Matematika sistem

Makalah Matematika SistemAnalisa Kestabilan,Kekontrolan dan Keteramatan Sistem Persamaan

gerak Roket Tipe RKX-200 LAPAN

Oleh:Alfian Mucti (1213201024)

Petrus Fendiyanto (1213201002)Putri Pradika Wanti (1213201022)

Dosen Pengampu:Dr.Mardlijah,M.T

NIP. 19670114 199102 2 001

Pascasarjana MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya

2014

Contents

1 Pendahuluan 21.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Tinjauan Pustaka 42.1 Geometri Roket RKX-200 LAPAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Sistem Sumbu Badan (Xb, Yb, Zb) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Model Persamaan Roket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Pembahasan 73.1 Linearisasi Persamaan Gerak Roket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Matriks State Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.1 State Space Persamaan Gerak Longitudinal . . . . . . . . . . 113.2.2 State Space Persamaan Gerak Roket Lateral-Directional . . . 14

3.3 Analisa Kestabilan Roket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.1 Analisa Kestabilan Roket pada Persamaan Gerak Longitudinal 173.3.2 Analisa Kestabilan Roket pada Persamaan Gerak Lateral-directional 17

3.4 Keterkontrolan dan Keteramatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4.1 Kekontrolan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4.2 Keteramatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1

1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Secara umum, roket memiliki enam derajat kebebasan gerak yang terdiri daritiga gerak translasi (p, q, r). Sehingga memungkinkan roket bergerak tidak stabil.Dalam analisa lebih lanjut diperlukan sistem persamaan gerak roket yang stabil.Sistem persamaan roket merupakan merupakan persamaan nonlinear tiga dimensiyang rumit dan kompleks. Dalam analisa lebih lanjut diperlukan proses hampiranpersamaan nonlinear dengan bentuk linear yaitu proses linearisasi.

Persamaan gerak roket dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu gerak lon-gitudinal dan gerak lateral-directional. Gerak longitudinal adalah gerak yang di-akibatkan oleh gaya-gaya yang bekerja pada arah bidang simetris XZ. Pada geraklongitudinal ini terdapat dua gerak translasi dan satu gerak rotasi. Sedangkan,gerak lateral-directional adalah gerak yang melibatkan gaya-gaya yang bekerja padaarah samping (yawa) dan memutar (rol). Pada gerak lateral-directional terdapatdua gerak rotasi dan satu gerak translasi. Gerakan roket ini ditentukan oleh siripyang berada pada tail (ekor roket), meliputi elevator, rudder, dan aileron. sirip-siripinilah yang nantinya mengontrol pergerakan suatu roket.

1.2 Batasan Masalah

Batasan masalah dalam tugas makalah ini adalah:

1. Roket dianggap rigid body (benda tegar).

2. Massa roket diasumsikan konstan.

3. Sudut serang α (angle of attack) dianggap nol.

4. Fase yang diamati hanya pada fase sustainer (fase setelah pembakaran pro-pelan atau bahan bakar utama habis pada ketinggian tertentu).

5. Diasumsikan tidak terjadi coupling antara gerak longitudinal dan gerak lateral-directional.

6. Dianalisa hanya pada kecepatan mach 1.0

1.3 Tujuan

Tujuan dari tugas makalah ini adalah:

1. Untuk melinearisasi persamaan nonlinear gerak roket.

2. Untuk menentukan kestabilan persamaan gerak roket tipe RKX-200.

3. Untuk menentukan keterkontrolan persamaan gerak roket tipe RKX-200.

2

4. Untuk menentukan keteramatan persamaan gerak roket tipe RKX-200.

5. Untuk menentukan simulasi dari gerak roket tipe RKX-200.

3

2 Tinjauan Pustaka

2.1 Geometri Roket RKX-200 LAPAN

Roket RKX-200 LAPAN merupakan roket kendali yang mempunyai diameter200 mm. Berikut ini karakteristik dari RKX-200 LAPAN pada fase sustaining adalahsebagai berikut:

Roket RKX-LAPAN mempunyai empat tail fin, yang masing-masing terdiridari dua tail fin vertikal dan horizontal yang berfungsi sebagai sirip kendali. Siripkendali roket ada tiga jenis, yaitu elevator, rudder, dan aileron. Kontrol elevatormerupakan kontrol yang mengatur gerakan naik turun hidung roket. Tail yangbekerja pada kontrol elevator adalah tail fin horizontal. Kontrol rudder merupakankontrol yang dapat membelokkan hidung roket ke kanan dan ke kiri. Tail yangbekerja pada kontrol rudder adalah tail fin vertikal. Sedangkan kontrol aileronmerupakan kontrol yang megatur gerak roll (memutar) roket.

Berikut ini adalah gambaran umum bentuk RKX-200 LAPAN

Gambar. Bentuk Roket RKX-200 LAPAN

4

2.2 Sistem Sumbu Badan (Xb, Yb, Zb)

Sistem sumbu badan merupakan sumbu yang mengacu pada badan wahanaroket. Sumbu Xb terletak sepanjang sumbu longitudinal roket dan positif ke depan,sumbu Yb teag lurus pada bidang geometri dan positif kearah kanan, sedangkansumbu Zb pada bidang simetri tegak roket dan tegak lurus terhadap sumbu Xb padakedudukan terbang datar. Sistem sumbu wahana pada roket ini dapat ditunjukkanpada gambar di bawah ini

Gambar. Sistem sumbu roket

Berikut ini akan ditampilkan tabel variabel gerak roket pada masing-masingsumbu

2.3 Model Persamaan Roket

Persamaan gerak roket merupakan model persamaan nonlinear. Jika diasum-sikan roket sebagai benda tegar, maka roket mempunyai enam derajat kebebasan.Berdasarkan hukum kedua Newton, persamaan gerak roket dapat dibagi menjadidua, yaitu persamaan gaya dan persamaan momen.

F = md

dt(mV )

τ =d

dt(H)

5

Kemudian dengan mentransformasikan persamaan gaya dan momen dalamacuan koordinat sumbu bumi, persamaan gerak roket secara umum dapat dituliskansebagai berikut

Fx = m(u+ qw − vr + sinθ)

Fy = m(v + ur − pw − gcosθsinφ)

Fz = m(w + vp− uq − gcosθsinφ)

L = Ixxp− Ixx(r + pq) + qr(Izz − Iyy)

M = Iyy q + Ixz(p2 − r2) + pr(Ixx − Izz)

N = Izz r − Ixzp+ pq(Iyy − Ixx) − Ixzqr

Untuk penyelesaian persamaan di atas diperlukan persamaan kecepatan an-guler yang ditransformasikan dari koordinat sumbu bumi ke koordinat sumbu badan.

p = φ− ψ sin θ

q = θ sinφ+ ψ cos θ sinφ

r = −θ sinφ+ ψ cos θcosφ

6

3 Pembahasan

3.1 Linearisasi Persamaan Gerak Roket

Persamaan nonlinear gerak roket termasuk persamaan yang rumit, sehinggaperlu dilakukan penyederhanaan untuk kepentingan analisa. Dalam hal ini, per-samaan nonlinear akan dilinearisasi menggunakan teori gangguan kecil dititik kese-timbangannya. Teori gangguan kecil ini mengasumsikan bahwa gerak roket terdiridari pergeseran kecil dari kondisi terbang stabil. Dengan kata lain, semua variabeldari persamaan gerak roket diganti dengan nilai kesetimbangan ditambah dengannilai kesetimbangan ditambah dnegan gangguan.

Teori gangguan kecil ini mengasumsikan bahwa gerak roket terdiri dari perge-seran kecil dari kondisi terbang stabil. Dengan kata lain, semua variabel dari per-samaan gerak roket diganti dengan nilai kesetimbangan ditambah gangguan, sepertiberikut ini:

Fx = Fx0 + ∆Fx u = u0 + ∆u

Fy = Fy0 + ∆Fy v = v0 + ∆v

Fz = Fx0 + ∆Fz w = w0 + ∆w

p = p0 + ∆p θ = θ0 + ∆θ

q = q0 + ∆q φ = φ0 + ∆φ

r = r0 + ∆r ψ = ψ0 + ∆ψ

Semua variabel yang berindeks nol merupakan nilai kesetimbangan, sedangkan ∆i

merupakan nilai perubahan kecil (gangguan) terhadap titik kesetimbangannya. Ke-mudian dengan mensubstitusikan variabel gerak seperti di atas, maka persamaan

7

gerak roket menjadi:

(Fx0 + ∆Fx) = m((u0 + ∆u) + (q0 + ∆q)(w0 + ∆w) − (r0 + ∆r)(v0 + ∆v)

+ g sin(θ0 + ∆θ))

(Fy0 + ∆Fy) = m((v0 + ∆v) + (r0 + ∆r)(u0 + ∆u) − (p0 + ∆p)(w0 + ∆w)

− g cos(θ0 + ∆θ) sin(φ0 + ∆φ))

(Fz0 + ∆Fz) = m((w0 + ∆w) + (p0 + ∆p)(v0 + ∆v) − (q0 + ∆q)(u0 + ∆u)

− g cos(θ0 + ∆θ) cos(φ0 + ∆φ))

(L0 + ∆L) = Ixx(p0 + ∆p) − Ixz(r0 + ∆r) + (q0 + ∆q)(r0 + ∆r)(Izz − Iyy)

− Ixz(p0 + ∆p)(q0 + ∆q)

(M0 + ∆M) = Iyy(q0 + ∆q) + (r0 + ∆r)(q0 + ∆q)(Ixx − Izz)

+ Ixz[(p0 + ∆p)2 − (r0 + ∆r)2

](N0 + ∆N) = Izz(r0 + ∆r) − Ixz(p0 + ∆p0) + (p0 + ∆p)(q0 + ∆q)(Iyy − Ixx)

− Ixz(q0 + ∆q)(r0 + ∆r)

(p0 + ∆p) = (φ+ ∆φ) − (ψ0 + ∆ψ sin(θ0 + θ)

(q0 + ∆q) = (θ + ∆θ) cos(φ0 + ∆φ) + (ψ0 + ∆ψ) cos(θ0 + ∆θ) sin(φ0 + ∆φ)

(r0 + ∆r) = −(θ + ∆θ) sin(φ0 + ∆φ) + (ψ0 + ∆ψ) cos(θ0 + ∆θ) cos(φ0 + ∆φ)

Ketika gangguan dari kondisi rata-rata dianggap kecil, maka berlaku sebagaiberikut:

1. perkalian (product) antar gangguan dianggap nol.

2. sinus dari sudut gangguan dianggap sama dengan sudut gangguan, sedangkancosinus dari sudut gangguan dianggap sama dengan satu.

Persamaan sebelumnya merupakan persamaan gerak roket yang terdiri daripersamaan pada kondisi trim (setimbang) dan persamaan gangguan. Kemudiandikelompokkan persamaan gerak roket menjadi suku-suku trim dan suku-suku gang-guan. Apabila komponen persamaan gerak dalam kondisi trim (setimbang) di-hilangkan, hal ini berakibat berkurangnya komponen pesamaan gaya dan momenyang bekerja pada roket.

Dalam analisa lebih lanjut perlu dipertimbangkan kasus-kasus penerbanganroket dengan kondisi sederhana. Misalnya,

1. kondisi terbang lurus (staight) merupakan suatu kondisi terbang yang tidakmengalami laju perubahan sudut yaw (sudut belok) sehingga menyebabkanψ0 = 0

2. kondisi terbang symetric merupakan suatu kondisi terbang lurus yang men-ganggap sumbu XZ sebagai bidnag simetri, sehingga gerakan roket hanyadianggap dua dimensi yang tidak melibatkan komponen sumbu Y. Hal inimenyebabkan tidak adanya kecepatan linear kesamping serta sudut yaw atausudut arah samping atau apat ditulis ψ0 = v0 = 0

8

3. kondisi terbang dengan sirip mendatar merupakan suatu kondisi terbang roketyang tidak mengalami rolling, artinya roket tidak mengalami gerakan memu-tar. Sehingga dipenuhi φ0 = 0

4. kondisi terbang setimbang merupakan kondisi ideal terbang roket yang hanyamelibatkan geraj translasi (lurus) saja. Sedangkan gerak rotasi dianggap tidakada. Hal ini menyebabkan p0 = q0 = r0 = p0 = q0 = r0 = 0.

Sehingga persamaannya menjadi:

∆Fx = m (∆u+ w0∆q + g cos θ0∆θ)

∆Fy = m (∆v + u0∆r − w0∆p− g cos θ0∆φ)

∆Fz = m (∆w − u0∆q + g sin θ0 cosϕ0∆θ)

∆L = Ixx∆p− Ixz∆r

∆M = Iyy∆q

∆N = Izz∆r − Ixz∆p

∆p = ∆φ− ∆ψ sin θ0

∆q = ∆θ

∆r = ∆ψ cos θ0

Gangguan dalam analisa gerak roket sangat berpengaruh pada gaya danmomen roket. Gangguan-gangguan ini secara tidak langsung ditransormasikan kedalam bentuk fungsi gangguan. Fungsi gangguan dalam roket terdiri dari fungsiperubahan kecepatan, percepatan dan sudut defleksi sirip atau sayap roket.

Berikut ini adalah fungsi-fungsi gangguan yang paling dominan pada gayadan momen roket:

∆Fx = f1(∆u,∆w,∆δe)

∆Fy = f2(∆v,∆p,∆δr)

∆Fz = f3(∆u,∆w,∆w,∆q,∆δe)

∆L = f4(∆v,∆p,∆r,∆δr,∆δa)

∆M = f5(∆u,∆p,∆w,∆wr,∆q,∆δe)

∆N = f6(∆v,∆p,∆r,∆δr,∆δa)

9

Kemudian, fungsi gangguan pada gaya dan momen tersebut dideretkan denganmenggunakan ekspansi deret Taylor sebagai berikut:

∆Fx =∂Fx∂u

∆u+∂Fx∂w

∆w +∂Fx∂δe

∆δe

∆Fy =∂Fy∂v

∆v +∂Fy∂r

∆r +∂Fy∂δr

∆δr

∆Fz =∂Fz∂u

∆u+∂Fz∂w

∆w +∂Fz∂q

∆q +∂Fz∂δe

∆δe

∆L =∂L

∂v∆v +

∂L

∂r∆r +

∂L

∂δr∆δr +

∂L

∂δa∆δa

∆M =∂M

∂u∆u+

∂M

∂w∆w +

∂M

∂q∆q +

∂M

∂δe∆δe

∆N =∂N

∂v∆v +

∂N

∂r∆r +

∂N

∂δr∆δr +

∂N

∂δa∆δa

Dengan menyamakan persamaan sebelumnya sehingga persamaannya men-jadi:

∂Fx∂u

∆u+∂Fx∂w

∆w +∂Fx∂δe

∆δe = m[∆u+ w0∆q + g cos θ0∆θ]

∂Fy∂v

∆v +∂Fy∂r

∆r +∂Fy∂δr

∆δr = m (∆v + u0∆r − w0∆p− g cos θ0∆φ)

∂Fz∂u

∆u+∂Fz∂w

∆w +∂Fz∂q

∆q +∂Fz∂δe

∆δe = m (∆w − u0∆q + g sin θ0 cosϕ0∆θ) (1)

∂L

∂v∆v +

∂L

∂r∆r +

∂L

∂δr∆δr +

∂L

∂δa∆δa = Ixx∆p− Ixz∆r

∂M

∂u∆u+

∂M

∂w∆w +

∂M

∂q∆q +

∂M

∂δe∆δe = Iyy∆q

∂N

∂v∆v +

∂N

∂r∆r +

∂N

∂δr∆δr +

∂N

∂δa∆δa = Izz∆r − Ixz∆p (2)

Jika masing-masing komponen persamaan (1) dibagi dengan massa (m), sedan-gkan komponen pada persamaan (2) dibagi dengan momen inersia (I), maka denganmengikuti definisi di bawah ini:

Fxi =1

m

∂Fx∂i

Li =1

Ixx∂L

∂i

Fyi =1

m

∂Fy∂i

Mi =1

Iyy∂M

∂i

Fzi =1

m

∂Fz∂i

Ni =1

Izz∂N

∂i

10

dengan i merupakan indeks yang menyatakan komponen variabel gangguan yangpaling dominan pada masing-masing koordinat sumbu X, Y, Z. Sehingga persamaangerak roket menjadi seperti berikut ini:

Fxu∆u+ Fxw∆w + Fxδe∆δe = ∆u+ w0∆q + g cos θ0∆θ

Fyv∆v + Fyv∆p+ Fyr∆r + Fyδr∆δe = ∆v + u0∆r − w0∆p− g cos θ0∆φ

Fzu∆u+ Fzw∆w + Fzw∆w + Fzq∆q + Fzδe∆δe = ∆w − u0∆q + g sin θ0∆θ (3)

Lv∆v + Lp∆p+ Lr∆r + Lδr∆δr =IxxIxx

∆p− IxzIxx

∆r

Mu∆u+Mw∆w +Mq∆q +Mδe∆δe =IyyIyy

∆q

Nv∆v +Np∆p+Nr∆r +Nδa∆δa =IzzIzz

∆r − IxzIxx

∆p (4)

Jika persamaan (3) dan (4) ditulis dalam bentuk persamaan diferensial ordepertama, maka persamaan gerak roket menjadi:

∆u = Fxu∆u+ Fxw∆w + Fxδe∆δe − w0∆q − g cos θ0∆θ

∆v = Fyv∆v + Fyp∆p+ Fyr∆r + Fyδr∆δe − u0∆r + w0∆p+ g cos θ0∆φ

∆w = Fzu∆u+ Fzw∆w + Fzw∆w + Fzq∆q + Fzδe∆δe + u0∆q − g sin θ0∆θ

∆p = Lv∆v + Lp∆p+ Lr∆r + Lδr∆δr +IxzIxx

∆r

∆q = Mu∆u+Mw∆w +Mw∆w +Mq∆q +Mδe∆δe

∆r = Nv∆v +Np∆p+Nr∆r +Nδa∆δa +IxzIxx

∆p

dengan Fxi, Fyi, Fzi, Li,Mi, Ni adalah parameter terbang roket.

3.2 Matriks State Space

Pembentukan matriks state space ini dilakukan pada masing-masing gerakroket, yaitu gerak longitudinal dan gerak lateral-directional.

3.2.1 State Space Persamaan Gerak Longitudinal

Gerak longitudinal merupakan gerakan yang diakibatkan oleh gaya-gaya yangbekerja pada bidang simetri XZ. Gerak ini melibatkan kecepatan linear ke depanu, kecepatan linear ke atas z, laju sudut angguk (pitch rate q) dan sudut angguk(pitch attitude θ). Sehingga persamaan gerak longitudinalnya adalah

∆u = Fxu∆u+ Fxw∆w + Fxδe∆δe − w0∆q − g cos θ0∆θ

∆w = Fzu∆u+ Fzw∆w + Fzw∆w + Fzq∆q + Fzδe∆δe + u0∆q − g sin θ0∆θ


∆θ = ∆q

11

Dalam analisa kestabilan ada beberapa parameter terbang yang perlu diabaikan,hal ini dikarenakan parameter tersebut tidak berpengaruh signifikan terhadap re-spon gerak roket. Pada gerak longitudinal ini parameter yang diabaikan adalah Fzqdan Fzw.

Dengan menggunakan sumbu kestabilan (keseimbangan) roket, w0 dapat di-anggap nol. Sedangkan θ0 sama dengan sudut jalur terbang γ0 jika sudut serabf α0

diasumsikan nol. Sehingga persamaan gerak longitudinal berubah menjadi:

∆u = Fxu∆u+ Fxw∆w + Fxδe∆δe − g cos θ0∆θ

∆w = Fzu∆u+ Fzw∆w + u0∆q − g sin θ0∆θ + Fzδe∆δe


∆θ = ∆q

Dalam kasus ini sudut lintas terbang γ0 dianggap nol, dengan alasan agar roket di-harapkan bergerak pada lintasan (jalur terbang) yang lurus. Sehingga persamaannyamenjadi:

∆u = Fxu∆u+ Fxw∆w + Fxδe∆δe − g cos θ0∆θ (5)

∆w = Fzu∆u+ Fzw∆w + u0∆q + Fzδe∆δe (6)

∆q = Mu∆u+Mw∆w +Mw∆w +Mq∆q +Mδe∆δe (7)

∆θ = ∆q (8)

kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke persamaan (7) maka per-samaan gerak longitudinal roket menjadi:

∆u = Fxu∆u+ Fxw∆w + Fxδe∆δe − g cos θ0∆θ

∆w = Fzu∆u+ Fzw∆w + u0∆q + Fzδe∆δe

∆q = (Mu +MwFzu)∆u+ (Mw +MwFzw)∆w + (Mq +Mwu0)∆q + (Mδe +MwFzδe)∆δe

∆θ = ∆q

Jika persamaan untuk gerak longitudinal di atas dibentuk ke dalam matriks ruangkeadaan (state space) x(t) = Ax(t) +Bu(t), maka:

x =

∆u∆w∆q

∆θ

, u = [∆δe]

A =

Fxu Fxw 0 −gFzu Fzw u0 0

Mu Mw Mq 00 0 1 0

, B =

FxδeFzδe

Mδe +MwFzδe0

12

keterangan:

Mu = Mu +MwFzu

Mw = Mw +MwFzw

Mq = Mq +Mwu0

atau jika ditulis secara lengkap menjadi:∆u∆w∆q

∆θ

=

Fxu Fxw 0 −gFzu Fzw u0 0

Mu Mw Mq 00 0 1 0

∆u∆w∆q∆θ

+

FxδeFzδe

Mδe +MwFzδe0

[∆δe]

Pada analisa gerak longitudinal ini output yang diharapkan ada empat yaitukecepatan linear sumbu-x (u), kecepatan linear sumbu-z (w), laju sudut angguk (q),dan sudut angguk (θ). Berikut ini adalah output y = Cx(t) dari masing-masingoutput yang diharapkan:

karena pada makalah ini diasumsikan hanya pada kecapatan 1.0 mach makaparameter roket RXK-200 pada gerak longitudinal berdasarkan data dari LAPANadalah sebagai berikut :

FXu =−(CDu + 2CDo)Qs

mU0

= −0, 613 FXw =−(CDα − CLo)Qs

mU0

= −0, 038

FXδe = −QsmCDδe = 0 FZu =

−(CLu + 2CLo)Qs

mU0

= 0, 383

FZw =−(CLα − CDo)Qs

mU0

= −0, 191 FZδe = −QsmCZδe = 1, 304

Mu = CMuQsc

U0Iy= 0, 096 Mw = CMα

Qsc

U0Iy

c

2U0

= 0, 632

Mw = CMαQsc

U0Iy= 0, 009 Mq = CMq

Qsc

U0Iy

c

2= −36, 168

Mδe = CMδeQsc

Iy= 0, 327

13

jika parameter diatas disubtitusikan ke Matriks Space persamaan gerak Longitudinalmaka Matriks Space yang terbentuk adalah :

∆u∆w∆q

∆θ

=

−0, 613 −0, 038 0 −9, 80, 383 −0, 191 34 00, 578 −0, 11 −14, 68 0

0 0 1 0

∆u∆w∆q∆θ

+

0

1, 3041, 151

0

[∆δe]

3.2.2 State Space Persamaan Gerak Roket Lateral-Directional

Gerak lateral-direction adalah gerakan roket yang melibatkan kecepatan linearke samping v, laju sudut rool p, laju sudut yaw r, sudut roolφ, sudut yaw ψ. Dalamkasus ini sudut yaw diabaikan untuk mereduksi bentuk matriks. Pengabaian initidak berpengaruh terhadap gerak roket lateral-directional. Sehingga persamaangerak roket yang terlibat dalam gerak lateral-directional adalah sebagai berikut:

∆v = Fyv∆v + Fyp∆p+ Fyr∆r + Fyδr∆δe − u0∆r + w0∆p+ g cos θ0∆φ


∆r


∆p

∆φ = ∆p+ ∆r tan θ0

Pada gerak roket lateral-direction, parameter terbang yang sering diabaikandalam analisa gerak roket adalah Fyp dan Fyr . Hal ini dikarenakan parameter terse-but tidak berpengaruh besar terhadap respon gerak roket. Disamping itu, w0 = 0,ssehingga persamaannya menjadi:

∆v = Fyv∆v + Fyδr∆δe − u0∆r + g cos θ0∆φ (9)


∆r (10)


∆p (11)

∆φ = ∆p+ ∆r tan θ0 (12)

dengan memisalkan IxzIxx

= IA dan IxzIzz

= IB, kemudian dengan mensubstitusikanpersamaan (10) ke persamaan (11) dan sebaliknya, maka diperoleh:

∆v = Fyv∆v + Fyδr∆δe − u0∆r + g cos θ0∆φ

∆p = Lv∆v + Lp∆p+ Lr∆r + Lδr∆δr + Lδa∆δa

∆r = Nv∆v + Np∆p+ Nr∆r + Nδa∆δa + Nδr∆δr

∆φ = ∆p+ ∆r tan θ0

14

dengan:

Lv = (IANv + Lv) Nv = (IBLv +Nv)

Lp = (IANp + Lp) Np = (IBLp +Np)

Lr = (IANr + Lr) Nr = (IBLr +Nr)

Lδa = (IANδa + Lδa) Nδa = (IBLδa +Nδa)

Lδr = (IANδr + Lδr) Nδr = (IBLδr +Nδr)

Dalam analisa kestabilan slideslip angels (β) sering digunakan sebagai statevariabel dari pada slideslip velocity (v), sehingga untuk sudut serang yang sangatkecil dipenuhi kondisi ∆v = u0∆β atau β = ∆v

u0. Akibatnya, persamaan gerak

lateral-directional menjadi:

∆β = Fyv∆β + ∆r − g cos θ0∆φ

u0

+Fyδr∆δr

u0

∆p = Lβ∆β + Lp∆p+ Lr∆r + Lδr∆δr + Lδa∆δa

∆r = Nβ∆β + Np∆p+ Nr∆r + Nδa∆δa + Nδr∆δr

∆φ = ∆p+ ∆r tan θ0

dengan:

Lβ = Lvu0

Nβ = Nvu0

Pada roket berlaku bahwa sudut angguk θ0 sama dengan jalur sudut lintas (pathflight angle) γ0. Dalam kasus ini γ0 = 0, agar roket melintas pada jalur lurussehingga persamaannya menjadi:

∆β = Fyv∆β + ∆r − g∆φ

u0

+Fyδr∆δr

u0

∆p = Lβ∆β + Lp∆p+ Lr∆r + Lδr∆δr + Lδa∆δa

∆r = Nβ∆β + Np∆p+ Nr∆r + Nδa∆δa + Nδr∆δr

∆φ = ∆p

Kemudian persamaan yang telah diperoleh dibentuk kedalam matriks statespace x(t) = Ax(t) +Bu(t), dengan

x =

∆β∆p∆r

∆φ

, u =

[∆δr∆δa

]

15

A =

Fyv 0 1 − g

u0

Lβ Lp Lr 0

Nβ Np Nr 00 1 0 0

, B =

Fyδr 0

Lδr LδaNδr Nδa

0 0

jika matriks state space ditulis secara lengkap menjadi:

∆β∆p∆r

∆φ

=

Fyv 0 1 − g

u0

Lβ Lp Lr 0

Nβ Np Nr 00 1 0 0

∆β∆p∆r∆φ

+

Fyδr 0

Lδr LδaNδr Nδa

0 0

[∆δr∆δa

]

Pada analisa kestabilan gerak lateral-directional ini output yang diharapkanada empat yaitu, slidelip angles (β), laju sudut rool (φ). Berikut ini adalah outputy = Cx(t) dari masing-masing output yang diharapkan:

Pada kecepatan mach 1.0 Parameter yang diinput pada persamaan gerak lateral-directional berdasarkan data dari LAPAN adalah :

Yv =QsCyβmU0

= −2, 305 Yδr =Qscyδrm

= 0, 03

Lβ =QsbClbIxx

= 2, 694 Lp =Qsb2Clr2IxxU0

= −5, 348

Lr =Qsb2Clr2IxxU0

= 0, 069 Lδr =QsbClδrIxx

= 26, 94

Lδa =QsbClδaIxx

= 0 Nβ =QsbCηβIyy

= −9, 226

Np =Qsb2Cηp

2IzzU0

= 0.0003 Nr =Qsb2Cηr2IzzU0

= −7, 708

Nδr =QsbCηδrIzz

= 0, 304 Nδa =QsbCηδaIzz

= 0, 304

16

jika parameter tersebut disubtitusikan pada matriks state space persamaan geraklateral-directional maka matriks state space yang terbentuk adalah :

∆β∆p∆r

∆φ

=

−2, 305 0 1 −0, 2882, 694 −5, 348 0, 059 0−9, 226 0, 0003 −7, 708 0

0 1 0 0

∆β∆p∆r∆φ

+

0 0

26, 94 00, 304 0, 304

0 0

[∆δr∆δa

]

3.3 Analisa Kestabilan Roket

Kestabilan roket akan dianalisa berdasarkan persamaan gerak Longitudinaldan gerak Lateral-directional

3.3.1 Analisa Kestabilan Roket pada Persamaan Gerak Longitudinal

berdasarkan matriks state space pada gerak Longitudinal untuk menentukan kesta-bilan dengan melihat nilai karakteristik dari λ yang diperoleh dengan rumus det(λI−A) ∣∣∣∣∣∣∣∣

−0, 613 − λ −0, 038 0 −9, 80, 383 −0, 191 − λ 34 00, 578 −0, 11 −14, 68 − λ 0

0 0 1 0 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣sehingga diperoleh nilai karakteristik λ sebagai berikut : λ1 = −14, 4500, λ2 =−0, 0695, serta λ3,4 = −0, 4822 ± 0, 6582dapat dilihat dari uji kestabilan yang dianalisa pada mach 1.0 menunjukkan semuabagian real dari nilai eigen λ bernilai negatif. sehingga dapat dikatakan bahwasistem pada persamaan gerak Longitudinal telah stabil.

3.3.2 Analisa Kestabilan Roket pada Persamaan Gerak Lateral-directional

berdasarkan matriks state space pada gerak Lateral-directional untuk menentukankestabilan dengan melihat nilai karakteristik dari λ yang diperoleh dengan rumusdet(λI − A) ∣∣∣∣∣∣∣∣

−2, 305 − λ 0 1 −0, 2882, 694 −5, 348 − λ 0, 059 0−9, 226 0, 0003 −7, 708 − λ 0

0 1 0 0 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣sehingga diperoleh nilai karakteristik λ sebagai berikut : λ1 = −5, 1680, λ2 =−0, 0411, serta λ3,4 = −5, 0760 ± 0, 12972dapat dilihat dari uji kestabilan yang dianalisa pada mach 1.0 menunjukkan semuabagian real dari nilai eigen λ bernilai negatif. sehingga dapat dikatakan bahwasistem pada persamaan gerak Lateral-directional telah stabil.

17

3.4 Keterkontrolan dan Keteramatan

Sistem yang telah terbentuk dari persamaan umum :

x = Ax+Bu

y = Cx

dapat dicari keterkontrolan dan keteramatannya. Berdasarkan matriks state spaceyang telah diperoleh dari persamaan gerak Longitudinal dan gerak Lateral-directionaldapat dianalisa Kekontrolan serta keteramatannya

3.4.1 Kekontrolan

Dari matriks state space pada persamaan gerak longitudinal diperoleh matriks:

A1 =

−0, 613 −0, 038 0 −9, 80, 383 −0, 191 34 00, 578 −0, 11 −14, 68 0

0 0 1 0

B1 =

0

1, 3041, 151

0

sehingga diperoleh matriks Mc1 = [B1 A1B1 A2

1B1 A31B1] sebagai berikut:

Mc1 =

0 −0, 04955 −12, 727 197, 093

1, 304 38, 885 −586, 81 8465, 8671, 151 −17, 040 245, 842 −3551, 782

0 1, 151 −17, 040 245, 842

diperoleh rank dari matriks Mc1 adalah 4. Sedangkan pada persamaan gerakLateral-directionalnya diperoleh:

A2 =

−2, 305 0 1 −0, 2882, 694 −5, 348 0, 059 0−9, 226 0, 0003 −7, 708 0

0 1 0 0

B2 =

0 0

26, 94 00, 304 0, 304

0 0

18

sehingga diperoleh matriks Mc2 = [B2 A2B2 A22B2 A3

2B2] sebagai berikut:

Mc2 =

0 0 0, 304 0, 304 −10, 794 −3, 0439 81, 52 22, 268

26, 94 0 −144, 057 0, 018 771, 099 −0, 584 −4152, 02 −10, 4270, 304 0, 304 −2, 335 −2, 343 15, 151 15, 256 −16, 964 −89, 51

0 0 26, 94 0 −144, 057 0, 0179 771, 099 0, 5848

diperoleh rank dari matriks Mc2 adalah 4. karena rank pada matriks Mc1 danMc2 adalah 4 yaitu sama dengan dimensi matriks A1 dan A2 sehingga sistem padapersamaan gerak Longitudinal dan gerak Lateral-directional dapat dikatakan terkon-trol.

3.4.2 Keteramatan

Berdasarkan matriks state space pada persamaan gerak Longitudinal dan gerakLateral-directional telah diberikan output matriks C1 untuk persamaan gerak Lon-gitudinal dan C2 untuk persamaan gerak Lateral-directional sebagai berikut:

C1 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

C2 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

untuk mengetahui apakah sebuah sistem dapat teramati maka dapat diperoleh darimatriks:

Mt1 =

CCA1

CA21

CA31

untuk persamaan gerak Longitudinal dan matriks:

Mt2 =

CCA2

CA22

CA32

19

untuk persamaan Lateral-directional. Jika nilai matriks A1 dan C1 disubtitusi kematriks Mt1 diperoleh:

Mt1 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

−0, 613 −0, 038 0 −9, 80, 383 −0, 191 34 00, 578 −0, 110 −14.68 0

0 0 1 00, 3612 0, 0305 −11.092 6.007419.34 −3.7181 −505.61 −3.75−8.881 1.613 211.76 −5.6640, 578 −0, 110 −14.680 0−6, 620 1.20 169.87 −3.539−305, 52 55.59 7292, 2 −189.57128, 46 −23, 264 −3059, 5 87, 038−8, 881 1, 613 211, 76 −5.664

Jika nilai matriks A2 dan C2 disubtitusi ke matriks Mt2 diperoleh:

Mt2 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

−2.305 0 1 −0.2882.694 −5.348 0.059 0−9.226 0.003 −7.708 0

0 1 0 0−3.913 −0.287 −10.013 0.6638−21.161 28.601 1.923 −0.77592.380 −0.003916 50.1873 2.65712.6940 −5.3480 0.059 0

100.6243 2.1995 73.2503 1.126108.080 −153.7341 −34.3019 6.0945−675.976 2.6931 −294.4631 −26.6057−21.1615 28.6011 1.9237 −0.775

dari matriks Mt1 dan matriks Mt2 didapat nilai masing-masing matriks dengan rank4 yaitu sama dengan dimensi matriks A1 dan matriks A2. sehingga dapat disim-pulkan bahwa sistem persamaan gerak Longitudinal dan persamaan gerak Lateral-directional dapat teramati.

20

Matematika sistem

Education

Transcript of Matematika sistem