔ x2 – 6x – 16= 0 ………………………..(B) Cara II : metode invers Misal α = 2x

x = α2

1 substitusi ke persamaan awal

persamaan kuadrat baru:

x2 – 3x – 4 = 0 ⇒ ( α2

1)2 – 3( α

2

1) – 4 = 0

4( 42

3

4

1 2 −− αα = 0)

α 2 – 6α – 16 = 0

2. UN 2008 BAHASA PAKET A/B

Persamaan kuadrat yang akar–akarnya 31 dan 2

adalah … a. 3x2 – 7x + 2 = 0 b. 3x2 + 7x + 2 = 0 c. 3x2 + 7x – 2 = 0 d. 3x2 – 7x + 7 = 0 e. 3x2 – 7x – 7 = 0

Jawab : a

Persamaan kuadrat di cari menggunakan rumus • Akar–akar persamaan kuadrat

x1 = 31 dan x2 = 2

• Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat

• x1 + x2 = 31 + 2 =

36

31 + =

37

(ii) x1 · x2 = 31 · 2 =

32

• Persamaan kuadrat x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0

x2 – 37 x +

32 = 0 ……… kedua ruas dikali 3

3x2 – 7x + 2 = 0 ………………………….(a)

–4

–3 – 1 4 ×

=



• Fungsi kuadrat

1. Bentuk umum fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c, a ≠ 0

2. Pengaruh determinan terhadap bentuk grafik fungsi kuadrat adalah:

D a > 0 (fungsi minimum) a < 0 (fungsi maksimum)

D > 0

Grafik memotong sumbu X di dua titik

Grafik memotong sumbu X di dua titik

D = 0

Grafik menyinggung sumbu X

Grafik menyinggung sumbu X

D < 0

Grafik tidak menyinggung sumbu X

Grafik tidak menyinggung sumbu X

• Bagian–bagian grafik fungsi kuadrat

a) Persamaan sumbu simetri : a

bex

2−=

b) Nilai ekstrim fungsi : a

Dey

4−=

c) Koordinat titik balik/ekstrim : (a

b2

− ,a

D4

− )


Grafik fungsi f(x) = x2 + 8x + 12 memotong sumbu X pada titik … A. (2, 0) dan (6, 0) B. (0, 2) dan (0, 6) C. (–2, 0) dan (–6, 0) D. (–2, 0) dan (–6, 6) E. (0, –2) dan (0, –6) Jawab : D

Kurva memotong sumbu X saat y = f(x) = 0, maka 0 = x2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6)

x = {–2, –6} Jadi titik potongnya di (–2, 0) dan (–6, 0) …....(D)



SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2012 IPS /B25

Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat

232 2 −+= xxy dengan sumbu X dan sumbu Y berturut–turut adalah ….

A. (0,2

1), (2, 0), dan (0, –2)

B. (0,2

1), (2, 0), dan (0, 2)

C. (2

1, 0), (–2, 0), dan (0, –2)

D. (2

1, 0), (2, 0), dan (0, –2)

E. (2

1− , 0), (–2, 0), dan (0, –2)

Jawab : C

i) Kurva memotong sumbu X saat y = f(x) = 0, 0 = 2x2 + 3x – 2 = (x + 2)(2x – 1)

x = {–2, 2

1}

∴titik potong dengan sumbu X di (–2, 0), (2

1, 0)

ii) Kurva memotong sumbu Y saat x = 0, y = 2(0)2 + 3(0) – 2 = –2

∴titik potong dengan sumbu Y di (0, –2) sehingga jawaban yang benar adalah ……. (C)

3. UN 2012 BHS/A13 Koordinator titik balik grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x2 + 8x + 6 adalah … A. (2, 2) B. (2, –2) C. (–2, 2) D. (–2, –2) E. (–2, 0) Jawab : D

f(x) = 2x2 + 8x + 6, maka a = 2, b = 8, dan c = 6

xe = a

b

2

−=

)2(2

8−=

4

8−= –2

ye = f(xe) = 2(–2)2 + 8(–2) + 6 = 8 – 16 + 6 = –2

Jadi, titik baliknya di (xe, ye) = (–2, –2) ……..(D)

4. UN 2011 IPS PAKET 46 Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = 3x2 + 12x – 15, adalah … a. x = –2 d. x = 5 b. x = 2 e. x = 1 c. x = –5 Jawab : a

Fungsi kuadrat y = 3x2 + 12x – 15 Memiliki nilai a = 3, b = 12, dan c = –15, maka persamaan sumbu simetri

x = a

b2

− = )3(2

12− = 612− = –2 ……………….(a)



D. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2011 BAHASA PAKET 12 Persamaan grafik fungsi dari gambar berikut adalah …

a. y = x2 – 2x – 8 b. y = –x2 + 2x + 8

c. y = 21 x2 – x – 4

d. y = – 21 x2 + x + 4

e. y = x2 + x – 4 Jawab : d

Cara I. Karena grafik melalui 3 titik yaitu (x1, 0) = (–2,0), (x2, 0) = (4,0) serta melalui titik(x, y) = (0, 4), maka gunakan rumus: y = a(x – x1) (x – x2) (i) tentukan nilai a

4 = a(0 –(–2))(0 – 4) 4 = a(2)(–4) 4 = –8a

a = – 21

(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – x1) (x – x2)

= – 21 (x + 2)(x – 4)

= –21 (x2 –2x – 8) = –2

1 x2 + x + 4 …......(d)

Cara II. Cek point Karena grafik melalui titik (0, 4), sehingga kemungkinan jawaban yang benar hanya (d) karena fungsi kuadrat memiliki nilai c = 4

2. UN 2010 IPS PAKET A/B Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai titik ekstrim (–1, 4) dan melalui titik (0, 3) adalah … a. y = –x2 + 2x – 3 b. y = –x2 + 2x + 3 c. y = –x2 – 2x + 3 d. y = –x2 – 2x – 5 e. y = –x2 – 2x + 5 Jawab : c

Karena grafik memiliki titik ekstrim (xe, ye) = (–1, 4) dan melalui titik (x, y) = (0, 3), maka gunakan rumus: y = a(x – xe)2 + ye (i) tentukan nilai a

y = a(x – xe)2 + ye 3 = a(0 + 1)2 + 4 3 – 4 = a a = –1

(ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – xe)2 + ye

= –1 (x + 1)2 + 4 = – (x2 + 2x + 1) + 4 = – x2 – 2x – 1 + 4 = – x2 – 2x + 3 ….(c)

Cara II. Cek Point

Karena grafik melalui titik (0, 3), sehingga kemungkinan jawaban yang benar (b) dan (c) karena fungsi kuadrat memiliki nilai c = 3

cek jawaban (b) terhadap titik (–1, 4),

y = –x2 + 2x + 3 ⇒ –(–1)2 + 2(–1) + 3 –1 – 2 + 3 = 0 ………(salah) seharusnya 4

jadi, jawaban yang benar adalah (c)

X –2

Y

(0,4)

4

2. Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik (x1, 0), (x2, 0), dan melalui sebuah titik tertentu (x, y):

X (x1, 0)

(x, y)

0 y = a(x – x1) (x – x2)

(x2, 0)

Y

1. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (xe, ye) dan sebuah titik tertentu (x, y):

X

(xe, ye)

(x, y)

0 y = a(x – xe)

2 + ye

Y



E. Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah

ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, dan ax2 + bx + c > 0

Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku)

2. Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x1 dan x2 (cari nilai akar–akar persamaan kuadratnya)

3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya:

No Pertidaksamaan Daerah HP penyelesaian Keterangan

a >

Hp = {x | x < x1 atau x > x1}

b ≥

Hp = {x | x ≤ x1 atau x ≥ x1}

• Daerah HP (tebal) ada di tepi, menggunakan kata hubung atau

• x1, x2 adalah akar–akar persaman

kuadrat ax2 + bx + c = 0

c <

Hp = {x | x1 < x < x2}

d ≤

Hp = {x | x1 ≤ x ≤ x2}

• Daerah HP (tebal) ada tengah

• x1, x2 adalah akar–akar persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012 IPS/B25

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

01282 ≤+− xx adalah …. A. { }26 −≤≤− xx

B. { }62 ≤≤− xx

C. { }26 ≤≤− xx

D. { }62 ≤≤ xx

E. { }121 ≤≤ xx

Jawab : D

Pertidaksaman : x2 – 8x + 12 ≤ 0 Pembentuk nol : x2 – 8x + 12 = 0

⇔ (x – 2)(x – 6) = 0 x = {2, 6}

Karena tanda pertidaksamaannya ≤, maka HP ada di tengah ………………..…..(D)

2. UN 2012 IPS/A13 Penyelesaian pertidaksamaan 2x2 + 5x – 3 > 0 adalah …. A. x < –3 atau x > 2

1

B. x < –3 atau x ≥ 21

C. x ≤ –3 atau x > 21

D. –3< x < 21

E. 21 < x < 3

Jawab : A

Pertidaksaman : 2x2 + 5x – 3 > 0 Pembentuk nol : 2x2 + 5x – 3 = 0

⇔ (x + 3)(2x – 1) = 0 x = {–3, 2

1 }

Karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi dengan kata hubung < atau > ……………………………..…..(A)

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + +

x1 x2

+ + + – – – + + +



3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1) Bentuk umum :

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

2) Dapat diselesaikan dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan determinan.

3) Metode determinan:

D = 22

11

ba

ba= a1b2 – a2b2;

Dx = 22

11

bc

bc; Dy =

22

11

ca

ca;

x = D

Dx ; y = D

Dy

B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

1) Bentuk umum :

=++=++

=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

2) Dapat diselesaikan dengan metode eliminasi bertingkat dan determinan.

3) Metode determinan:

D =

333

222

111

cba

cba

cba

=

= (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) –

(a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)

Dx =

333

222

111

cbd

cbd

cbd

; Dy =

333

222

111

cda

cda

cda

; Dz =

333

222

111

dba

dba

dba

;

x = D

Dx ; y = D

Dy; z =

D

Dz

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012 BHS/A13 Jika (xo, yo) merupakan penyelesaian system persamaan linear 3x – y = 14 dan 2x + y = 6, maka nilai xo – yo = … A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 E. 2 Jawab : B

Gunakan metode eliminasi dan substitusi 3x – y = 14 …………….(1) 2x + y = 6__ + …………(2)

5x = 20

x= 5

20= 4 ……… substitusikan ke (2)

2(4) + y = 6 8 + y = 6

y = 6 – 8 = –2 jadi, xo – yo = 4 – (–2)

= 4 + 2 = 6 ……………………….(B)



SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2010 IPS PAKET B

Diketahui m dan n merupakan penyelesaian dari sistem persamaan:

=+=+

832

1723

yx

yx nilai m + n = …

a. 9 b. 8 c. 7 d. 6 e. 5 Jawab : e

Kedua persamaan langsung di jumlahkan, tanpa harus di cari nilai x dan y 3x + 2y = 17 2x + 3y = 8 + 5x + 5y = 25 x + y = 5 Jadi, m + n = 5 …………………………………..(e)

3. UN 2012 IPS/B25 Wati membeli 4 donat dan 2 coklat seharga Rp6000,00. Tari membeli 3 donat dan 4 coklat dengan harga RP10.000,00. Jika Andi membeli sebuah donat dan coklat dengan membayar Rp5.000,00, maka uang kembalian Andi adalah …. A. Rp2.200,00 B. Rp2.400,00 C. Rp2.600,00 D. Rp2.800,00 E. Rp4.600,00 Jawab : B

Misal : harga 1 kue donat = x harga 1 kue coklat = y

W: 4x + 2y = 6.000 | ÷2| 2x + y = 3.000 ………………….(1)

T : 3x + 4y = 10.000 + ………………….(2) 5x + 5y = 13.000 | ÷5| …………………(1) + (2)

A : x + y = 2.600 Jadi, uang kembaliannya = 5.000 – 2.600

= 2.400 ………………(B)



4. LOGIKA MATEMATIKA A. Negasi (Ingkaran) Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p

p ~ p B S S B

B. Operator Logika 1) Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “dan”.

p ∧∧∧∧ q : p dan q

2) Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “atau”. p ∨∨∨∨ q : p atau q

3) Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “Jika …, maka …”. p ⇒⇒⇒⇒ q : Jika p maka q

4) Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “… jika dan hanya jika …” p ⇔⇔⇔⇔ q : p jika dan hanya jika q

C. Nilai Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

premis 1 premis 2 konjungsi disjungsi implikasi biimplikasi P q p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q B B B B B B B S S B S S S B S B B S S S S S B B

Kesimpulan: perhatikan nilai kebenaran yang tercetak tebal

1) Konjungsi akan bernilai benar (B), jika kedua premis benar, 2) Disjungsi akan bernilai salah (S), jika kedua premis salah 3) Implikasi akan bernilai salah (S), jika premis sebelah kiri benar (B) dan kanan salah (S) 4) Biimimplikasi akan bernilai benar (B), jika premis kiri dan kanan kembar

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2011 IPS PAKET 12

Nilai kebenaran pernyataan majemuk (~p⇒q) ∨ ~q, pada tabel berikut adalah … p q (~p⇒q) ∨ ~q B B … B S … S B … S S … a. S B S B b. B B B S c. B S B B d. BB B B e. B B S S Jawab : d

• Operator ⇒ bernilai salah jika kiri benar dan kanan salah

• Operator ∨ bernilai salah jika keduanya salah • Untuk mempermudah penyelesaian buat kolom

“~p” p ~p q (~p⇒q) ∨ ~q B S B B B S B S S B B B S B B B B S S B S S B B

Jadi, nilai kebenarannya adalah B B B B ….….(d)



D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Bila terdapat bentuk implikasi p ⇒ q, maka diperoleh tiga pengembangannya sebagai berikut:

Implikasi Invers Konvers Kontraposisi p ⇒ q ~ p ⇒ ~ q q ⇒ p ~ q ⇒ ~ p

Kesimpulan yang dapat diambil adalah: 1) invers adalah negasi dari implikasi 2) konvers adalah kebalikan dari implikasi 3) kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi

E. Pernyataan-Pernyataan yang Equivalen 1) implikasi ≡ kontraposisi : p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ~ p 2) konvers ≡ invers : q ⇒ p ≡ ~ p ⇒ ~ q 3) ~(p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q : ingkaran dari konjungsi 4) ~(p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q : ingkaran dari disjungsi 5) ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q : ingkaran dari implikasi 6) p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q 7) ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p) : ingkaran dari biimplikasi

F. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial • Kuantor Universal adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, notasinya “∀x” dibaca

“untuk semua nilai x” • Kuantor Eksistensial adalah suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, notasinya “∃x” dibaca

“ada nilai x” atau “beberapa nilai x”

• Ingkaran dari pernyataan berkuantor 1) ~(∀x) ≡ ∃(~x) 2) ~(∃x) ≡ ∀(~x)


Diketahui p dan q suatu pernyataan. Pernyataan yang setara dengan ( )qpp ~∨⇒ adalah …. A. ( )qpp ∨⇒ ~~

B. ( )qpp ∧⇒ ~~

C. ( )qpp ~~~ ∨⇒

D. ( ) pqp ~~ ⇒∧

E. ( ) pqp ~~ ⇒∨ Jawab : D

p ⇒ (p ∨ ~q) …………………. rumus E1

≡ ~ (p ∨ ~q) ⇒ ~p ……….……….. rumus E4 ≡ (~p ∧ q) ⇒ ~p ………………………………(D)



G. Penarikan Kesimpulan Jenis penarikan kesimpulan ada 3 yaitu:

1) Modus Ponens 2) Modus Tollens 3) Silogisme (MP) (MT)

p ⇒ q : premis 1 p ⇒ q : premis 1 p ⇒ q : premis 1 p : premis 2 ~q : premis 2 q ⇒ r : premis 2 ∴q : kesimpulan ∴~p : kesimpulan ∴p ⇒ r : kesimpulan

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012 BHS/A13 Diketahui premis–premis sebagai berikut: 1. “Jika Toni rajin belajar maka Toni lulus ujian”. 2. “Jika Toni lulus ujian maka ibunya bahagia”. Kesimpulan yang sah dari premis tersebut adalah … A. Toni tidak rajin belajar atau ibunya tidak bahagia B. Toni tidak rajin belajar dan ibunya tidak bahagia C. Toni rajin belajar dan ibunya bahagia D. Jika Toni rajin belajar maka ibunya bahagia E. Jika Toni tidak rajin belajar maka ibunya tidak

bahagia Jawab : D

misal : p : Toni rajin belajar q : Toni lulus ujian r : ibunya bahagia sehingga premis-premis tersebut jika di tulis dalam bentuk lambang adalah:

1. p → q 2. q → r_

∴p → r ……………………….........(D) Jika Toni rajin belajar maka ibunya bahagia

2. UN 2009 BAHASA PAKET A/B Diketahui ; Premis 1 : Jika hujan deras maka lapangan banjir Premis 2 : jika lapangan banjir maka kita tidak main

bola.

Dari kedua premis tersebut dapat ditarik kesimpulan yang sah adalah … a. Jika hujan deras maka kita boleh bermain bola b. Jika hujan deras maka kita tidak bermain bola c. Jika lapangan banjir maka hujan deras d. Jika lapangan tidak banjir maka tidak hujan e. Jika kita main bola maka lapangan tidak banjir Jawab : b

Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam kalimat matematika adalah: Premis 1 : p ⇒ q Premis 2 : q ⇒ ~r ………….silogisme Kesimpulan : p ⇒ ~r p ⇒ ~r ≡ Jika hujan deras maka kita tidak bermain

bola ……………..………..(b)

silogisme



5. STATISTIKA A. Membaca Sajian Data dalam Bentuk Diagram


Diagram lingkaran disamping adalah hasil perhitungan suara dalam pemilukada di TPS 10. Jika pemilih yang hadir sejumlah 540 orang, pemenangnya memperoleh suara terbanyak sama adalah…. A. 162 orang

B. 176 orang

C. 183 orang

D. 187 orang

E. 189 orang

Jawab : E

• % PS IV = 100% – (30 + 20 + 5 + 10)%

= 100% – 65%

= 35%

• Buruh = %100

% IVPS× jumlah pemilih

= %100

%35× 540

= 189…… …………………..(E)

2. UN 2008 IPS PAKET A/B Komposisi mata pencaharian penduduk desa Jati Makmur seperti pada gambar berikut. Jika tercatat jumlah penduduk 45.000 orang, maka banyak penduduk yang bermata pencaharian pedagang adalah …orang a. 2.500 b. 5.000 c. 7.500 d. 9.000 e. 12.000 Jawab : d

Pedagang = o360

Pedagang∠× jumlah penduduk

= 000.45360

72 ×°°

= 000.453610

362 ×°×°×

= 000.4510

2 ×

= 9.000 ……..………………..(d)

20%

PS I 5%

10% PS IV

PS III PS II

Gugur

30%



B. Ukuran Pemusatan Data 1. Rata–rata

a. Data tunggal: n

x...xxxX n321 ++++

=

b. Data terkelompok: Cara konvensional Cara sandi

∑

∑ ⋅=

i

ii

f

xfX

∑∑ ⋅

+=i

ii

f

dfsXX

f i = frekuensi kelas ke–I xi = Nilai tengah data kelas ke–i

sX = Rataan sementara = xi

dari data dengan fi terbesar

di = …, –2c, –c, 0, c, 2c … , disebut kode. 0 merupakan kode untuk letak sX c = panjang kelas interval

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012 BHS/A13 Rataan hitung dari berat badan siswa pada tabel berikut adalah …

Berat bersih (kg) Frekuensi 31 – 35 1 36 – 40 4 41 – 45 3 46 – 50 2

A. 41 kg B. 42 kg C. 43 kg D. 44 kg E. 45 kg Jawab : A

Gunakan cara sandi Guna mempermudah perhitungan, asumsikan nilai rata–rata ada pada kelas ke–2 yaitu |36 – 40| (kelas dengan frek. terbesar), sehingga diperoleh: • titik tengah kelas 2 : xs = ½(36 + 40) = 38 • panjang kelas ke 2 : c = 40,5 – 35,5 = 5 • Jumlah fi : ∑f i dan jumlah (fi × di) : ∑f i di,

gunakan tabel untuk menghitungnya Kelas xi fi di fi di

1 1 –5 –5 2 38 4 0 0 3 3 5 15 4 2 10 20

Jumlah 10 30

∑∑ ⋅

+=i

iis f

dfxX = 38 +

10

30

= 41 ……………...………..(A)

2. UN 2011 IPS PAKET 12 Rata–rata dari data yang disajikan dengan histogram berikut adalah …

a. 41,375 b. 42,150 c. 43,125 d. 43,135 e. 44,250 Jawab: c

Gunakan cara sandi Berdasarkan diagram di samping diketahui bahwa jumlah kelas ada 6, guna mempermudah perhitungan, asumsikan nilai rata–rata ada pada kelas ke–3 (kelas dengan frek. terbesar), sehingga diperoleh: • titik tengah kelas 3 : xs = ½(44,5 + 39,5) = 42 • panjang kelas ke 3 : c = 44,5 – 39,5 = 5 • Jumlah fi = ∑fi dan jumlah (fi × di) = ∑fi di,

gunakan tabel untuk menghitungnya Kelas fi di fi di

1 5 –10 –50 2 7 –5 –35 3 12 0 0 4 9 5 45 5 4 10 40 6 3 15 45

Jumlah 40 45

∑∑ ⋅

+=i

ii

f

dfsXX

= 42 + ( )4045

= 42 + 1,125 = 43,125…………….….(c)

29,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 34,5

5 3

4

9

12

7

Berat Badan

Fre

kuen

si



2. Rataan Gabungan (penggabungan rata–rata 2 atau lebih kelompok data)

...

...

321

332211

++++⋅+⋅+⋅

=nnn

xnxnxnX g

dengan n1, n2, n3, … : banyaknya data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst

...,, 111 xxx : nilai rata–rata data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2008 BAHASA PAKET A/B

Rata–rata upah 10 orang pekerja Rp70.000,– perhari. Jika upah ketua kelompok pekerja itu juga dihitung maka rata–ratanya menjadi Rp71.000,–. Upah ketua kelompok pekerja itu perhari adalah … a. Rp78.500,00 b. Rp79.000,00 c. Rp80.000,00 d. Rp80.500,00 e. Rp81.000,00

Jawab : e

Soal ini merupakan permasalahan yang berkaitan dengan rataan gabungan karena ada 2 rata–rata kelompok data yaitu rata–rata gajih 10 orang dan gajih ketua kelompok.

21

2211

nn

xnxnX g

+⋅+⋅

=

71.000 = 1101000.7010

+×+× x

71.000 = 11000.700 x+ …. Kedua ruas dikali 11

700.000 + x = 71.000 × 11 x = 781.000 – 700.000

= 81.000

3. Modus Modus adalah data yang sering muncul atau berfrekuensi terbesar.

� Data terkelompok: Mo = cL21

1

ddd

mo

+ +

Lmo = tepi bawah kelas modus d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya


Nilai Matematika 40 siswa disajikan dalam tabel berikut. Modus dari data pada tabel berikut adalah … A. 70,8

B. 72,5

C. 73,5

D. 74,8

E. 75,5

Jawab : C

• kelas modus ada di kelas |71 – 80| karena memiliki frekuensi tertinggi yaitu 13

• dari kelas |71 – 80| diperoleh data

Lmo = 71 – 0,5 = 70,5 c = 80,5 – 70,5 = 10 d1 = 13 – 10 = 3 d2 = 13 – 6 = 7

Mo = cL21

1

ddd

mo

+ +

= 70,5 + 1073

3

+

= 70,5 + 1010

3

= 70,5 + 3 = 73,5 ………………………(C)

Nilai Frekuensi 41 – 50 2 51 – 60 5 61 – 70 10 71 – 80 13 81 – 90 6 91 – 100 4



C. Ukuran Letak Data 1. Median Median adalah data yang berada tepat ditengah, setelah data tersebut diurutkan.

a. Data tunggal: x1, x2, x3, …, xn: median merupakan data ke ½(n + 1) atau Me = )1n(

21X +

b. Data terkelompok: Me = Q2 2. Kuartil

Kuartil adalah membagi bentangan data menjadi empat bagian sama panjang setelah data tersebut di urutkan dari yang terkecil (Xmin) sampai yang terbesar (Xmaks), seperti pada bagan di bawah ini.

Xmin, Q1, Q2, Q3, dan Xmaks disebut dengan statistika 5 serangkai

a. Data tunggal:

(i) Tentukan median (Q2) dengan cara membagi bentangan data menjadi dua bagian (ii) Q1 (kuartil bawah) merupakan median data bentangan sebelah kiri (iii) Q3 (kuartil atas) merupakan median data bentangan sebelah kanan

b. Data terkelompok

Qi = cLQi

k4i

f

fNQi

+

∑−

i = jenis kuartil (1, 2, atau 3) fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil fQi = Frekuensi kelas kuartil N = Jumlah seluruh data LQi = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012 IPS/A13 Nilai median dari data yang disajikan dalam histogram berikut adalah ….

A. 18,83 B. 18,33 C. 17,83 D. 17,50 E. 17,33 Jawab : C

Histogram di samping jika di sajikan dalam bentuk tabel adalah sbb:

Kelas ke

Tepi bawah

f fk

1 3,5 2 2 2 8,5 5 7 3 13,5 15 22 4 18,5 10 5 23,5 5 6 28,5 3

Jumlah 40 • Menentukan letak kelas median

XQ2 = ni ×4

= 404

2 × = 20

Data ke–20 terletak di kelas ke–3, karena kelas ke– 3 memuat data ke–8 s.d data ke–22 Dari kelas ke–3 diperoleh data sbb: LQ2 = 13,5 c = 18,5 – 13,5 = 5 fQ2 = 15

ni

4 = XQ2 = 20

∑ kf = 7

• Qi = cLQi

k4i

f

fNQi

+

∑−

Q2 = 13,5 + 515

720

−

= 13,5 +

3

13 = 13,5 + 4,33

= 17,83……………(C)

0 2 3 5

10

15

3,5 8,5 13,5 18,5 23,5 28,5 33,5

Frekuensi



C. Ukuran Penyebaran Data 1. Jangkauan atau Rentang (R) R = Xmaks – Xmin

Dengan Xmaks : statistik maksimum atau data yang terbesar Xmin : statistik minimum atau data yang terkecil

2. Hamparan atau Rentang Antar Kuartil atau Jangkauan Antar Kuartil (H) H = Q3 – Q1 Dengan Q1 : kuartil pertama atau kuartil bawah

Q3 : kuartil ketiga atau kuartil atas

3. Simpangan Kuartil atau Rentang Semi Antarkuartil (Qd)

Qd = )( 1321 QQ −

4. Simpangan Rata–Rata (Sr)

a. Data tunggal : Sr = n

xxi ||∑ −;

b. Data terkelompok: Sr = N

xxf ii ||∑ −;

5. Standar Deviasi atau Deviasi Standar atau Simpangan Baku (S) a. Data tunggal

i) Ragam atau Variansi : S2 = n

)xx( 2i∑ −

ii) Simpangan baku : S = 2S a. Data Terkelompok

i) Ragam atau Variansi : S2 = ∑

∑ −

i

ii

f

xxf 2)(

ii) Simpangan baku : S = 2S

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2009 BAHASA PAKET A/B Simpangan baku dari data: 3,4,4,4,5,5,5,7,8 adalah …

a. 232

b. 531

c. 532

d. 631

e. 632

Jawab : d

• tentukan dulu nilai rata–ratanya

n

xx i∑= =

9

87)5(3)4(33 ++++ =

9

45 = 5

• Tentukan nilai variannya

∑ − 2)( xxi = (3 – 5)2 + 3(4 – 5)2 + 3(5 – 5)2 +

(7 – 5)2 + (8 – 5)2 = 4 + 3(1) + 3(0) + 4 + 9 = 20

S2 = n

xxi2)(∑ −

= 9

20

• Nilai simpangan baku

S = 2S = 9

20

= 3

52 = 5

32 ………………(d)




Diketahui data 6,7,7,7,8,8,9,9,9,10. Nilai simpangan rata–rata data tersebut adalah …. A. 5,4 B. 2,0 C. 1,4 D. 1,0 E. 0,6 Jawab : D

Σxi = 6+7+7+7+8+8+9+9+9+10 = 80, N = 10 • Rata–rata

=xN

x i∑=

10

80= 8

• Σ|xi – x | = |6–8| +3|7–8| + 2|8–8| +3|9–8|+|10–8| = 2 + 3(1) + 2(0) + 3(1) + 2

= 10 • Simpangan rata–rata

SR = n

xxi ||∑ − =

10

10= 1………………..……(D)



6. PELUANG

A. Kaidah Pencacahan

1. Aturan perkalian

Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap pertama

terdapat a1 cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap ke-n dapat terjadi dalam an cara

yang berbeda , maka total banyaknya cara peristiwa tersebut dapat terjadi adalah a1 × a2 × a3 × ... ×

an.


Dari angka-angka 3,4,5,6, dan 7 akan dibuat bilangan terdiri dari empat angka berlainan. Banyaknya bilangan kurang dari 6.000 yang dapat dibuat adalah …. A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 E. 96 Jawab : 72

Masalah ini diselesaikan dengan aturan perkalian dengan banyaknya tempat 4, yaitu tempat ribuan, ratusan, puluhan dan satuan. Jumlah sampel S = 5, yaitu {3, 4, 5, 6, 7}

ribuan |ratusan|puluhan | satuan 3 4 3 2 : 3×4×3×2 = 72 x4 x3 x2 x1 ……………(c)

Keterangan x4 : bilangan < 6 : {3, 4, 5} ……..…… ada 3 pilihan x3 : S – 1 ………………………………ada 4 pilihan x2 : S – 2 ………………………………ada 3 pilihan x1 : S – 3 ………………………………ada 2 pilihan



2. Permutasi

Permutasi adalah pola pengambilan yang memperhatikan urutan (AB ≠ BA), jenisnya ada 3, yaitu:

a. Permutasi dari beberapa unsur yang berbeda; )!kn(

!nPrn −

=

Biasanya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan berkaitan dengan pemilihan suatu jabatan

dalam kepengurusan, maupun peringkat dalam kejuaraan,

b. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama; !n!n!n

!n,,P nnnn

111321= , n1 + n2 + n3 + … ≤ n

c. Permutasi siklis (lingkaran); )!n(Psiklisn 1−=


Dari 7 orang pengurus suatu ekstrakurikuler akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara, dan humas. Banyak cara pemilihan pengurus adalah …. A. 2.100 B. 2.500 C. 2.520 D. 4.200 E. 8.400

Jawab : C

Kasus pada soal ini menyebutkan kedudukan (jabatan), sehingga penyelesaiannya menggunakan metode permutasi, yaitu permutasi 5 (ketua, wakil, sekretaris, bendahara, humas) dari 7

75P =

)!57(

!7

− =

!2

!234567 ⋅⋅⋅⋅⋅

= 7 · 6 · 5 · 4· 3 = 2.520 ……….…………….(C)

2. UN 2010 BAHASA PAKET A/B Susunan berbeda yang dapat dibentuk dari kata “DITATA” adalah … a. 90 b. 180 c. 360 d. 450 e. 720

Jawab : d

Kasus pada soal ini menyebutkan adanya unsur-unsur yang kembar, dari 6 huruf yang ada huruf A = 2, T = 2 sehingga penyelesaiannya menggunakan metode permutasi berulang

P = !!

!

mk

n

⋅ =

!2!2

!6

⋅

= !2!2

!23456

⋅⋅⋅⋅⋅

= 6 · 5 · 2 · 3 = 180 ……….………….…………..(d)



3. Kombinasi

Kombinasi adalah pola pengambilan yang tidak memperhatikan urutan (AB = BA).

Kombinasi dari beberapa unsur yang berbeda adalah !r)!rn(

!nC rn ⋅−

=


Banyaknya cara memilih 3 orang utusan dari 10 orang calon untuk mengikuti suatu perlombaan adalah … A. 120 B. 180 C. 240 D. 360 E. 720 Jawab : A

Kasus pada soal ini tidak menyebutkan kedudukan sehingga penyelesaiannya menggunakan metode kombinasi, yaitu kombinasi 3 dari 10

103C =

)!310(!3

!10

− =

!7123

!78910

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

= 10 · 3 · 4 = 120 ……….………………..(A)

2. UN 2008 BAHASA PAKET A/B Seorang peserta ujian harus mengerjakan 6 soal dari 10 soal yang ada. Banyak cara peserta memilih soal ujian yang harus dikerjakan adalah … a. 210 b. 110 c. 230 d. 5.040 e. 5.400 Jawab : a

Dalam mengerjakan soal, nomor urut pengerjaan tidak diperhatikan, dimulai dari nomor berapapun asal pengerjaannya betul nilainya akan tetap bagus. maka kasus ini diselesaikan dengan metode kombinasi, yaitu kombinasi 6 dari 10.

106C =

!6)!610(

!10

⋅− =

!6!4

!678910

⋅⋅⋅⋅⋅

= 234

78910

⋅⋅⋅⋅⋅

= 10 · 3 · 7 = 210 …………...(a)



Peluang Suatu Kejadian

a) Kisaran nilai peluang : 0 ≤ P(A) ≤ 1

b) P(A) = )S(n

)A(n, n(A) banyaknya kejadian A dan n(S) banyaknya ruang sampel

c) Peluang komplemen suatu kejadian : P(Ac) = 1 – P(A) d) Peluang gabungan dari dua kejadian : P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) e) Peluang dua kejadian saling lepas : P(A∪B) = P(A) + P(B) f) Peluang dua kejadian saling bebas : P(A∩B) = P(A) × P(B)

(pengambilan obyek di kembalikan lagi)

g) Peluang kejadian bersyarat ( A dan B tidak saling bebas) : P(A/B) = )B(P

)BA(P ∩

(pengambilan obyek tidak dikembalikan lagi)

CATATAN: Percobaan Melempar 2 Dadu Banyaknya kejadian pada pelemparan dua buah dadu dapat di sajikan dalam tabel berikut

2 3 4 5 6 7 Jumlah ke-2 mata dadu

12 11 10 9 8

Banyaknya kejadian 1 2 3 4 5 6

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012 IPS/B25 Dua dadu dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang jumlah kedua mata dadu yang muncul habis di bagi 5 adalah ….

A. 36

2 D.

36

7

B. 36

4 E.

36

8

C. 36

5 Jawab : D

• S = melempar 2 dadu

n(S) = 6 × 6 = 36

• A = jumlah ke-2 mata dadu habis dibagi 5 = {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2), (5,5), (6,4), (4,6)}

n(A) = 7

• P(A) = Peluang muncul jumlah mata dadu habis dibagi 5

= )(

)(

Sn

An =

36

7 ………………………..(D)

2. UN 2009 BAHASA PAKET A/B Dalam suatu kotak terdapat 6 bola kuning dan 10 bola biru. Dua bola diambil satu demi satu tanpa pengembalian bola pertama ke dalam kotak. Peluang terambilnya pertama bola kuning dan kedua bola biru adalah …

a. 6415

b. 203

c. 41

d. 254

e. 6435

Jawab : c

• n(S1) = jumlah obyek mula-mula = 16 (6k + 10b)

n(A) = jumlah bola kuning mula-mula = 6 • n(S2) = sisa obyek setelah pengambilan pertama

= 15 (5k + 10b) ………..sisa bola kuning 5 …………..bola biru tetap 10

n(B/A) = sisa bola biru setelah pengambilan pertama = 10

• P(A∩B) = P(A) × P(B/A)

= )(

)(

1Sn

An ×

)(

)/(

2Sn

ABn =

15

10

16

6 ×

= 5344

5223

××××××

= 4

1 …….………..(c)



• Frekuensi Harapan Fh

Frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah : Fh(A) = n × P(A)


Pada percobaan lempar undi 3 keping uang logam sebanyak 200 kali, frekuensi harapan muncul paling sedikit 1 gambar adalah…. A. 25 B. 50 C. 75 D. 100 E. 175

Jawab : E

• S = 3 keping uang, uang memiliki 2 buah sisi (angka A, dan gambar G)

n(S) = 23 = 8 • A = muncul paling sedikit 1 gambar (G)

= {GAA, AGA, AAG, GGA, GAG, AGG, GGG}

n(A) = 7

• P(A) = )(

)(

Sn

An =

8

7

• Fh(A) = 200 × 8

7= 175 ……………………..(E)

2. UN 2009 IPS PAKET A/B

Dua buah dadu setimbang dilempar undi bersama-sama sebanyak 540 kali. frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah 5 adalah … a. 240 kali b. 180 kali c. 90 kali d. 60 kali e. 30 kali

Jawab : d

• S = 2 buah dadu, dadu memiliki 6 sisi n(S) = 62 = 36

• A = muncul mata dadu berjumlah 5

= {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} n(A) = 4

• P(A) = )(

)(

Sn

An =

36

4 =

9

1

• Fh(A) = P(A) × n

= 9

1 × 540 = 60……………. ………..(d)



7. FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS

A. Domain Fungsi (DF)

1) F(x) = )x(f , DF semua bilangan R, dimana f(x) ≥ 0

2) F(x) = )x(g)x(f

, DF semua bilangan R, dimana g(x) ≠ 0

B. Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

1) (f og)(x) = f(g(x))

2) (f ogoh)(x) = f(g(h(x)))

3) (f og)– 1 (x) = (g– 1o f– 1)(x)

4) f(x) = dcx

bax

++

, maka f(x) – 1 = acx

bdx

−+−

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012 IPS/B25

Diketahui ( ) 135 2 −+= xxxf dan

( ) 1+= xxg . Komposisi fungsi ( )( )xfog adalah ….

A. 275225 2 ++ xx

B. 235025 2 ++ xx

C. 15135 2 ++ xx

D. 7135 2 ++ xx

E. 1535 2 ++ xx Jawab : D

f(x) = 5x2 + 3x – 1, g(x) = x + 1 (fog)(x) = f(g(x))

= f(x + 1) = 5(x + 1)2 + 3(x + 1) – 1 = 5(x2 + 2x + 1) + 3(x + 1) – 1 = 5x2 + 10x + 5 + 3x + 3 – 1 = 5x2 + 10x + 3x + 5 + 3 – 1 = 5x2 + 13x + 7……………………...(D)

2. UN 2008 IPS PAKET A/B Jika f(x) = x2 + 2, maka f(x + 1) = … a. x2 + 2x + 3 b. x2 + x + 3 c. x2 + 4x + 3 d. x2 + 3 e. x2 + 4 Jawab : a

f(x) = x2 + 2 f(x + 1) = (x + 1) 2 + 2

= (x2 + 2x + 1) + 2 = x2 + 2x + 3………………………(a)

keterangan: untuk menyelesaikannya hanya mengganti variable “x” dari fungsi f dengan “x +1”

3. UN 2012 IPS/A13

Diketahui f(x) = 2

53

−+

x

x, x ≠ 2 dan f –1(x)

adalah invers dari f (x). Nilai f –1(4) =….

A. –3 D. 7

13

B. –7

3 E. 13

C. 7

3 Jawab : E

Untuk: f(x) = dcxbax

++ , maka f– 1(x) =

acxbdx

−+−

f(x) = 2

53

−+

x

x,⇒ f– 1(x) =

3

52

−+

x

x

f– 1(4) = 34

5)4(2

−+

= 8 + 5 = 13 ………………….(E)



8. LIMIT FUNGSI A. Limit fungsi aljabar

Jika 0

0

)(

)( =ag

af, maka

)(

)(lim

xg

xfax→

diselesaikan dengan cara sebagai berikut:

1. Difaktorkan, jika f(x) dan g(x) bisa difaktorkan 2. Dikalikan dengan sekawan pembilang atau penyebut jika f(x) atau g(x) berbentuk akar 3. Menggunakan dalil L’Hospital jika f(x) dan g(x) bisa di turunkan

� )a('g

)a('f

)x(g

)x(flim

ax=

→


Nilai x

xx

x 3

42

0

lim 2 −→

= ….

A. – 4

B. –3

4

C. –3

2

D. 3

2

E. 3

4

Jawab : B

Cara I. faktorkan

x

xx

x 3

420

lim 2 −→

= x

xx

x 3

)42(

0

lim −→

= 3

42

0

lim −→

x

x

= 3

4)0(2 − = –

3

4………..(B)

Cara II. Gunakan dalil l’Hospital

x

xx

x 3

42

0

lim 2 −→

……… turunkan

⇔3

44

0

lim −→

x

x=

3

4)0(4

0

lim −→x

= –3

4

B. Limit Mendekati Tak Berhingga

1. ...dxcx

...bxaxlim

1mm

1nn

x ++++

−

−

∞→= p ,

dimana:

a. p = c

a, jika m = n

b. p = 0, jika n < m c. p = ∞, jika n > m

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012 IPS/A13

Nilai ( )

+−+−

∞→432

lim 2 xxxx

= ….

A. –5 B. –2 C. 1 D. 3 E. 6 Jawab : A

( )

+−+−

∞→432

lim 2 xxxx

⇔

++−+−

∞→16832

lim 22 xxxxx

⇔ a

qb

2

− =

12

82 −− =

2

10− = –5 …........(A)


Nilai 23

124lim

2

2

++−

→∞ x

xx

x= …

a. 34 d. 2

1

b. 43 e. 0

c. 53 Jawab : a

Karena pangkat tertinggi pembilang dan penyebut sama yaitu 2 maka

23

124lim

2

2

++−

→∞ x

xx

x=

34 ……………………(a)

………….………rumus B.1.a………………

2. ( )dcxbaxlimx

+±+∞→

= q, dimana:

a. q = ∞, bila a > c b. q = 0, bila a = c c. q = –∞, bila a < c

3. a

qbrqxaxcbxax

x 2lim 22 −=

++−++

∞→



9. TURUNAN FUNGSI A. Rumus–Rumus Turunan Fungsi

1. f(x) = c, ⇒ f’(x) = 0

2. f(x) = ax ⇒ f’(x) = a

3. f(x) = axn ⇒ f’(x) = a· n·xn – 1

4. Jika “u” adalah suatu fungsi dalam x, maka

f(x) = aun ⇒ f’(x) = a·u’·n·un – 1, dimana u’ = turunan pertama dari u


Turunan pertama dari ( )534 += xy adalah y’= ….

A. ( )43420 +x D. ( )4346

4 +x

B. ( )4345 +x E. ( )4345

1 +x

C. ( )434 +x Jawab : A

y = (4x + 3)5 = un

y’ = n⋅u’⋅un–1

= 5⋅4(4x + 3)5 – 1

= 20(4x + 3)4 …………………………(A)

2. UN 2010 IPS PAKET A Diketahui f(x) = x6 + 12x4 + 2x2 – 6x + 8 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) = … a. 64 b. 60 c. 58 d. 56 e. 52 Jawab : e

• f(x) = x6 + 12x4 + 2x2 – 6x + 8

f’(x) = 6x6 – 1 + 12·4x4 – 1 + 2·2x2 – 1 – 6 + 0

= 6x5 + 48x3 + 4x – 6

• f’(1) = 6(1)5 + 48(1)3 + 4(1) – 6

= 6 + 48 + 4 – 6

= 52 ………………………………(e)

B. Tafsiran Geometris

Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya:

1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = x1 , yaitu m = f’(x1)

Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (x1, y1) dan bergradien m adalah: y – y1 = m(x – x1)

2) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0

3) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0

4) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2009 IPS PAKET A/B Persamaan garis singgung pada kurva y = x3 + 4x2 + 5x + 8 di titik (–3, 2) adalah … a. y = –8x – 26 b. y = –8x + 26 c. y = 8x + 22 d. y = 8x + 26 e. y = 8x – 26

• Titik singgung (–3, 2) …………….(x1, y1) • m = f’(x1) ………………………..…gradien

f(x) = x3 + 4x2 + 5x + 8 f’(x) = 3x2 + 8x + 5 f’(–3) = 3(–3)2 + 8(–3) + 5

= 27 – 24 + 5 = 8 ……………….. m • y – y1 = m(x – x1) …………persamaan garis

y – 2 = 8{x – (–3)} y – 2 = 8(x + 3)

y = 8x + 24 + 2 y = 8x + 26 ………………………..(d)



SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2010 IPS PAKET A

Grafik fungsi f(x) = x3 + 6x2 – 36x + 20 turun pada interval … a. –2 < x < 6 b. –6 < x < 2 c. –6 < x < –2 d. x < –6 atau x > 2 e. x < –2 atau x > 6 Jawab : b

• f(x) = x3 + 6x2 – 36x + 20

f’(x) = 3x2 + 12x – 36

• grafik f(x) akan turun jika f’(x) < 0, maka: 3x2 + 12x – 36 < 0

⇔ x2 + 4x – 12 < 0 ⇔ (x + 6)(x – 2) < 0 ujung interval x = {–6, 2}

• tanda pertidaksamaan <, maka interval pada saat f(x) turun adalah di –6 < x < 2 …………………….(b)

3. UN 2009 IPS PAKET A/B Sebuah home industry memproduksi x unit barang dengan biaya yang dinyatakan (x2 – 30x + 125) ribu rupiah, dan pendapatan setelah barang tersebut habis terjual adalah (60x) ribu rupiah. Keuntungan maksimal home industry tersebut adalah … a. Rp 1.900.000,00 b. Rp 1.150.000,00 c. Rp 550.000,00 d. Rp 300.000,00 e. Rp 100.000,00

Jawab: a

• Misal fungsi keuntungan adalah f(x), maka: f(x) = pendapatan – biaya produksi

= 60x – (x2 – 30x + 125) = 60x – x2 + 30x – 125 = – x2 + 90x – 125

f’(x) = 1000(–2x + 90) • f(x) maksimum saat f’(x) = 0, maka:

–2x + 90 = 0 2x = 90 x = 45

• Nilai f(x) pada saat x = 45 f(x) = – x2 + 90x – 125 f(45) = –(45)2 + 90(45) – 125

= –2025 + 4050 – 125 = 1900

satuan dalam ribuan rupiah, sehingga keuntungan maksimum adalah: 1900 × Rp1.000,00

: Rp 1.900.000,00 ………(a)



10. INTEGRAL (ANTI DIVERENSIAL)

A. INTEGRAL TAK TENTU 1) Rumus–Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

1. ∫ dx = x + c

2. ∫ a dx = a ∫ dx = ax + c

3. ∫ axn dx = 11

++

nna x + c

Teknik Integral Substitusi

Jika bentuk integran : ∫ u v dx, dengan u dan v masing–masing adalah fungsi dalam variabel x Maka penyelesaiannya dapat menggunakan teknik integral substitusi yaitu v dx = du

2) Penggunaan Integral Tak Tentu Integral tak tentu di gunakan untuk mencari persamaan suatu kurva y = f(x) apabila diketahui turunan pertama dan sebuah titik pada kurva tersebut yaitu: f(x) = ∫f’(x) dx, dengan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x) atau:

y = ∫ dxdxdy , dengan

dxdy adalah turunan pertama y

B. INTEGRAL TENTU

Misalkan kurva y = f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b], maka luas daerah L yang dibatasi oleh

kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, ditentukan dengan rumus:

L = ∫ −==b

a

ba aFbFxFdxxf )()()]([)( , dengan F(x) adalah integral (antidiferensial) dari f(x)

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2012 IPS/B25

Nilai dari ( )∫−

=−+2

1

2 143 dxxx ….

A. 20 B. 16 C. 14 D. 12 E. 10 Jawab : D

( )∫−

−+2

1

2 143 dxxx = 21

2243

33 ][ −−+ xxx

= 21

23 ]2[ −−+ xxx

F(2) = 23 + 2·22 – 2 = 8 + 8 – 2 = 14 F(–1) = (–1)3 + 2(–1)2 – (–1) = –1 + 2 + 1 = 2 F(2) – F(–1) = 14 – 2 = 12 ................................(D)



PENGGUNAN INTEGRAL TENTU Untuk Menghitung Luas Daerah

a. Luas daerah L pada gb. 1

L = ∫b

a

dxxf )( ,

untuk f(x) ≥ 0

b. Luas daerah L pada gb. 2

L = –∫b

a

dxxf )( , atau

L = ∫b

a

dxxf )( untuk f(x) ≤ 0

c. Luas daerah L pada gb. 3

L = ∫ −b

a

dxxgxf )}()({ ,

dengan f(x) ≥ g(x)

CATATAN Jika luas hanya di batasi oleh dua kurva dan fungsinya berbentuk kuadrat, maka luas nya bisa di cari dengan menggunakan rumus:

L = 26a

DD, D = determinan persamaan kuadrat dari (f(x) – g(x))


Luas daerah yang di batasi oleh kurva

,442 2 +−= xxy sumbu X, dan 31 ≤≤− x adalah ….

A. 3

15 satuan luas

B. 3

26 satuan luas

C. 3

218 satuan luas

D. 3

123 satuan luas

E. 3

230 satuan luas

Jawab : C

• Batas integral Titik potong kurva dengan sumbu X (y = 0) y = 2x2 – 4x + 4 karena nilai D = b2 – 4ac = (–4)2 – 4(2)(4

= 16 – 32 = –32 < 0

maka kurva tidak memotong sumbu X sehingga batas integralnya adalah : 31 ≤≤− x

• Luas daerah

L = ( )∫−

+−3

1

2 442 xx dx

= 31

2243

32 ]4[ −+− xxx

= 31

2332 ]42[ −+− xxx

F(3) = 32 (3)3 – 2(3) 2 + 4(3) =18 – 18 + 12 = 12

F(–1) = 32 (–1) 3 – 2(–1) 2 + 4(–1) = –3

2 –6

L = F(3) – F(–1) = 12 – (–3

2 –6)

= 12 + 6 + 32 = 183

2 ………….(C)



11. PROGRAM LINEAR A. Persamaan Garis Lurus

a. Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah:

y – y1 = m(x – x1)

b. Persamaan garis yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah :

)xx(xx

yyyy 1

12

121 −

−−

=−

c. Persamaan garis yang memotong sumbu X di (b, 0) dan memotong sumbu Y di

(0, a) adalah:

ax + by = ab

B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear Untuk menentukan daerah HP pertidaksamaan liniear ax + by ≤ c dengan metode grafik dan uji titik, langkah–langkahnya adalah sebagai berikut :

1. Gambarkan garis ax + by = c

C. Menentukan pertidaksamaan linear dari daerah himpunan penyelesaian

(1) (2) (3) (4)

• Garis condong ke kiri (m < 0) • Garis condong kanan (m > 0)

• Garis g utuh dan HP di kiri garis

ax + by ≤ ab

• Garis utuh dan HP di kanan garis

ax + by ≥ ab

• Garis utuh dan HP di kiri garis

ax + by ≤ ab

• Garis utuh dan HP di kanan garis

ax + by ≥ ab • Jika garis g

putus–putus dan HP di kiri garis, maka ax + by < ab

• Jika garis g putus–putus dan HP di kanan garis, maka ax + by > ab

• Jika garis g putus–putus dan HP di kiri garis, maka

ax + by < ab

• Jika garis g putus–putus dan HP di kanan garis, maka ax + by > ab

0 X

Y

b

a

g

HP

0 X

Y

b

a

g

HP

0

a

X

Y

b

g

HP

0

a

X

Y

b

g

HP

O

ax + by = c

Y

X

a

b

(0, a)

(b, 0)

(x, y)

titik uji

0 b

a

(b, 0) X

Y

(0, a)

0 x2

y2

(x1, y1)

X

Y

(x2, y2)

x1

y1

y1 (x1, y1)

X

Y

1. Lakukan uji titik, yaitu mengambil sembarang titik (x, y) yang ada di luar garis ax + by = c, kemudian substitusikan ke pertidaksamaan

ax + by ≤ c

2. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka HPnya adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c

3. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka HPnya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c



SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2011 IPS PAKET 46 Perusahaan pengiriman barang mempunyai dua jenis mobil yaitu jenis I dan II. Mobil jenis I daya muatnya 12 m3, sedangkan mobil jenis II daya muatnya 36 m3. Order tiap bulan rata–rata mencapai lebih dari 7.200 m3, sedangkan biaya per pengiriman untuk mobil jenis I Rp400.000,00 dan mobil jenis II Rp600.000,00. Dari biaya yang telah ditetapkan tersebut pendapatan rata–rata sebulan tidak kurang dari Rp200.000.000,00. model matematika yang tepat dari masalah tersebut adalah …

a. x + 3y ≥ 600, 2x + 3y ≥ 1000, x ≥ 0, y ≥ 0

b. x + 3y ≥ 600, 2x + 3y ≤ 1000, x ≥ 0, y ≥ 0

c. x + 3y ≥ 400, 2x + 3y ≥ 2000, x ≥ 0, y ≥ 0

d. x + 3y ≥ 400, 2x + 3y ≤ 2000, x ≥ 0, y ≥ 0

e. x + 3y ≥ 800, 2x + 3y ≥ 1000, x ≥ 0, y ≥ 0 Jawab : a

Misal x = jumlah mobil jenis I

y = jumlah mobil jenis II System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:

• Order lebih dari ( ≥ ) 7.200 m3

12x + 36y ≥ 7.200

⇔ x + 3y ≥ 600

• Pendapatan tidak kurang dari (≥) 200.000.000

400.000x + 600.000y ≥ 200.000.000

⇔ 2x + 3y ≥ 1.0000

• Jumlah Mobil tidak mungkin negatif

x ≥ 0, y ≥ 0

sehingga jawaban yang memenuhi adalah : a


Sistem pertidaksamaan untuk daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah … a. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, – 3 x + 2y ≥ 6 b. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≥ 12, – 3 x + 2y ≥ 6 c. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, – 3 x + 2y ≤ 6 d. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y > 12, – 3 x + 2y ≤ 6 e. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, – 3 x + 2y ≥ 6

Jawab : d

• Persamaan linear

g1 : y = 0 g2 : 3x – 2y = – 6 g3 : x = 0 g4 : 4x + 6y = 24 ⇔ 2x + 3y = 12

• Pertidaksamaan linear Hp di atas g1 : y ≥ 0 HP di kanan g2 : 3x – 2y ≥ –6 ⇔ –3x + 2y ≤ 6 HP di kanan g3 : x ≥ 0 HP di kiri g4 : 2x + 3y ≤ 12 ………….(d)

0

Y

X (6,0)

(0,3)

(0,4)

(–2 ,0)

g3

g1 g2 g4 0

Y

X (6,0)

(0,3)

(0,4)

(–2 ,0)



D. Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum I. Metode titik Uji 1) Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y)

2) Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum atau minimum

3) Pada gambar HP program linear, titik–titik sudut merupakan titik–titik kritis, dimana nilai minimum atau maksimum berada. Apabila sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua pertidaksamaan, maka titik–titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus digambar grafiknya.

Grafik HP untuk fungsi tujuan maksimum

Grafik HP untuk fungsi tujuan minimum

Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai berikut:

1. Pilih titik potong garis dengan sumbu Y atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q, 0) jika tujuannya maksimumkan atau yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya minimumkan

2. Titik potong antara kedua garis (x, y)

II. Metode garis selidik

Misal fungsi tujuan adalah Z = rx + sy, ⇒ mz = sr

Garis g: ax + by = ab, ⇒ mg = ba

Garis h: px + qy = pq, ⇒ mh = qp

• Fungsi tujuan minimum Perhatikan garis selidik (garis putus-putus) di bawah ini

mz ≤ mg ≤ mh

X Z Y

mg ≤ mz ≤ mh

X Z Y

mg ≤ mh ≤ mz

X Z Y

KESIMPULAN: lihat gradien yang ada di posisi Z Fungsi tujuan maksimum 1. mg di Z dan mz di X, nilai minimum ada pada titik potong garis g dengan sumbu X 2. mh di Z dan mz di Y, nilai minimum ada pada titik potong garis h dengan sumbu Y 3. mz di tengah, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dan garis h

0

a

X

Y

b g

HP p

q

h

(x,y)

(0,p)

(b,0)

0

a

X

Y

b g

HP p

q

h

(x,y)

(0,p)

(b,0)

0

a

X

Y

b g

HP p

q

h

(x,y)

(0,p)

(b,0)

0

a

X

Y

b g

HP p

q

h

(x,y)

(0,p)

(b,0)

Titik kritis ada 3: (0, p), (b, 0) dan

(x, y)

0

a

X

Y

b g

HP

p

q

h

(x,y) (0,a)

(q,0)

Titik kritis ada 3: (0, a), (q, 0) dan

(x, y)



• Fungsi tujuan maksimum Perhatikan garis selidik (garis putus-putus) di bawah ini

mz ≤ mg ≤ mh

X Z Y

mg ≤ mz ≤ mh

X Z Y

mg ≤ mh ≤ mz

X Z Y KESIMPULAN: Fungsi tujuan maksimum : Letaknya berkebalikan dengan fungsi tujuan minimum 1. mg di Z dan mz di X, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dengan sumbu Y 2. mh di Z dan mz di Y, nilai maksimum ada pada titik potong garis h dengan sumbu X 3. mz di tengah, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dan garis h


Perhatikan gambar!

Nilai maksimum dari bentuk obyektif z = 2x + 3y dari daerah yang diarsir adalah … A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 E. 18 Jawab : D

Gunakan metode garis selidik Z = 2x + 3y, Sehingga gardien garis z adalah

mz = 3

2−

Berdasarkan gambar, garis selidik terjauh dari pusat (0,0) melalui titik (4,3), sehingga nilai maksimum dari z adalah 2(4) + 3(3) = 8 + 9 = 17 ……………..(D)

2. UN 2008 BAHASA PAKET A/B Nilai minimum fungsi obyektif f(x,y) = 3x + 2y yang memenuhi system pertidaksamaan: 4x + 3y ≥ 24 2x + 3y ≥ 18 x ≥ 0, y ≥ 0 adalah … a. 12 b. 13 c. 16 d. 17 e. 27 Jawab : c

3x + 2y = f(x,y) ⇒ mz = 23

4x + 3y ≥ 24 ⇒ m1 = 34

2x + 3y ≥ 18 ⇒ m2 = 32

karena nilai dari m2 ≤ m1 ≤ mz = 32 ≤ 3

4 ≤ 23 . maka

nilai minimum fungsi ada di titik potong garis 4x + 3y = 24 dengan sumbu Y (nilai x = 0), yaitu: 4x + 3y = 24 ⇒ 4(0) + 3y = 24

3y = 24 y = 8

jadi titik potongnya (0,8)

f(x,y) = 3x + 2y f(8,0) = 3(0) + 2(8) = 16 ………..……………..(c)

0

a

X

Y

b g

HP

p

q

h

(x,y) (0,a)

(q,0) 0

a

X

Y

b g

HP

p

q

h

(x,y) (0,a)

(q,0) 0

a

X

Y

b g

HP

p

q

h

(x,y) (0,a)

(q,0)

X

Y

5

7 0

(4,3)

1

3

1 5 3

mz = 32−

X

Y

5

7 0

(4,3)




Untuk membuat satu bungkus roti A diperlukan 50 gram mentega dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat satu roti B diperlukan 100 gram mentega dan 20 gram tepung. Jika tersedia 3,5 kg mentega dan 2,2 kg tepung, maka jumlah kedua jenis roti yang dapat dibuat paling banyak … A. 40 bungkus B. 45 bungkus C. 50 bungkus D. 55 bungkus E. 60 bungkus Jawab : C

Misal x = jumlah roti A, y = jumlah roti B i) Fungsi obyektif = jumlah kedua jenis roti

f(x, y) = x + y ………………maksimum ii) System pertidaksamaan dari fungsi kendala adalah:

• Mentega : 50x + 100y ≤ 3.500 ⇔ x + 2y ≤ 70

• Tepung : 60x + 20y ≤ 2.200 ⇔ 3x + y ≤ 110 Gradient garis

x + y = f(x,y)⇒ mz= 1 x + 2y ≤ 70 ⇒ m1= 2

1

3x + y ≤ 110⇒ m2= 3 karena nilai dari m1 ≤ mz ≤ m2 = 2

1 ≤ 1 ≤ 3, maka nilai

maksimum ada di titik potong 2 garis yaitu: x + 2y = 70 ⇔ 3x + 6y =210

3x + y = 110 5y = 100 y = 20

⇒ x = 70 – 2y = 70 – 2(20) = 70 – 40

x = 30 Jadi, titik potongnya (30, 20)

f(x, y) = x + y f(30,20) = 30 + 20 = 50 ………………….(C)



12. MATRIKS A. Kesamaan Dua Buah Matriks

Dua Matriks A dan B dikatakan sama apabila keduanya berordo sama dan semua elemen yang

terkandung di dalamnya sama

B. Transpose Matriks

Jika A =

dc

ba, maka transpose matriks A adalah AT =

db

ca

C. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak

Jika A =

dc

ba, dan B =

nm

lk, maka A + B =

dc

ba+

nm

lk =

++++

ndmc

lbka

D. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n

Jika A =

dc

ba, maka nA = n

dc

ba =

dncn

bnan

E. Perkalian Dua Buah Matriks

� Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B (Am×n × Bp×q, jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q.

� Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen–elemen baris A dengan kolom B.

Jika A =

dc

ba, dan B =

pon

mlk, maka

A × B =

dc

ba×

pon

mlk =

++++++

dpcmdocldnck

bpamboalbnak


Diketahui matriks A = ,11

512

++

x

x

B = ,11

35

+y C = ,

25

15

CT adalah

transpose matriks C. Nilai (3x + 2y) yang

memenuhi persamaan A+B = 2 CT adalah ….

A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 E. 3 Jawab : A

C =

25

15⇒ CT =

21

55

• A+B = 2CT

++

11

512

x

x+

+11

35 y= 2

21

55

+++

22

862

x

yx=

42

1010

dari kesamaan di atas diperoleh:

∴3x + 2y = 3(2) + 2(2)

= 6 + 4 = 10 ……………………..(A)

i) x + 2 = 4

x = 4 – 2 = 2

ii) y + 8 = 10

y = 10 – 8 = 2



SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2012 BHS/C37

− 340

201

−−

10

12

05

–2

−−

52

13= …

A.

−94

411 D.

1112

01

B.

− 94

411 E.

−−

912

41

C.

−−

1112

01 Jawab : A

− 340

201

−−

10

12

05

–2

−−

52

13

⇔

−−

−

+−++−+++

104

26

340080

200005

⇔

−−

−

−−

104

26

18

25

⇔

+−−−−+10148

2265 =

−94

411

F. Matriks Identitas (I)

� I =

10

01

� Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I×A = A×I = A

G. Determinan Matriks berordo 2×2

Jika A =

dc

ba, maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) =

dc

ba= ad – bc

Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar

1. det (A ± B) = det(A) ± det(B)

2. det(AB) = det(A) × det(B)

3. det(AT) = det(A)

4. det (A–1) = )det(

1

A

H. Invers Matriks

� Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila A×B = B×A = I, dengan demikian A adalah

invers matriks B atau B adalah invers matriks A.

Bila matriks A =

dc

ba, maka invers A adalah:

−−

−==−

ac

bd

bcad

1)A(Adj

)A(Det

1A 1 , ad – bc ≠ 0

Catatan:

1. Jika Det(A) = 1, maka nilai A–1 = Adj(A)

2. Jika Det(A) = –1 , maka nilai A–1 = –Adj(A)

� Sifat–sifat invers matriks

1) (A×B)–1 = B–1 ×A–1

2) (B×A)–1 = A–1 ×B–1



I. Matriks Singular

matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama dengan nol

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2012 BHS/B25

Diketahui matriks C =

−− 62

73 +

2

−−

14

25. Determinan matriks C adalah …

A. –10 B. 10

1−

C. 101

D. 1 E. 10 Jawab : A

C =

−− 62

73 + 2

−−

14

25

=

−− 62

73 +

−−

28

410

=

−−

86

117

det(C) = –7×(–8) – 6(11)

= 56 – 66 = –10 …………………….(A)

2. UN 2010 IPS PAKET 12

Diketahui matriks A =

−−

12

35 dan

B =

−−

31

11 . Invers matriks AB adalah

(AB)–1 = …

a.

−

−

1

2

21

21

d.

−

−

2121

1

2

b.

−−1

2

2121

e.

−21

21

2

1

c.

−−21

21

1

2 Jawab : a

AB =

−−

12

35

−−

31

11 =

−+−−+−

3212

9535

=

−−−−

11

42

det(AB) = –2(–1) – (–1)(–4) = 2 – 4 = – 2

Adj(AB) =

−−

21

41

Maka :

(AB)–1 = )()det(

1ABAdj

AB

= 2

1

−

−−

21

41 =

−

−

1

2

21

21

……….(a)



J. Persamaan Matriks

Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut:

1. A × X = B ⇔ X = A–1 × B

2. X × A = B ⇔ X = B × A–1

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2011 IPS PAKET 46

Jika matriks A =

−31

12, B =

−2510

88,

dan AX = B, maka matriks X = …

a.

−64

72 d.

−−

64

72

b.

−64

72 e.

−67

42

c.

−−64

72 Jawab : a

−31

12X =

−2510

88 , maka

X = 1

31

12 −

−

−2510

88……rumus J.1

=

−+ 21

13

16

1

−2510

88

=

+−+++−

508208

25241024

7

1

=

−4228

4914

7

1

=

−64

72 ………………..………(a)

2. UN 2008 IPS PAKET A/B Jika A adalah matriks berordo 2 × 2 yang

memenuhi A

32

04=

−616

32, maka

matriks A = …

a.

− 13

12 d.

−23

11

b.

−32

11 e.

−−

23

11

c.

32

11 Jawab : d

A

32

04=

−616

32

A =

−616

32 1

32

04−

……..rumus J.2

=

−616

32

012

142

03

−×

−

=

+−−+

2401248

12066

12

1

=

−2436

1212

12

1 =

−23

11 …………..(d)



13. BARISAN DAN DERET

A. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI

U1, U2, U3, … ,Un adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut

Barisan Ciri utama Rumus suku ke–n Suku tengah Sisipan k bilangan

Aritmetika Beda b = Un – Un – 1

Selalu sama Un = a + (n – 1)b

Ut = 21 (a + U2k – 1) ,

k letak suku tengah,

banyaknya suku

2k–1

bbaru = 1k

xy

+−

Geometri Rasio r =

1−n

n

U

U

Selalu sama

Un = arn–1 Ut = nUa ⋅ ,

dengan t = ½(n + 1)

rbaru = 1kxy+

Catatan :

1. x dan y adalah dua buah bilangan yang akan di sisipkan k buah bilangan

2. U1 = a = suku pertama suatu barisan

3. Pada barisan aritmetika berlaku Um – Uk = (m – k)b


Dari suatu barisan aritmetika diketahui suku ke–3 dan suku ke–10 berturut–turut adalah –5 dan 51. Suku ke–28 barisan tersebut adalah … A. 171 B. 179 C. 187 D. 195 E. 203 Jawab : D

Barisan aritmetika U10 = a + 9b = 51 U3 = a + 2b = –5 _

7b = 56 b = 8

U28 = U10 + 18b = 51 + 18(8) = 51 + 144 = 195 ……………………….(D)

2. UN 2012 BHS/C37

Dari suatu barisan geometri diketahui suku

ke–2 dan suku ke–5 berturut–turut adalah 45

dan 10. Suku ke–7 barisan tersebut adalah … A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 E. 60 Jawab : C

barisan geometri

2

5

U

U=

ar

ar 4

= 45

10=

5

410×

r3 = 8 r = 2

U7 = U5 × r2 = 10 × 22 = 10 × 4 = 40 …………………...(C)



B. DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI

U1 + U2 + U3 + … + Un adalah penjumlahan berurut (deret) suatu barisan dengan ciri khusus sbb

Deret Jumlah n suku pertama

Aritmetika Sn =

21 n(a + Un) ……………jika a dan Un diketahui

= 21 n(2a + (n – 1)b) …………..jika a dan b diketahui

Geometri

Sn = 1

)1(

−−

r

ra n

………………… jika r > 1

= r

ra n

−−

1

)1(…………………jika r < 1

Catatan:

1. Antara suku ke–n dan deret terdapat hubungan yaitu :

• Un = Sn – Sn – 1 • U1 = a = S1

2. Terdapat deret takhingga suatu barisan geometri yaitu:

• r1

aS

−=∞


Dari suatu deret aritmatika diketahui suku ke–6 adalah 17 dan suku ke–10 adalah 33. Jumlah tiga puluh suku pertama deret itu adalah…. A. 1.650 B. 1.710 C. 3.300 D. 4.280 E. 5.300 Jawab : A

deret aritmetika U10 = a + 9b = 33 U6 = a + 5b = 17 _

4b = 16 b = 4

• a = 17 – 5b = 17 – 5(4) = –3 • U30 = U10 + 20b = 33 + 20(4) = 113

• Sn = )(2 1 nUUn +

S30 = )(2

30301 UU + = 15(–3 + 113)

= 1650 …………….(A) 2. UN 2012 BHS/A13

Rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = 2n2 – 12n. Suku ke–4 deret tersebut adalah … A. 2 B. 6 C. 10 D. 14 E. 18 Jawab : A

Hubungan antara baris dan deret • Sn = 2n2 – 12n • S2 = 2·22 – 12·2 = 8 – 24 = –16 • U1 = S1 = 2·12 – 12·1 = –10 • b = s2 – 2u1 = –16 – 2(–10) = 4 sehingga :

U4 = a + 3b = –10 + 3(4) = 2 ……………..(A) Cara smart:

Sn = 2n2 – 12n Un = 2·2n + (–12 – 2) = 4n – 14 U4 = 4(4) – 14 = 2




Seorang petani mangga mencatat hasil panennya selama 12 hari pertama. Setiap harinya mengalami kenaikan tetap, dimulai hari pertama 12 kg, kedua 15 kg, ketiga 18 kg, dan seterusnya. Mangga tersebut dijual dengan harga Rp 11.000,00 setiap kg. Jumlah hasil penjualan mangga selama 12 hari pertama adalah … A. Rp 495.000,00 B. Rp 540.000,00 C. Rp 3.762.000,00 D. Rp 3.960.000,00 E. Rp 7.524.000,00 Jawab : C

Deret aritmetika : mengalami kenaikan tetap hari pertama : u1 = a = 12 hari kedua : u2 = a + b = 15 hari ketiga : u3 = a + 2b = 18 Ditanyakan : Jumlah hasil penjualan mangga

selama 12 hari pertama : S12

u1 = a = 12 b = u2 - u1 = 15 – 12 = 3

• Sn = 21 n (2a + (n – 1)b)

S12 = 21 ·12 (2·12 + 11·3)

= 6(24 + 33) = 6(57) = 342 Hasil jual = 342 × 11.000

= 3.762.000………………….(C)

4. UN 2011 BAHASA PAKET 12 Jumlah tak hingga deret geometri :

6 + 3 + 23 + 4

3 + … adalah …

a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14

Jawab: c

Geometri tak hingga • Suku pertama : a = 6

• Rasio : r = 6

3=

2

1

• Jumlah tak hingga :

S∞ = r

a

−1=

211

6

−

= 21

6

= 6 × 2 = 12 ………………….(c)

5. UN 2011 IPS PAKET 46 Seorang anak menabung untuk membeli sepeda idolanya. Jika pada bulan pertama menabung Rp10.000,00, bulan ke–2 menabung Rp12.000,00, bulan ke–3 menabung Rp14.000,00, dan seterusnya setiap bulan dengan kenaikan Rp2.000,00 dari bulan sebelumnya. Pada akhir tahun ke–2 jumlah tabungan anak tersebut adalah … a. Rp824.000,00 b. Rp792.000,00 c. Rp664.000,00 d. Rp512.000,00 e. Rp424.000,00 Jawab: b

Kasus ini berhubungan dengan aritmetika karena adanya penambahan jumlah data secara konstan, dalam kasus ini penambahan datanya 2.000. • Tabungan bulan ke–1 : U1 = 10.000 • Tabungan bulan ke–2 : U2 = 12.000 • Tabungan bulan ke–3 : U3 = 14.000 • Beda b = 2.000 • Jumlah tabungan pada akhir tahun ke–2 : S24

Sn = n· 21 (2a + (n – 1)b)

S24 = 24· 21 (2 · 10.000 + 23 · 2.000)

= 12.000(20 + 46) = 12.000 · 66 = 792.000 …………………………...(b)

Materi Un Ips 2013

Documents

Transcript of Materi Un Ips 2013