MAKALAH MATEMATIKA

“TEORAMA SISA”

Disusun Oleh :

Nama : Hurairoh Rhomodon 06081281419039: M. Agung Firman Sampurna 06081281419038: Rima Febriani 06081281419077

Dosen Pembimbing : Dra. Cecil Hiltri Martin M.Si. 196403111988032001: Dra. Nyimas Aisyah M.Pd 196411101991022001

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

TAHUN AJARAN 2014

Teorema Sisa

A. Pendahuluan

1. Sisa Pembagian (x−k)

Bukti: Hasil pembagian f ( x ) oleh ( x−k ) dapat ditulis sebagai

f ( x ) ≡ ( x−k ) g ( x )+s

Dengan s merupakan bilangan yang menyatakan sisa dan g ( x )

menyatakan hasil bagi. Kesamaan ini berlaku bagi sembarang x,

khususnya x=k , yang memberikan nilai

f ( x )=0+s

Perhatikan tanda ≡ menjadi ¿.

Jadi sisa s= f (k ).

Teorema Sisa digunakan dalam penyelesaian pembagian bentuk

Aljabar. Lebih ringkasnya, kunci yang penting dalam teorema sisa adalah

“nilai fungsi sama dengan sisa pembagian”, jadi apabila suatu fungsi

berderajat satu, artinya adalah “nilai fungsi = nol”. Bentuk pembagian

secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut :

“Fungsi yang dibagi = pembagi × hasil pembagian + sisa”

F ( x )=( x−a ) H ( x )+S

F (a )=(a−a ) H (a )+S

F (a )=S

Jika habis dibagi maka sisa pembagian sama dengan nol, sehingga F (a )=0

Misalkan f ( x ) suku banyak. Sisa pembagian f ( x ) oleh x−k adalah

f ( k ) yaitu nilai sukubanyak f di x=k .

Contoh 1.1

x2−12 x+k=0habis dibagi oleh ( x−2 ), tentukanlah nilai k!

Pembagian suku banyak dengan teorema sisa dan teorema faktor

berkaitan erat, intinya dalam pembagian suku banyak adalah sisa

pembagian. Menentukan sisa pembagian dapat dilakukan melalui

pembagian secara Horner maupun dengan menggunakan subtitusi untuk

mendapat nilai fungsi. Cara mana yang akan digunakan bergantung

kebutuhannya. Pada contoh soal diatas kita cukup menggunakan cara

subtitusi, caranya adalah sebagai berikut:

F ( x )=( x−a ) H ( x )+S

x2−12 x+k=( x−2 ) H ( x )+0 , sisanya 0 karena habis dibagi

Subtitusikan x=2

22+12 (2 )+k=(2−2 ) H ( x )

4−24+k=(0 ) H (x)

−20+k=0

k=20

Contoh 1.2

x3−12 x+k=0 habis dibagi oleh ( x−2 ), dan habis pula dibagi oleh...

Seperti yang sudah disebutkan diatas tadi, bahwa menggunakan

cara penyelesaian harus sesuai kebutuhan, oleh sebab itu contoh nomor 2

harus menggunakan cara Horner

Penyelesaiannya sebagai berikut :

2 1 0 -12 K

2 4 -16

1 2 -8 k−16=0

k=16

(sisa pembagian)

Hasil bagi : x2+2x−8=( x−4 ) ( x+2 )

Jadi x3−12 x+k=0 selain habis dibagi ( x−2 ) akan habis juga jika dibagi

( x+2 ) atau dibagi ( x−4 ).

Dari perhitungan contoh di atas terlihat bahwa f (2 )=16 yang merupakan

sisa pembagian f ( x ) oleh ( x−2 ).

2. Sisa pembagian oleh (ax+b )

Dengan cara yang sama, kita dapat menentukan sisa pembagian f ( x ) oleh

ax+b melalui bentuk

f ( x ) ≡ (ax+b ) g ( x )+s

Dengan s menyatakanbilangan yang merupakan sisa dan g ( x )

merupakan hasil bagi. Sisa pembagian dapat dicari dengan

mensubtitusikan nilai x sehingga suku pertama diruas kanan sama dengan

nol. Dalam hal ini nilai x adalah yang memenuhi (ax+b )=0 atau x=−ab .

Sisa pembagian sukubanyak f ( x ) oleh (ax+b ) adalah f (−ab ).

Contoh 2.1

Hitunglah sisa pembagian x4−5x2+39 x−8 dengan ( x−1 ) ( x+3 )

Jawab x4−5 x2+39 x−8=( x−1 ) ( x+3 ) Q ( x )+( px+q)ambil x=1 didapat

14−5 (1 )2+39 (1)−8=(1−1 ) (1+3 )Q (1 )+( p(1)+q)1−5+39−8=p+q

p+q=27 . . . . (1)

Ambil x=−1 didapat (−1)4−5 (−1 )2+39(−1)−8= (−1−1 ) (−1+3 )Q (−1 )+(p (−1)+q)

1−5−39−8=−p+q−51=−p+q

p−q=51 . . . . (2 )

p+q=27

p−q=51

2 p=78p=39

q=−12

Jadi sisa pembagian x4−5x2+39 x−8 dengan ( x−1 ) ( x+3 ) adalah 39 x−12

B. Latihan Soal dan Kunci Jawaban

1. Hitunglah a dan b, jika x3−a x2+5 x+b habis dibagi x2−2 x−3Jawaban:a=6dan b=12

2. Jika x5+a x3+b dibagi dengan x2−1, maka sisanya 2 x+1. Hitunglah a dan b

Jawaban :a=1dan b=1

3. Hitunglah p, Jika x2−12 x+ p habis dibagi x+2Jawaban:p=8

4. Hitunglah sisa pembagian-pembagian berikut:( x7+3 x5+1 ) ÷ ( x2−1 )( x9+5 x2−4 ) ÷ ( x8−x )

Jawaban:4 x+16 x2−4

5. Hitunglah hasil bagi berikut :(a4+b4 ) ÷(a−b)(a5+b5 ) ÷(a+b)

Jawaban:(a3+a2 b+ab2+b3)

(a4−a3 b+a2 b2−a b3+b4)6. Hitunglah sisa pembagian (x¿¿6−1)¿ oleh (x2−x−2)

Jawaban:21 x+21

7. Suku banyak P ( x )=x3−4 x2+x+ p dan Q ( x )=x2+3 x−2 dibagi (x+1) menghasilkan sisa yang sama. Tentukan konstanta P!

Jawaban: 28. Suku banyak F ( x )=2 x3+5 x2+ax+b dibagi (x+1) sisanya 1 dan jika

dibagi ( x−2 ) sisanya 43. Tentukan niali konstanta a dan !

Jawaban: a=3dan b=1

9. Suku banyak Q ( x )=a x3−7 x+b dibagi (x−1) sisanya 1 dan dibagi ( x+2 )

sisanya 4. Tentukan nilai konstanta a dan b.Jawaban: a=2 dan b=6

10. Suku banyak F (x) jika dibagi (x−1) bersisa 8, jika dibagi ( x+2 ) bersisa -1

dan jika dibagi (x2+ x−2) hasil baginya ( x2+1 ) . Tentukanlah F ( x ) !

Jawaban: x4+x3−x2+4 x+5

C. Sumber

Alders, C. J. 1987. Ilmu Aljabar Jilid 2. Jakarta: Pradnya Paramita.

Martono, dkk. 2007. Matematika dan Kecakapan Hidup. Jakarta: Ganeca

Exact.

Sulistiyono, dkk.2007.Matematika SMA dan MA untuk Kelas XI

Semester 2. Jakarta : Esis.

Wijdenes, P.1968.Aldjabar Rendah Djilid 1. Jakarta: Pradnja Paramita.