Materi 4 programasi linier dan solusi metode simpleks

Mohamad DimyatiMohamad Dimyati 11

Materi 4Materi 4PROGRAMASA LINIER:PROGRAMASA LINIER:

METODE SIMPLEKSMETODE SIMPLEKS


Pengertian Metode Pengertian Metode SimpleksSimpleks

Metode simpleks adalah suatu Metode simpleks adalah suatu prosedur aljabar yang menggunakan prosedur aljabar yang menggunakan operasi baris dasar untuk melakukan operasi baris dasar untuk melakukan iterasi dari satu layak dasar ke layak iterasi dari satu layak dasar ke layak dasar lainnya sampai solusi optimal dasar lainnya sampai solusi optimal tercapaitercapai

Mengatasi kelemahan metode grafik Mengatasi kelemahan metode grafik dalam menyelesaikan masalah dalam menyelesaikan masalah programasi linier untuk jumlah programasi linier untuk jumlah variabel lebih dari duavariabel lebih dari dua


Prosedur PerhitunganProsedur PerhitunganLangkah 1:konversikan persoalan Langkah 1:konversikan persoalan

ke dalam bentuk standarke dalam bentuk standar Karakteristik dari bentuk standarKarakteristik dari bentuk standar

dalam metode simpleks adalah:dalam metode simpleks adalah:1.1. semua pembatas mempunyai tanda semua pembatas mempunyai tanda

persamaan dengan nilai kanan positifpersamaan dengan nilai kanan positif2.2. Semua variabel Semua variabel nonnon negatif ( negatif (≥ 0)≥ 0)3.3. Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi

atau minimasiatau minimasi


Langkah 2 tentukan solusi baris awalLangkah 2 tentukan solusi baris awal Solusi baris awal pada metode simpleksSolusi baris awal pada metode simpleks

mencakup dua hal:mencakup dua hal:1.1. Jika semua pembatas mempunyai tanda Jika semua pembatas mempunyai tanda

ketidaksamaan (ketidaksamaan (≤), maka variabel slack ≤), maka variabel slack (S) dipakai sebagai solusi awal(S) dipakai sebagai solusi awal

2.2. Jika ada pembatas yang mempunyai tanda Jika ada pembatas yang mempunyai tanda ketidaksamaan (≥) dan persamaan (=), ketidaksamaan (≥) dan persamaan (=), maka digunakan metode yang disebut maka digunakan metode yang disebut teknik artificial variabel (Teknik M), teknik artificial variabel (Teknik M), sebagai solusi awalsebagai solusi awal

Solusi baris awal berbentuk matrik Solusi baris awal berbentuk matrik identitas (matrik 1)identitas (matrik 1)


Langkah 3 tentukan basic feasible solution yang Langkah 3 tentukan basic feasible solution yang baru dengan menggunakan kondisi feasibilitas baru dengan menggunakan kondisi feasibilitas dan optimalitas sampai solusi optimal tercapaidan optimalitas sampai solusi optimal tercapai

1.1. Kondisi optimalitasKondisi optimalitas::dari persamaan Zdari persamaan Z yang digambarkan dalam term yang digambarkan dalam term variable bukan basis (non basis), dipilih entering variable bukan basis (non basis), dipilih entering variabel dalam maksimasi (minimasi) sebagai variabel dalam maksimasi (minimasi) sebagai vaiabel bukan basis yang mempunyai koefesien vaiabel bukan basis yang mempunyai koefesien negatif (posistif) terbesar. Perbedaan penting antara negatif (posistif) terbesar. Perbedaan penting antara kondisi maksimasi dan minimasi adalah:kondisi maksimasi dan minimasi adalah:

Pada kondisi maksimasi pilih koefisien negatif Pada kondisi maksimasi pilih koefisien negatif terbesarterbesar

Pada kondisi minimasi pilih koefisien positif terbesarPada kondisi minimasi pilih koefisien positif terbesarbila koefisien variabel basis pada persamaan z sudah bila koefisien variabel basis pada persamaan z sudah tidak ada yang nigatif , maka kondisi optimasi sudah tidak ada yang nigatif , maka kondisi optimasi sudah tercapai tercapai


Langkah 3 tentukan basic feasible solution yang baru Langkah 3 tentukan basic feasible solution yang baru dengan menggunakan kondisi feasibilitas dan dengan menggunakan kondisi feasibilitas dan optimalitas sampai solusi optimal tercapaioptimalitas sampai solusi optimal tercapai

2.2. Kondisi feasibkleKondisi feasibkle:: kondisi feasible merupakan rasio antara nilai solusi (ruas kondisi feasible merupakan rasio antara nilai solusi (ruas

kanan pembatas) dengan koefesien pada earning variable kanan pembatas) dengan koefesien pada earning variable (EV). (EV).

kondisi feasible akan menghasilkan leaving variable (LV).kondisi feasible akan menghasilkan leaving variable (LV). LV adalah variabel yang akan digantikan oleh EVLV adalah variabel yang akan digantikan oleh EV Pada kondisi feasible pilih rasio positif terkecil (termasuk Pada kondisi feasible pilih rasio positif terkecil (termasuk

nilai nol)nilai nol)Tabel AwalTabel Awal Variabel Basis Variabel Non BasisBasis Z X1 X2 … S1 S2 … Solusi Rasio

ZS1

S2

…


Contoh 1:Contoh 1:FTFTmaksimasimaksimasi = Z = 3 = Z = 3X1 + 4X2

Pembatas:22X1 + 3X2 ≤ 243X1 + X2 ≤ 21 X1 + X2 ≤ 9 X1 , X2 ≥ 0

Tentukan nilai X1 dan X2 , dengan menggunakan metode simpleks

Penyelesaian:Bentuk Standar: FTFTmaksimasimaksimasi = Z = 3 = Z = 3X1 + 4X2

Pembatas:22X1 + 3X2 + S1 = 243X1 + X2 + S2 = 21 X1 + X2 + S3 = 9 X1 , X2 ≥ 0


Solusi Basis AwalSolusi Basis AwalBentuk standar berubah menjadi:Bentuk standar berubah menjadi:FTFTmaksimasimaksimasi = Z = 3 = Z = 3X1 + 4X2 + 0 S1 + 0S2 + 0S3

atau Z - 3Z - 3X1 - 4X2 - 0 S1 - 0S2 - 0S3

Pembatas:22X1 + 3X2 + 1 S1 + 0S2 + 0S3 = 2433X1 + X2 + 0 S1 + 1S2 + 0S3 = 21 X1 + X2 + 0 S1 + 0S2 + 1S3 = 9

Matriks IdentitasMatriks Identitas X1 , X2 , S1 , S2 , S3 ≥ 0


Tabel AwalTabel AwalEVEV

BasisBasis ZZ XX11 XX22 SS11 SS22 SS33 SolusiSolusi RasioRasio

ZZ 11 -3-3 -4-4 00 00 00

SS11 00 22 33 11 00 00 2424 88 LVLV

SS22 00 33 11 00 11 00 2121 2121

SS33 00 11 11 00 00 11 99 99

Terjadi perubahan posisi/letak, dimana XTerjadi perubahan posisi/letak, dimana X22 (EV) akan (EV) akan menggantikan posisi Smenggantikan posisi S11 (LV). Pivot (pertemuan antara (LV). Pivot (pertemuan antara EV dan LV) harus diubah menjadi angka 1, sehingga EV dan LV) harus diubah menjadi angka 1, sehingga nilai dari Xnilai dari X22 baru adalah: baru adalah:

Catatan: nilai pada pivot adalah 3, sehingga semua angka Catatan: nilai pada pivot adalah 3, sehingga semua angka yang ada dalam LV dibagi 3yang ada dalam LV dibagi 3

ZZ XX11 XX22 SS11 SS22 SS33 SolusiSolusi

XX22 0/30/3 2/32/3 3/33/3 1/31/3 0/30/3 0/30/3 24/324/3


Perubahan ini juga dilakukan terhadap Z, Perubahan ini juga dilakukan terhadap Z, SS22, , SS33. peruabahan dilakukan terutama . peruabahan dilakukan terutama berkaitan dengan nilai yang terdapat pada berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi 0EV, dimana nilainya harus menjadi 0

Perubahan ZPerubahan Z

Catatan: nilai pivot pada Z lama adalah(-4), Catatan: nilai pivot pada Z lama adalah(-4), sehingga nilai sehingga nilai XX2 2 baru dikalikan dengan 4.baru dikalikan dengan 4.

BasisBasis ZZ XX11 XX22 SS11 SS22 SS33 SolusiSolusi

Z lamaZ lama 11 -3-3 -4-4 00 00 00 00

XX22 baru (4) baru (4) 00 2,672,67 44 1,331,33 00 00 3232

Z baruZ baru 11 -0,33-0,33 00 1,331,33 00 00 3232


Perubahan SPerubahan S22

Catatan: nilai pivot pada Z lama adalah (1), sehingga nilai XCatatan: nilai pivot pada Z lama adalah (1), sehingga nilai X2 2 baru dikalikan dengan -1.baru dikalikan dengan -1. Perubahan SPerubahan S33

Catatan: nilai pivot pada Z lama adalah (1), sehingga nilai XCatatan: nilai pivot pada Z lama adalah (1), sehingga nilai X2 2 baru dikalikan dengan -1.baru dikalikan dengan -1.


SS22 lama lama 00 33 11 00 11 00 2121

XX22 baru (-1) baru (-1) 00 -0,67-0,67 -1-1 -0,33-0,33 00 00 -8-8

SS22 baru baru 00 2,332,33 00 -0,33-0,33 11 00 1313


SS33 lama lama 00 11 11 00 00 11 99

XX22 baru (-1) baru (-1) 00 -0,67-0,67 -1-1 -0,33-0,33 00 00 -8-8

SS33 baru baru 00 0,330,33 00 -0,33-0,33 00 11 11


Iterasi 1Iterasi 1EVEV


ZZ 11 -0,33-0,33 00 1,331,33 00 00 3232

XX22 00 0,670,67 11 0,330,33 00 00 88 11,9411,94

SS22 00 2,332,33 00 -0,33-0,33 11 00 1313 5.585.58

SS33 00 0,330,33 00 -0,33-0,33 00 11 11 3.033.03 LVLV

Terjadi perubahan posisi/letak, dimana XTerjadi perubahan posisi/letak, dimana X11 (EV) akan (EV) akan menggantikan posisi Smenggantikan posisi S33 (LV). Pivot (pertemuan antara (LV). Pivot (pertemuan antara EV dan LV0 harus diubah menjadi angka 1, sehingga EV dan LV0 harus diubah menjadi angka 1, sehingga nilai dari Xnilai dari X11 baru adalah: baru adalah:

Catatan: nilai pada pivot adalah 0,33, sehingga semua Catatan: nilai pada pivot adalah 0,33, sehingga semua angka yang ada dalam LV dibagi 1/3 atau 0,33angka yang ada dalam LV dibagi 1/3 atau 0,33


XX11 00 11 00 -1-1 00 33 33


Perubahan ini juga dilakukan terhadap Z, Perubahan ini juga dilakukan terhadap Z, XX22, , SS22. peruabahan dilakukan terutama berkaitan . peruabahan dilakukan terutama berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi 0nilainya harus menjadi 0


Catatan: nilai pivot pada Z lama adalah(-0,33), Catatan: nilai pivot pada Z lama adalah(-0,33), sehingga nilai sehingga nilai XX2 2 baru dikalikan dengan 0,33.baru dikalikan dengan 0,33.


Z lamaZ lama 11 -0,33-0,33 00 1,331,33 00 00 3232

XX11 baru (0,33) baru (0,33) 00 0,330,33 00 -0,33-0,33 00 11 11

Z baruZ baru 11 00 00 11 00 11 3333


Perubahan XPerubahan X22



XX22 lama lama 00 0,670,67 11 0,330,33 11 00 88

XX11 baru (-0,67) baru (-0,67) 00 -0,67-0,67 00 0,670,67 00 -2-2 -2-2

XX22 baru baru 00 00 11 11 00 -2-2 66


SS22 lama lama 00 2,332,33 00 -0,33-0,33 11 00 1313

XX11 baru (-2,33) baru (-2,33) 00 -2,33-2,33 00 2,332,33 00 -7-7 -7-7

SS22 baru baru 00 00 00 22 11 -7-7 66


Iterasi 2Iterasi 2

Variabel basis sudah tidak ada negatif, sehingga persoalan tersebut optimal, dimana XX1 1 = 3; X= 3; X2 2 = 6; = 6; dan Z = 33.dan Z = 33.


ZZ 11 00 00 00 00 11 3333

XX22 00 00 11 00 00 -2-2 66

SS22 00 00 00 11 11 -7-7 66

XX11 00 11 00 00 00 33 33


Teknik ArtificialTeknik Artificial Teknik artificial digunakan jika beberapa pembatas memiliki tanda Teknik artificial digunakan jika beberapa pembatas memiliki tanda

ketidaksamaan (ketidaksamaan (≥) dan permasaan (=)≥) dan permasaan (=) Metode umum yang digunakan adalah teknik M dengan prosedur:Metode umum yang digunakan adalah teknik M dengan prosedur:1.1. Konversikan persamaan ke dalam bentuk persamaanKonversikan persamaan ke dalam bentuk persamaan2.2. Tambahkan variabel non negatif pada ruas kiri dari setiap pembatas yang Tambahkan variabel non negatif pada ruas kiri dari setiap pembatas yang

memiliki tanda ketidaksamaan (tanda ≥ ditambahkan artificial variabel dan memiliki tanda ketidaksamaan (tanda ≥ ditambahkan artificial variabel dan dikurangi surplus variabel) atau tanda persamaan (tanda = ditambahkan dikurangi surplus variabel) atau tanda persamaan (tanda = ditambahkan artificial variabel)artificial variabel)

3.3. Variabel ini disebut artificial variabel (R) Surplus Variabel (S)Variabel ini disebut artificial variabel (R) Surplus Variabel (S)4.4. Agar semua variabel R memiliki nilai nol pada solusi akhir, maka fungsi Agar semua variabel R memiliki nilai nol pada solusi akhir, maka fungsi

tujuan dikalikan dengan suatu bialangan dengan nilai yang sangat besar, tujuan dikalikan dengan suatu bialangan dengan nilai yang sangat besar, yaitu bilangan Myaitu bilangan M

5.5. M adalah (-M) pada persoalan maksimasi dan (+M) pada persoalan minimasi M adalah (-M) pada persoalan maksimasi dan (+M) pada persoalan minimasi 6.6. Gunakan artificial variabel sebagai solusi awal, Jika koefisien basis variabel Gunakan artificial variabel sebagai solusi awal, Jika koefisien basis variabel

tidak sama dengan nol pada tabel awal, maka dilakukan eliminasi, sehingga tidak sama dengan nol pada tabel awal, maka dilakukan eliminasi, sehingga diperoleh nilai noldiperoleh nilai nol

Pers Z baru = pers Z lama + (M x pers RPers Z baru = pers Z lama + (M x pers R11) + (M x Pers M) + (M x Pers M22) ) 7.7. Untuk mendapatkan nilai solusi yang optimal, maka proses yang dilakukan Untuk mendapatkan nilai solusi yang optimal, maka proses yang dilakukan

sama dengan proses yang dilakukan pada metode simoleks dengan slack sama dengan proses yang dilakukan pada metode simoleks dengan slack variabel.variabel.


Contoh :Contoh :FTFTmaksimasimaksimasi = Z = 5 = Z = 5X1 + 12X2 + 4X3 Pembatas:

X1 + 2X2 + X3 ≤ 52X1 - 2X2 + 3X3 = 2 X1 , X2 , X3 ≥ 0

Tentukan nilai X1 ,X2 , X3 .Penyelesaian:Bentuk Standar: 1. Pembatas 1: tanda 1. Pembatas 1: tanda ≤, shg ditambahkan slack variabel2. Pembatas 2: tanda =, shg ditambahkan R2. Pembatas 2: tanda =, shg ditambahkan R22

3. FT maksimasi, maka digunakan bilangan (-M)3. FT maksimasi, maka digunakan bilangan (-M)FTFTmaksimasimaksimasi = Z = 5 = Z = 5X1+12X2+4X3 – MR2, shg Z-5Z-5X1-12X2-4X3+MR2

Pembatas: X1 + 2X2 + X3 + 1S1 = 5 2X1 - 2X2 + 3X3 + RR22 = 2 X1 , X2 , X3 , S1 , R2 ≥ 0


Tabel StandarTabel Standar

BasisBasis ZZ XX11 XX22 XX33 SS11 RR22 SolusiSolusi

ZZ 11 -5-5 -12-12 -4-4 00 MM

SS11 00 11 22 11 11 00 55

RR22 00 22 -2-2 33 00 11 22

Koefisien RKoefisien R22 harus memiliki nilai 0, shg harus dicari persamaan Z baru harus memiliki nilai 0, shg harus dicari persamaan Z baru

Menentukan Z baruMenentukan Z baru


Z lamaZ lama 11 -5-5 -12-12 -4-4 00 MM

- M (R- M (R22)) 00 -2M-2M 2M2M -3M-3M 00 -M-M 2M2M

Z baruZ baru 11 -5 -2M-5 -2M -12 + 2M-12 + 2M -4 – 3M-4 – 3M 00 00 -2M-2M



BasisBasis ZZ XX11 XX22 XX33 SS11 RR22 SolusiSolusi RasioRasio

ZZ 11 -5 + 2M-5 + 2M -12+2M-12+2M -4-3M-4-3M 00 00 -2M-2M

SS11 00 11 22 11 11 00 55 55

RR22 00 22 -2-2 33 00 11 22 2/32/3 LVLV

Catatan: Fungsi FT maksimasi, shg EV ditentukan dari variabel yang memiliki koefisien M Catatan: Fungsi FT maksimasi, shg EV ditentukan dari variabel yang memiliki koefisien M paling negatif. Terjadi perubahan posisi/letak dimana Xpaling negatif. Terjadi perubahan posisi/letak dimana X33 (EV) akan menggantikan (EV) akan menggantikan posisi nilai Rposisi nilai R22 (LV). Pivot (pertemuan EV dengan LV) harus diubah menjadi angka 1, (LV). Pivot (pertemuan EV dengan LV) harus diubah menjadi angka 1, sehingga nilai dari Xsehingga nilai dari X33 baru adalah: baru adalah:

Catatan: nilai pada pivot adalah 3, sehingga semua angka yang ada dalam LV dibagi 3.Catatan: nilai pada pivot adalah 3, sehingga semua angka yang ada dalam LV dibagi 3.Perubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z dan RPerubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z dan R2. 2. perubahan dilakukan terutama perubahan dilakukan terutama

berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol

ZZ XX11 XX22 XX33 SS11 RR22 SolusiSolusi

XX3300 2/32/3 -2/3-2/3 3/3=13/3=1 0/30/3 1/31/3 2/32/3





Z lamaZ lama 11 -5 -2M-5 -2M -12 + 2M-12 + 2M -4 – 3M-4 – 3M 00 00 -2M-2M

XX33(4+3M)(4+3M) 00 8/3+2M8/3+2M -8/3-2M-8/3-2M 4+3M4+3M 00 4/3+M4/3+M 8/3+2M8/3+2M

Z baru Z baru 11 -7/3=-2,33-7/3=-2,33 -14,67-14,67 00 00 4/3+M4/3+M 8/3=2,678/3=2,67


SS11 lama lama 00 11 22 11 11 00 55

XX33(-1)(-1) 00 -2/3=-0,67-2/3=-0,67 0,670,67 -1-1 00 -0,33-0,33 -2/3=-0,67-2/3=-0,67

SS11 baru baru 00 0,330,33 2,672,67 00 11 -0,33-0,33 4,334,33




ZZ 11 -2,33-2,33 -14,67-14,67 00 00 4/3+M4/3+M 2,672,67

SS11 00 0,330,33 2,672,67 00 11 -0,33-0,33 4,334,33 1,631,63 LVLV

XX33 00 0,670,67 -0,67-0,67 11 00 0,330,33 0,670,67 -1-1

Catatan: Terjadi perubahan posisi/letak dimana XCatatan: Terjadi perubahan posisi/letak dimana X22 (EV) akan menggantikan posisi nilai S (EV) akan menggantikan posisi nilai S11 (LV). Pivot (pertemuan EV dengan LV) harus diubah menjadi angka 1, sehingga nilai (LV). Pivot (pertemuan EV dengan LV) harus diubah menjadi angka 1, sehingga nilai dari Xdari X22 baru adalah: baru adalah:

Catatan: nilai pada pivot adalah 2,67, sehingga semua angka yang ada dalam LV dibagi Catatan: nilai pada pivot adalah 2,67, sehingga semua angka yang ada dalam LV dibagi 2,67.2,67.

Perubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z dan XPerubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z dan X3. 3. perubahan dilakukan terutama perubahan dilakukan terutama berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol


XX2200 0,1240,124 11 00 0,3750,375 -0,124-0,124 1,631,63





Z lamaZ lama 11 -2,33-2,33 -14,67-14,67 00 00 4/3+M4/3+M 2,672,67

XX22(14,67)(14,67) 00 1,821,82 14,6714,67 00 5,55,5 1,821,82 23,9123,91

Z baru Z baru 11 -0,51-0,51 00 00 5,55,5 3,15+M3,15+M 26,5826,58


XX33 lama lama 00 0,670,67 -0,67-0,67 11 00 0,330,33 0,670,67

XX22(0,67)(0,67) 00 0,080,08 0,670,67 00 0,250,25 0,080,08 1,091,09

XX33 baru baru 00 0,750,75 00 11 0,250,25 0,410,41 1,761,76




ZZ 11 -0,51-0,51 00 00 5,55,5 3,15+M3,15+M 26,5826,58

XX22 00 0,1240,124 11 00 0,3750,375 0,1240,124 1,631,63 13,1513,15

XX33 00 0,750,75 00 11 0,250,25 0,410,41 1,761,76 2,342,34 LVLV

Catatan: Terjadi perubahan posisi/letak dimana XCatatan: Terjadi perubahan posisi/letak dimana X22 1(EV) akan menggantikan posisi nilai 1(EV) akan menggantikan posisi nilai XX33 (LV). Pivot (pertemuan EV dengan LV) harus diubah menjadi angka 1, sehingga (LV). Pivot (pertemuan EV dengan LV) harus diubah menjadi angka 1, sehingga nilai dari Xnilai dari X11 baru adalah: baru adalah:

Catatan: nilai pada pivot adalah 2,67, sehingga semua angka yang ada dalam LV dibagi Catatan: nilai pada pivot adalah 2,67, sehingga semua angka yang ada dalam LV dibagi 2,67.2,67.

Perubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z dan XPerubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z dan X3. 3. perubahan dilakukan terutama perubahan dilakukan terutama berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol


XX1100 11 00 1,331,33 0,330,33 0,550,55 2,352,35





Z lamaZ lama 11 -0,51-0,51 00 00 5,55,5 3,15+M3,15+M 26,5826,58

XX11(0,51)(0,51) 00 0,510,51 00 0,680,68 0,170,17 0,280,28 1,201,20

Z baru Z baru 11 00 00 0,680,68 5,675,67 3,43+M3,43+M 27,7827,78


XX22 lama lama 00 0,1240,124 11 00 0,3750,375 0,1240,124 1,631,63

XX11(-0,124)(-0,124) 00 -0,124-0,124 00 -0,165-0,165 -0,041-0,041 -0,068-0,068 -0,29-0,29

XX22 baru baru 00 00 11 -0,165-0,165 0,3340,334 0,0560,056 1,341,34


Iterasi 3Iterasi 3Variabel BasisVariabel Basis Variabel non BasisVariabel non Basis


ZZ 11 00 00 0,680,68 5,675,67 3,43+M3,43+M 27,7827,78

XX22 00 00 11 -0,165-0,165 0,3340,334 0,0560,056 1,341,34

XX1100 11 00 1,331,33 0,330,33 0,550,55 2,352,35

Variabel basis sudah tidak ada yang negatif, sehingga Variabel basis sudah tidak ada yang negatif, sehingga persoalan tersebut adalah sudah optimal, di mana Xpersoalan tersebut adalah sudah optimal, di mana X11= = 2,35; X2,35; X22= 1,34; dan Z= 27,78; = 1,34; dan Z= 27,78;


Contoh untuk latihan:Contoh untuk latihan:FTFTminimisasiminimisasi= Z = 60= Z = 60X1 + 40X2 + 80X3

Pembatas: 3X3X1 + 2X2 + X3 ≥ 2 4X1 + X2 + 3X3 ≥ 4 2X1 + 2X2 + 2X3 ≥ 3 X1 , X , X3 ≥ 0

Tentukan nilai X1 ,X2 , X3 . Dan FTPenyelesaian:Bentuk Standar: 1. Pembatas 1,2,dan 3: tanda 1. Pembatas 1,2,dan 3: tanda ≥, shg ditambahkan artificial

variabel (+R) dan dikurangi surplus variabel (-S)3. FT maksimasi, maka digunakan bilangan (-M)3. FT maksimasi, maka digunakan bilangan (-M)FTFTminimisasiminimisasi = Z = 60 = Z = 60X1 + 40X2 + 80X3 + MR1 + MR2 + MR3,sehingga Z - 60Z - 60X1 - 40X2 - 80X3 - MR1 - MR2 - MR3 Pembatas:

3X3X1 + 2X2 + X3 – S1 + R1 = 2 4X1 + X2 + 3X3 – S2 + R2 = 4 2X1 + 2X2 + 2X3 – S3 + R3 = 3

X1 , X , X3 , S1 , S2 , S3 , R1 , R2 , R3 ≥ 0


Bentuk Standar AwalBentuk Standar Awal

Basis Basis ZZ X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 S3S3 R1R1 R2R2 R3R3 SolusiSolusi

ZZ 11 -60-60 -40-40 -80-80 00 00 00 -M-M -M-M -M-M

R1R1 00 33 22 11 -1-1 00 00 11 00 00 22

R2R2 00 44 11 33 00 -1-1 00 00 11 00 44

R3R3 00 22 22 22 00 00 -1-1 00 00 11 33

Perubahan Z baruPerubahan Z baru

Basis Basis ZZ X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 S3S3 R1R1 R2R2 R3R3 SolusiSolusi

ZlamaZlama 11 -60-60 -40-40 -80-80 00 00 00 -M-M -M-M -M-M 00

(M)R1(M)R1 00 3M3M 2M2M 1M1M -M-M 00 00 MM 00 00 2M2M

(M)R2(M)R2 00 4M4M MM 3M3M 00 -M-M 00 00 MM 00 4M4M

(M)R3(M)R3 00 2M2M 2M2M 2M2M 00 00 -M-M 00 00 MM 3M3M

ZbaruZbaru 11 -60+9M-60+9M -40+5M-40+5M -80+6M-80+6M -M-M -M-M -M-M 00 00 00 9M9M



Basis Basis ZZ X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 S3S3 R1R1 R2R2 R3R3 SolusiSolusiZZ 11 -60+9M-60+9M -40+5M-40+5M -80+6M-80+6M -M-M -M-M -M-M 00 00 00 9M9M

R1R1 00 33 22 11 -1-1 00 00 11 00 00 22 LVLV

R2R2 00 44 11 33 00 -1-1 00 00 11 00 44

R3R3 00 22 22 22 00 00 -1-1 00 00 11 33

FT adalah minimasi sehingga EV ditentukan pada variabel yang memiliki Koefisien positif FT adalah minimasi sehingga EV ditentukan pada variabel yang memiliki Koefisien positif terbesarterbesar

ZZ X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 S3S3 R1R1 R2R2 R3R3 SolusiSolusi

X1X1 00 11 2/32/3 1/31/3 -1/3-1/3 00 00 1/31/3 00 00 2/32/3

Perubahan Z Perubahan Z Basis Basis ZZ X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 S3S3 R1R1 R2R2 R3R3 SolusiSolusi

ZlamaZlama 11 -60+9M-60+9M -40+5M-40+5M -80+6M-80+6M -M-M -M-M -M-M 00 00 00 9M9M

X1(60-9M)X1(60-9M) 00 60-9M60-9M 40-6M40-6M 20-3M20-3M -20+3M-20+3M 00 00 20-3M20-3M 00 00 40-6M40-6M

Z baruZ baru 00 00 -M-M -60+3M-60+3M -20+2M-20+2M -M-M -M-M 20-3M20-3M 00 00 40+3M40+3M


Perubahan R2 Perubahan R2 Basis Basis ZZ X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 S3S3 R1R1 R2R2 R3R3 SolusiSolusi

R2lamaR2lama 00 44 11 33 00 -1-1 00 00 11 00 44

X1(-4)X1(-4) 00 -4-4 -8/3-8/3 -4/3-4/3 4/34/3 00 00 -4/3-4/3 00 00 -8/3-8/3

R2baruR2baru 00 00 -5/3-5/3 -60+3M-60+3M 4/34/3 -1-1 00 -4/3-4/3 11 00 4/34/3

Perubahan R3Perubahan R3Basis Basis ZZ X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 S3S3 R1R1 R2R2 R3R3 SolusiSolusi

R3lamaR3lama 00 22 22 22 00 00 -1-1 00 00 11 33

X1(-2)X1(-2) 00 -2-2 -4/3-4/3 -2/3-2/3 2/32/3 00 00 -2/3-2/3 00 00 -4/3-4/3

R3 baruR3 baru 00 00 2/32/3 4/34/3 2/32/3 00 -1-1 -2/3-2/3 00 11 5/35/3



Basis Basis ZZ X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 S3S3 R1R1 R2R2 R3R3 SolusiSolusiZZ 11 00 -M-M -60+3M-60+3M -20+2M-20+2M -M-M -M-M 20-3M20-3M 00 00 40+3M40+3M

X1X1 00 11 2/32/3 1/31/3 -1/3-1/3 00 00 1/31/3 00 00 2/32/3

R2R2 00 00 -5/3-5/3 5/35/3 4/34/3 -1-1 00 -4/3-4/3 11 00 4/34/3 LVLV

R3R3 00 00 2/32/3 4/34/3 2/32/3 00 -1-1 -2/3-2/3 00 11 5/35/3

FT adalah minimasi sehingga EV ditentukan pada variabel yang memiliki Koefisien positif FT adalah minimasi sehingga EV ditentukan pada variabel yang memiliki Koefisien positif terbesarterbesar

ZZ X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 S3S3 R1R1 R2R2 R3R3 SolusiSolusi

X3X3 00 00 -1-1 11 4/54/5 -3/5-3/5 00 -4/5-4/5 3/53/5 00 4/54/5

Perubahan Z dan seterusnyaPerubahan Z dan seterusnyaBasis Basis ZZ X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 S3S3 R1R1 R2R2 R3R3 SolusiSolusi

ZlamaZlama 11 00 -M-M -60+3M-60+3M -20+2M-20+2M -M-M -M-M 20-3M20-3M 00 00 40+3M40+3M

X3(60-3M)X3(60-3M) 00 00 -60+3M-60+3M 60-3M60-3M 48-2,4M48-2,4M 36+1.8M36+1.8M 00

Z baruZ baru


Kasus-kasus pada Metode Kasus-kasus pada Metode SimpleksSimpleks

1.1. DegeneracyDegeneracy Terjadi jika pada kondisi feasibilitas terdapat Terjadi jika pada kondisi feasibilitas terdapat

rasio minimum yag sama atau kembarrasio minimum yag sama atau kembar Jika hal tersebut terjadi, maka pemilihan Jika hal tersebut terjadi, maka pemilihan

leaving variable (LV) dilakukan secara leaving variable (LV) dilakukan secara semabarang/acaksemabarang/acak

Akibat yang dimunculkan adalah adanya satu Akibat yang dimunculkan adalah adanya satu atau lebih variabel basis akan sama dengan atau lebih variabel basis akan sama dengan nol pada iterasi berikutnya.nol pada iterasi berikutnya.

Pada saat terjadi degeneracy, tidak ada Pada saat terjadi degeneracy, tidak ada suatu jaminan bahwa nilai Fungsi Tujuan (FT) suatu jaminan bahwa nilai Fungsi Tujuan (FT) akan diperbaikiakan diperbaiki

Dalam hal ini iterasi metode simpleks untuk Dalam hal ini iterasi metode simpleks untuk persoalan demikian akan memasuki suatu persoalan demikian akan memasuki suatu lingkaran tanpa solusi optimallingkaran tanpa solusi optimal

Persoalan ini disebut cyclingPersoalan ini disebut cycling


Contoh :Contoh :FTFTmaksimasimaksimasi = Z = 3 = Z = 3X1 + 9X2 Pembatas:

X1 + 4X2 ≤ 8 X1 + 2X2 ≤ 4 X1 , X2 ≥ 0

Tentukan nilai X1 ,X2 , Penyelesaian:Bentuk Standar: FTFTmaksimasimaksimasi = Z - 3 = Z - 3X1 - 9X2 – 0S1 – 0S2

Pembatas: X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 8 X1 + 2X2 + 0S1 + 1S2 = 4 X1 , X2 , S1 , S2 ≥ 0



BasisBasis ZZ XX11 XX22 SS11 SS22 SolusiSolusi RasioRasio

ZZ 11 -3-3 -9-9 00 00 00

SS11 00 11 44 11 00 88 22 LVLV

SS22 00 11 22 00 11 44 22 LVLV

Nilai rasionya sama, shg boleh memilih salah satu rasion yang nantinya ditetapkan Nilai rasionya sama, shg boleh memilih salah satu rasion yang nantinya ditetapkan menjadi leaving variable. Jika yang ditetapkan sebagai LV adalah Smenjadi leaving variable. Jika yang ditetapkan sebagai LV adalah S22 , maka akan , maka akan terjadi perpindahan dari EV (Xterjadi perpindahan dari EV (X22) ke LV (S) ke LV (S22 ) )

Perubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z dan SPerubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z dan S1. 1. perubahan dilakukan terutama perubahan dilakukan terutama berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol

ZZ XX11 XX22 SS11 SS22 SolusiSolusi

XX2200 1/21/2 11 00 1/21/2 22




BasisBasis ZZ XX11 XX22 SS11 SS22 SolusiSolusi

Z lamaZ lama 11 -3-3 -9-9 00 00 00

XX22(9)(9) 00 9/29/2 99 00 9/29/2 1818

Z baru Z baru 11 3/23/2 00 00 9/29/2 1818


SS11 lama lama 00 11 44 11 00 88

XX22(-4)(-4) 00 -2-2 -4-4 00 -2-2 -8-8

SS11 baru baru 00 -1-1 00 11 -2-2 00


Iterasi 1Iterasi 1

Variabel BasisVariabel Basis Variabel non BasisVariabel non BasisBasisBasis ZZ XX11 XX22 SS11 SS22 SolusiSolusi

ZZ 11 3/23/2 00 00 9/29/2 1818

XX11 00 -1-1 00 11 -2-2 00

XX2200 1/21/2 00 11 5/25/2 22

Persoalan tersebut sudah optimal, tetapi yang perlu dicatat Persoalan tersebut sudah optimal, tetapi yang perlu dicatat adalah pada masalah degenerasi, nilai salah satu adalah pada masalah degenerasi, nilai salah satu variabel basis akan sama dengan nol. Nilai optimalnya variabel basis akan sama dengan nol. Nilai optimalnya adalah Z = 18, Xadalah Z = 18, X11= 0; X= 0; X22= 2; = 2;


2.2. Temporary Degeneracy SolutionTemporary Degeneracy Solution Terjadi jika solusi pada iterasi pertama Terjadi jika solusi pada iterasi pertama

adalah degenerasi, sedangkan solusi adalah degenerasi, sedangkan solusi optimal diberikan oleh iterasi kedua (dan optimal diberikan oleh iterasi kedua (dan selanjutnya) yang merupakan solusi non selanjutnya) yang merupakan solusi non degenerasidegenerasiContoh:Contoh:FTFTmaksimasimaksimasi = Z = 3 = Z = 3X1 + 2X2 Pembatas:

44X1 + 3X2 ≤ 124X1 + X2 ≤ 84X1 - X2 ≤ 8 X1 , X2 ≥ 0

Tentukan nilai X1 ,X2 ,


Penyelesaian:Bentuk Standar: FTFTmaksimasimaksimasi = Z=3 = Z=3X1+2X2+0S1+0S2+0S3

Sehingga Z - 3Sehingga Z - 3X1-2X2 -0S1 - 0S2-0S3=0Pembatas:

44X1 + 3X2 + 1S1 + 0S2 +0S3= 124X1 + X2 + 0S1 + 1S2 +0S3= 84X1 - X2 + 0S1 + 0S2 +1S3= 8 X1 , X2 , S1 , S2 , S3 ≥ 0




ZZ 11 -3-3 -2-2 00 00 00 00

SS11 00 44 33 11 00 00 1212 12/4=312/4=3

SS22 00 44 11 00 11 00 88 8/4=28/4=2 LVLV

SS33 00 44 -1-1 00 00 11 88 8/4=28/4=2

Nilai rasionya sama, shg boleh memilih salah satu rasion yang nantinya ditetapkan Nilai rasionya sama, shg boleh memilih salah satu rasion yang nantinya ditetapkan menjadi leaving variable. Jika yang ditetapkan sebagai LV adalah Smenjadi leaving variable. Jika yang ditetapkan sebagai LV adalah S22 , maka akan , maka akan terjadi perpindahan dari EV (Xterjadi perpindahan dari EV (X11) ke LV (S) ke LV (S22 ) )

Perubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z dan SPerubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z dan S1. 1. perubahan dilakukan terutama perubahan dilakukan terutama berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol


XX1100 11 1/41/4 00 1/41/4 00 22





Z lamaZ lama 11 -3-3 -2-2 00 00 00 00

XX11(3)(3) 00 33 3/43/4 00 3/43/4 00 66

Z baru Z baru 11 00 -5/4-5/4 00 3/43/4 00 66


SS11 lama lama 00 44 33 11 00 00 1212

XX11(-4)(-4) 00 -4-4 -1-1 00 -1-1 00 -8-8

SS11 baru baru 00 00 22 11 -1-1 00 44




SS33 lama lama 00 44 -1-1 00 00 11 88

XX11(-4)(-4) 00 -4-4 -1-1 00 -1-1 00 -8-8

SS33 baru baru 00 00 -2-2 00 -1-1 11 00




ZZ 11 00 -5/4-5/4 00 3/43/4 00 66

SS11 00 00 22 11 -1-1 00 44 22 LVLV

XX11 00 11 1/41/4 00 1/41/4 00 22 88

SS33 00 00 -2-2 00 -1-1 11 00 00Pada variabel basis msh ada nilai yg negtif, sehingga persoalan tersebut belum optimal. Pada variabel basis msh ada nilai yg negtif, sehingga persoalan tersebut belum optimal.

Akibatnya akan terjadi perubahan posisi/letak, dimana XAkibatnya akan terjadi perubahan posisi/letak, dimana X2 2 (EV) akan menggantikan (EV) akan menggantikan posisi Sposisi S11 (LV ). Pivot (pertemuan antara EV dengan LV) harus diubah menjadi angka (LV ). Pivot (pertemuan antara EV dengan LV) harus diubah menjadi angka 1, sehingga nilai X1, sehingga nilai X22 baru adalah: baru adalah:

Perubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z, XPerubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z, X11 dan S dan S3. 3. perubahan dilakukan terutama perubahan dilakukan terutama berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol


XX2200 00 11 1/21/2 -1/2-1/2 00 22





Z lamaZ lama 11 00 -5/4-5/4 00 3/43/4 00 66

XX22(5/4)(5/4) 00 00 5/45/4 5/85/8 -5/8-5/8 00 10/410/4

Z baru Z baru 11 00 00 5/85/8 1/81/8 00 17/217/2


XX11 lama lama 00 11 1/41/4 00 1/41/4 00 22

XX22(-1/4)(-1/4) 00 00 -1/4-1/4 -1/8-1/8 1/81/8 00 -1/2-1/2

SS11 baru baru 00 11 00 -1/8-1/8 3/83/8 00 3/23/2




SS33 lama lama 00 00 -2-2 00 00 11 00

XX22(2)(2) 00 00 22 10/810/8 2/82/8 00 44

SS33 baru baru 00 00 00 10/810/8 2/82/8 11 44




ZZ 11 00 00 5/85/8 1/81/8 00 17/217/2

XX22 00 00 11 1/21/2 -1/2-1/2 00 22

XX1100 11 00 -1/8-1/8 3/83/8 00 3/23/2

SS3300 00 00 10/810/8 2/82/8 11 44

Variabel basis sudah tidak ada yang negatif, sehingga Variabel basis sudah tidak ada yang negatif, sehingga persoalan tersebut adalah sudah optimal, di mana Xpersoalan tersebut adalah sudah optimal, di mana X11= = 3/2; X3/2; X22= 2; dan Z= 17/2; = 2; dan Z= 17/2;


3.3. Unbounded SolutionUnbounded Solution Secara umum, solusi unbounded terjadi jika Secara umum, solusi unbounded terjadi jika

pada suatu iterasi semua koefisien pada suatu iterasi semua koefisien pembatas yang ada pada variabel yang pembatas yang ada pada variabel yang akan menjadi entering variable mempunyai akan menjadi entering variable mempunyai nilai negatifnilai negatifContoh:Contoh:FTFTmaksimasimaksimasi = Z = 2 = Z = 2X1 + 3X2 Pembatas:

X1 - 3X2 ≤ 102X1 - 2X2 ≤ 40 X1 , X2 ≥ 0

Tentukan nilai X1 ,X2


Penyelesaian:Bentuk Standar: FTFTmaksimasimaksimasi = Z - 2 = Z - 2X1-3X2 -0S1 - 0S2=0Pembatas:

X1 - X2 + 1S1 + 0S2 = 102X1 - X2 + 0S1 + 1S2 = 40 X1 , X2 , S1 , S2 ≥ 0


Tabel AwalTabel Awal

EVEV


ZZ 11 -2-2 -3-3 00 00 00

SS11 00 11 -1-1 11 00 1010 -10-10

SS22 00 22 -1-1 00 11 4040 -40-40

Pada kasus di atas, XPada kasus di atas, X2 2 dijadikan sebagai EV, tetapi yang menjadi dijadikan sebagai EV, tetapi yang menjadi persoalan adalah variabel non b asis mana yang akan menjadi persoalan adalah variabel non b asis mana yang akan menjadi LV. Pada kondisi dimana koefisien pembatas dibawah EV LV. Pada kondisi dimana koefisien pembatas dibawah EV mempunyai nilai negatif, maka nilai fungsi tujuan dapat naik mempunyai nilai negatif, maka nilai fungsi tujuan dapat naik secara tidak terbatas tanpa mempengaruhi kondisi secara tidak terbatas tanpa mempengaruhi kondisi feasibilitas. Jika hal ini terjadi, maka persoalan tersebut feasibilitas. Jika hal ini terjadi, maka persoalan tersebut mempunyai solusi tidak terbatas (unbounded solution)mempunyai solusi tidak terbatas (unbounded solution)


4.4. Solusi optimal AlternatifSolusi optimal Alternatif Solusi optomal alternatif terjadi jika Solusi optomal alternatif terjadi jika

fungsi tujuan (FT) sejajar dengan suatu fungsi tujuan (FT) sejajar dengan suatu kendala. Jika hal ini terjadi, maka akan kendala. Jika hal ini terjadi, maka akan menghasilkan nilai optimal yang sama menghasilkan nilai optimal yang sama lebih dari satu titik solusilebih dari satu titik solusiContoh:Contoh:FTFTmaksimasimaksimasi = Z = 2 = Z = 2X1 + 4X2 Pembatas:

X1 + 2X2 ≤ 5 X1 + X2 ≤ 4 X1 , X2 ≥ 0

Tentukan nilai X1 ,X2


Penyelesaian:Bentuk Standar: FTFTmaksimasimaksimasi = Z - 2 = Z - 2X1-3X2 -0S1 - 0S2=0Pembatas:

X1 + 2X2 + 1S1 + 0S2 = 5 X1 + X2 + 0S1 + 1S2 = 4 X1 , X2 , S1 , S2 ≥ 0




ZZ 11 -2-2 -4-4 00 00 00

SS11 00 11 22 11 00 55 5/25/2 LVLV

SS22 00 11 11 00 11 44 44


Iterasi 1Iterasi 1

Pivot (pertemuan antara EV dengan LV) harus diubah menjadi angka 1, sehingga nilai Pivot (pertemuan antara EV dengan LV) harus diubah menjadi angka 1, sehingga nilai XX22 baru adalah: baru adalah:

Perubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z, dan SPerubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z, dan S2. 2. perubahan dilakukan terutama perubahan dilakukan terutama berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol


XX2200 1/21/2 11 1/21/2 00 5/25/2

EVEV


ZZ 11 -2-2 -4-4 00 00 00

SS11 00 11 22 11 00 55 5/25/2 LVLV

SS22 00 11 11 00 11 44 44




Basis2Basis2 ZZ XX11 XX22 SS11 SS22 SolusiSolusi

Z lamaZ lama 11 -2-2 -4-4 00 00 00

XX22(4)(4) 00 22 44 22 00 1010

Z baru Z baru 11 00 00 22 00 1010


SS22 lama lama 00 11 11 00 11 44

XX22(-1)(-1) 00 -1/2-1/2 -1-1 -1/2-1/2 00 -5/2-5/2

SS22 baru baru 00 1/21/2 00 -1/2-1/2 11 3/23/2




ZZ 11 00 00 22 00 1010

XX22 00 1/21/2 11 1/21/2 00 5/25/2

SS22 00 1/21/2 00 -1/2-1/2 11 3/23/2

Solusi optimal adalah XSolusi optimal adalah X11= 0; X= 0; X22= 5/2; dan Z= 10; pada = 5/2; dan Z= 10; pada tabel optimal terlihat bahwa variabel non basis Xtabel optimal terlihat bahwa variabel non basis X1 1 mempunyai koefisien = 0 pada Fungsi Tujuan. Hal ini mempunyai koefisien = 0 pada Fungsi Tujuan. Hal ini menunjukan bahwa persoalan mempunyai solusi menunjukan bahwa persoalan mempunyai solusi alternatif. Hal ini dapat dicari dengan menjadikan Xalternatif. Hal ini dapat dicari dengan menjadikan X1 1 sebagai basis pada iterasi berikutnyasebagai basis pada iterasi berikutnya


Iterasi 2Iterasi 2

Pivot (pertemuan antara EV dengan LV) harus diubah menjadi angka 1, sehingga nilai Pivot (pertemuan antara EV dengan LV) harus diubah menjadi angka 1, sehingga nilai XX11 baru adalah: baru adalah:

Perubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z, dan SPerubahan ini juga dilakukan terhadap nilai Z, dan S2. 2. perubahan dilakukan terutama perubahan dilakukan terutama berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol berkaitan dengan nilai yang terdapat pada EV, dimana nilainya harus menjadi nol


XX1100 11 00 -1-1 22 33

EVEV


ZZ 11 00 00 22 00 1010

XX22 00 1/21/2 11 1/21/2 00 5/25/2

SS22 00 1/21/2 00 -1/2-1/2 11 3/23/2 LVLV




XX22 lama lama 00 1/21/2 11 1/21/2 00 5/25/2

XX11(-1/2)(-1/2) 00 -1/2-1/2 00 1/21/2 -1-1 -3/2-3/2

XX22 baru baru 00 00 11 11 -1-1 11




ZZ 11 00 00 22 00 1010

XX22 00 00 11 11 -1-1 11

XX1100 11 00 -1-1 22 33

Solusi optimal yang baru adalah XSolusi optimal yang baru adalah X11= 3; X= 3; X22= 1; dan Z= 10; = 1; dan Z= 10; perlu diketahui bahwa nilai Z tidak berubah. Hal ini perlu diketahui bahwa nilai Z tidak berubah. Hal ini disebabkan karena koefisien Z = 0 pada fungsi tujuan disebabkan karena koefisien Z = 0 pada fungsi tujuan Z pada iterasi pertama. Dengan demikian persoalan Z pada iterasi pertama. Dengan demikian persoalan tersebut memiliki dua solusi optimal, yaitu Xtersebut memiliki dua solusi optimal, yaitu X11= 0; X= 0; X22= = 5/2; dan X5/2; dan X11= 3; X= 3; X22= 1; dan Z= 10; = 1; dan Z= 10;


Contoh Soal latihan 1Contoh Soal latihan 1Perusahaan mebel Makmur memproduksi tiga Perusahaan mebel Makmur memproduksi tiga

jenis barang yang akan diekspor ke jenis barang yang akan diekspor ke mancanegara, yaitu meja ukir, kursi mancanegara, yaitu meja ukir, kursi goyang, dan lemari antik. Ketiga produk goyang, dan lemari antik. Ketiga produk tersebut diproduksi di Jepara dimana tersebut diproduksi di Jepara dimana ketiganya memerlukan tiga proses produksi, ketiganya memerlukan tiga proses produksi, yaitu: proses pengukiran, penghalusan, dan yaitu: proses pengukiran, penghalusan, dan pengecatan. Berdasarkan pengalaman, pengecatan. Berdasarkan pengalaman, masing-masing proses produksi masing-masing-masing proses produksi masing-masing produk tersebut memerlukan waktu masing produk tersebut memerlukan waktu 2 hari, 3 hari dan 4 hari. Kebutuhan 2 hari, 3 hari dan 4 hari. Kebutuhan waktu waktu (hari)(hari) untuk menghasilkan masing-masing untuk menghasilkan masing-masing produk tersebut secara rinci disajikan dalam produk tersebut secara rinci disajikan dalam tabel 1. tabel 1.


Contoh Soal latihan 1Contoh Soal latihan 1Tabel 1: kebutuhan Tabel 1: kebutuhan waktu (hari)waktu (hari) masing-masing produk masing-masing produkProdukProduk BahanBahan

PengukiranPengukiran PenghalusanPenghalusan PengecatanPengecatanMeja UkiranMeja Ukiran 22 22 33Kursi GoyangKursi Goyang 33 22 44Lemari antikLemari antik 33 33 55

Diperkirakan kenutungan masing-masing produk adalah $ 0.10; $ Diperkirakan kenutungan masing-masing produk adalah $ 0.10; $ 0.15; $ 0.20.0.15; $ 0.20.

a.a. Buatlah formulasi model persoalan tersebutBuatlah formulasi model persoalan tersebutb.b. Tentukan solusi optimal persoalan tersebut dengan Tentukan solusi optimal persoalan tersebut dengan

menggunakan metode simpleks menggunakan metode simpleks


Contoh Soal latihan 2Contoh Soal latihan 2PT. Raja Laut adalah pembuat kapal layar pesiar. PT. Raja Laut adalah pembuat kapal layar pesiar.

Perusahaan tersebut memproduksi tiga model kapal Perusahaan tersebut memproduksi tiga model kapal layar, yaitu A,B,C. setiap kapal diproduksi melalui layar, yaitu A,B,C. setiap kapal diproduksi melalui tiga tahapan, yaitu desain, pekerjaan kayu, dan tiga tahapan, yaitu desain, pekerjaan kayu, dan penyelesaian. Jumlah hari yang diperlukan untuk penyelesaian. Jumlah hari yang diperlukan untuk masing-masing tahapan pekerjaan digambarkan masing-masing tahapan pekerjaan digambarkan seperti disajikan dalam tabel 2.seperti disajikan dalam tabel 2.Model KapalModel Kapal Waktu Produksi (Orang/Hari)Waktu Produksi (Orang/Hari)

DesainDesain Pekerjaan KayuPekerjaan Kayu PenyelesaianPenyelesaian

AA 33 55 44

BB 55 1212 55

CC 1010 1818 88


Contoh Soal latihan 2Contoh Soal latihan 2Berdasarkan pengalaman sebelumnya, pihak manajemen PT Berdasarkan pengalaman sebelumnya, pihak manajemen PT

Raja Laut mengharapkan kontribusi laba per kapal adalah Raja Laut mengharapkan kontribusi laba per kapal adalah $5.000; $10.000; dan $5.000; $10.000; dan $20.000$20.000 untuk masing-masing model untuk masing-masing model kapal yang diproduksi. Saat ini PT. Raja Laut kapal yang diproduksi. Saat ini PT. Raja Laut memperkerjakan 40 orang untuk menghasilkan kapal pesiar memperkerjakan 40 orang untuk menghasilkan kapal pesiar yang dibagi dalam tiga kelompok, yaitu 10 orang untuk yang dibagi dalam tiga kelompok, yaitu 10 orang untuk bagian desain, 20 orang untuk pekerjaan kayu, dan 10 orang bagian desain, 20 orang untuk pekerjaan kayu, dan 10 orang untuk penyelesaian. Secara rata-rata, setiap karyawan untuk penyelesaian. Secara rata-rata, setiap karyawan bekerja selama 240 hari per tahun. Satu-satunya kendalan bekerja selama 240 hari per tahun. Satu-satunya kendalan lain adalah batasan yang ditetapkan oleh manajemen lain adalah batasan yang ditetapkan oleh manajemen mengenai jumkah model C yang dapat dijual. Pihak mengenai jumkah model C yang dapat dijual. Pihak manajemen PT. Raja Laut tidak ingin Model C menjadi kapal manajemen PT. Raja Laut tidak ingin Model C menjadi kapal jenis biasa, sehingga pesanan dibatasi untuk model C tidak jenis biasa, sehingga pesanan dibatasi untuk model C tidak melebihi 20 unit.melebihi 20 unit.

Berdasarkan informasi tersebut, berapa banyak pesanan untuk Berdasarkan informasi tersebut, berapa banyak pesanan untuk setiap model yang harus diterima untuk memaksimalkan setiap model yang harus diterima untuk memaksimalkan total kontribusi laba? Gunakan metode simplekstotal kontribusi laba? Gunakan metode simpleks

Materi 4 programasi linier dan solusi metode simpleks

Education

Transcript of Materi 4 programasi linier dan solusi metode simpleks