MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 · PDF fileTeori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat...

MATERI PENYEGARAN KALKULUS

1 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

Teori Bilangan

Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan

tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai

bilangan (terutama bilangan bulat berpangkat) beserta jenis dan operasi-operasinya.

Perhatikan skema bilangan dibawah ini:

Gambar 1. Skema Bilangan

MODUL 1

Bilangan Kompleks

Bilangan Imajiner Bilangan Real

Bilangan Rasional Bilangan Irrasional

Bilangan Bulat Bilangan Pecahan

Bilangan Bulat Positif O

(nol)

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan Prima 1 ( satu ) Bilangan Komposit



Dari gambar 1. Dapat kita perhatikan bahwa bilangan kompleks adalah bilangan yang

menduduki tingkat tertinggi dari hierarki bilangan. Berdasar skema diatas itu pula dapat

kita bedakan macam-macam dari bilangan.

1.1. BILANGAN RIIL

Ada empat operasi dasar untuk bilangan riil yang sering dipergunakan, yaitu penjumlahan,

pengurangan, perkalian dan pembagian. Untuk sebarang bilangan riil a dan b, jumlahan,

selisih dan perkalian juga merupakan bilangan riil, akan tetapi untuk pembagiannya tidak

harus bilangan riil.

Sifat-sifat aljabar bilangan riil:

a. Assosiati untuk penjumlahan dan perkalian

(a + b) + c = a + (b + c)

(a x b) x c = a x (b x c)

b. Komutatif untuk penjumlahan dan perkalian

a + b = b + a

a x b = b x a

c. Unsur identitas terhadap penjumlahan dan perkalian

a + 0 = 0 + a

a x 1 = 1 x a = a

d. Unsur invers terhadap penjumlahan

a + (-a) = 0

1.2. BILANGAN BERPANGKAT

BILANGAN BERPANGKAT BULAT POSITIF

Definisi

Untuk bilangan bulat positif � dan sebarang bilangan real �, bilangan �� mempunyai

arti: � × � × � × … × � (sebanyak � faktor yang sama).

Bilangan � disebut basis dan bilangan � disebut pangkat atau eksponen.

Contoh :

1. 5 × 5 × 5 × 5 = 5� = 625

2. (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) = (− 2)� = − 2� = − 32

3. 5 × 5 × 5 × 5 = 5� = 625

4. (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) = (− 2)� = − 2� = − 32

BILANGAN BERPANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL

Definisi

Jika � bilangan tak nol, maka �� = 1.

Sedangkan jika � bilangan bulat dan � tak nol, maka �� =�

�� .



Contoh :

1. 3� × 3� = 1 × 3� = 3� = 3��

2. 4�� =�

�� =�

��

Bilangan berpangkat bulat baik positif maupun negatif memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

Contoh :

1. 4� × 4� = 4�� = 4�

2. ��

��= 3�� = 3�

3. (2�)� = 2� × 2� × 2� × 2� = 2�� = 2�×� = 2��

4. (3 × 4)� = 3� × 4�

5. ��

��

�

=��

��

Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat adalah:

Jika bilangan � dan � bilangan bulat dan � sebarang bilangan real tak nol, maka:

1. �� × �� = ��

2. ��

�� = ��, dengan � ≠ 0.

3. (��)� = ��×�.

4. (� × �)� = �� × ��.

5. ��

��

�

=��

�� , � ≠ 0.

Contoh :

1. 4� + 4� = 4�� = 4�

2. ��

�� = 3�� = 3�

3. (2�)� = 2�� = 2��

4. (3�4)� = 3� � 4�

5. (�

�)� =

��

��

NOTASI ILMIAH

Untuk bilangan yang sangat besar maupun pada bilangan yang sangat kecil dapat dibuat

notasi ilmiahnya.

Definisi

Bentuk baku notasi ilmiah suatu bilangan adalah penulisan dalam bentuk � × 10�

dengan 1 ≤ � ≤ 10 dan : bilangan bulat.

Catatan : perpindahan letak tanda koma (desimal), yaitu pergeseran satu angka kekiri

berarti memunculkan satu faktor 101, sedangkan pergeseran kearah kanan berarti

memunculkan satu faktor 10-1.

Contoh :

1. Notasi Ilmiah dari 25000000 adalah 25000000 = 2,5 × 10�

2. Notasi Ilmiah dari 0,0000035 adalah 0,0000035= 3,5 × 10��



Selain bilangan berpangkat bulat maupun nol ada juga bilangan berpangkat pecahan yang

salah satunya akan dibahas pada subbab bentuk akar berikut ini.

1. Tuliskan dalam notasi eksponen:

(a). 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = (b). � × � × � × � × � × � × � × � × � =

(c). 3� × 3� × 3� × 3� × 3� × 3� = (d). (− 5) × (− 5) × (− 5) × (− 5) × (− 5) =

(e). (− 7�) × (− 7�) × (− 7�) × (− 7�) = (f). �

�×

�

�×

�

�×

�

�×

�

�=

(g). �−�

�� × �−

�

�� × �−

�

�� × �−

�

�� =

2. Hitunglah nilai dari:

(a). (5)� = (b). (− 7)� = (c). (− 5�)� =

(d). (− 3��)� = (e). (− 2��)� = (f). ��

��

��

=

(g). �−�

��

�

= (h). �−�

��

�

= (i). ��

��

�

=

3. Selesaikanlah:

(a). (2� + �)(2� + �) = (b). (�� + �)(�� − �) =

(c). (�� − ��)� = (d). (�� − ��)� =

(e). (�� − ��)� = (f). (2�� + ��)(�� − �) =

(g). (3�� + 2��)� = (h). (�� − ��)�(� + �) =

(i). (�� + ��)�(� − �) =

4. Sederhanakanlah:

(a). ��

��= (b).

��

�� = (c).

��

�� =

(d).��

�� = (e). 30�2�− 15�2�2

5��− 5��3 = (f). ��

��=

5. Nyatakan dalam bentuk bukan pecahan:

a. �

�� b.

�

(��)� c.

�

(��)�

d. ��

�� e.

�

�� f.

�

(�� )�

g. �

�� h.

�

(�� )� i.

��

(�� )�

6. Tuliskan ke dalam bentuk ilmiah:

a. 27.000.000.000.000 b. 0,0000000036 c. 0,00043500

d. 0,00000067 f. 74.300.000.000

SOAL-SOAL LATIHAN 1.2



1.3. BENTUK AKAR

Definisi

Akar (kuadrat) suatu bilangan � adalah bilangan positif yang kalau dipangkatkan dua,

menjadi bilangan semula yaitu �. Secara notasi matematika dapat dinyatakan dalam

bentuk :

√� = � jika �� = � dan � adalah bilangan positif.

Tulisan √� dibaca akar kuadrat dari �.

Operasi pada bentuk akar kuadrat dari � dapat di tuliskan dalam bentuk sifat-sifat berikut:

Sifat

Untuk bilangan real � berlaku:

1. �� = � �� ≥ 0

2. �� = − � �� < 0 (��ℎ�� ℎ�� − � �� )

Sebagaimana pada bilangan yang lain juga dikenal operasi aljabar perkalian dan

penjumlahan bilangan bentuk akar.

Sifat

Untuk setiap �, b dan c bilangan positif berlaku:

1. √�� = �√��√�� (�� )

2. ��

�=

√�

√� (�� )

3. �√� + �√� = (� + �)√� (�� ℎ�� )

4. �√� − �√� = (� − �)√� (�� )

5. Perkalian Istimewa:

a. (� + �)(� − �) = �� − ��

b. (� ± �) = �� ± 2�� + ��

Contoh :

1. Hasil dari √64 = 8 karena 8� = 64

2. Hasil dari √125�

= 5, karena 5� = 125.

3. Hasil dari √16 = 4 �� − √16 = − 4, sedangkan √− 16 tidak ada.

4. √4 × 3 = √4 × √3 = 2 × √3 = 2√3

5. �2√5� × �√2� = 2√5 × 2 = 2√10

6. ��

�� =

√��

√��=

�

�

7. 5√2 − 3√2 = 2√2

8. 4√27 + 2√3 = 4√9 × 3 + 2√3 = 12√3 + 2√3 = 14√3



RASIONALISASI BENTUK AKAR

Rasionalisasi bentuk akar adalah mengubah penyebut yang berbentuk akar menjadi

penyebut yang tidak berbentuk akar. Ada 2 macam cara untuk merasionalisasi bentuk akar

yaitu:

1. Mengalikan bagian pembilang dan penyebut pada pecahan dengan penyebutnya.

2. Mengalikan masing -masing pembilang dan penyebut pada pecahan dengan sekawan

dari penyebutnya.

Contoh:

1. Rasionalkan bentuk ��

�.

Jawab: ��

�=

√�

√�×

√�

√�=

√�×�

�=

√��

�=

�

�√10

2. Rasionalkan bentuk akar dari �

��√�.

Jawab: �

��√�=

�

��√�×

��√�

��√�=

��√��

��√��(��√�)=

��√�

��=

�

�+

�

�√5

AKAR PANGKAT RASIONAL

Bagian ini akan dibahas bagaimana menyelesaikan perpangkatan dengan bilangan

pecahan.

Definisi

Jika � dan � adalah bilangan asli positif maka:

1. arti dari ��

� adalah √��

2. arti dari ��

� = ��

� ��

= � √��

��

3. arti dari ��

� = (��)�

� = √��

Contoh:

a. √27�

= 3 karena 3� = 27

b. √− 125�

= − 5 karena (− 5)� = − 125

c. (3)�

� = (3�)�

� = √3��= (√3

�)�

NILAI MUTLAK

Definisi

Nilai mutlak suatu bilangan real a dinotasikan dengan |�| dan didefinisikan dengan:

|�|= �� ≥ 0

− � �� < 0�



Berikut ini diberikan teorema-teorema dari nilai mutlak.

Teorema

Untuk setiap bilangan real � dan � maka berlaku:

1. �� = |�|

2. |�|≥ 0 nilai mutlak suatu bilangan selalu tak negatif.

3. |− �|= |�| suatu bilangan dengan negatifnya mempunyai nilai mutlak sama.

4. 4.|��|= |�||�| nilai mutlak dari perkalian merupakan perkalian nilai mutlak.

5. ��

��=

|�|

|�| nilai mutlak dari pembagian adalah pembagian nilai mutlak.

Contoh :

Dapatkan himpunan penyelesaian dari :

a. |5 − 2�|= 11

b. �(� − 1)� = 5

Penyelesaian :

a. Jika |5 − 2�|= 11, maka i). |5 − 2�|= 5 − 2�, �� 5 − 2� 0

5 − 2� = 11 Þ� = − 3

ii). |5 − 2�|= − (5 − 2�), �� 5 − 2�0

− (5 − 2�) = 11Þ� = 8

Jadi himpunan penyelesaiannya: -3,8

Cara lain:

|5 − 2�|= 11 Þ �(5 − 2�)� = 11, dikuadratkan menjadi

(5 − 2�)� = 11�

(5 − 2� + 11)(5 − 2� − 11) = 0

(16 − 2�)(− 6 − 2�) = 0

�� = 8 , �� = − 3

b. �(� − 1)� = 5 , dikuadratkan :

(� − 1)� = 5�

(� − 1)� − 5� = 0

(� − 1 + 5)(� − 1 − 5) = 0

(� + 4)(� − 6) = 0

�� = − 4 , �� = 6

Jadi Himpunan penyelesaiannya : -4,6



1. Dapatkan akar kuadrat dari:

a. √64 b. √256 c. √625 d. √576

e. √1369 f. √4225 g. √10201

h. √2809 i. √15129 j. √14641

2. Sederhanakanlah:

a. 3√2 + 5√2 − 7√2 = b. 4√3 − 5√12 + 2√75 =

c. 4√5 + 3√125 − 4√75 = d. √75 + √48 − 2√12 =

e. 3��

�− 2�

�

�+ 2√3 = f. 3√2 − √32 + 4√50 =

3. Tentukanlah nilai dari:

a. √3 × √6 = b. − √24 × √5 =

c. 3√5 × 2√7 = d. ��

��=

e. �3 − 4√3��√3 − √2� = f. �3√6 + √5��2√3 + 5√2� =

g. �2√5 − 3√6��6√2 + 4√3� = h. √�� × √�� =

4. Rasionalkan bentuk akar berikut ini:

a. �

√�= b.

�√��√��√�

√�= c.

�

��√�=

d. �√�

��√�= e.

�

√��√�= f.

�√�

√��√�=

g. �√��√��

��√�= h.

�

√��√�= f.

�√��√�

√��=

5. Tentukan hasilnya:

a. 64�

� = b. 27�

� = c. ��

��

�

�=

d. ��

��

��

�

�

�

e. (49��)�

� = f. (2��)��

� =

g. 2� × 2�

� = h. (��)�

� = i. ��

��

��

=

6. Tuliskan ke dalam bentuk yang lebih sederhana:

a. √27��= b. √�� = c. �125��

=

d. ��

��

�= e. �

��

��

�

= f. √2��

√� + � =

g. �(��)��

√��= h. �√�

�= i. ��

�

=

7. Hitunglah nilai |�| jika :

a. � = 5

b. � = − 56

c. � = √7

d. � = − √6

e. � = − ��




1.4. KETERBAGIAN / PEMBAGIAN

Suatu pembagian di notasikan dengan cb

a (baca: a dibagi b sama dengan c),

artinya cba . (a sama dengan b kali c).

Dari notasi a, b, c ini memiliki kemungkinan:

1. Jika 0b maka 00

b karena 0.0 b

2. Jika 0a maka 0

atak punya arti karena andaikan saja m

a

0 maka ma .0

dan tampak bahwa tidak ada nilai m yang memenuhi.

3. 0

0 bentuk tak tentu karena andaikan saja n

0

0 maka n.00 berarti nilai n

yang memenuhi tidak tunggal.

4. 0

a, dengan a adalah bilangan berhingga.

Contoh:

1. 2

1

2

1

2

0

2. 3. 12

13

12

49

3

1

4

3

3

1

6

0

4

3

3. 2

1

2

10

2

12

4. 4. 12

2

2

1

2

1

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Untuk mendapatkan FPB dari dua bilangan atau lebih adalah sbb:

Dicari dulu faktor persekutuan dari bilangan-bilangan itu. Bilangan paling besar dari

faktor-faktor persekutuan itu merupakan FPB dari bilangan tersebut.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Untuk mendapatkan KPK dari dua bilangan atau lebih adalah sbb:

Dicari dulu kelipatan dari bilangan-bilangan itu. Kemudian tentukan kelipatan

persekutuannya. Bilangan paling kecil dari kelipatan persekutuan itu merupakan KPK dari

bilangan tersebut.



Contoh:

Dapatkan FPB dan KPK dari 12 dan 18.

Penyelesaian:

Faktor dari 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Faktor dari 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Jadi FPB dari 12 dan 18 adalah 6.

Kelipatan dari 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ….

Kelipatan dari 18: 18, 36, 54, 72, 90, ……

Jadi KPK dari 12 dan 18 adalah 36.

Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua faktor. Misal: 2, 3, 5, 7,

11, 13, 19, 23. Jadi bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai faktor adalah

bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Jadi dengan faktor bilangan prima, cara mendapatkan

FPB dan KPK adalah sbb:

1. Setiap bilangan diuraikan menjadi pergandaan faktor-faktor primanya.

2. FPB adalah pergandaan faktor yang bersekutu dengan pangkat terkecil yang ada

disetiap bilangan.

3. KPK adalah pergandaan semua faktor yang ada, dimana jika ada faktor yang

sama harus diambil satu yang pangkatnya tertinggi.

Contoh:

Dapatkan FPB dan KPK dari 12 dan 18.

Penyelesaian:

12 = 2. 2. 3 = 2�. 3; 18 = 2. 3. 3 =2. 3�.

Sehingga: FPB = 2 . 3 = 6

KPK = 2�. 3� = 36

OPERASI PADA BILANGAN PECAHAN

Penyederhanaan Pecahan:

Contoh

1. 12

18=

2.2.3

2.3.3=

2

3

2. 36

45=

2.2.3.3

5.3.3=

4

5.

4. ��

��=

�.�.�.�

�.�.�.�.�=

�

��

Penjumlahan dan pengurangan pecahan:

Contoh 5

12+

7

18=

5.3

12.3+

7.2

18.2=

15

36+

14

36=

29

36



Caranya:

1. menyamakan penyebut dengan mencari KPK dari penyebut. KPK dari 12 dan 18

adalah 36.

2. Jika penyebut sudah sama, maka pembilangnya dijumlahkan, tetapi penyebut

tetap.

Contoh 3

8+

2

5−

1

4=

3.5

8.5+

2.8

5.8−

1.2.5

4.2.5=

15 + 16 − 10

40=

21

40

Contoh 1

8−

2

3+

1

4=

3 − 8 + 6

24=

1

24

1. Sederhanakan pecahan berikut :

a. ��

�� b.

��

�� c.

��

�� d.

��

�� e.

��

�� f.

��

��

2. Selesaikan :

a. �

��+

�

�� =

b. �

�−

�

�+

�

�� =

c. ��

��−

�

�+

�

� =

d. �

�+

��

��−

��

�� =

e. �

��+

�

� =

f. �

�+

�

�−

�

� =

g. ��

��−

�

�+

��

�� =

h. �

�+

��

��−

�

�−

�

� =




Logaritma Logaritma adalah kebalikan dari pemangkatan. Hal ini didasari akan seringnya

sebuah pertanyaan/ permasalahaan dari sebuah pertanyaan “ pangkat berapa sama

dengan ini. Dengan logaritma, perhitungan bilangan yang sangat besar dapat

disederhanakan.

2.1. PENGERTIAN LOGARITMA

Logaritma adalah invers bilangan berpangkat, seperti pada definisi berikut ini:

Untuk bilangan positif � dan � ≠ 1 maka arti dari

log �� = � adalah �� = �.

Dari definisi di atas, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan :

1. � adalah basis/bilangan pokok logaritma dan � adalah hasil logaritma.

2. � positif maka �� > 0 sehingga � juga positif.

3. � tidak boleh sama dengan 1.

4. �� = 1 maka log 1� = 0

Contoh :

1. log 100�� = 2

2. log 16� = 4

3. log 0,00001�� = − 5

4. log�

��

� = 2

5. log 8�� =�

�

2.2. SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Untuk sebarang bilangan positif � > 1 , � > 0 dan � > 0 maka berlaku:

1. log(�. �) = log � + log ��

2. log ��

�� = log �� − log ��

3. log �� = � log ��

4. log �� =��

��

5. jika diketahui 0 < � < � maka log �� < log ��

6. jika diketahui 0 < � < � maka log �� > log ��

MODUL 2



Selesaikan soal-soal berikut ini:

1. Dapatkan nilai dari logaritma berikut:

a. 64log2 = b.

9

1log27

= c. 125log25

=

d. 125log5

1

= e.64log2

= f. 128

1log2

=

g.3log81

= h. 9

1log27

= i. 10�� =

j. 10��,�� = k. 10�� =

2. Jika log 2�� = 0,31 dan log 3�� = 0,48 , dapatkan nilai dari logaritma berikut:

�. log 18�� = �. log�

�

�� = �. log 36�� =

�. log 12�

�� = �. log √144�� = �. log 120 =

�. log 7,5 = h. log 15 = i. log 3600 =

3. Hitunglah:

a. log 5� × log 2� × log 6� =

b. log 6� × log 5� × log 6� =

c. log 5� × log 5� × log 2� =

d. 2� log 5� ��

× log 2� × log 6� =

4. Nyatakan kedalam bentuk � dan � jika log 3� = � dan log 5� = � untuk logaritma

berikut ini:

�. log 30� = �. log 50� =

�. log 150� = �. log 15�

� =

�. log�

��

� = �. log�

��

�

� =

�. log 0,15� = ℎ. log 300�� =

�. log 0,3�,�� = �. log 600�,� =

SOAL-SOAL LATIHAN 2



Persamaan dan Pertidaksamaan Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda “sama dengan” atau “=” ,.

Sedangkan pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda “ , , , , ” .

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya.

3.1. Persamaan Persamaan Linier

Persamaan linier adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertingginya satu.

Contoh :

1. 6x + 12 = 0 ( persamaan linier satu variabel )

2. 8x + 4y = 6 ( persamaan linier dua variabel )

3. 2x + 3y – 5z =0 ( persamaan linier tiga variabel )

Bentuk umum persamaan linier :

ax + b = 0

dengan a0 dimana a adalah koefisien x dan b adalah konstanta.

Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan linier satu variable:

1. Kelompokkan variable pada satu sisi dan sisi lainnya untuk konstanta

2. Jumlahkan / kurangkan variable maupun konstantanya

3. Bagi konstanta dengan koefisien variable.

Contoh :

Tentukan nilai x dari persamaan linier 8x – 3 = 2x + 9

Penyelesaian :

8x – 3 = 2x + 9 8x - 2x = 9 + 3

6x = 12 x = ��

�= 2

Persamaan Kuadrat

Bentuk umum dari persamaan kuadrat dengan variable tak diketahui � adalah

�� + �� + � = � Dengan a,b,c bilangan diketahui dan � ≠ 0. Bilangan � disebut koefisien dari bagian

kuadrat, b disebut koefisien dari bagian linier dan c merupakan konstanta atau

tetapan.

MODUL 3



Akar-akar Persamaan Kuadrat

Ada beberapa cara untuk menentukan akar dari persamaan kuadrat. Diantaranya

adalah :

a. Memfaktorkan.

Dari persamaan kuadrat �� + �� + � = 0 dapat difaktorkan menjadi bentuk

(� + �)(� + �)=0

Sehingga didapatkan dua kemungkinan yaitu

(� + �)=0 atau (� + �)=0

Dengan demikian akan didapatkan akar-akar persamaan � = − � dan � = − �.

Contoh :

Dapatkan akar persamaan dari �� + 4� + 3 = 0

Penyelesaian :

Pertama dapatkan dulu faktor dari 3, yaitu 1 dan 3. Selanjutnya jumlah keduanya

harus sama dengan 4 dan hasil perkaliannya sama dengan 3.

Jadi 1 + 3 = 4 dan 1 x 3 = 3.

persamaan dapat diubah dulu dalam bentuk

(� + 1)(� + 3)= 0

(� + 1) = 0 �� (� + 3) = 0

Sehingga diperoleh ��=-1 dan ��=-3.

b. Rumus Kuadrat /Rumus ABC

Akar persamaan kuadrat �� + �� + � = 0 , � ≠ 0,

dapat dicari dengan rumus

��,�=��± √��

��

Contoh :

Dapatkan persamaan kuadrat dari 2�� − 4� − 6 = 0

Penyelesaian:

Persamaan diatas mempunyai a=2, b=-4 dan c=-6. Dengan menggunakan rumus

ABC diperoleh

��,�=�(��)± �(��)��.�.��

�.�

=�± √��

� =

�± √��

�

=�± �

�

=1± 2

Sehingga diperoleh ��=3 dan ��=-1.



1. Dapatkan akar-akar persamaan kuadrat dibawah ini dengan menggunakan

faktorisasi dan rumus ABC :

a. x� − 5x + 6 = 0

b. x� − 7x + 12 = 0

c. 12x� − 7x + 1 = 0

2. Dengan bantuan rumus ABC selesaikan persamaan :

a. � − 5√� − 6 = 0

b. �3�� + 10� − 5 = 0

3.2. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan Linier Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang variabelnya memiliki pangkat

tertingginya satu.

Bentuk umum pertidaksamaan linier dengan satu variable :

�� + � < 0. (�� ∶> , ≤ , ≥ , ≠ )

Dimana a adalah koefisien dan b adalah konstanta.

Sifat-sifat Pertidaksamaan.

1. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika ditambah atau dikurang dengan suatu

bilangan tertentu

a. Jika a > b a + c > b + c ; a – c > b – c

b. Jika a < b a + c < b + c ; a – c < b – c

2. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika dikali atau dengan suatu bilangan positif

a. Jika � > � dan � > 0 �� > �� dan �

�>

�

�

b. Jika � < � dan � > 0 �� < �� dan �

�<

�

�

3. Tanda pertidaksamaan akan berbalik jika dikali atau dengan suatu bilangan negatif

a. Jika � > � dan � < 0 �� < �� dan �

�<

�

�

b. Jika � < � dan � < 0 �� > �� dan �

�>

�

�

4. Pemangkatan pertidaksamaan

a. Jika � > � > 0 �� > �� > 0, �� > �� > 0, �� > �� > 0 dan seterusnya. Secara

umum �� > ��; � bilangan asli

b. Jika � < � < 0 �� > �� > 0, �� < �� < 0, �� > �� > 0 , dan seterusnya.

c. Secara umum : �� > ��; � bilangan genap dan �� < ��; � bilangan ganjil




5. Sifat – sifat lain :

a. Jika � > � dan � < � maka � > �

b. Jika � > � dan � > � maka � + � > � + �

c. Jika � > � > 0 atau � < � < 0 maka �

�<

�

�

d. Jika �

�> 0 maka �� > 0

Dengan sifat-sifat pertidaksamaan diatas, kita bisa menyelesaikan atau

mendapatkan himpunan penyelesaian dari sebuah pertidaksamaan.

Contoh :

Dapatkan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x – 2 < x + 6 .

Penyelesaian :

3x – 2 < x + 6

3x – 2 - x < x + 6 – x

2x – 2 < 6

2x – 2 + 2 < 6 + 2

2x < 8

x < �

�

x< 4

Pertidaksamaan Pecahan Linier

Bentuk umum : �(�)

�(�)> 0 , ( �� ∶ < , ≤ , ≥ , ≠ )

dengan syarat : �(�) ≠ 0

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Ruas kanan dinolkan

2. Tentukan pembuat nol pembilang dan penyebut pada ruas kiri

3. Gambar pada garis bilangan

4. Tentukan himpunan penyelesaiannya.

Contoh :

Dapatkan 0125

52

x

x

Penyelesaian:

025

2552

x

xx

025

37

x

x

, berdasar langkah ke 3 didapatkan

7

3x

, 5

2x



+ - +

Jad Himpunan penyelesaian : 7

3x

5

2x

Pertidaksamaan Kuadrat

Langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah :

a. Ubah Pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk persamaan kuadrat.

b. Dapatkan akar-akar persamaan kuadra tersebut.

c. Buatlah gambar pada garis bilangan.

d. Tentukan himpunan penyelesaiannya.

Contoh :

Selesaikan pertidaksamaan x2 – 5x – 6 < 0

Penyelesaian :

Ubah menjadi persamaan kuadrat �� − 5� − 6 = 0

Dengan faktorisasi didapat akar-akar persamaan

(� − 2)(� − 3) = 0

�� = 2 �� = 3

+ - +

2 3

Jadi Himpunan penyelesaiannya : 2 < � < 3

Pertidaksamaan Bentuk Akar

Pertidaksamaan bentuk akar

a. Jika axf )( untuk � > 0 �(�) ≤ �� ,dengan syarat �(�) ≥ 0.

b. Jika axf )( untuk � < 0 � = ∅

c. Jika )(xf )(xg �(�) < �(�), dengan syarat �(�) ≥ 0, �(�) ≥ 0

Contoh :

Tentukan nilai � yang memenuhi pertidaksamaan berikut :

1. 24 x < 3

2. 431 xx Penyelesaian:

1. 4� − 2 < 9 → 4� < 11 → � <��

�

2. � + 1 ≤ 3� − 4 → − 2� ≤ − 5 → � ≤�

�



Selesaikan soal-soal berikut:

1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 23x 2x 8 0 untuk x R adalah …

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x 5 x 6 x 112 2 adalah ...

3. Himpunan penyelesaian dari

2x 3x 5 x 31 1

3 3

adalah …

4. Himpunan penyelesaian dari x x 2log 9 log x ialah …

5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 25 2 1log x 2x 3

2 adalah …

6. Nilai � yang memenuhi pertidaksamaan 2

2

x x 2

11 3x x

9 1

273

adalah ...

7. Nilai � yang memenuhi 2x 3x 4 x 13 9 adalah …

8. Nilai-nilai � yang memenuhi 2

2

3x 7x 142

x 3x 4

adalah …

9. 2 2

3 5

x 3x 2 x 4x 3

berlaku untuk …

10. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen

2x 42x 4 19

27




TRIGONOMETRI

4.1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

C

α

A B

Hubungan antara ukuran Sudut dan Radian Satu radian ekivalen dengan

��

�=

��

Dan 1�ekivalen dengan

�� rad. Nilai berkaitan dengan3,14…

SIFAT-SIFAT Perbandingan Trigonometri

a. Sudut di kuadran II

Sin (180�-a) = Sin a Cot (180�-a) = -Cot a

Cos (180�-a) = -Cos a Sec (180�-a) = -Sec a

Tan (180�-a) = -Tan a Csc (180�-a) = Csc a

DEFINISI 4.4.1. Perbandingan Trigonometri

a. Sin a =�� a

�� =

��

��

b. Cos a =�� a

�� =

��

��

c. Tan a =�� a

�� a =

��

�� atau

Tan a =�� a

�� a

d. Cot a =�

�� a (dibaca cotangen)

e. Sec a =�

�� a (dibaca secan)

f. Csc a =�

�� a (dibaca cosecan)

MODUL 4



b. Sudut di kuadran III

Sin (180�+a) = -Sin a Cot (180�+a) = Cot a

Cos (180�+a) = -Cos a Sec (180�+a) = -Sec a

Tan (180�+a) = Tan a Csc (180�+a) = -Csc a

c. Sudut di kuadran IV

Sin (360�-a) = -Sin a Cot (360�-a) = -Cot a

Cos (360�-a) = -Cos a Sec (360�-a) = Sec a

Tan (360�-a) = -Tan a Csc (360�-a) = -Csc a

d. Sudut dengan kelipatan n

Sin (a + n. 360�) = Sin a Cot (a + n. 360�) = Cot a

Cos (a + n. 360�) = Cos a Sec (a + n. 360�) = Sec a

Tan (a + n. 360�) = Tan a Csc (a + n. 360�) = Csc a

Contoh :

1. Sin 137� = Sin (180�-43) = Sin 43�

2. Cos 217�= Sin (180�+37) = -Cos 37�

3. Cos 320�= Sin (360�-40) = Cos 40�

Rumus-rumus Trigonometri a. Rumus jumlah dan selisih dua sudut

Sin (a+b) = Sin acosb + cos asin b

Sin (a− b) = Sin acosb - cos asin b

Cos (a+b) =Cos acosb - Sin asin b

Cos (a− b) =Cos acosb + Sin asin b

b. Rumus sudut ganda

Sin 2a = 2Sin a Cos a

Cos 2a = Cos �a-Sin �a

Tan 2a = �� a

�� a



c. Rumus jumlah sinus dan cosinus

Sin a+Sin b = 2sin a�b

� cos

a�b

�

Sin a - Sin b = 2cos a�b

� sin

a�b

�

Cos a+Cos b = 2cos a�b

� cos

a�b

�

Cos a - Cos b= -2sin a�b

� sin

a�b

�

Contoh :

Cos 75�+Cos 15� = 2cos ��

� cos

��

�

= 2cos45�cos30�

= 2(�

�√2) (

�

�√3)

= �

�√6

1. Diberikan sudut x lancip dengan sin � =�

�.

Dapatkan cos � , tg � , sec � , cosec � , sec �

2. Diberikan sudut lancip � dengan sin � =�

�. Dapatkan sin 2� , cos 2� , tg 2�.

3. Sebuah kapal pesiar berlayar kea rah timur sejauh 30 mil, kemudian melanjutkan

perjalanan ke arah 30° sejauh 60 mil. Jarak kapal pesiar terhadap posisi saat mulai

berangkat adalah ……….

4. Sederhanakanlah:

a

a

a

a

6sin

2sin

6cos

2cos


MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 · PDF fileTeori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat...

Documents

Transcript of MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 · PDF fileTeori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat...