AWAL

KALKULUS IIKALKULUS II(TKE 201 / WAJIB)(TKE 201 / WAJIB)

Dosen Pengajar:Dosen Pengajar:Drs. Ir. Moch. Dhofir, MT.Drs. Ir. Moch. Dhofir, MT.

Ruang Dimensi Tiga dan VektorRuang Dimensi Tiga dan Vektor

Fungsi Dinilai VektorFungsi Dinilai Vektor

Derivatif ParsialDerivatif Parsial

Integral LipatIntegral Lipat

Kalkulus VektorKalkulus Vektor

MATERI

AWAL

1

2

3

4

5

1.1 Sistem Koordinat dalam Ruang-3D1.1 Sistem Koordinat dalam Ruang-3D1.2 Vektor1.2 Vektor1.3 Persamaan Parametrik1.3 Persamaan Parametrik1.4 Bidang-Bidang dalam Ruang-3D1.4 Bidang-Bidang dalam Ruang-3D1.5 Permukaan Kuadratik1.5 Permukaan Kuadratik1.61.6 Fungsi MultivariabelFungsi Multivariabel

Ruang Dimensi Tiga dan Vektor

AWAL

Sistem Koordinat Koordinat Titik

1. Kartesian (x,y,z)

2. Tabung (r,,z)

3. Bola (,,)

1.1 Sistem Koordinat dalam Ruang 3D

AWAL

AWAL

y

x

zP(r,,z)

r

y

x

z

P(x,y,z)

x

y

z

X = r cos

y = r sin

z = z

r = (x2 + y2)1/2

= atan (y/x)

z = z

Transformasi Kartesian - Tabung

KARTESIANKARTESIAN TABUNGTABUNG

Transformasi Kartesian - Bola

AWAL

y

x

z

P(x,y,z)

x

y

z

X = cos sin

y = sin sin

z = cos

= (x2 + y2+ z2)1/2

= atan (y/x)

= acos (z/)

y

x

zP(,,)

r

KARTESIANKARTESIAN BOLABOLA

AWAL

dari

0 hingga

dari

0 hingga 2

rad = 180o ; 1 rad = 180o/ = 57,273o

AWAL

AWAL

AWAL

Contoh :

AWAL

1. Natakan titik (2,-1,3) kedalam koordinat tabung !

2. Natakan titik (2,-1,3) kedalam koordinat bola !

Penyelesaian soal No. 1:

r= (x2 + y2)1/2 = (22 + (-1)2)1/2 = 5

= atan (y/x) = atan (-1/2) = - atan (1/2)

= - 26,6o = - 0,464 rad di kwadran IV

z = 3

(2,-1,3) (5; -26,6o; 3)

Contoh

AWAL

Penyelesaian soal No. 2:

= (x2 + y2+ z2)1/2 = [22 + (-1)2+ 32]1/2 = 14

= atan (y/x) = atan (-1/2) = -26,6o

= acoz (z/r) = acos (3/14) = 36,7o

(2,-1,3) (14; -26,6o; 36,7o)

1. Natakan titik (2,-1,3) kedalam koordinat tabung !

2. Natakan titik (2,-1,3) kedalam koordinat bola !

AWAL

Bidang2 utama Koordinat Kartesian

Tiga bidang utama dalam koordinat tabung :

1.x = xo

2.y = yo

3.z = zo

AWAL

Bidang2 utama Koordinat Tabung

Tiga bidang utama dalam koordinat tabung :

1. r = ro

2. = o

3.z = zo

AWAL

Bidang2 utama Koordinat Bola

Tiga bidang utama dalam koordinat bola :

1. = o

2. = o

3. = o

AWAL

Bidang2 utama Koordinat Bola

Interseksi kerucut dan bolaInterseksi kerucut dan bola

BOLA KERUCUT

AWAL

Segmentasi Panjang, Luas dan Volume

KOORDINAT KARTESIANKOORDINAT KARTESIAN

Segmentasi panjang :Segmentasi panjang :

dx, dy, dzdx, dy, dz

Segmentasi luas :Segmentasi luas :

dAdAzz = dx dy = dx dy

dAdAxx = dy dz = dy dz

dAdAyy = dx dz = dx dz

Segmentasi volume :Segmentasi volume :

dV = dx dy dzdV = dx dy dz

dXdy

dz

AWAL

Segmentasi Panjang, Luas dan Volume

dr

dz

rd

KOORDINAT TABUNGKOORDINAT TABUNG

Segmentasi panjang :Segmentasi panjang :

dr, r ddr, r d, dz, dz

Segmentasi luas :Segmentasi luas :

dAdAzz = r dr d = r dr d

dAdArr = r d = r d dz dz

dAdA = dr dz = dr dz

Segmentasi volume :Segmentasi volume :

dV = r dr ddV = r dr d dz dz

AWAL

Segmentasi Luas

KOORDINAT TABUNGKOORDINAT TABUNG

Segmentasi luas :Segmentasi luas :

dAdAzz = r dr d = r dr d

dAdArr = r d = r d dz dz

dAdA = dr dz = dr dz

x

y

z

dA

dAr

dAz

AWAL

Segmentasi Panjang, Luas dan Volume

KOORDINAT BOLA KOORDINAT BOLA

Segmentasi panjang :Segmentasi panjang :

dd, , d d sin sin, , d d

Segmentasi luas :Segmentasi luas :

dAdA = = d d d d sin sin

dAdA = = 22 d d d d sinsin

dAdA = = d d d d

Segmentasi volume :Segmentasi volume :

dV = dV = 22 d d d d d d sin sin

d

d sin

d

AWAL

Segmentasi Luas

x

y

z

dAdA

dA

KOORDINAT BOLAKOORDINAT BOLA

Segmentasi luas :Segmentasi luas :

dAdA = = d d d d sin sin

dAdA = = 22 d d d d sin sin

dAdA = = d d d d

AWAL

Segmentasi Panjang

ds

222 dzdydxds

222 dzrddrds

222 sin dddds

KARTESIAN :

TABUNG :

BOLA :

AWAL

1.1.Titik Titik P(2, P(2, /6, -3)/6, -3) dalam koordinat dalam koordinat tabung. Nyatakan titik P kedalam tabung. Nyatakan titik P kedalam koordinat kartesian dan bola!koordinat kartesian dan bola!

2.2.Titik Titik Q(4, 2Q(4, 2/3, /3, /6)/6) dalam koordinat dalam koordinat bola. Nyatakan titik Q kedalam bola. Nyatakan titik Q kedalam koordinat kartesian dan tabung!koordinat kartesian dan tabung!

PENYELESAIAN

Soal mandiri :

AWAL

3.3.Gambarkan bidang-bidang : Gambarkan bidang-bidang : x = 1; x = 1; y = 2 ; z = 3y = 2 ; z = 3 dalam sistem koordinat dalam sistem koordinat kartesian yang sama. Berupa kartesian yang sama. Berupa apakan perpotongan antara kedua apakan perpotongan antara kedua bidang? Dimanakan perpotongan bidang? Dimanakan perpotongan dari ketiga bidang tersebut?dari ketiga bidang tersebut?

PENYELESAIAN

Soal mandiri :

AWAL

4.4.Gambarkan bidang Gambarkan bidang r = 3; r = 3; = = /3; /3; z = 2z = 2! Berupa apakah perpotongan ! Berupa apakah perpotongan antara bidang antara bidang r = 3r = 3 dan dan = = /3/3, , antara antara = = /3/3 dan bidang dan bidang z = 2z = 2; ; antara bidang antara bidang r = 3r = 3 dan dan z = 2z = 2??

5.5.Gambarkan bidang Gambarkan bidang = 4; = 4; = = /3; /3; = = /3/3 dalam koordinat bola! dalam koordinat bola!

PENYELESAIAN

Soal mandiri :

AWAL